Przykłdowy rkusz z rozwiąznimi Arkusz I poziom podstwowy. (4 pkt) Rozwiąż nierówność: x x 4x 8, nstępnie wskż njmniejszą liczbę cłkowitą spełnijącą tę nierówność (o ile tk liczb istnieje). x x 4x 8 x x 4x 8 0 x (x ) 4(x ) 0 (x )(x 4) 0 (x )(x )(x ) 0 (x ) (x ) 0 Nierówność jest spełnion dl x. Jeżeli x, to wyrżenie dodtnią, więc musi być: x 0, stąd x. Osttecznie rozwiązniem nierówności jest x { }, ). Njmniejszą liczbą cłkowitą spełnijącą nierówność jest. ( x ) jest liczbą. ( pkt) Cenę komputer podniesiono njpierw o 0%, po pewnym czsie jeszcze o 0%. O ile procent nleżłoby jednorzowo podnieść cenę komputer, by uzyskć tką smą cenę jk po obu podwyżkch? Oznczmy: x początkow cen komputer. Mmy: 0 % x,x - cen komputer po pierwszej podwyżce 0 % z,x,,x,x - cen komputer po drugiej podwyżce Stąd wynik, że cen końcow, to, % ceny początkowej. Aby uzyskć tki sm efekt z pomocą jednej podwyżki, nleżłoby podnieść cenę komputer o %.. (4 pkt) Numer ewidencyjny PESEL skłd się z cyfr. Sześć pierwszych cyfr ozncz dtę urodzeni osoby (np. cyfrmi 708 rozpoczyn się numer PESEL osoby urodzonej 8 mrc 97 roku). Pozostłe cyfry są dowolne i mogą się powtrzć. Ile może być wszystkich numerów PESEL: ) przyporządkownych osobom urodzonym w mrcu 97 roku? b) przyporządkownych osobom urodzonym 8 mrc 97 roku, tkich, że trzy osttnie cyfry numeru są różnymi liczbmi pierwszymi, cyfry siódm i ósm są liczbmi nieprzystymi? ) Osoby urodzone w mrcu 97 roku mją nstępujący numer PESEL: 70ddxxxxx, gdzie : dd dzień urodzeni - liczb ze zbioru {,,,...,}, gdyż mrzec m dni 5 xxxxx dowolny ciąg pięciu cyfr - ten ciąg może być utworzony n 0 sposobów, gdyż tyle jest wszystkich 5-wyrzowych wricji z powtórzenimi utworzonych z elementów 0-elementowego zbioru cyfr. 5 Osttecznie: ilość numerów PESEL dl tkich osób jest iloczynem liczb i 0, czyli 00 000 b) Szukne numery PESEL muszą mieć nstępującą postć: 708nnppp, gdzie: nn -dwuwyrzowy ciąg utworzony z (niekoniecznie różnych) cyfr nieprzystych. Zbiór cyfr nieprzystych: {,,5,7,9} jest 5-elementowy, więc tkich ciągów jest 5 5. ppp - dwuwyrzowy ciąg utworzony z różnych liczb pierwszych.
