Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku

Rozdział 1 Kombinatoryka 11 Ci agi Zastanówmy siȩ, ile ci agów długości można utworzyć z elementów zbioru zawieraj acego symboli Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elementy: to można utworzyć dwa ci agi długości jeden: cztery ci agi długości dwa: Aby uzyskać ci agi długości trzy, postȩpujemy w nastȩpuj acy sposób: bierzemy cztery ci agi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na pocz atku Otrzymujemy w ten sposób komplet: Zauważmy, że s a to wszystkie ci agi długości trzy z pierwsz a liter a Potem do tych samych czterech ci agów długości dwa dopisujemy na pocz atku symbol i otrzymujemy komplet: Komplety te s a rozł aczne i oba zawieraj a różne ci agi Razem tworz a zbiór wszystkich ci agów długości trzy: Postȩpuj ac podobnie, możemy otrzymać szesnaście ci agów długości cztery 3

4 Rozdział 1 Kombinatoryka Twierdzenie 11 Liczba ci agów długości o elementach ze zbioru wynosi Dowód przez indukcjȩ Jak już pokazano, s a dwa ci agi długości jeden Załóżmy teraz, że liczba ci agów długości wynosi i zauważmy, że wszystkich ci agów długości jest dwa razy wiȩcej Jest ci agów z pierwszym elementem i ci agów z pierwszym elementem Razem mamy ci agów długości Jeżeli zbiór symboli zawiera elementów, to powtarzaj ac powyższe rozumowanie, możemy siȩ przekonać, że istnieje ci agów długości jeden, ci agów długości dwa i ogólnie ci agów długości jest razy wiȩcej niż ci agów długości Zachodzi zatem twierdzenie Twierdzenie 12 Liczba ci agów długości o elementach ze zbioru -elementowego wynosi 12 Funkcje Policzmy teraz, ile jest funkcji ze zbioru w zbiór Przypuśćmy, że zbiór zawiera elementów: Każd a funkcjȩ z w można przedstawić jako ci ag Ci ag ten jest długości, a jego elementy s a wziȩte ze zbioru Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ci ag, i na odwrót, każdy ci ag opisuje jedn a funkcjȩ Mianowicie funkcjȩ, która dla każdego przypisuje wartość Przykład 13 Jeżeli a to ci ag składa siȩ z trzech elementów: składa siȩ z czterech elementów: # '&( )# opisuje funkcjȩ stał a (która w całej swojej dziedzinie przyjmuje wartość ), a ci ag '( opisuje funkcjȩ, która przyjmuje nastȩpuj ace wartości: * &

13 Ci agi bez powtórzeń 5 Z powyższego wynika, że funkcji ze zbioru w zbiór jest tyle samo co ci agów długości z elementami ze zbioru Udowodniliśmy wiȩc poniższe twierdzenie Twierdzenie 14 Jeżeli zbiór zawiera elementów, a zbiór zawiera elementów, to liczba funkcji ze zbioru w zbiór wynosi 13 Ci agi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ci agów bez powtórzeń, czyli ci agów różnowartościowych Jeżeli elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego to możemy utworzyć trzy ci agi jednoelementowe: sześć różnowartościowych ci agów dwuelementowych: ' oraz sześć ci agów trójelementowych: ' ' ' ' Nie ma, oczywiście, dłuższych ci agów różnowartościowych utworzonych z elementów zbioru '( Twierdzenie 15 Jeżeli elementy wybieramy ze zbioru -elementowego, to liczba ci agów -elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi: * W tym wyrażeniu mamy iloczyn na kolejnych liczb, poczynaj ac od, a kończ ac Dowód Jeżeli budujemy ci ag bez powtórzeń, to na pierwszy element ci agu możemy wybrać każdy z elementów zbioru, na drug a pozycjȩ w ci agu możemy wybrać już tylko jeden z elementów (wszystkie poza tym, który został wybrany na pierwszy element ci agu) i tak dalej, na każd a kolejn a pozycjȩ mamy o jeden element do wyboru mniej Zauważmy, że jeżeli, to:, co jest zgodne z tym, że w takim przypadku nie można utworzyć żadnego -elementowego ci agu bez powtórzeń z elementami ze zbioru

