Grażyna Trzpot Unwersytet Ekonomczny w Katowcach Wydzał Informatyk Komunkacj Katedra Demograf Statystyk Ekonomcznej grazyna.trzpot@ue.katowce.pl Optymalzacja portfela z wykorzystanem koherentnych transformujących mar ryzyka Streszczene: Celem artykułu jest wykorzystane metod optymalzacj lnowej w analze portfelowej. Poszerzymy problem wyboru optymalnego portfela z kryterum ogranczającym dla kwantylowej mary ryzyka, jakm jest mnmalzacja CVaR (condtonal value-at-rsk) do klasy zadań z koherentnym transformującym maram ryzyka. Omówmy nezależne koherentne mary ryzyka (KMR) oraz transformujące mary ryzyka (TMR) podając własnośc wzajemne zależnośc. Przejdzemy następne do klasy mar łączących te podejśca. Koherentne transformujące mary ryzyka (KTMR) obejmują wele znanych mar ryzyka. Słowa kluczowe: koherentne mary ryzyka, transformujące mary ryzyka, analza portfelowa.. Wprowadzene Problem wyboru składu optymalnego portfela jest stotny zarówno dla zarządzających funduszam nwestycyjnym czy emerytalnym, jak równeż dla ndywdualnych nwestorów. Od semnaryjnej pracy Markowtza [952, s. 77-9] obserwujemy ntensywny rozwój metod wyznaczana optymalnego portfela. Poszukujemy nowych lepszych oraz bardzej sprawnych mar ryzyka, a wraz z nm metod doboru optymalnego portfela. Model Markowtza wykorzystuje warancję jako benchmark dla pomaru ryzyka ale jest to nezrozumałe, poneważ rozważamy w sposób równoważny straty oraz zysk. W konsekwencj, zaproponowano nne mary ryzyka w powązanu z analzą portfelową take jak przykładowo sem-warancja [Markowtz, 959; Trzpot, 2006], momenty cząstkowe [Bawa, Lndenberg, 977, s. 89-200; Trzpot, 2005, s. 8-88], zasadę safety frst [Roy, 952, s. 43-449], skośność kurtozę [Harvey n., 200, s. 469-485] czy wreszce Value-at-rsk (VaR) oraz Condtonal Value-at-rsk (CVaR) [Rockafellar, Uryasev, 2000, s. 2-42].
Optymalzacja portfela z wykorzystanem koherentnych 75 Przyjmemy następującą notację: funkcję, która merzy ryzyko portfela x zapszemy jako ρ (x). Wówczas, zapsując zadane ogólne, problem wyboru portfela to problem wyznaczena rozwązana następującego zadana: mn ρ (x) x S, gdze zborem ogranczającym jest zbór wszystkch możlwych portfel S. Jeżel ρ odpowada warancj stopy zwrotu portfela x, wówczas powyższe zadane można zredukować do modelu Markowtza. Rozpatrzymy problem wyboru portfela rozważając klasę szczególnych mar ryzyka koherentne transformujące mary ryzyka (KTMR). Zapszemy zdefnowany problem następne równoważne jako zadane programowana lnowego. Koherentne transformujące mary ryzyka (KTMR) to część wspólna dwóch ważnych klas mar ryzyka: koherentnych mary ryzyka (KMR) [Artzner n., 999, s. 203-228] oraz transformujących mar ryzyka (TMR) [Wang, 2000, s. 5-36]. Z prowadzonych analz wadomo, że CVaR jest przykładem KTRM, podczas gdy VaR ne jest an KRM an TRM, zatem ne jest KTRM [Trzpot, 202, s. 2-36]. 