Wykład 2 Elemey ayyk. Sayyka opowa.. Słowk podawowych poęć: Populaca geerala-zborowość poddawaa ayyczemu badau (p. klec ec elekomukacyych, elefoy określoe mark, rozmowy elefocze) Cecha-właość elemeów populac geerale (p. cza korzyaa z ec a daym obzarze, lczba przedaych elefoów dae mark w różych meącach daego roku, paramery echologcze produkowaych urządzeń, lczba uerek p.) Cecha loścowa-wyraża ę ą lczbowo (lość przedaych elefoów dae mark, lość uerek, długość rozmów, lość pobrań plku p. ) Cecha akoścowa-ruda lub emożlwa do zmerzea (p. wykzałcee kleów, mece zamezkaa, kolor obudowy elefoów, p.) Cecha kokowa-welkość cechy może być wyrażoa przez kończoą lczbę waraów (p. lość kleów, lczba weść a roę, p.). Cecha cągła-welkość cechy wyrażoa przez elemey pochodzące z przedzału lczbowego (p. cza doępu do formac, maa, aężee prądu p.) Próba (próbka)-podzbór populac geerale orzymay drogą loowaa (zależego, ezależego). Loowae zależe-każdy eleme może być wylooway co awyże ede raz. Loowae ezależe-każdy eleme populac geerale może być wylooway welokroe.
Ozaczee próby:, 2, 3,..., - lczość (lczebość) próby mała próba ( 30) duża próba (>30) Wępe opracowae daych. Szereg ayycze: Szereg pozycyy dla małe próbyuporządkowuemy dae w cąg emaleący. ) (2) (3) ( ) ( ) (... Szereg pukowy dla duże próby- wyodrębamy welokroe powarzaące ę welkośc. 2... k 2... k Przykład: W dzale korol akośc bada ę lczbę uerek w wyloowaym wyrobe. W cągu 00 d było: 25 d brak uerek 35 d- uerka,
25 d-2 uerk, 0 d-3 uerk, 5 d-4 uerk Lczba Lczba d uerek 0 25 35 2 25 3 0 4 5 Szereg rozdzelczy dla duże, zróżcowae próby 0 Rozęp: R= ma - m 2 0 Lczba kla: k lub k 3 4 3 0 Długość klay: l=r/k klay lczość klay m ( m +l) ( m +l) ( m +2 l) 2...... ( ma -l) ma k razem
Przykład. Neak J. M. Pawlak zebrał formace a ema czau, ak upłyął od odazdu oaego pocągu mera do momeu weśca a pero ( w ekudach): 0,20,20,30,30,30,30,50,60,70,80,80,80,90,00,0,0,0, 20,30,30,30,40,50,50,50,65,70,70,70,90, 200,200,200,200,20,20,20,220,220,220,230,230,230,240, 250,250,250,250,250,260,260,270,270,270,280 =56 Uporządkować dae w zereg rozdzelczy. R=280, k=7, l=40 Nr klay Klaa lczość 0-40 7 2 40-80 6 3 80-20 6 4 20-60 7 5 60-200 9 6 200-240 0 7 240-280 razem 56 Charakeryyk lczbowe z próby. Mary pozycye: Średa z próby:
k k 30, Uwaga: o środek -e klay Mary rozprozea: Waraca z próby: k k 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 30, ) ( Odchylee adardowe z próby- perwaek kwadraowy z warac z próby oz. Wpółczyk zmeośc: 00% v
Grafcze przedawee daych- hogram lczośc. 35 25 0 0 25 35 2 25 3 0 4 5 5 2 3 4 4 Lczba ob. 2 0 8 6 4 klay lczość 0,0-,8 3,8-3,6 0 3,6-5,4 8 5,4-7,2 7 7,2-9,0 2 2 0 0,0,8 3,6 5,4 7,2 9,0 Zm
Przykład. Oblczyć charakeryyk lczbowe dla zeregów ayyczych: a)3,5,6,6,7,8,8,9,9,9 średa: waraca: 2 = + odchylee adardowe:,9 wpółczyk zmeośc: v= b) Lczba uerek Lczba d ( - 0 25 0 25 35 35 0 2 25 50 25 3 0 30 40 4 5 20 45 razem 00 35 35 2 =,35 2 =,35 v= %
c) Nr klay Klaa lczość Środek klay 0-40 7 20 40 29472 2 40-80 6 60 360 55296 3 80-20 6 00 600 886 4 20-60 7 40 980 792 5 60-200 9 80 620 584 6 200-240 0 220 2200 40960 7 240-280 260 2860 8976 razem 56 8760 370496 v= Wokowae ayycze. Warośc każde cechy elemeów ależących do populac geerale możemy rozważać ako warośc pewe zmee loowe. Gdy mówmy o zmee loowe o myślmy zwykle o e rozkładze prawdopodobeńwa.