& & 6 Rozdział 1 Kombinatoryka 14 Permutacje Permutacje to ci agi bez powtórzeń długości, wybierane ze zbioru -elementowego Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: oraz sześć permutacji trzyelementowych: ' ' Zgodnie z twierdzeniem?? liczba permutacji w zbiorze czyli jest równa Funkcja silnia określona jest dla Dodatkowo przyjmujemy Mamy więc Wartości funkcji silnia szybko rosn a, na przykład: w nastȩpuj acy sposób: Dla przybliżonego obliczania silni korzysta siȩ ze wzoru Stirlinga: Dla każdego zachodz a również nastȩpuj ace oszacowania: -elementowym wynosi: & & # * & (11) (12) Dowody wzoru Stirlinga oraz powyższych oszacowań wychodz a poza zakres tego podrȩcznika Czasami używa siȩ innej definicji permutacji Mianowicie permutacja -elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru na ten sam zbiór Na oznaczenie permutacji używa siȩ zapisu: Przykład 16 Permutacja: & & ' jest funkcj a, która przyjmuje nastȩpuj ace wartości: & &

& 15 Podzbiory 7 i określone jest wzorem: Dwie permutacje -elementowe można składać tak, jak składa siȩ funkcje Złożenie permutacji Na przykład: & & & & &' Zbiór wszystkich permutacji na zbiorze z działaniem złożenia ma nastȩpuj ace własności: Złożenie permutacji jest ł aczne To znaczy, dla każdych trzech permutacji,, : Wśród permutacji istnieje identyczność, czyli permutacja, która każdemu z dziedziny przypisuje wartość Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji : Dla każdej permutacji istnieje permutacja odwrotna (funkcja odwrotna), spełniaj aca warunek: Powyższe zależności oznaczaj a, że zbiór wszystkich permutacji na zbiorze działaniem składania permutacji stanowi grupȩ 15 Podzbiory z Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór siȩ z trzech elementów: -elementowy Jeżeli zbiór składa to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory: Tych podzbiorów jest osiem Każdy zbiór trzyelementowy posiada osiem podzbiorów, ponieważ nie ma znaczenia, jak nazywaj a siȩ elementy zbioru Zbiór pusty ma tylko jeden podzbiór: zbiór pusty Jeżeli zbiór zawiera jeden element, to ma dwa podzbiory:

8 Rozdział 1 Kombinatoryka a jeżeli zbiór zawiera dwa elementy Rozważmy teraz ogólnie podzbiory zbioru, to ma cztery podzbiory: ' Z każdym podzbiorem jest zwi azana jego funkcja charakterystyczna, określona nastȩpuj acym wzorem: Dziedzin a funkcji jest zbiór, a przeciwdziedzin a zbiór Zauważmy, że każdemu podzbiorowi odpowiada jedna funkcja charakterystyczna, i na odwrót, jeżeli weźmiemy dowoln a funkcjȩ: to wyznacza ona zbiór: Przykład 17 Dla funkcja charakterystyczna zbioru ' jest opisana przez ci ag, a ci ag opisuje funkcjȩ charakterystyczn a zbioru: '&( Z powyższych rozważań wynika, że liczba podzbiorów zbioru -elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru w zbiór Czyli na podstawie twierdzenia?? mamy twierdzenie poniższe Twierdzenie 18 Każdy zbiór -elementowy ma podzbiorów 16 Podzbiory -elementowe Zastanówmy siȩ teraz nad podzbiorami określonej mocy Mówimy, że zbiór jest mocy, jeżeli zawiera elementów Dla zbioru czteroelementowego & mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe: sześć podzbiorów dwuelementowych: &( & & '&(