2. Model optymalnego portfela z wykorzystanem CVaR Zapszemy stratę wartośc portfela jako funkcję L = f(x,y) wektora decyzyjnego x, który jest wyberany ze zboru S R n, oraz wektora losowego y R m. Wektor x reprezentuje zapsany w sposób ogólny portfel, a S pokrywa zbór wszystkch możlwych portfel wyznaczanych przy przyjętych subektywne, szczegółowo zapsanych ogranczenach. Dla każdego x, strata L = f(x,y) jest zmenną losową posadającą rozkład z dystrybuantą ndukowaną przez rozkład y R m. Przyjmujemy, że rozkład prawdopodobeństwa zmennej losowej y jest rozkładem dyskretnym z masą prawdopodobeństwa p, tzn., P [L = L(x, y )] = p dla =,, m. Zauważmy, że w welu przypadkach zakłada sę, że X, czyl strata portfela, jest jednowymarowym rozkładem dyskretnym. Dodajmy, że otrzymujemy dyskretny rozkład strat, w przypadku generowana scenaruszy lub dla danych hstorycznych. Dodatkowo, mając arbtralne ustaloną dyskretną zmenną losową mającą jako wartośc lczby rzeczywste, możemy zawsze przekonwertować ją w dyskretną jednowymarową dystrybuantę dla dostateczne dużego m. Dla każdego portfela x oraz dla funkcj straty wartośc portfela L = f(x,y) zapszemy funkcję dystrybuanty tego portfela następująco:
76 Grażyna Trzpot m Ψ( x, ζ ) = p I{ ζ }. () = Wówczas VaR α oraz CVaR α możemy zapsać następująco [Rockafellar, Uryasev, 2002, 443-47]: Defncja 2. Załóżmy, że dla każdego x S, rozkład strat portfela L = f(x,y) jest skoncentrowany w m < punktach, oraz Ψ(x, ) jest funkcją schodkową ze skokam w tych punktach. Dla ustalonego x dodatkowo zapszemy jako l () < < l (m) odpowedno porządek w zborze strat, a wartośc p () > 0, =,, m, reprezentują prawdopodobeństwa zrealzowanych strat l (). Jeżel mn ρ (x) jest jedyne dla ustalonego α wówczas VaR α oraz CVaR α x S l dla portfela jest dane odpowedno jako ζ α (x) = l (α) oraz φ α α = α m ( x) + = p α l p ( ) α ( ) l( = α ). (2) Jeżel mara ρ to VaR, wówczas problem wyznaczena portfela () jest zadanem numerycznym. Dla zadana z CVaR jako kryterum problem optymalzacyjny dla portfela () jest programowanem wypukłym można wyznaczyć rozwązane analtyczne. Zatem CVaR jest wykorzystywane w modelowanu portfelowym, poneważ może być zapsane jako zadana programowana lnowego. Programowane wypukłe, może być zapsane jako programowane lnowe. Rockafellar Uryasev zaproponowal wyznaczene modelu lnowego dla portfela wykorzystującego CVaR jako kryterum selekcj aktywów do portfela wykorzystujące φ α (x) oraz ζ α (x) jako argumenty następującej funkcj : F α ( x, ζ ) ζ + E ( l( x, y) ζ ) + m [ ] = ζ p ( ) + l = ζ α α =. (3) Jeżel f (x,y) jest wypukła (convex) względem x, wówczas φ α (x) jest wypukła względem x. W takm przypadku, F α (x,ζ) jest równeż wypukła (jontly convex) w (x, ζ). Udowodnono następujące twerdzene podające równoważne sformułowane problemu [Rockafellar, Uryasev, 2002, s. 443-47]: [x] + = max(x; 0).
