E3. ZJAWSKO EZONANS W SZEEGOWYM OBWODZE PĄD PZEMENNEGO Jadwga Szydłowska Mark Pękała Jdnym z przykładów układów drgających jst układ lmntów składający sę z cwk, kondnsatora opornka połączonych szrgowo. Jżl w takm zamknętym obwodz lktrycznym płyn prąd to jgo wartość zmna sę snusodaln w czas. ównż wartośc napęca na cwc kondnsatorz mają przbg snusodalny. zęstość tych zman jst charaktrystyczna dla dango obwodu nazywa sę częstoścą własną, która wynos.przykładm mchancznych układów drgających jst np. wahadło matmatyczn, struna czy sprężyna z dołączoną masą. uch mas w takch oscylatorach jst równż prodyczny a częstośc własn są równ np. w wahadl matmatycznym g czy l k oscylatorz sprężynowym. Jdnak oscylatory tak raz pobudzon n drgają m nskończn długo ch ampltuda zmnjsza sę zanka. Powodm tłumna jst rozproszn nrg wynkając z oporów ruch lub oporu lktryczngo, któr zawsz stnją w rzczywstych układach. Aby wytworzyć drgana ngasnąc nalży stal oscylator pobudzać. ównoważy to straty nrg. W przypadku lktryczngo obwodu podłącza sę do ngo słę lktromotoryczną snusodaln zmnną. Wynkm tj opracj są drgana wymuszon. Z kol częstość sły wymuszającj moż być różna od częstośc własnj obwodu. Gdy częstość sły lktromotorycznj zwnętrznj sę różn sę od, przbg prądu napęć na kondnsatorz cwc stanow snusodę o częstośc pobudzana, al drgan jst przsunęt w faz w stosunku do przbgu napęca zaslającgo. Gdy częstość źródła zblża sę do częstośc drgań własnych obwodu ampltuda natężna prądu gwałtown wzrasta przsunęc fazow zanka. Zjawsko to nos nazwę rzonansu obwodu. Jdnoczśn ampltuda napęca na cwc lub kondnsatorz jst bardzo duża moż przkraczać ampltudę napęca na zaslaczu. Zjawsko to nazywa sę przpęcm. Elktryczn obwody rzonansow są stosowan jako gnratory drgań lktrycznych, węc mdzy nnym jako nadajnk fal lktromagntycznych. ównoczśn stanowę on obwody odborcz są stotna częścą radoodbornków, rzonansowych wzmacnaczy, stablzatorów tp. l lm ćwczna jst: wyznaczn krzywych rzonansowych prądu w szrgowym obwodz ; wyznaczan współczynnka dobroc szrgowych obwodów ; wykazan ch zalżnośc od oporu obwodu; wyznaczan paramtrów Wymagana Prąd lktryczny zmnny snusodaln: sła lktromotoryczna, potncjał, napęc, natężn, opór omowy, ndukcyjny pojmnoścowy, zawada, częstość częstotlwość. Prawo Ohma prawa Krchhoffa. Prawo ndukcj Faradaya, SEM ndukcj. Szrgow obwody zaslan napęcm zmnnym snusodaln. Drgana lktryczn swobodn, tłumon wymuszon, zjawsko rzonansu. Dobroć układu rzonansowgo. Podstawy lczb zspolonych.