16 Podzbiory -elementowe 9 cztery podzbiory trzyelementowe: '( i jeden podzbiór czteroelementowy: '&( ' &( ' '&( ' & Liczbȩ podzbiorów -elementowych zbioru -elementowego oznacza siȩ przez Jest to tak zwany symbol Newtona Inaczej, jest równe liczbie sposobów na jakie można wybrać elementów ze zbioru elementowego Właśnie pokazaliśmy, że: & & & & & & & & Z definicji wynika, że jeżeli, to Zachodz a dwa wzory: (13) (14) Wzór (??) bierze siȩ z prostej obserwacji, że wybranie elementów, które należ a do podzbioru, jest równoważne wybraniu elementów, które do nie należ a Aby uzasadnić równość (??), rozważmy -elementowe podzbiory zbioru Policzmy osobno te podzbiory, które zawieraj a element, i osobno te, które go nie zawieraj a Podzbiorów nie zawieraj acych jest, bo wszystkie elementów trzeba wybrać ze zbioru Podzbiorów zawieraj acych jest, bo elementów trzeba wybrać ze zbioru Razem wszystkich -elementowych podzbiorów zbioru jest Korzystaj ac z równości (??), możemy obliczać symbole Newtona rekurencyjnie Najpierw mamy, ponieważ jest jeden zeroelementowy (pusty) podzbiór zbioru zeroelementowego (pustego) Jeżeli mamy już policzone symbole Newtona dla, to możemy liczyć, ile jest podzbiorów zbioru -elementowego Zaczynamy od oraz, a nastȩpnie korzystamy z równania (??) Metodȩ tȩ ilustruje tak zwany trójk at Pascala: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

10 Rozdział 1 Kombinatoryka W -tym wierszu (wiersze numerowane s a od ) znajduj a siȩ symbole Newtona: Na skraju znajduj a siȩ jedynki, ponieważ -ty element w -tym wierszu dla jest sum a dwóch elementów stoj acych bezpośrednio nad nim: Jeżeli, to symbol Newtona można też obliczyć ze wzoru: * (15) lub (16) Oto uzasadnienie wzoru (??): Aby wybrać podzbiór -elementowy ze zbioru, wybieramy -elementowy ci ag bez powtórzeń i bierzemy do podzbioru elementy tego ci agu ignoruj ac ich kolejność Ponieważ każdemu -elementowemu podzbiorowi odpowiada ci agów o tych samych elementach, wiȩc podzbiorów jest razy mniej niż -elementowych ci agów bez powtórzeń Wzór (??) wynika teraz z twierdzenia??, a wzór (??) bezpośrednio ze wzoru (??) Wzór (??) pozwala wyprowadzić oszacowania na wartość symbolu Newtona, dla : * * Ponieważ, jak łatwo sprawdzić dla każdego Korzystaj ac z nierówności wyprowadzonej ze wzoru Stirlinga (??), otrzymujemy górne ograniczenie: 17 Dwumian Newtona Symbole Newtona wystȩpuj a w znanym twierdzeniu Newtona Twierdzenie 19 (dwumian Newtona) Dla każdej liczby rzeczywistej oraz liczby całkowitej zachodzi:

Pierwszy dowód wielomianu stoj acy przy ' Rozważmy iloczyn: 17 Dwumian Newtona 11 jest wielomianem stopnia Policzmy współczynnik tego razy Przy rozwijaniu tego wyrażenia wybieramy z każdego czynnika lub, potem wymnażamy wybrane elementy i sumujemy tak utworzone iloczyny W iloczynie otrzymamy wtedy, gdy wybierzemy razy oraz wybierzemy razy Można to zrobić na sposobów, tak wiȩc współczynnik przy wynosi Drugi dowód przez indukcjȩ Wzór jest oczywisty dla Załóżmy teraz, że jest prawdziwy dla Mamy: Współczynnik przy ' po prawej stronie wynosi: Pierwszy składnik pochodzi od iloczynu: wzoru (??) wynika, że współczynnik przy wynosi, a drugi od iloczynu: Jeżeli do wzoru Newtona podstawimy, a potem pomnożymy obie strony przez to otrzymamy inn a znan a wersjȩ wzoru Newtona Wniosek 110 Dla dowolnych liczb rzeczywistych i i dowolnej liczby całkowitej : Jeżeli podstawimy do wzoru z twierdzenia??, to otrzymamy: Ze, co potwierdza jeszcze raz, że wszystkich podzbiorów zbioru -elementowego jest Zobaczymy teraz, że wśród wszystkich podzbiorów zbioru jest tyle samo podzbiorów mocy parzystej (o parzystej liczbie elementów) i podzbiorów mocy nieparzystej (o nieparzystej liczbie elementów) Twierdzenie 111 Dla każdego zbioru zawieraj acego elementów, liczba podzbiorów parzystej mocy jest równa liczbie podzbiorów nieparzystej mocy