Optymalzacja portfela z wykorzystanem koherentnych 77 Twerdzene. 2.. Mnmalzacja φ α (x) względem x S jest równoważna mnmalzacj F α (x,ζ) względem wszystkch (x, ζ) S R w tym znaczenu, że ponadto ( x, ζ ) mnφ ( x) α = mn Fα x, ζ, (4) ( x, ζ ) S R x S mn Fα x, ζ x arg mnφα x, ζ mn Fα x, ζ (5) ( x, ζ ) S R ( x, ζ ) S R x S Powyższe twerdzene łączy równane reprezentacyjne (3) zarówno z VaR jak z CVaR. Twerdzene pozwala, w celu wyznaczena optymalnego portfela z przyjętym kryterum z marą CVaR, zastąpć funkcję φ α (x) przez F α (x,ζ) przy formułowanu rozwązywanu zadana selekcj portfela. Najważnejszy w rozwnęcu równana (3) w ogólne rozumanym programowanu wypukłym jest fakt, że w celu wyznaczena optymalnego portfela, z przyjętym kryterum z marą CVaR w celu wyznaczena optymalnego portfela, możemy wykorzystać lnearyzację poprzez wprowadzene lnowej funkcj celu oraz lnowych ogranczeń. Z wykorzystanem takej lnowej reprezentacj możemy traktować dowolny problem selekcj portfela z CVaR jako zadane programowana lnowego. 3. Koherentne mary ryzyka transformujące mary ryzyka Nepewna przyszła wartość pozycj nwestycyjnej jest zazwyczaj zapsywana jako funkcja X: Ω R, gdze Ω jest ustalonym zborem scenaruszy w przestrzen probablstycznej (Ω, F, P). Zapszemy jako X przestrzeń lnową zmennych losowych na Ω, czyl zbór funkcj X : Ω R. Zauważmy, że X może być rozpatrywana jako funkcja straty nepewnej pozycj nwestycyjnej. Zbór własnośc defnowanych mar ryzyka można zapsać następująco:. Subaddytywność: dla dowolnych X, Y X zachodz ρ(x + Y) ρ(x) + ρ(y). 2. Dodatna homogenczność: dla dowolnych X X oraz λ 0, zachodz ρ(λ X) = λρ(x). 3. Translacja nwarantna: dla ustalonego X X oraz dowolnych a R, zachodz ρ(x + a) = ρ(x) + a. 4. Monotonczność: dla X, Y X takch, że X Y, zachodz ρ(x) ρ(y).
78 Grażyna Trzpot 5. Prawo nezmennczośc 3 : dla każdego X, Y X, jeżel P(X x) = P(Y x) dla wszystkch x R zachodz ρ(x) = ρ(y). 6. Wypukłość: dla X, Y X λ (0, ], zachodz ρ(λ X + ( λ)y] λρ(x) + ( λ) ρ(y). 7. Co-monotonczna addytywność: dla każdego dla X, Y X, które są co-monotonczne, ρ(x + Y] = ρ(x) + ρ(y). Koherentne mary ryzyka (KMR) spełnają następujące własnośc: subaddytywność, translacja nwarantna, dodatna homogenczność monotonczność. Transformujące mary ryzyka (TMR) spełnają następujące własnośc translacj nwarantnej, która jest dodatno homogenczna, monotonczna oraz comonotonczno addytywna [Trzpot, 202, s. 2-36]. Dodatkowo, można pokazać, że dla dodatnch strat transformująca mara ryzyka jest koherentna wtedy tylko wtedy, gdy jest wypukła. Pojęce co-monotoncznośc jest najważnejsze w odnesenu do mar ryzyka [Dhaene n., 2000, s. 99-3]. Wpływa na aksjomat addytywnej comonotoncznośc bazując na pojęcu co-monotoncznośc zmennych losowych, które ne są dla sebe konkurencją, wpływając na addytywność ryzyka. Stochastyczna nerówność dla dwóch zmennych losowych X Y jest rozumana jako X(ω) Y(ω) ω Ω. To oznacza, że prawe na pewno zachodz taka nerówność dla wszystkch mar probablstycznych w przestrzen probablstycznej. Dla pary zmennych losowych (X, Y) mówmy, że jest comonotonczna, jeżel ne stneje para ω, ω 2 Ω, taka, że X(ω ) < X(ω 2 ) podczas gdy Y(ω ) > Y(ω 2 ) [Denberg, 994]. Równoważne, co-monotonczne zmenne losowe można scharakteryzować jako nemalejące funkcje zmennych losowych. Co-monotonczność jest slną zależnoścą dodatną często redukuje zmenne welowymarowe do jednowymarowych. Mara VaR ne spełna warunku subbaddytywnośc, ne jest koherentna, w przecweństwe do CVaR. Co węcej, VaR ne jest marą wypukłą, co oznacza, że dla nwestorów być może korzystnej nwestować w pojedyncze papery wartoścowe. Udowodnono [Wang, 2000], że jeżel X zawera wszystke rozkłady Bernoullego(p), z prawdopodobeństwem sukcesu p, 0 p, wówczas TMR ρ spełna warunk: ρ() = wtedy tylko wtedy, gdy ρ ma całkę Choqueta w powązanu z transformującym prawdopodobeństwem: 3 Law nvarance: rozkłady mają take same dystrybuanty ten sam pozom akceptowalnośc.