tratura D. Hallday,. snck, Fzyka, tom, PWN E.M. Purcll, Elktryczność magntyzm, Kurs brkljowsk tom,pwn. D. Hallday,. snck, J. Walkr, Podstawy fzyk, tom, PWN W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy fzyk, Ofcyna Wydawncza Poltchnk Warszawskj S. Szcznowsk, Fzyka dośwadczalna cz., PWN. K. Zbońsk, aboratorum z fzyk, br. zęść tortyczna wyprowadzn zalżnośc ozważmy obwód szrgowy, złożony z opornka, cwk ndukcyjnj kondnsatora zaslany zmnną snusodaln słą lktromotoryczną. Korzystając z prawa Krchhoffa można zapsać rozkład napęć w tym obwodz:, d, dt () gdz:, są napęcam na opornku, cwc kondnsatorz, natężnm prądu w obwodz, ładunkm zgromadzonym na kondnsatorz. Podstawając odpowdn spadk napęć otrzymuj sę: d () dt Napęc zaslana ma postać snusodalną wyraża sę wzorm = cos t, (ysunk ), Dla ułatwna oblczń można zapsać jako lczbę zspoloną (ysunk ): t (cos t sn t) m - - - - -8 8 36 54 7 t t t+ cos( t+ ) cos( ysunk. Przdstawn zalżnośc napęca oraz prądu jako funkcj snusodalnj. Jśl >, prąd wyprzdza napęc. ysunk. Przdstawn zalżnośc napęca oraz prądu jako funkcj zspolonj.
3 Przdstawa sę ją jako punkt na płaszczyźn zspolonj, -m jj część rzczywsta jst wartoścą (w tym przypadku) napęca. W równanu () poszukujmy wartośc prądu. Zakładamy, ż prąd zmna sę z ta samą częstoścą co napęc zaslana, al jst przsunęty w faz o kąt, a wc = cos( t+ Można go równż zapsać jako lczbę zspoloną: ( t ) (cos( t ) sn( t )) t ˆ t gdz ˆ znów czść rzczywsta jst wartoścą prądu. Dla założonj otrzymuj sę: d t ˆ t dt oraz ˆ t dt ˆ. Podstawn powyższgo do wzoru () daj: t t t t ˆ ˆ ˆ t Dzląc stronam przz otrzymujmy: ˆ (3) Wyrażn to ma strukturę podobną do prawa Ohma, gdy zapszmy: Z ˆˆ gdy Zˆ Zˆ oraz tg m Zˆ Zˆ Zˆ (4) Ẑ nazywa sę zawadą zspoloną, która jst sumą częśc rzczywstj tj. oporu omowgo częśc urojonj będącj oporm urojonym (brnym) cwk X = kondnsatora X = - /. ównan (3) można przpsać jako: Ponważ po prawj stron mamy tylko lczbę rzczywstą, lwa strona mus tż być rzczywsta, wc = czyl: tg, a ampltuda prądu (bz częśc fazowj) jst: Płny ops przbgu prądu w czas wynos: ˆ Z (5) ˆ Z 3
4 t lub cos( t ) (7) Na ysunku 3 przdstawono zalżność ( ) dla różnych oporów Jst to wązka krzywych rzonansowych, któr osągają wartość maksymalna przy tj samj częstośc, tzn. gdy: (8) Jst to warunk rzonansu. Ekstrma krzywych ( ) malją wraz z wzrostm oporu. Krzyw rzonansow dla wzrastających oporów obnżają sę stają sę bardzj płask. Dla małych częstośc, tzn. gdy, to ; równż dla dużych częstośc,. O ( ) = 3 5 4 3 35 ysunku 4. Tortyczn krzyw rzonansow ( ) dla szrgowgo obwodu przy zastosowanu różnych wartośc oporu omowgo (opór rzczywsty) przy stałych wartoścach ndukcyjnośc pojmnośc (opory urojon). W ćwcznu mrzymy napęc maksymaln na opornku, któr jst proporcjonaln do prądu w obwodz wyznacza sę krzyw rzonansow w zalżnośc od częstotlwośc. Współczynnk dobroc układu Wlkoścą charaktryzującą rzonansow własnośc obwodu drgającgo jst współczynnk dobroc. Dobroć jst zdfnowana jako stosunk całkowtj nrg drgań En, zmagazynowanj w obwodz w warunkach rzonansu do nrg straconj w czas jdngo okrsu En s En. En s 4