12 Rozdział 1 Kombinatoryka Pierwszy dowód Jeżeli podstawimy do wzoru Newtona, to otrzymamy: Zauważmy, że w sumie po prawej stronie z plusem wystȩpuj a symbole Newtona dla parzystych, a z minusem dla nieparzystych Tak wiȩc z plusem mamy liczbȩ podzbiorów parzystej mocy, a z minusem liczbȩ podzbiorów nieparzystej mocy Z powyższego wzoru wynika, że podzbiorów parzystej mocy jest tyle samo co podzbiorów mocy nieparzystej Drugi dowód Rozważmy funkcjȩ, która każdemu podzbiorowi przyporz adkuje podzbiór czyli różnicȩ symetryczn a zbioru i zbioru jednoelementowego Zauważmy, że funkcja ł aczy podzbiory w pary, ponieważ jeżeli, to Rzeczywiście, jeżeli zawiera, to ) i * Jeżeli natomiast nie zawiera, to ) i również * Pozostaje zauważyć, że z pary zbiorów i jeden jest mocy parzystej i jeden nieparzystej 18 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szyfladkowa Dirichleta w najprostszej postaci mówi, że jeżeli mamy kul i chcemy je rozmieścić w szufladach, to w przynajmniej jednej szufladzie musi znaleźć się więcej niż jedna kula Zasada ta jest intuicyjnie bardzo prosta, ale jest często używana W nieco ogólniejszej postaci brzmi ona następująco: Twierdzenie 112 (Zasada szufladkowa Dirichleta) Jeżeli zbiór podzielimy na podzbiorów, to przynajmniej jeden z tych podzbiorów ma lub więcej elementów Dowód Nie wprost Przypuśćmy, że każdy z podzbiorów ma mniej niż elementów Wtedy cały zbiór ma mniej niż elementów; sprzeczność 19 Zasada sumy W najprostszej postaci zasada sumy, mówi że moc sumy dwóch zbiorów i jest równa

110 Zasada wł aczania i wył aczania 13 Wyobraźmy sobie, że obliczaj ac praw a stronȩ tej równości liczymy po kolei elementy zbioru i dla każdego elementu dodajemy do ogólnej sumy, nastȩpnie liczymy elementy zbiorów i dla każdego dodajemy, a na końcu liczymy elementy przekroju i dla każdego dodajemy Zastanówmy siȩ teraz jaki jest udział poszczególnych elementów w tak powstałej sumie Jeżeli jakiś element wystȩpuje tylko w lub tylko w, to jego udział wynosi 1 Ale także, jeżeli należy do obu zbiorów i to jego udział wynosi Dlatego na końcu wynik bȩdzie równy liczbie elementów, które należ a do jednego lub drugiego zbioru Przykład 113 Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2 lub 3 Niech oznacza zbiór liczb z tego przedziału podzielnych przez 2, a zbiór liczb podzielnych przez 3 Liczby podzielne przez 2 lub 3 tworz a zbiór Mamy oraz zawiera liczby podzielne przez 2 i 3, czyli podzielne przez 6 Ze wzoru na sumȩ otrzymujemy: Podobnie możemy uzasadnić wzór na sumȩ trzech zbiorów: Jeżeli zastosujemy podobne liczenie, to udział elementów, które należ a tylko do jednego zbioru, wynosi 1, tych, które należ a do dwóch (ale nie do trzech naraz), wynosi, a tych, które należ a do wszystkich trzech zbiorów, * * Przykład 114 Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2, 3, lub 5 Niech oznacza zbiór liczb podzielnych przez 2, zbiór liczb podzielnych przez 3, a podzielnych przez 5 Mamy,,,,,, Ze wzoru na sumȩ otrzymujemy: * Jak widać, tylko osiem liczb mniejszych od 30 nie jest podzielnych przez 2, 3 lub 5; s a to: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 W nastȩpnym podrozdziale pokażemy jak można obliczyć sumy dowolnej skończonej klasy zbiorów 110 Zasada wł aczania i wył aczania Zacznijmy od przykładu W grupie 100 studentów 45 uprawia koszykówkȩ, 53 pływanie, a 28 jedno i drugie Pytanie: ilu studentów nie uprawia ani koszykówki, ani pływania? Zadanie to można rozwi azać na palcach & studentów uprawia tylko koszykówkȩ, a studentów uprawia tylko pływanie Zatem