Optymalzacja portfela z wykorzystanem koherentnych 79 0 ρ g ( X ) = Xd( g o P) = [ g( P( X > x)) )] dx + [ g( P( X > x)) dx, (6) 0 gdze g(.) jest funkcją transformującą, taką że g:[0, ] [0, ] jest funkcją nemalejącą oraz taką, że g(0) = 0 oraz g() = dodatkowo (go P)(A):= g(p(a)) jest nazwana transformującym prawdopodobeństwa. Reprezentacja z wykorzystanem całk Choqueta dla TMR jest przydatna do wykazana własnośc matematycznych. Dodatkowo oblczane TMR jest łatwe z wykorzystanem wartośc oczekwanej X względem rozkładu prawdopodobeństwa P := g o P 4. Przykładowo dla g(x) = x, otrzymujemy ρ g (X) = E[X], jeżel nadzeja matematyczna stneje. Przytoczone VaR odpowada funkcj transformującej: 0, g ( x) =, x < α x α -α Rys.. Funkcja transformującą dla VaR Funkcja transformująca jest cągła w tym przypadku, a poneważ występuje skok w x = α (rys. ). To determnuje fakt, że VaR ne jest marą koherentną. W rezultace, VaR ne jest dobrym przykładem funkcj transformującej. 4 Rozpatrzymy szczególny przypadek μ(a) = g[p(x A)]:= P (A), gdze g jest funkcją transformującą, P jest marą probablstyczną na σ-algebrze zborów Borelowskch B, oraz X jest zmenna losową. Tak określona funkcja μ jest funkcją transformującą prawdopodobeństwo P.
80 Grażyna Trzpot Rys. 2. Funkcja transformującą dla CVaR. -α Zapszemy najczęścej wykorzystywane funkcje transformujące: transformacja CVaR (rys. 2): transformacja Wanga (WT): g CVaR (x, α) = mn{x/(α), } dla α [0,) (7) g WT (x, β ) = Φ[Φ (x) Φ (β )] dla β [0,) (8) Inne przykłady funkcj transformujących są następujące: g DP, funkcja dualnej mocy (the dual-power) g DP oraz proporcjonalna funkcja hazardu g PH zapsane następująco [Wrch, Hardy, 200; Trzpot, 2004, 2006]: g ( x, ν ) ( x) ν DP =, x [0, ], ν (9) g x γ x γ PH (, ) =, x [0, ], γ. (0) Powyższe mary są określone zgodne z asymetryczną percepcją ryzyka nwestorów. Wykorzystano deę asymetr do standardowej konstrukcj TMR. Dla portfela z dyskretnym rozkładem strat zmenna losowa L = (l,, l m ) z masą prawdopodobeństwa Pr[L = l ] = p dla =,, m, ma dystrybuantą m Fl ( l) = p { l l} dodatkowo zapsujemy funkcję przeżyca S l (l) = F l (l). = Funkcję przeżyca nazywamy też odwrotną dystrybuantą.