5 Zakłada sę, ż nrga całkowta En jst wlkoścą stałą. Wylczony (sposób wylczna npokazany), zgodn z powyższym wzorm, współczynnk w obwodz drgającym z częstoścą rzonansową, jst: (9) Jak wynka z (9) dobroć jst tym wększa m mnjsz jst tłumn czyl m mnjszy jst opór omowy obwodu. Jdnoczśn zalżność (9) sugruj bzpośrdno sposób pomaru współczynnka dobroc. ozważmy obwód w stan rzonansu ( = ). Płyn w nm prąd o ampltudz ( ), ampltuda napęca na kondnsatorz jst wprost proporcjonalna do prądu oporu pojmnoścowgo, X. Podobn ampltuda napęca na cwc będz proporcjonalna do prądu ( ) oraz oporu ndukcyjngo X. W stan rzonansu całkowty opór urojony jst równy zro, węc prąd wynos ( )= / zalży tylko od. Wynka stąd, ż ampltudy napęca na kondnsatorz cwc będą: X oraz X Wdać, ż stosunk napęć na kondnsatorz lub cwc do napęca zaslającgo przy częstośc rzonansowj jst dntyczny jak dobroć obwodu wyrażona wzorm (9): lub lub (bo ω ) () Współczynnk dobroc jst znaczn wększy od jdnośc a przy wysokch częstoścach osąga nawt klka tysęcy. Znaczny wzrost napęca na kondnsatorz lub cwc ndukcyjnj w obwodz jst nazywany przpęcm. Powyższ wzory dają prostą mtodę oblczna współczynnka, jdnak n zawsz jstśmy w stan okrślć rzczywst wartośc oporu, pojmnośc czy ndukcyjnośc w konkrtnym obwodz. Oprócz nastawonych wartośc, stnj pwn udzał tych wartośc, któr są rozproszon w całym obwodz. Trudnośc t omja mtoda wyznaczna współczynnka dobroc polgająca na analz krzywych rzonansowych. Mtoda ta wynka z porównana częstośc rzonansowj z częstoścam, przy których moc układu drgającgo jst równa połow mocy przy częstośc rzonansowj. Dla krzywych rzonansowych prądu, częstośc wyrażają sę ( ) ( ) ( ).(ysunk 4). Dzlnk wynka stąd, ż moc układu jst proporcjonalna do kwadratu prądu,. óżnca - = nazywa sę szrokoścą krzywj lub pasmm prznoszna. Współczynnk dobroc jst równy stosunkow częstośc rzonansowj obwodu do szrokośc krzywj rzonansowj. W ćwcznu wyznacza sę stosunk częstotlwośc /, co jst dntyczn z powyżj zdfnowanym współczynnkm dobroc () 5
6 O ( ) O ( ) ( )/ / ysunk 4. Pomar szrokośc krzywj rzonansowj. Wykonan ćwczna Wynk wszystkch pomarów muszą być zapsan w sprawozdanu, opatrzon odpowdnm jdnostkam podpsan przz asystnta. Ops układu Na stanowsku pomarowym mamy do dyspozycj następując do kanału przyrządy: gnrator funkcyjny MX frmy Maxcom, (G), dzlnk napęca DNa-8, (DN), do kanału Osc. zaslacz V, (Z) opornk dkadowy D6, (), kondnsator G dkadowy DK5, (), ndukcyjność dkadowa D, (), DN Z dwukanałowy oscyloskop cyfrowy ysunk 5. Schmat szrgowgo obwodu TDS frmy Tktronx, (Osc.) płytka montażowa. Źródłm sły lktromotorycznj o zmnnj częstotlwośc jst gnrator funkcyjny (G) o rgulowanym napęcu wyjścowym nskj opornośc wyjścowj ok. 5. Do gnazda kanału oscyloskopu nalży doprowadzamy napęc zbran na wyjścu gnratora, a do kanału napęc zbran z odpowdngo lmntu obwodu, oporu lub kondnsatora. Z kondnsatora