14 Rozdział 1 Kombinatoryka Rysunek 11: Diagram Venna pływanie 25 28 17 30 koszykówka studentów uprawia jeden z dwóch sportów, a nie uprawia ani koszykówki, ani pływania Na rysunku 11 zilustrowano ten przykład Jest to tak zwany diagram Venna Przypuśćmy teraz, że s a także studenci graj acy w szachy Graj acych w szachy jest 55 Takich, którzy graj a w koszykówkȩ i szachy, jest 32, takich, którzy graj a w szachy i pływaj a, jest 35, a takich, którzy uprawiaj a wszystkie trzy sporty, jest 20 To zadanie też można rozwi azać za pomoc a diagramu Venna (rysunek 12) Na przykład, 8 studentów uprawia koszykówkȩ i pływanie, ale nie gra w szachy, a 22 studentów nie uprawia żadnego sportu Zasada wł aczania i wył aczania pozwala rozwi azywać tego typu zadania bez diagramów Venna Niech bȩdzie naszym uniwersum, jego podzbiorami Dla każdego

110 Zasada wł aczania i wył aczania 15 Rysunek 12: Diagram Venna pływanie 22 10 15 8 20 5 12 8 szachy koszykówka podzbioru zbioru indeksów definiujemy zbiór: przyjmujemy przy tym W naszym przykładzie to zbiór wszystkich studentów, pływanie, a szachy: to uprawiaj acy koszykówkȩ i pływanie, to uprawiaj acy pływanie i szachy, to uprawiaj acy koszykówkȩ i szachy, to uprawiaj acy wszystkie trzy sporty to uprawiaj acy koszykówkȩ,

16 Rozdział 1 Kombinatoryka, któ- Twierdzenie 115 (zasada wł aczania i wył aczania) Liczba elementów uniwersum re nie należ a do żadnego podzbioru, wynosi: Sumujemy tutaj po wszystkich podzbiorach zbioru (17) Dowód Podobnie jak w poprzednim podrozdziale, żeby obliczyć sumȩ (??), liczymy elementy poszczególnych zbiorów, i dla każdego elementu dodajemy do sumy (, gdy jest parzyste, lub, gdy jest nieparzyste) Udział pojedynczego elementu w tak utwirzonej sumie wynosi czyli jest równy sumie współczynników których dla tych podzbiorów, dla Jeżeli nie należy do żadnego z podzbiorów, to jest liczony tylko raz, w zbiorze, i jego udział w sumie (??) wynosi 1 Przypuśćmy teraz, że należy do jakiś podzbiorów i niech czyli to indeksy tych podzbiorów, które zawieraj a Zauważmy teraz, że wtedy i tylko wtedy, gdy Rzeczywiście wtedy i tylko wtedy, gdy, dla każdego, czyli gdy Tak wiȩc udział elementu w sumie (??) wynosi: Jest to suma po wszystkich podzbiorach zbioru Uporz adkujmy teraz składniki tej sumy według mocy podzbiorów i niech Mamy podzbiorów mocy, wiȩc: Przedostatnia równość wynika ze wzoru Newtona Tak wiȩc wkłady elementów, które nie należ a do żadnego, wynosz a po 1, a wkłady tych elementów, które należ a do jakiegoś, wynosz a po 0 A zatem suma (??) zlicza elementy nie należ ace do żadnego Stosuj ac zasadȩ wł aczania i wył aczania do przykładu ze studentami możemy teraz policzyć studentów, którzy nie uprawiaj a żadnego sportu: &