Optymalzacja portfela z wykorzystanem koherentnych 8 4. Model optymalnego portfela z wykorzystanem koherentnych transformujących mar ryzyka Koherentne transformujące mary ryzyka (KTMR) są maram łączącym własnośc koherentnych mar ryzyka (KMR) oraz transformujących mary ryzyka (TMR). Możemy zdefnować taką klasę mar następująco: Defncja 4. Powemy, że ρ jest koherentną transformującą marą ryzyka (KTMR) jeżel ρ g jest transformującą marą ryzyka (TMR) z wypukłą funkcją transformującą g, albo równoważne ρ jest koherentną marą ryzyka (KMR), która spełna dodatkowo dwe własnośc: co-monotonczność translacja nwarantna. Następujące twerdzene dla klasy zdefnowanych mar KTMR jest fundamentalne w przystosowanu optymalzacj wypukłej w selekcj portfela. Twerdzene 4. [Kusuoka, 200, s. 83-95]. Dla dowolnej zmennej losowej X oraz wypukłej funkcj transformującej g, mara ryzyka ρ g jest KTMR wtedy tylko wtedy, gdy stneje funkcja w:[0,] [0,],spełnająca warunek w α = w( α ) φ ( X ) α = 0 gdze φ α (X) jest CVaR α dla zmennej losowej X. α α dα =, oraz α = 0 ρ X dα, () Powyższe twerdzene mów o tym, że dowolna KTMR może być wypukłą kombnacją CVaR α (X), α [0, ] możemy skonstruować dowolną KTMR bazując na wypukłej kombnacj CVaR α (X). To twerdzene zostało udowodnone dla cągłych funkcj straty portfela [Kusuoka, 200]. Zapsano równeż slnejsze twerdzene mówące o tym, że KTMR może być reprezentowana przez wypukłą kombnację skończonej lczby CVaR α (X) przy założenu, że funkcja straty portfela ma rozkład dyskretny [Bertsmas, Brown, 2009, s. 483-495]. Celem sformułowana zadana programowana wypukłego przy selekcj portfela zapszemy uogólnone twerdzene dla klasy KTMR z ogólną dyskretną funkcją straty. Zapszemy następującą defncję [Feng, Tan, 202]: Defncja 4.2 Dla ustalonej obserwacj funkcj straty L = (l,, l m ) oraz uporządkowanych wartośc strat l () < l (2) < < l (m), prawdopodobeństwa p () odpo-
82 Grażyna Trzpot wadają realzacjom l(), =,, m oraz Sl l() = p(). Defnujemy CVaR a j = jako macerz Q R m R m, o kolumnach Q R m, =,, m. () p p Q = [Q, Q 2,,Q m ] = p.. p ( 2) () 3 ( m) 0 p S p S p S ( 2) l l() () 3 l l() ( m) l l() p S p S 0 0 () 3 l l( 2) ( m) l l( 2) 0 0 0 p ) () m Sl l m Poneważ straty portfela mają rozkład dyskretny o m punktach skokowych, obserwujemy m skoków funkcj dystrybuanty zmennej L. Defnujemy 0, α = (2) p( j ) dla = 2,m j= dla = w zapsanych m skokach, wówczas m wartośc CVaR przy tych pozomach prawdopodobeństw otrzymujemy jako ( j) l( m ) m m p () m φ α l = p j l j = l j = Qjl ( j) j= j=, (3) α Sl j= dla =,, m oraz Q j jest elementem macerzy Q. Wartośc zapsane w kolumne Q są stotne przy wyznaczanu wartośc CVaR (-)/m (L). α dα =, funkcję α = 0 M g ( x, ζ ) = w( α ) F( x, ζ α ) dα. (4) α = 0 Zapszemy dla zboru wag: w(α) 0 oraz w Twerdzene 4. dopuszcza stnene w(α), α [0, ] oraz określa KTMR dla zboru wag. Dla każdego α stneje odpowedna zmenna losowa ζ α, wyznaczając pochod-