W ayyce mówmy króko, że rozważaa populaca ma rozkład prawdopodobeńwa. Z kole eśl z populac poberamy próbę - elemeową o warośc, 2,, przedawaą układ pewych lczb rzeczywych. Jeśl próbę będzemy uważać za edą ze wzykch możlwych prób o, 2,, możemy uzać za zmee loowe ( bo przy każdym wyborze próby przyberaą oe róże warośc) o edakowych rozkładach. Sąd ozaczymy e X, X 2,, X. Wówcza dowola fukcę ych zmeych loowych azywamy ayyką. Je o węc zmea loowa będąca fukcą z próby ma określoy rozkład. Nazywamy go króko rozkładem z próby. Zaomość rozkładów ayyk odgrywa bardzo waża rolę we wokowau ayyczym. Rozkłady z próby.. Rozkład średe arymeycze Z populac o rozkładze ormalym louemy elemeową próbę przez X, X 2,, X ozaczamy kolee wyk w próbe, będące zmeym loowym. Sayyka. średa arymeycza ma rozkład. Woek:
Średa arymeycza podlega meze zmeośc ż poedycze wyk zmeość a malee wraz ze wzroem lczebośc próby. 2. Rozkład ch-kwadra Z populac o rozkładze ormalym louemy elemeową próbę przez X, X 2,, X ozaczamy kolee wyk w próbe, będące zmeym loowym. Sayyka gdze ma rozkład zway rozkładem ch-kwadra o - opach wobody. Gęość ma dość komplkoway wzór. Wykre przymue róży kzał w zależośc od lczby op wobody. W zaoowaach ayyczych korzyamy z prawdopodobeńw poac: przy dae welkośc określoe lczbe op wobody:
Warośc dla r=,2,,30 dla ekórych warośc zoały ablcowae (podobe ak dyrybuaa rozkładu ormalego). (ablca z kążk S. Oaewcz, Z. Ruak, U. Sedlecka, Sayyka. Elemey eor zadaa.)
3. Rozkład -Sudea. Z populac o rozkładze ormalym louemy elemeową próbę przez X, X 2,, X ozaczamy kolee wyk w próbe, będące zmeym loowym. Sayyka gdze zwaa ayyką Sudea ma rozkład Sudea o - opach wobody. Kzał fukc gęośc e zblżoy do gęośc rozkładu ormalego. W prakyce korzyamy z prawdopodobeńwa - - Welkośc e ą ablcowae dla określoe lczby op wobody ekórych welkośc. (ablca z kążk S. Oaewcz, Z. Ruak, U. Sedlecka, Sayyka. Elemey eor zadaa.)
