61
35. PRĘDKOŚCI KRYTYCZNE WIRNIKÓW I ICH IDENTYFIKACJA 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów ze zjawiskiem przejścia przez rezonans, które to zjawisko jest powszechnie spotykane w maszynach wirujących pracujących przy zmiennej prędkości obrotowej. Ponieważ rezonans może być niebezpieczny dla maszyny należy nauczyć się określać charakterystyczne dla każdego układu wirującego prędkości krytyczne. Dzięki tej wiedzy możliwa jest eksploatacja urządzenia przy prędkościach obrotowych leżących poza obszarem niebezpiecznym. 5.2. Wprowadzenie Drgania są nieodłącznym procesem towarzyszącym funkcjonowaniu maszyn. Ich podwyższony poziom prowadzi do różnego rodzaju uszkodzeń maszyny takich jak: uszkodzenia wirników, łożysk, uszczelnień, przekładni zębatych, sprzęgieł, połączeń śrubowych itp. Obserwuje się również negatywne oddziaływanie drgań na otoczenie pracującego urządzenia. Drgania maszyny powodują w szczególności uszkodzenia fundamentów, pękanie ścian i stropów maszynowni. Jedną z bardziej sprzyjających okoliczności powstawania wysokich amplitud drgań i w konsekwencji poważnych uszkodzeń maszyny jest zjawisko rezonansu. Rezonans to pokrycie się częstotliwości siły wymuszającej z tzw. częstotliwością własną urządzenia, maszyny czy konstrukcji budowlanej. W otaczającym nas świecie często spotykamy się ze zjawiskiem rezonansu, nie zawsze jednak zdajemy sobie z tego sprawę. Jednym z bardziej oczywistych przykładów jest bijący dzwon, który wydaje dźwięk o stałej określonej częstotliwości. Ta częstotliwość dźwięku jest właśnie częstotliwością własną dzwonu. Dzwony o różnej wielkości i kształcie wydają dźwięki różniące się częstotliwością, poczynając od tych najwyższych (dla dzwonów małych) do najniższych (dla dzwonów dużych i masywnych). Innymi często spotykanymi przypadkami rezonansu jest dźwięk wiatru grającego na linach żaglówki czy charakterystyczny dudniący dźwięk wydawany przez lekko otwarty kran w łazience. Oczywistym przykładem jest również kamerton wydający charakterystyczny dźwięk, którego częstotliwość wynika z jego kształtu geometrycznego. Odpowiedź kamertonu na wymuszenie o zmiennej częstotliwości przedstawiona została na rys.5.1. Fn częstotliwość 62 Rys. 5.1 Odpowiedź kamertonu na wymuszenie o stałej częstotliwości
5.3. Drgania układu o jednym stopniu swobody Analizując stan dynamiczny maszyny wirującej należy pamiętać, że drgania powstają w wyniku oddziaływania sił powstających w wyniku ruchu obrotowego wirników. Sam poziom drgań natomiast zależy od dwóch czynników tj. od sił dynamicznych oraz od własności struktury materiałowej części maszyn i od sztywności ich połączeń. Oznacza to, że w pewnych warunkach, jakim jest na przykład rezonans, może dojść do silnego wzmocnienia drgań przy stałym lub słabo zmieniającym się wymuszeniu. Z drugiej strony oczywistym jest, że maszyna, która nie pracuje nie może generować drgań. F m MASA (m- masa) F w (t) TŁUMIK (C wsp. tłumienia) F t F s SPRĘŻYNA (k sprężystość) Rys. 5.2. Model układu o jednym stopniu swobody. Relacje pomiędzy wymuszeniem odpowiedzią rezonansową i drganiami można wyjaśnić na przykładzie systemu o jednym stopniu swobody. System taki składa się z masy, sprężyny i tłumika (rys. 5.2). Należy jednak pamiętać, że tak jak ruch harmoniczny nie występuje w rzeczywistości, tak i system o jednym stopniu swobody jest jedynie bardzo uproszczonym modelem układu drgającego. Analizując ruch takiego układu musimy przyjąć zasadę równowagi sił zewnętrznych i wewnętrznych działających na ten układ. Zgodnie z rys. 5.2 siła bezwładności = m x( t ) musi być zrównoważona siłą sprężystości = k x( t ), F m siłą tłumiącą F t = c x( t ) oraz zewnętrzną siłą wymuszającą F w ( t ) = F0 sinω t gdzie wielkości: k - stała sprężystości, c - współczynnik tłumienia m - masa Można więc zapisać: Fm = Fs + Ft + F ( t ) w Przekształcając to równanie i uwzględniając przeciwne znaki sił sprężystości i tłumienia, otrzymujemy zależność: F( t ) = k x( t ) + c x( t ) + m x( t ) (1.1) Stała sprężystości k, współczynnik tłumienia c i masa m związane są kolejno z przemieszczeniem ruchu drgającego x ( t ), prędkością x ( t ) = dx( t ) (pierwsza pochodna dt 2 x ( t ) ), i przyśpieszeniem x( t ) = d x( t ) (druga pochodna x ( t ) ). dt F s 63