Zbiór tych cyfr, które są liczbmi pierwszymi: {,,5,7} jest czteroelementowy, więc tkich ciągów jest tyle, ile trzywyrzowych wricji bez powtórzeń utworzonych z elementów 4-elementowego zbioru, tzn. 4. Osttecznie liczb poszukiwnych numerów PESEL jest iloczynem liczb 5 i 4, czyli wynosi on 600. 7 4. Aby usunąć niewymierność z minownik ułmk, korzystmy ze wzoru 7 skróconego mnożeni b ( b)( b b ), mnożąc licznik i minownik ułmk przez niepełny kwdrt sumy liczb: i 7 : 7 7 (4 7 49) 4 7 49 7 4 7 49 7 7 ( 7) (4 7 49) ( 7) Posługując się tą metodą, oblicz wrtość sumy: 4 ( 4 ) ( ) 4 ( )( 4 ) ( 4 )( ) ( 8 ( ) 4 4 ) 4 ( ) 4 ( 4 ) 5. (4 pkt) W roku 845 n uroczystości urodzin spytł ktoś jubilt, ile on m lt. Jubilt odpowiedził: Gdy swój wiek sprzed 5 lt pomnożę przez swój wiek z 5 lt, to otrzymm rok swego urodzeni. Ile lt mił wówczs jubilt? Jeżeli przez x oznczymy wiek jubilt w chwili, gdy wypowid te słow, to otrzymmy: ( x 5)(x 5) R, gdzie R jest jego rokiem urodzeni, orz x > 5 i x N. Rok urodzeni jubilt jest równy: R 845 x. Mmy: (x 5)(x 5) 845 x x x 5 845 x x 070 0 880 88, 9 x 46 9 x 45 Jubilt mił 45 lt. 9 odrzucmy, bo n N 4
6. (5 pkt) Dziłk pństw Jbłońskich m ksztłt trpezu, w którym kąty przy 0 0 dłuższej podstwie mją miry 0 i 45, krótsze rmię m długość 0 m, krótsz podstw 50 m. Pn Jbłoński postnowił wybudowć ogrodzenie. Oblicz pole powierzchni dziłki i długość ogrodzeni. Nleży obliczyć: 50 x y 50 00 x y ) Pole dziłki: P h h b) Obwód dziłki: L 00 x y 0 h x 0 (ze wzoru n długość przekątnej kwdrtu) h y tg0 h 0 sin 0 Pole dziłki: 00 x y 0 0 y 0 y 0 60 ( 0 0 ) 5 950 450 00 0 0 P h 0 Pole dziłki wynosi ( 950 450 ) m. Obwód dziłki: L 00 x y 0 00 0 0 60 0 90 0 0 Obwód dziłki wynosi: ( 90 0 0 ) m. 7. (4 pkt) W tbeli podno dl porównni dw plny tryfowe w ofercie sieci komórkowej Ornge: Pln tryfowy Ornge 5 Ornge 0 Wysokość bonmentu 0 zł 40 zł Liczb bezpłtnych minut i bezpłtnych SMS-ów w bonmencie (koszt minkoszt 4 SMS-ów) Koszt min. po przekroczeniu pkietu bezpłtnych minut Koszt pojedynczego SMS- po przekroczeniu pkietu bezpłtnych SMS-ów 5 minut lub 60 SMS 0 minut lub 0 SMS zł 65 gr zł 5 gr 4 gr 4 gr ) Który pln tryfowy powinn wybrć osob, któr rozmwi 0 minut miesięcznie? Odpowiedź uzsdnij. b) Dl obu plnów tryfowych npisz wzory wyrżjące zleżność między wysokością rchunku, liczb wykorzystnych dodtkowych minut dl osoby, któr nie wysył dodtkowych SMS-ów. c) Przy ilu dodtkowych minutch rchunek zpłcony w ofercie Ornge 5 jest mniejszy, niż w ofercie Ornge 0?
) W Ornge 5 tk osob zpłci 0 zł bonmentu, orz 5,65 8, 5 zł, czyli łącznie 8,5 zł. W Ornge 0 zpłci 40 zł bonmentu. Nleży wybrć Ornge 5. b) Oznczmy w obu przypdkch: x liczb wykorzystnych dodtkowych minut, x { 0,,,,... }. W Ornge 5 rchunek wynosi f(x) 0,65 x, w Ornge 0 g(x) 40,5 x. c) Nleży obliczyć, dl jkich x spełnion jest nierówność f (x) < g(x). 0,65 x < 40,5 x 0, x < 0 x < Rchunek w Ornge 5 jest mniejszy, gdy ilość dodtkowych minut nie przekrcz. 8. (4 pkt) W pewnej dużej firmie, sprzedjącej sprzęt RTV-AGD wykres liczby sprzednych telewizorów w 00 roku był nstępujący: N podstwie wykresu: ) Odczytj, w jkich okresch sprzedż telewizorów wzrstł. b) Odczytj, w jkim miesiącu sprzedno njwięcej telewizorów, w jkim njmniej. c) Oblicz, jkim procentem liczby sprzednych telewizorów był sprzedż w grudniu. d) Oblicz, jk był średni liczb telewizorów sprzednych miesięcznie w tym roku. ) Sprzedż telewizorów wzrstł od początku mrc do końc kwietni, orz od początku sierpni do końc listopd. b) Njwięcej telewizorów sprzedno w mju i w grudniu (7000), njmniej w mrcu (400). c) Łączn ilość sprzednych telewizorów: 40005004004000700065004000500400055006000700056400 7000 7000 Sprzedż w grudniu to: 00% %,4% 56400 564 56400 d) Średni liczb sprzednych miesięcznie telewizorów: 4700