zbramy sygnał przz sondę napęcową. Na kran oscyloskopu pownny być wdoczn oba sygnały w postac płnych przbgów snusodalnych. Zmnjszn lub powększn sygnału rgulujmy pokrętłam wzmocnna obu kanałów, a szrokość wykrsów pokrętłm podstawy czasu. Dla obu sygnałów odczytujmy ch ampltudy wartośc pk do pku lub wartośc skutczn napęć. Prcyzyjną rgulację częstotlwośc sygnału z gnratora umożlwa podłączn do spcjalngo gnazda gnratora (oznaczongo symbolm VF N) sygnału napęcowgo z zaslacza (Z) poprzz. dzlnk napęca (DN). Na dzlnku napęca ustawamy wartość 555 pokrętłm częstośc 6
7 gnratora (G) poszukujmy na oscyloskop okolc rzonansu. Dokładn dostrojn do rzonansu przprowadzamy zmnając nastawn na dzlnku (DN). zęść A. Prądow krzyw rzonansow ( ) Przyrządy nalży połączyć, wykorzystując płytkę montażową, w szrgowy obwód, wdług schmatu przdstawongo na ysunku 6 zachowując koljność lmntów. a) Na płytc montażowj łączymy kablam oporncę dkadową z dkadam ndukcyjnośc pojmnośc w szrgowy obwód. Napęc zbran z gnratora jst podan na kanał oscyloskopu, a na kanał jst podan napęc wyjścow z opornka. Wybramy pojmność z przdzału nf 5 nf ndukcyjność z przdzału mh H ustawamy odpowdn wartośc na dkadach. Możmy oszacować częstotlwość własną obwodu = / ( (). Na opornku dkadowym ustawamy np. = Ω. Nalży jdnak pamętać, ż na całkowty opór omowy jst sumą oporu opornka dkadowgo oporu układu (poza oporm dkadowym). Na opór układu składają sę: G opór omowy gnratora, opór omowy dkady cwk ndukcyjnych oraz opór rozproszony przwodów, kontaktów td., G wyj ysunk 6. Schmat montażowy gdz G = 5, zaś dla różnych wartośc ndukcyjnośc są podan w ponższj tabl [mh] [ ] 7 94 3 364 4 43 5 485 6 53 7 584 8 67 9 668 7 b) Po sprawdznu obwodu przz asystnta włącznu zaslana, na kran oscyloskopu są wdoczn dwa sygnały z kanału sygnał gnratora, a z kanału sygnał zbrany z opornka. Przy wcśnętym klawszu MEASE na kran są wyśwtlan dla każdgo kanału wartośc podwojonj ampltudy napęca (oznaczon Pk-Pk) lub napęca 7
8 skutczngo (yc MS). Możlw są takż pomary częstotlwośc (Frq), okrsu (Prod) śrdnj arytmtycznj napęca w czas całgo pomaru (Man). c) Przrywając na czas odczytu połączn obwodu rzonansowgo mrzymy na kanal skutczną wartość napęca dla gnratora nobcążongo. Napęc sygnału z gnratora pownno wynosć około 5 V (napęc skutczn) pozostać n zmnon aż do końca pomarów. Pomar napęca gnratora pownn ostatczn być mrzony na oscyloskop być tgo samgo typu jak napęca sygnału (np. pk do pku lub napęc skutczn). d) Zmnając częstotlwość sygnału z gnratora znajdujmy częstotlwość własną w okolcy tj oszacowanj. Notujmy wartośc max oraz przlczamy ją na =. ) Zmnjszając częstotlwość odstrajamy stopnowo układ od rzonansu aż do częstośc l, dla którj napęc spada do około /3 max. f) Następn stopnowo zwększamy częstotlwość mrzymy nskoczęstoścową część krzywj rzonansowj od l aż do zbrając do punktów odpowadających przyrostom napęca o ok. 5 %. g) Wysokoczęstoścową część krzywj rzonansowj mrzymy zbrając do punktów odpowadających