a) b) X sprężyna tłumik masa masa tłumik sprężyna c) 0 0 90 0 180 0 ω ω 0 wymuszenie odpowiedź Rys. 5.3. Reakcja modelu o jednym stopniu swobody na zmienne wymuszenie dynamiczne Cechy układu o jednym stopniu swobody można opisać analizując jego zachowanie się pod wpływem wymuszenia sinusoidalnego o narastającej częstotliwości f. Dla układu znajdującego się w bezruchu jak i dla niskich częstotliwości wymuszenia (patrz rys. 5.3) równanie ruchu sprowadza się do postaci F w ( t ) = k x( t ), co oznacza, że odpowiedź układu czyli drgania są zdominowane przez człon sprężysty. Przy zwiększaniu częstotliwości wymuszenia coraz większą rolę zaczynają odgrywać siły bezwładności ( m x( t )). Przy pewnej częstotliwości, zwanej częstotliwością własną, zdefiniowaną jako ω = 0 64 k m, człony sprężystości i masy wzajemnie się równoważą k x( t ) = m x( t ) a więc siła wymuszająca jest proporcjonalna tylko do członu tłumiącego F w ( t ) = c x( t ). W takiej sytuacji układ bardzo łatwo wyprowadzić z równowagi a jego odpowieź jest kontrolowana jedynie poprzez tłumienie. Jeżeli w układzie nie występuje tłumienie amplituda drgań dąży wtedy do nieskończoności. Taka sytuacja, nazywana rezonansem, jest najniebezpieczniejsza dla pracującej maszyny gdyż niewielkie nawet wzbudzenie może doprowadzić do całkowitego jej uszkodzenia. Dla częstotliwości większych od częstotliwości rezonansowych dominującą rolę w układzie drgającym przejmuje człon masy i układ zachowuje się tak jakby był pozbawiony zarówno sprężystości jak i tłumienia( F w ( t ) = m x( t ) ). Ponieważ w pierwszej fazie wymuszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia nie obserwujemy przesunięcia fazowego pomiędzy wymuszeniem a odpowiedzią układu. W obszarze rezonansu wymuszenie jest proporcjonalne do prędkości (obserwuje się przesunięcie fazy o 90 0 ) a dla wysokich
częstotliwości wymuszenie jest proporcjonalne do przyśpieszenia (obserwuje się przesunięcie fazy o 180 0 ). Jak wynika to z rys. 5.3 b rezonans układu możemy zidentyfikować bazując na dwóch podstawowych kryteriach tj.: obserwacji silnego wzrostu amplitudy oraz zmiany fazy o 180 0. 5.4 Prędkości krytyczne układów wirujących Prędkością krytyczną wirnika nazywamy każdą jego prędkość obrotową, przy której występuje lokalna maksymalna amplituda drgań giętnych, czemu towarzyszą również maksymalne naprężenia w wirniku. Kryterium identyfikacji tego zjawiska jest więc maksimum amplitudy drgań. Szczególnym przypadkiem prędkości krytycznej jest częstotliwość rezonansowa nazywana częstotliwością własną układu wirującego i podpór. Na sztywność podpór wirnika wpływa podatność obudowy łożyska, podatność filmu olejowego (dla łożysk ślizgowych), oraz system mocowania łożyska do podłoża. Dla większości maszyn rzeczywistych w których wirniki mają niewielkie tłumienie wewnętrzne prędkość krytyczna występuje tylko dla prędkości rezonansowej układu. Oznacza to, że dla jej identyfikacji możemy wykorzystywać zarówno kryterium amplitudowe (maksimum amplitudy) jak i kryterium fazowe (gwałtowna zmiana fazy). Powszechnie za prędkość krytyczną uważa się więc prędkość własną układu. Pamiętać jednak należy, że nie jest to nazwa ścisła, gdyż pojęcie prędkość krytyczna ma nieco szersze znaczenie. Obliczeniowe wyznaczanie