9. (5 pkt) Dch pewnej budowli m ksztłt ostrosłup prwidłowego sześciokątnego. Krwędź boczn tego ostrosłup m długość b, mir kąt nchyleni tej krwędzi do płszczyzny podstwy wynosi α. Wyzncz objętość tego ostrosłup i tngens kąt dwuściennego między ściną boczną płszczyzną podstwy. Dne są: b, α Nleży obliczyć: ) V 6 H 4 H H H b) tg β h b cosα bcosα orz V H tgβ H b bsin α bcosα H b H sinα H bsinα cos α bsinα b cos tgα αsinα 0 0. (4 pkt) Wykres funkcji y x b jest nchylony do osi OX pod kątem α 45 i przechodzi przez punkt P (,4). ) Npisz wzór tej funkcji. b) Sprwdź, czy do wykresu tej funkcji nleży wierzchołek prboli o równniu y x 6x. c) Zilustruj w ukłdzie współrzędnych zbiór rozwiązń nierówności y > x b dl i b wyznczonych w punkcie ). ) y x b, orz tgα tg45 0, skąd mmy y x b. Wstwijąc współrzędne punktu P (,4) do równni prostej, otrzymujemy: 4 b b 6, czyli wzór tej funkcji m postć: y x 6. b) y x 6x Wierzchołek prboli: W (p,q) 6 48 p, 6 48, q ( ) 4
W (,) i y x 6 - sprwdzmy, czy współrzędne punktu W spełniją równnie prostej: 6, czyli wierzchołek prboli nie nleży do wykresu funkcji y x 6. c) Zbiór rozwiązń nierówności zznczono kolorem żółtym:. (4 pkt) Pn Kowlski pożyczył od swojego brt pewną sumę pieniędzy potrzebną n zkup nowych części do smochodu. Zobowiązł się do zwrotu pożyczki w dziesięciu rtch, z których kżd był o 60 zł większ od poprzedniej. Osttni rt wynosił 640 zł. Oblicz wysokość pierwszej i szóstej rty orz kwotę pożyczoną przez pn Kowlskiego. Kolejne rty tworzą ciąg rytmetyczny, którego różnic wynosi r 60. Widomo, że 0 640, czyli 9r 640. 640 9r 640 9 60 640 540 00 Pierwsz rt wynosił 00 zł. Szóst rt to: 6 5r 00 5 60 400 zł. Kwot pożyczon przez pn Kowlskiego to sum wszystkich rt: 0 S0 0 5 (00 640) 700 zł.. (5 pkt) W trójkącie prostokątnym ABC wysokość BD dzieli przeciwprostokątną AC n odcinki o długościch CD 4 cm i AD 6 cm. Korzystjąc z podobieństw odpowiednich trójkątów, oblicz długości przyprostokątnych trójkąt ABC, pole koł wpisnego orz pole koł opisnego n tym trójkącie. Nleży obliczyć:, b, P πr, P πr, gdzie r to promień koł wpisnego w trójkąt, R promień koł opisnego n trójkącie.
BAD jest podobny do trójkąt BDC, gdyż DBA β i DBC α, czyli te trójkąty mją tkie sme kąty. Porównując ilorzy odpowiednich boków w tych trójkątch, otrzymujemy: 4 h h 64 h 6 h 8 W trójkącie BAD: b h 6 8 6 8 5, stąd b 8 5. W trójkącie BDC: h 4 8 4 4 5, stąd 4 5. Boki trójkąt mją długości: 8 5 i 4 5. Promień koł opisnego n trójkącie prostokątnym m długość równą połowie długości przeciwprostokątnej, czyli R 0 0 cm. Pole tego koł: P πr π 0 00π cm. S Promień koł wpisnego w trójkąt m długość: r, gdzie S pole trójkąt ABC, p p połow obwodu trójkąt ABC. b ( ) 4 5 8 5 60 40 5 5 r ( b 0) 4 5 8 5 0 4 ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) ( 5 5) 40 45 5 6 5 0 P πr π 6 5 0 Pole tego koł: ( )