Aby policzyć moc sumy zbiorów 111 Przestawienia 17 możemy wykorzystać wzór (??), przy założeniu, że Twierdzenie 116 111 Przestawienia Mamy wtedy Przestawieniem bȩdziemy nazywać permutacjȩ bez punktu stałego, czyli tak a permutacjȩ, w której żaden element nie stoi na swoim miejscu Wykorzystamy teraz zasadȩ wł aczania i wył aczania, do policzenia liczby przestawień w zbiorze -elementowym Twierdzenie 117 Liczba przestawień (permutacji bez punktów stałych) w zbiorze - elementowym wynosi: Dowód Niech bȩdzie zbiorem wszystkich permutacji zbiorze, a zbiorem permutacji, w których jest punktem stałym, to znaczy * Moc zbioru wynosi: ponieważ w zbiorze s a te permutacje, które permutuj a wszystkie elementów oprócz -tego Podobnie moc zbioru wynosi: bo teraz w permutujemy elementów, wszystkie oprócz tych, które należ a do Permutacje bez punktów stałych to te permutacje, które nie należ a do żadnego ze zbiorów Z zasady wł aczania i wył aczania ich liczba wynosi: Pogrupujmy teraz składniki według mocy zbiorów Mamy podzbiorów mocy Dla każdego z nich składnik sumy wynosi, tak wiȩc liczba przestawień wynosi:

18 Rozdział 1 Kombinatoryka Twierdzenie wynika teraz z równości: 112 Generowanie obiektów kombinatorycznych W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami generującymi (wypisuj acymi) obiekty kombinatoryczne Przedstawione algorytmy bȩd a działaly według nastȩpuj acego schematu: Wypisujemy pierwszy obiekt Powtarzamy, aż do napotkania ostatniego obiektu: Przetwarzamy bież acy obiekt tak, aby otrzymać nastȩpny obiekt Takie algorytmy maj a t a zaletȩ, że nie wymagaj a dużo pamiȩci Należy tylko pamiȩtać jeden obiekt Algorytmy generuj ace obiekty s a używane w przypadku, gdy chcemy sprawdzić wszystkie obiekty danej klasy lub wtedy, gdy chcemy wylosować obiekt danej klasy Przypuśćmy, na przykład, że chcemy wylosować jakiś 3 elementowy podzbiór zbioru W tym celu losujemy liczbȩ naturaln a od 1 do, a nastȩpnie generujujemy podzbiory, aż do elementu 1121 Generowanie podzbiorów Zaczniemy od najprostszego przypadku wypisania wszystkich podzbiorów zbioru Algorytm wypisuj acy wszystkie podzbiory zbioru : Pierwszy podzbiór: by uzyskać nastȩpny po Jeżeli takiego nie ma, to koniec algorytmu, zbiór jest ostatnim podzbiorem podzbiór: Wskazujemy na najwiȩkszy element nie należ acy do, czyli W przeciwnym przypadku dodajemy do i usuwamy z wszystkie elementy wiȩksze od Przykład 118 Dla,, ',, powyższy algorytm wypisze po kolei nastȩpuj ace zbiory:,,, '(

& 112 Generowanie obiektów kombinatorycznych 19 Zauważmy, że funkcje charakterystyczne wypisywanych podzbiorów, traktowane jako binarny zapis liczb, tworz a ci ag kolejnych liczb od 0 do Szukaj ac nastȩpnego z kolei elemenetu algorytm postȩpuje podobnie jak algorytm zwiȩkszania o jeden liczby w systemie dwójkowym 1122 Generowanie -elementowych podzbiorów Algorytm generuj acy elementowe podzbiory zbioru : Pierwszy -podzbiór to i jest to ostatni wyge- Przypuśćmy, że ostatnio wygenerowany podzbiór, to Aby wygenerować nastȩpny podzbiór: znajdujemy najmniejsze takie, że ; jeżeli, to znaczy, że ) nerowany podzbiór, gdzie jeżeli, to zwiȩkszamy o jeden, a elementy mniejsze od zamieniamy na najmniejszych liczb, to znaczy dla Dla i algorytm wypisze po kolei nastȩpuj ace podzbiory (podajemy je bez nawiasów i przecinków) & & & & & & & & Zauważmy,że najpierw wypisywane s a 4-podzbiory niezawieraj ace 6: & & & & & '& a później 4-podzbiory zawieraj ace 6 & & & & & '& które otrzymywane s a w ten sposób, że do kolejnych 3-podzbiorów zbioru dopisywana jest 6 Jest to ogólna zasada działania tego algorytmu: aby wypisać -podzbiory zbioru algorytm najpierw wypisuje podzbiory zbioru, a nastȩpnie podzbiory zawieraj ace element (s a one otrzymywane przez dodawanie do podzbiorów zbioru ) W powyższym przykładzie wśrod podzbiorów zawieraj acych 6 najpierw mamy te, które s a utworzone z 3-podzbiorów ' & z dopisan a 6: & & & a po nich nastȩpuj a te, które s a utworzone z 2-podzbiorów ' &(, z dopisan a 5 i 6: & & ' &