prędkości krytycznej rzeczywistej maszyny wirującej jest zadaniem bardzo złożonym co wynika ze konieczności uwzględnienia wielu czynników spośród których do najważniejszych zaliczyć można: masę i sztywność wału, masę i sztywność podpór, podatność łożysk i filmu olejowego. Przybliżoną wartość I prędkości krytycznej można jednak wyznaczyć przyjmując założenie, że mamy do czynienia z pojedynczą tarczą wirnikową zamocowaną na sztywno podpartym wale. ω = 1 k c 2Π f = (5.2) m c W tym przypadku zakłada się, że wał jest pozbawiony masy a cała masa skupiona jest w tarczy. Dla wyznaczenia ω c należy najpierw zdefiniować współczynnik sztywności k, który jest stosunkiem ciężaru do ugięcia dynamicznego wału k = W / y. Ugięcie y z kolei można wyliczyć z zależności: y = WL 3 48EI gdzie L E I - odległość pomiędzy podporami, - moduł Younga - moment bezwładności wału Współczynnik k dany jest więc wzorem: 4 k = 48EI 3 lub k = 48EΠd 3 L 64L Podstawiając za k do wzoru na prędkość krytyczną (5.2) otrzymuje się: 1 4 48EΠ d ω c = = 2Π f 3 c 64 ml (5.3) 65
Oznacza to, że dla bardo uproszczonego modelu maszyny wirującej prędkość krytyczna a właściwie prędkość rezonansowa układu rośnie wraz ze wzrostem średnicy wału oraz maleje wraz ze wzrostem jego masy i odległości pomiędzy podporami. Z zależności powyższej można więc dodatkowo wnioskować, że dla podniesienia częstotliwości własnej wirnika należy zmniejszyć jego masę, lub zmniejszyć odległość pomiędzy podporami, lub też ewentualnie zwiększyć średnicę wału. Inną metodą określania prędkości krytycznych jest metoda eksperymentalna. Polega ona na analizie amplitudy drgań oraz kąta przesunięcia fazowego I składowej harmonicznej w trakcie zmiany prędkości obrotowej wirnika. Analizę taką prowadzi się podczas zwiększania prędkości obrotowej od 0 do prędkości maksymalnej n max oraz podczas jej obniżania z n max do zera. Stan pierwszy, w nomenklaturze diagnostycznej nazywany jest uruchomieniem lub podjazdem a stan drugi odstawieniem lub wybiegiem maszyny. Rys. 5.4. Charakterystyka wybiegowa maszyny o różnej sztywności pomiędzy płaszczyznami pomiarowymi (pionową i poziomą). Należy w tym miejscu zwrócić uwagę, że odpowiedź maszyny (poziom amplitudy drgań i kształt charakterystyki) na wymuszenie pochodzące od wirującego wału w trakcie podjazdu i wybiegu może być różna, co wynika ze zmieniającej się w tych stanach sztywności i tłumienia układu wirnik podpory. Zjawisko to znane jest pod nazwą histerezy układu. Istotny wpływ na położenie prędkości krytycznej ma również sztywność podpór. Ponieważ najczęściej sztywność pomiędzy płaszczyzną pionową i poziomą różni się, analizując wykresy amplitudowo-fazowe, można odczytać dwie różne prędkości w zależności od nadzorowanej płaszczyzny. Często obserwuje się sprzężenie pomiędzy płaszczyznami odbijające się na kształcie charakterystyki wybiegowej. Przykład takiego zjawiska pokazano na rys. 5.4, gdzie pierwsze maksimum związane jest z płaszczyzna prostopadłą do płaszczyzny pomiarowej (o niższej sztywności) a drugie z nadzorowaną płaszczyzną (o wyższej sztywności). W nadzorze maszyn do identyfikacji prędkości krytycznych wału wykorzystuje się najczęściej sygnał pochodzący z wiroprądowych przetworników przemieszczeń drgań. Analizę takiego sygnału prowadzi się stosując dwa typy prezentacji: tj. tzw. wykres Bodeg o (Rys.5.5) oraz wykres Nyquista (Rys.5.7). Wykres Bodeg o przedstawia poziom amplitudy oraz fazę drgań w układzie kartezjańskim w funkcji prędkości obrotowej (patrz Rys. 5.5). Jak stwierdzono już wcześniej prędkość krytyczna znajduje się w miejscu maksymalnej, lokalnie, 66