Eymaca paramerów. Jedym z główych zagadeń wokowaa ayyczego e eymaca (ozacowae). Eymaca polega a zacowau warośc paramerów bądź poac rozkładu populac a podawe próby. Eymaca może być: a) paramerycza, gdy a podawe próby chcemy ozacować ede lub klka paramerów populac, kóre rozkład e zay; b) eparamerycza, gdy e e zaa poać dyrybuay rozkładu populac. Jeśl warość parameru ( ezaą) możemy ozacować edą lczbą odpowadaącą przypuzczale warośc parameru o mówmy o eymac pukowe. W eymac pukowe do ozacowaa parameru poługuemy ę odpowedą ayykę Z będącą fukcą zmeych loowych X, X 2,, X - elemeowe próby. Sayykę Z łużącą do ozacowaa ezaego parameru azywamy eymaorem. Je warość z odpowadaącą realzac próby, 2,, azywamy oceą parameru. Oceę ę przymuemy ako ozacowae (z warośc) parameru. Eymaor e węc zmeą loową, a ocea o kokrea lczba odpowadaąca dae realzac próby. Naarzą meodą pukowego zacowaa ezaego parameru e zw. meoda momeów. Polega oa a zacowau paramerów przez odpowede charakeryyk z próby. I ak:
Eymaorem warośc oczekwae e średa z próby: Eymaorem warac e waraca z próby Trzeba zauważyć, że dla każde próby warośc ozacowań ą róże e możemy w poób bezpośred powedzeć ak błąd popełamy przy e ocee. Sąd y poób eymac azywamy eymacą przedzałową. Polega oa a określeu przedzału, kóry zawera prawdzwą warość parameru. Przedzał lczbowy (loowy), kóry zawera prawdzwą warość parameru z określoym z góry prawdopodobeńwem - azywamy przedzałem ufośc. Warość - azywamy wpółczykem ufośc, a pozomem oośc ( błąd eymac). Długość przedzału ufośc zwękza ę wraz ze wzroem wpółczyka ufośc. Ierpreaca przedzału ufośc: z prawdopodobeńwem - prawdzwa warość parameru zadue ę w ym przedzale. Przy worzeu przedzałów ufośc korzya ę z rozkładu ayyk, kóra e eymaorem rozparywaego parameru lub go zawera. W przypadku małych prób korzya ę z rozkładów z próby, a dla dużych prób z rozkładów graczych ( aczęśce e o rozkład ormaly). Przedzały ufośc dla średe. Model I. Populaca geerala ma rozkład ormaly Welkośc zacuemy a podawe małe próby.
Skorzyamy z faku, że ayyka ma rozkład Sudea o - opach wobody. Dla ego rozkładu P Sąd S X S X P S X P P Oaecze przedzał ufośc ma poać: 2 ) (,, Naoma odczyuemy z ablc rozkładu Sudea dla daego - op wobody. Model II. Populaca geerala ma rozkład ormaly Welkośc zacuemy a podawe duże próby.
Skorzyamy z faku, że ayyka ma dla dużych rozkład ormaly N(0,). Dla ego rozkładu P u u Po przekzałceach, aalogczych ak dla modelu I, przedzał ufośc ma poać: u, u, ( ) Naoma u odczyuemy z ablc rozkładu Sudea dla daego awękze lczby (p. 20) op wobody. Ieą ablce przygoowae ak, że ee werz oparzoy lczbą op wobody 2 Przykład: W pewym dośwadczeu chemczym bada ę cza całkowego zakończea pewe reakc chemcze. Cza ma rozkład ormaly. Dokoao 2 dośwadczeń orzymao 46 [] odchylee adardowe =3 []. Przymuąc wpółczyk ufośc -=0,99 ozacować meodą przedzałową oczekway cza zakończea rekc. Rozwązae: Korzyamy z modelu I. Ualamy -=, zukamy dla rozkładu Sudea przy opach wobody =0,0.
Orzymuemy: =3,06. Wyarczy eraz dae z przykładu ualoą warość ablcową wawć do wzoru. Orzymuemy rozwązae: 463,06 3,46 3,06 3 462,7; 462,7 33,83; 58,7 z prawdopodobeńwem 0,99. Przykład. W celach aropomeryczych dokoao a wyloowaych ezależe 400 udeach z pewego maa pomaru długośc opy. Długość a ma rozkład ormaly. Orzymao z e próby =26,4 [cm] oraz =,7 [cm]. Ozacować za pomocą przedzału ufośc przy wpółczyku ufośc 0,9 średą długość opy udeów z ego maa. Rozwązae: Korzyamy z modelu II. Ualamy =400, zukamy u dla rozkładu Sudea przy awękze lczbe op wobody =0,. Orzymuemy: u =,658. Wyarczy eraz dae z przykładu ualoą warość ablcową wawć do wzoru. Orzymuemy rozwązae:
26,4,658,7 ; 400 26,4,658,7 400 26,4 0,4; 26,4 0,4 26,26; 26,54 z prawdopodobeńwem 0,9.