20 Rozdział 1 Kombinatoryka Dlatego, kiedy w bierz acym zbiorze algorytm znalazł takie, że, to znaczy, że algorytm jest w trakcie wypisywania tych podzbiorów, które zawieraj a (wszystkie wiȩksze od ), plus jakiś -podzbiór zbioru Zbiór jest ostatnim podzbiorem, w którym wystȩpuj a, oraz jakiś -podzbiór zbioru, a nie wystȩpuje Według opisanej wyżej zasady teraz powinny nast apić podzbiory, które zawieraj a plus jakiś -podzbiór zbioru, plus elementy Pierwszy z nich to podzbiór I taki element jest wypisywany po zbiorze 1123 Generowanie permutacji Algorytm generowania permutacji zbioru Pierwsza permutacja to *, dla Aby wypisać nastȩpn a po : permutacjȩ: Znajdujemy najwiȩksze spełniaj ace warunek jeżeli takiego nie ma, to bierz aca permutacja jest ostatnia, jeżeli takie istnieje, to zamieniamy z najmniejszym takim, że oraz, a nastȩpnie odwracamy porz adek elementów Alorytm wypisuje permutacje w porz adku rosn acym, jeżeli potraktujemy permutacje jako liczby zapisane z baz a, a liczby jako cyfry w tym systemie Na przykład przypuśćmy, że bierz ac a permutacj a jest & Algorytm znajduje i Wtedy ta permutacja jest ostatni a (najwiȩksz a) permutacj a spośród permutacji zaczynaj acych siȩ od &, bo od pozycji trzeciej mamy ci ag malej acy i jest to najwiȩkszy ci ag jaki można utworzyć z elementów 1,2,5,6 Teraz powinny nast apić permutacje zaczynaj ace siȩ od & (czwórki na pierwszym miejscu nie zmieniamy, a trójka na drugim miejscu powinna być zamieniona przez nastȩpn a spośrod liczb stoj acych za ni a, czyli przez 5) Pierwsz a tak a permutacj a jest ta, w której pozostałe elementy rosn a, czyli & Przykład 119 Oto 10 pierwszych permutacji czteroelementowych & & & & & & & & & & & & 113 Zadania 1 Ile numerów rejestracyjnych samochodów można utworzyć, jeżeli każdy numer składa siȩ z trzech liter i czterech cyfr? Ile numerów rejestracyjnych można utworzyć, jeżeli bȩdziemy dodatkowo wymagać, aby każdy numer zaczynał siȩ od spółgłoski?

113 Zadania 21 2 Ile liczb trzycyfrowych zawiera cyfrę & lub? 3 W grupie jest piȩć dziewcz at i piȩciu chłopców Na ile sposobów można wybrać podgrupȩ składaj ac a siȩ z dwóch dziewcz at i dwóch chłopców? Na ile sposobów można utworzyć w tej grupie piȩć par, z jednym chłopcem i jedn a dziewczyn a w każdej parze? 4 Znana jest zabawka dla dzieci składaj aca siȩ z dwunastu sześciennych klocków z naklejonymi na ściankach fragmentami obrazków Na ile sposobów można ułożyć te klocki w prostok at (trzy rzȩdy po cztery klocki w rzȩdzie)? 5 Ile słów można utworzyć z liter słowa ULICA (litery nie mog a siȩ powtarzać)? 6 Udowodnij wzór: Wskazówka Policz na dwa różne sposoby, ile -elementowych drużyn z kapitanem można utworzyć ze zbioru sportowców 7 Udowodnij wzór: Wskazówka Policz na dwa różne sposoby, ile -elementowych grup można utworzyć w klasie złożonej z chłopców i dziewcz at 8 Udowodnij, że jest najwiȩksze dla i 9 Udowodnij, że: 10 Rozwiń wielomian 11 Udowodnij, że 12 Przedstaw wzór na sumȩ czterech zbiorów,, i 13 Ile elementów zawiera różnica symetryczna? 14 Wyznacz liczbȩ elementów,, oraz, wiedz ac, że oraz 15 Oblicz ile liczb mniejszych od 100 jest podzielnych przez 2, 3 lub 5,,