Optymalzacja portfela z wykorzystanem koherentnych 83 ne cząstkowe, następne przyrównując do zera uzyskujemy punkt stacjonarny funkcj M g ( x, ζ ). Zatem możemy zapsać powązane pomędzy KTMR (zapsana jako ρ g (x)) oraz wypukłą funkcją reprezentacją M g ( x, ζ ) [Feng, Tan, 202]. Twerdzene 4.2. Dla mary ρ g (x), która jest KTRM z funkcją transformującą g wyznaczene mnmum dla ρ g (x) względem x S jest równoważne wyznaczenu mnmum M g ( x, ζ ) dla wszystkch (x, ζ) S R ζ w tym znaczenu, że: ponadto ( x, ζ ) ( x) ( x, ζ ) mn ρg = mn M g, (5) x S ( x, ζ ) S R ς arg mn M, ζ ρ, ζ g x x arg mn g x arg mn M x, ζ (6) g ( x, ζ ) S R ς x S ζ R ς Dla portfela x, chcemy znaleźć ζ, które mnmalzuje M g (x,ζ). Poneważ M g (x,ζ) jest wypukłą funkcją ζ, wyznaczamy gradent M g (x,ζ) względem ζ przyrównujemy do zera. W konkluzj, koherentne transformujące mary ryzyka są wartoścam oczekwanym dla nowego rozkładu z mnej cężkm ogonem nż początkowy rozkład. Zgodne z twerdzenem 4.2, możemy zastąpć ρ g (x) przez M g (x,ζ) przy wyborze portfela. Poneważ Mg(x,ζ) jest funkcją wypukłą (x,ζ), problem wyboru portfela jest zadanem programowana wypukłego dla wypukłego zboru S. Zapsane wynk są podobne do uzyskanych przez Rockafellar-Uryasev [Rockafellar, Uryaser, 2002] przy wyborze CVaR jako kryterum optymalzacj portfela. Możemy zatem zapsać take zadane z KTMR jako funkcją celu lub jako kryterum ogranczające (zadane dualne) w sposób analogczny do zadana z CVaR jako funkcją celu lub jako kryterum ogranczające. Możemy zanotować następujące uwag. Portfel z kryterum PH jest prawe równoważny portfelow z kryterum CVaR, z ekstremalnym wartoścam α przyjętym dla wyznaczena CVaR, czyl dla α = 0,99 lub α = 0. Mnmalzacja względem CVaR z wysokm wartoścam α mplkuje wysoką awersję do ryzyka, to jest ogranczane pozomu ryzyka. Odnosząc sę do klasycznej teor decyzj, w której meśc sę teora portfela (pomaru ryzyka oraz oceny sukcesu), nwestorzy z awersją do ryzyka poszukują portfel z ogranczonym pozomem ryzyka lub jak najmnejszym, możlwym do wyznaczena przez odpowedną KTMR, ale przy zysku przekraczającym najnższy oczekwany dochód. Oczekwany dochód z nwestycj, co wynka z defncj funkcj transformujących, przykładowo maleje wraz z rosnącą wartoścą α dla CVaR analogczne maleje wraz z rosnącą wartoścą β dla WT.