amplitudy oraz silnej zmiany fazy. Jest to bardzo wygodny i łatwy do interpretacji sposób analizy. Ważnym parametrem stanu maszyny, który może być oszacowany na podstawie wykresu Bodeg o jest współczynnik wzmocnienia w rezonansie Q. Jego duża wartość wskazuje na słabe tłumienie układu a więc i wysoką wartość amplitudy w rezonansie, natomiast niska wartość Q oznacza, że układ jest dobrze wytłumiony. Wyliczenie współczynnika Q w oparciu o wykres Bodeg o może być poprowadzone na kilka różnych sposobów, przy czym poniżej zostaną podane tylko dwa najczęściej stosowane. Pierwsza metoda znana pod nazwą Half Power Point [4] wyznacza Q w oparciu o zależność: f c QHPP = (5.4) f f 2 1 Phase Angle [Degrees] Amplitude [um] -180-240 -300-360 0 2000 4000 6000 8000 10000 40 30 20 10 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 Rotational speed [RPM] Rys. 5.5. Wykres Bodeg o gdzie f c częstotliwość rezonansowa, f 1 częstotliwość poniżej f c f 2 częstotliwość powyżej f c Wartości f 1 i f 2 odczytywane są z wykresu Bodeg o dla poziomu amplitudy 3dB amplitudy maksymalnej co odpowiada 0.707 amplitudy maksymalnej (rys. 5.6). Druga metoda polega na wyznaczaniu stosunku amplitudy drgań Xr dla prędkości krytycznej do amplitudy drgań X 0 leżącej daleko poza obszarem rezonansu wg. wzoru: X r Q HPP = (5.5) X o Należy zauważyć, że wyznaczone 20 wartości współczynnika wzmocnienia uzyskanego przy pomocy obu metod 10 mogą się czasami nawet znacznie różnić. Wynika to z faktu, że w metodzie pierwszej na wartość Q duży wpływ ma położenie rezonansu, a w metodzie drugiej oszacowanie obszaru poza rezonansem jest dosyć subiektywne. Ocena jakości tłumienia wg. zaleceń Hewlett-Packarda [4] przewiduje: Amplitude [um] 40 30 f c f 1 f 2 Rezonans 37.5 um punkt (- 3dB) 26.5 um 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 Rotational speed [RPM] Rys. 5.6 Oszacowanie współczynnika wzmocnienia z wykresu Bodeg o. Q =< 2 Q = 2 8 Q = 8 15 Q => 15 układ dobrze wytłumiony układ dostatecznie wytłumiony układ słabo wytłumiony układ źle wytłumiony 67
Drugi typ prezentacji, wykres Nyquista, przedstawia poziom amplitudy 0 o oraz fazę drgań w układzie biegunowym. Wykres ten przedstawia obraz poruszającego się końca wektora I składowej harmonicznej w funkcji zmiennej prędkości obrotowej 1400 (patrz rys.5.7). Wzrost amplitudy drgań i 360 o 600 90 o silna zmiana fazy powoduje, że prędkość 3000 krytyczna na takim wykresie widoczna jest w 2000 postaci charakterystycznej pętli. 1600 Pomocnym narzędziem do zgrubnego 1700 oszacowania przejścia maszyny przez rezonans jest również wykres trajektorii. Trajektoria powstaje w wyniku złożenia dwóch sygnałów drganiowych mierzonych w 180 o Rys. 5.7 Wykres Nyquista dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach (Rys. 8). Do podstawowych cech trajektorii zalicza się: - kształt, - nachylenie, - kierunek wirowania, - maksymalne przemieszczenie wału S max. Rys. 5.8 Trajektoria i jej charakterystyczne właściwości Podczas przejścia przez rezonans obserwuje się wzrost wartości S max oraz wyraźną zmianę kąta nachylenia trajektorii co wynika ze zmiany fazy. Wykres ten nie umożliwia precyzyjnego określenia prędkości krytycznej lecz raczej pozwala na wskazanie zakresu prędkości, w którym rezonans występuje. 68
Ze względu na niebezpieczeństwo silnego wzrostu amplitudy drgań nie można dopuszczać aby maszyna pracowała w zakresie prędkości leżącym w pobliżu prędkości krytycznych. Zgodnie z zaleceniami Amerykańskiego Instytutu Petrochemicznego (API) przyjmuje się więc, że dla maszyn z wirnikami giętkimi (tj. pracującymi w prędkościach nadkrytycznych) nominalna prędkość obrotowa musi być co najmniej 15% powyżej prędkości rezonansowej. Dla maszyn z wirnikami sztywnymi (tj. pracującymi w prędkościach podkrytycznych), z kolei, przyjmuje się, że nominalna prędkość obrotowa musi być co najmniej 20% poniżej prędkości rezonansowej. Eksploatacja zgodna z powyższymi zaleceniami powinna zapewnić bezpieczną i bezawaryjną pracę maszyny. Przykładowo dla najbardziej rozpowszechnionego w Polsce turbozespołu o mocy 200 MW (typ 13K215), pracującego z prędkością 3000 obr/min, prędkości krytyczne wynoszą odpowiednio1615, 1857, 1958, 2463 obr/min. Oznacza to, że maszyna ta jest tak zaprojektowana, że spełnia w/w kryteria bezpieczeństwa. 