22 Rozdział 1 Kombinatoryka 16 Oblicz ile liczb mniejszych od 100 nie jest podzielnych przez 2, 3, 5 lub 7 Udowodnij, że wszystkie te liczby oprócz 1 s a pierwsze Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 100? 17 Wypisz wszystkie podzbiory zbioru ' & 18 Wypisz wszystkie 2 elementowe podzbiory zbioru 19 Wypisz 14 kolejnych permutacji zbioru 456321 '& ' '& poczynaj ac od permutacji 20 Napisz programy realizuj ace opisane w tym rozdziale algorytmy generowania obiektów kombinatorycznych 114 Problemy 1141 Rozmieszczanie przedmiotów w pudełkach Przypuśćmy, że mamy sposobów rożłożenia tych kul do nierozróżnialnych kul Udowodnij, że istnieje rozróżnialnych pudełek Wskazówka Każde rozmieszczenia kul w pudełkach może być przedstawione jako ciąg zer i jedynek długosci, w którym występuje dokładnie jedynek Zera symbolizują kule a jedynki przegrody pomiędzy pudełkami Na przykład ciąg przedstawia rozłożenie pięciu kul do czterech pudełek, w których pierwsze pudełko zawiera dwie kule, drugie jest puste, trzecie zawiera jedną kule, a czwarte dwie kule 1142 Wybór przedmiotów rozróżnialnych typów Wyobraźmy sobie, że mamy przedmioty w różnych typach, że liczba przedmiotów każdego typu jest nieograniczona i że przedmioty jednego typu są nierozróżnialne Zastanówmy się na ile sposobów można wybrać przedmiotów spośród tych typów, przy założeniu, że dopuszczalne są powtórzenia typów Pokaż, że można to zrobić na sposobów Na ile sposobów można wybrać 5 monet jeżeli mamy nieograniczone zapsy złotówek, dwuzłotówek i pięciozłotówek? Wskazówka Wybory przedmiotów typów są równoważne rozkładaniu nierozróżnialnych kul do szuflad Włożenie kuli do -tej szuflady oznacza, że jest ona tego typu

114 Problemy 23 1143 Kombinacje z powtórzeniami -elementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru -elementowego s a to -elementowe wybory elementów zbioru -elementowego, w których elementy mog a siȩ powtarzać i w których nie jest istotna kolejność wybieranych elementów Na przykład, mamy cztery trzyelementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru dwuelementowego ; oto one:,,, Udowodnij, że liczba -elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru - elementowego wynosi 1144 Permutacje z powtórzeniami Przypuśćmy, że mamy przedmiotów różnych typów oraz, że przedmiotów typu jest Rozważmy ustawienia wszystkich tych przedmiotów w ciąg Przy tym dwa ustawienia są rozróżnialne tylko, jeżeli na jakiejś pozycji mają przedmioty różnych typów Pokaż, że takich rozróżnialnych ustawień jest Ile słów można utworzyć z liter słowa MATMA (litery M i A mog a wyst apić po dwa razy)? 1145 Podziały uporzadkowane Mamy elementówy zbiór i liczby elementy zbioru można na takie, że sposoby podzielić na podzbiorów, takich, że tym, że kolejność podzbiorów jest istotna Na ile sposobów można rozdać 52 kartry na cztery osoby? 1146 Permutacje bez punktów stałych Pokaż, że Zakładamy przy Udowodnij, że liczba przestawień (permutacji bez punktów stałych) w zbiorze -elementowym jest równa zaokr agleniu liczby do najbliższej liczby naturalnej; jest podstaw a logarytmu naturalnego Wskazówka Skorzystaj z twierdzenia??, z rozwiniȩcia:

24 Rozdział 1 Kombinatoryka oraz z oszacowania: * 1147 Liczba surjekcji Udowodnij, że liczba surjekcji (funkcji na cał a przeciwdziedzinȩ) ze zbioru -elementowego na zbiór -elementowy wynosi: Wskazówka Skorzystaj z zasady wł aczania i wył aczania dla zbioru wszystkich funkcji ze zbioru w zbiór Zbiór to funkcje, które nie maj a elementu w obrazie