84 Grażyna Trzpot Podsumowane Przedstawlśmy zadane znane lnowej optymalzacj dla CVaR w odnesenu do ogólnej klasy mar ryzyka. W perwszym kroku przypomnelśmy defncje KMR oraz TMR, a następne zapsalśmy klasę KTMR. Przy przyjętych do analz założenach o typach rozkładów zapsalśmy zadane optymalzacj wykorzystując programowane lnowe. Powązane klasy zdefnowanych mar z awersją do ryzyka, funkcjam użytecznośc, a równeż teorą domnacj stochastycznych oraz regresją kwantylową zostało omówone w nnej pracy dotyczącej ewaluacj portfela [Trzpot, 200]. Lteratura Artzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heath D. (999), Coherent measures of rsk, Mathematcal fnance, Vol. 9(3), s. 203-228. Bawa V.S., Lndenberg E.B. (977), Captal market equlbrum n a mean-lower partal moment framework, Journal of Fnancal Economcs, Vol. 5(2), s. 89-200. Bertsmas D., Brown D.B. (2009), Constructng uncertanty sets for robust lnear optmzaton, Operatons research, Vol. 57(6), s. 483-495. Denneberg D. (994), Non-addtve measure and ntegral, Kluwer, Dordrecht. Dhaene J., Wang S.S., Young V.R., Goovaerts M.J. (2000), Comonotoncty and maxmal stop-loss premums, Bulletn of the Swss Assocaton of Actuares Vol. 2, s. 99-3. Feng M.B., Tan K.S. (202), Coherent dstorton rsk measures n portfolo selecton, System Engneerng Proceda, Vol. 4, s. 25-34. Harvey C.R., Lechty J., Lechty M., Müller P. (200), Portfolo selecton wth hgher moments, Quanttatve Fnance, Vol. 0(5), s. 469-485. Kusuoka S. (200), On law nvarant coherent rsk measures, Advances n Mathematcal Economcs, Vol. 3, s. 83-95. Markowtz H.M. (952), Portfolo selecton, The Journal of Fnance, Vol. 7(), s. 77-9. Markowtz H.M. (959), Portfolo selecton: Effcent dversfcaton of nvestments, 94, Cowles Foundaton, New Haven, CT. Rockafellar R.T., Uryasev S. (2002), Condtonal value-at-rsk for general loss dstrbutons, Journal of Bankng & Fnance, Vol. 26(7), s.443-47. Rockafellar R.T., Uryasev S. (2000), Optmzaton of condtonal value-at-rsk, Journal of rsk, Vol. 2, s. 2-42. Roy A.D. (952), Safety frst and the holdng of assets, Econometrca: Journal of the Econometrc Socety, s. 43-449. Trzpot G. (2005), Partal moments and negatve moments n orderng asymmetrc dstrbuton, [w:] D. Baer, K.-D. Wernecke (eds.), Innovatons n classfcaton, data scence and nformaton systems, Proceedngs of 27 th Annual GFKL Conference, Unversty of Cottbus, March -4 2003. Sprnger-Verlag, Hedelberg- -Berln, s. 8-88.
Optymalzacja portfela z wykorzystanem koherentnych 85 Trzpot G. (2004), O wybranych właścwoścach mar ryzyka, Badana Operacyjne Decyzyjne, nr 3-4, s. 9-98. Trzpot G. (2006), Domnacje w modelowanu analze ryzyka na rynku fnansowym, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej, Katowce. Trzpot G. (200), Pesymstyczna optymalzacja portfelowa [w:] Modelowane preferencj a ryzyko 09, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej, Katowce, s. 2-28. Trzpot G. (202), Własnośc transformujących mar ryzyka, Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego, Katowce, s. 2-36. Wang S.S. (2000), A class of dstorton operators for prcng fnancal and nsurance rsks, The Journal of Rsk and Insurance, Vol. 67(), s. 5-36. Wrch J, Hardy M.R. (200), Dstorton rsk measures: Coherence and stochastc domnance, Workng Paper, http://pascal.seg.ut.pt/~cemapre/me2002. OPTIMAL PORTFOLIO SELECTIONS BASED ON COHERENT DISTORTION RISK MEASURES Summary: The am of ths paper s applcaton lnear programmng methodology to solvng portfolo selecton problems. We enlarge lnear optmzaton problem for quantle rsk measures that means for Condtonal Value-at-Rsk (CVaR) based portfolo selecton problems to class of rsk measure known as the class of coherent dstorton rsk measures. We descrbe ndependently coherent dstorton rsk measure and dstorton rsk measure by a lst of propertes. At the end we goes to the class of rsk measures wtch put both approaches together. coherent dstorton rsk measures nclude a range of well-known rsk measures as CVaR, Wang Transform measure, Proportonal Hazard measure. Keywords: coherent rsk measure, dstorton rsk measure, portfolo selecton.