spadkom napęca o ok. 5 % w przdzal częstośc od do od r, dla którj napęc spada do około/3 max. h) Oblczamy wartość prądu płynącgo w obwodz dzląc przz nastawony na dzlnku napęca opór. Propozycja zapsu wynków: =..., =..., =..., =..., =..., =..., =..., =..., =..., max ( < = = = / = > = = = / = ) =. gdz,,, są błędam systmatycznym wynkającym z dokładnośc (klasy) przyrządów. ) Analogczn pomary, jak w punktach ) ), wykonujmy ustawając na opornku dkadowym najprw opór =, a następn 4, 8, 5 3. zęść B. Współczynnk dobroc : Przmontowujmy układ zgodn z schmatm przdstawonym obok. (ysunk 7) Zamnamy mjscam na płytc montażowj opór z kondnsatorm zbramy napęc z kondnsatora poprzz sondę napęcową osłabającą sygnał w stosunku :. Dla tych samych wartośc ndukcyjnośc pojmnośc co poprzdno wykonujmy srę pomarów napęcowych krzywych rzonansowych ( ) dla różnych oporów nastawanych na dkadz od zra do co wyj ysunk 7. Schmat montażowy 8
9 notując dla każdgo oporu zęśc A.). (Analogczn do Propozycja zapsu wynków: =..., =..., =..., =..., =..., =..., =..., =...,. < > = = = = = gdz,,, są błędam systmatycznym wynkającym z dokładnośc (klasy) przyrządów. Z wzoru () oblczamy wartość współczynnka dobroc jako stosunk napęć max /. Propozycja zapsu wynków: =. max = ± / ± ) = gdz,,, są błędam systmatycznym wynkającym z dokładnośc (klasy) przyrządów. Opracowan wynków a) Na wspólnym układz współrzędnych wykrślamy rodznę prądowych krzywych rzonansowych ( ) dla różnych wartośc oporu (część A) zaznaczając dla każdj krzywj zmrzon punkty pomarow łącząc j lną. W klku punktach zaznaczamy npwnośc pomarow. b) Na wspólnym układz współrzędnych wykrślamy rodznę napęcowych krzywych rzonansowych ( ) dla różnych wartośc oporu (część B) zaznaczając dla każdj krzywj zmrzon punkty pomarow łącząc j lną. W klku punktach zaznaczamy npwnośc pomarow. c) Wykrślamy zalżność od oporu odwrotnośc współczynnka dobroc /, oblczonj z stosunku ampltud napęca na kondnsatorz sły lktromotorycznj max /. Zgodn z wzorm (9) zalżność / od pownna być lną prostą. ( ) gdz jst oporm układu poza oporm dkady oporowj. 9
d) Mtodą najmnjszych kwadratów (rgrsj lnowj) wyznaczamy współczynnk A B prostych / = A + B najlpj dopasowanych do punktów pomarowych. Nanosmy t prost na wykrs. Wyznaczamy równż npwnośc pomarow A B. ) Z powyższj zalżnośc lnowj można wyznaczyć opór układu = G + +, z przcęca prostj z osą lub oblczyć z zalżnośc: A czyl oraz B A B () ysunk 8. Zalżność ( ) ) Dla krzywych rzonansowych prądowych tzn., gdy napęc jst mrzon na opornku, częstotlwość rzonansowa jst stała, nzalżna od oporu. Możmy wykorzystać pozostał zalżnośc wzoru (9): gdz ( A ) ( ) A( ocnć udzał pojmnośc ndukcyjnośc rozproszonj porównując nastawon na dkadach wartośc z wartoścam wylczonym z współczynnków prostj, jako = A/ oraz = A. W wnoskach: ocnamy wpływ oporu na zjawsko rzonansu w układz ; jak opór wpływa na częstotlwość rzonansową? dlaczgo wzrost oporu zmnjsza dobroć układu?; proponujmy, jak można zwększyć dobroć układu. ),