5.5. Opis stanowiska Ćwiczenie przeprowadzone będzie przy wykorzystaniu zestawu aparatury Bently Nevada składającej się z modelu maszyny wirującej (Rotor-Kit) oraz aparatury kontrolnopomiarowej (ADRE). Rotor Kit, opisany szczegółowo w ćwiczeniu nr 1, jest układem pozwalającym na demonstrację typowych nieprawidłowości występujących w pracy maszyn wirujących. Wszystkie szczegółowe informacje dotyczące budowy układu Rotor Kit i systemu ADRE oraz sposobów ich obsługi zostały zawarte w Instrukcji obsługi Systemu Bentley Nevada [5]. 5.6. Przebieg ćwiczenia W trakcie ćwiczenia przeprowadzona będzie identyfikacja prędkości krytycznych modelu maszyny wirującej Rotor-Kit. Prędkości krytyczne określane będą dla dwóch różnych konfiguracji układu przedstawionych na rys. 5.9 a i b. Poszczególne przypadki różnią się między sobą sztywnością, która została zmieniona poprzez zmianę położenia podpór. Po uruchomieniu układu Rotor-Kit w trybie pracy SLOW-ROLL należy uruchomić system ADRE i uaktywnić opcję akwizycji ciągłej. Do analizy zostaną wykorzystane dwie opcje: wykres Bodeg o i wykres trajektorii. W celu rozpoczęcia eksperymentu należy przełączyć Rotor-Kit w tryb pracy RUMPUP, w trakcie którego maszyna zwiększa swoją prędkość obrotową aż do zadanej prędkości granicznej równej 4000 obr/min. W trakcie podjazdu należy śledzić zmianę amplitudy drgań oraz zmianę kąta fazowego. Po ustaleniu się prędkości obrotowej na poziomie 4000 obr/min należy przełączyć Rotor-Kit w tryb pracy RUMPDOWN, w trakcie którego maszyna zmniejsza swoją prędkość obrotową. płaszczyzna korekcji wirnik czujnik L Rys. 5.9. Konfiguracja układu Rotor-Kit a) L = 500 mm b) L = 300 mm 69
Po zakończeniu wybiegu kiedy prędkość obrotowa spadnie do poziomu ok. 200 obr/min. należ zatrzymać akwizycję prowadzoną przez system ADRE. Z wykresu Bodeg o należy odczytać: - prędkość krytyczną oraz wartość amplitudy i kąta fazowego dla trybu pracy - uruchomienie - prędkość krytyczną oraz wartość amplitudy i kąta fazowego dla trybu pracy wybieg - przyrost amplitudy i zmianę kąta fazowego przy przejściu przez rezonans Z wykresu Bodeg o należy odczytać: - wartości częstotliwości dla punktu (-3 db) i z wzoru (5.4) policzyć współczynnik wzmocnienia Q, - wartości amplitudy drgań w rezonansie Xr oraz amplitudy drgań X 0 leżącej daleko poza obszarem rezonansu i z wzoru (5.8) policzyć współczynnik wzmocnienia Q, Z wykresu trajektorii dla trzech faz: przed, w i poza rezonansem: - odczytać maksymalne przemieszczenie wału - oszacować zmianę kąta nachylenia trajektorii Z wzoru analitycznego należy policzyć prędkość krytyczną mając następujące dane: - masa tarczy 800 g - średnica wałka 10 mm - odstęp pomiędzy podporami 500 mm - moduł Younga dla stali E = 2.16*10 11 N/m 2 Wydrukować wykres Bodeg o i wykresy trajektorii Zmienić konfigurację Rotor-Kit a zgodnie z rysunkiem 5.9.b i powtórzyć procedurę pomiarową. Literatura: 1. Mitchell J.S.: An introduction to machinery analysis and monitoring Penn Well Books, 1993 2. Morel J.: Drgania maszyn i diagnostyka ich stanu technicznego PTDT, 1992 3. Łączkowski R.: Drgania elementów turbin cieplnych. WNT Warszawa, 1974 4. Eisemmann R., Eisemmann R.: Machinery malfunction diagnosis and correction, Hewlett Packard Company, 1998 5. Elsner W., Piątkowski J.: Instrukcja obsługi układu Rotor Kit oraz systemu ADRE, Opracowanie wew. Instytut Maszyn Cieplnych PCz, 2001 70