Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Pok. 117b (wejście przez 115)
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW KONT.
Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. x=k exp { 1 2 x at B x a}=k exp { 1 2 g x} g = 1 = const elipsa kowariancji. g = const obszary elipsoidalne o stałym prawdopodobieństwie W gx= x a T B x a x ma rozkład normalny g(x) ) ma rozkład χ 2 o n stopniach swobody. Prawdopodobieństwo wystąpienia wartości x wewnątrz elipsoidy g = const: g W = 0 f X 2 ;nd X 2 = P n 2, g 2 P to niepełna funkcja Gamma. Dla elipsoidy kowariancji: W n = P n 2, 1 2 Dla małych n: W = 0.68269; W = 0.39347; W = 0.19875; 1 2 3 W = 0.09020; W = 0.03734; W = 0.01439; 4 5 6 3
cov(x,y) = = 0.0 m 1 = m 2 = 0.0 1 = 2 = 1.0 cov(x,y) = =0.75 m 1 = m 2 = 0.0 1 = 2 = 1.0 cov(x,y) = =0.5 m 1 = m 2 = 0.0 1 = 2 = 1.0 cov(x,y) = = -0.5 m 1 = m 2 = 0.0 1 = 2 = 1.0 4
Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. Wyznaczenie obszarów o tym samym prawdopodobieństwie (dla różnych n): - ustalamy wartość W - obliczamy odpowiadającą mu wartość g. (g to kwantylem z prawdopodobieństwem w rozkładzie X 2 o n stopniach swobody). g= X W 2 n Elipsoida ufności; odpowiada wartości g, takiej, że zawiera wektor x z prawdopodobieństwem W (Jeśli W= 0.95, to x leży wewnątrz elipsoidy ufności na 95%) - Związek między elipsoidą ufności i funkcją M: - Różnica między funkcją M w punkcie x oraz w punkcie ~x: ~ M=cA x T G y ca x=min M x M x=x x T A T G y x x=min Ponieważ: A T G y A=G x =B - Można dowieść, że M x M x=g x 5
Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. - Elipsa kowariancji - hiperpowierzchnia w przestrzeni r-wymiarowej opisanej zmiennymi: x, x,..., x. 1 2 r - Odpowiadają stałej wartości funkcji M = M(x) = M(~x) +1. - Elipsoida ufności - hiperpowierzchnia, gdzie M = M(x) = M(~x) +g (odpowiada prawdop. W). - G - kwantyl rozkładu X 2 o f = n-1 stopniach swobody. - Te rozważania pozostają słuszne, kiedy stosujemy MNK do przypadków nieliniowych. Przybliżenie lepsze, gdy odstępstwo parametrów nieznanych od wyrażenia f j x, =f j x 0, f j x 1 x 0 x 1 x 10... f j x r x 0 x r x r0 spowodowane nieliniowością są małe (kiedy np. pochodne mają stałe wartości, kiedy zmiany nieznanych parametrów są małe). - Błędy są małe interpretacja elipsoidy kowariancji bez zmian. (szukane są kontury przedziałów ufności, gdzie z prawdopodobieństwem W znajduje się prawdziwa wartość x). 6
Obszary ufności i błędy niesymetryczne w przypadku nln. - Wyznaczany jest 1 parametr x krzywa M = M(x) ) to odcinek na osi x. - Wyznaczane są 2 parametry: : x, x 1 2 granicą obszaru ufności jest krzywa opisana wzorem: M x=m xg - Więcej parametrów możliwe jest wyznaczenie cięć obszarów ufności przechodzących przez punkt x= x 1, x 2,..., x r Dowolnej parze zmiennych x 1, x 2,..., x r Procedura do wykreślenia obszarów ufności jest opisana w podręczniku Brandt'a. Rozpatrzony został także przypadek błędów niesymetrycznych wraz z niesymetrycznymi Granicami obszaru ufności. 7
POMIARY ZALEŻNE
Pomiary zależne - Nie zakładamy niezależności pomiarów mogą być związane pewną liczbą więzów. - Przykład: : bezpośredni pomiar trzech kątów trójkąta. - Równanie więzów: : suma kątów wynosi 180 st. - Zadanie: : wyznaczenie estymatorów ~η ~ η wielkości η. - Błędy mają rozkład normalny o wartości średniej równej zeru: - Równania więzów: - Przypadek liniowych więzów: y j = j j j=1,2,...,n E j =0 E j 2 = j 2 f k =0 k=1,2,...,q b 10 b 11 1 b 12 2...b 1n n =0 b 20 b 21 1 b 22 2...b 2n n =0 - W notacji macierzowej: b q0 b q1 1 b q2 2...b qn n =0 B b 0 =0 9
Pomiary zależne metoda elementów - Wychodzimy z równania: B b 0 =0 - Eliminujemy q z n wielkości η.. Pozostałe wielkości to elementami. (można je dowolnie wybierać spośród pierwotnych pomiarów, mogą też stanowić ich kombinacje liniowe). - Wektor η to liniowa kombinacja elementów: j =f j0 f j1 1 f j2 2...f j,n q n q j=1,2,..., n - Rozwiązanie: - Macierz kowariancji: - Wyniki poprawione: =F f 0 =F T G y F 1 F T G y y f 0 G 1 =F T G y F 1 =F f 0 =F F T G y F 1 F T G y y f 0 f 0 - Macierz kowariancji wyznaczona na podstawie prawa propagacji błędów: G 1 =F F T G y F 1 F T =F G 1 F T 10
Równanie więzów dla kątów w trójkącie - 1 - W wyniku pomiarów kątów trójkąta otrzymano wyniki: 89 st, 31 st, 61 st. y= 89 31 61 - Równanie więzów: - Można je zapisać w postaci: 1 2 3 =180 B b 0 =0 B=1,1,1 b 0 =b 0 = 180 - Jako elementy wybierzemy: 1, 2 = 1, 2 3, =180 1 2 = 1 0 0 1 1 1 0 0 180 F= 1 0 0 1 1 1 f 0 = 0 0 180 11
Równanie więzów dla kątów w trójkącie - 2 - Błąd pomiaru wynosi 1st (założenie): C y = - Dochodzimy do: 1 0 0 1 0 1 0 =I G y=c 1 y =I 0 0 =88 1 3 30 1 3 1 3 =88 30 1 G 3 61 1 3 1 = 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 2 Wyniku takiego można było spodziewać się ze względu na równe wariancje. 12
Metoda mnożników Lagrange'a Alternatywna metoda to metody elementów (obie dają identyczne wyniki, ale tu nie trzeba wybierać elementów). - Liniowy układ więzów: - Wartość pomiarowa to wartość prawdziwa oraz błąd pomiaru: B y Bb 0 =0 - Wprowadzamy wektor: - Dostajemy równanie: - Wektor mnożników Lagrange'a: B b 0 =0 c=b yb 0 1 c B =0 = 2... q y= - Rozszerzymy funkcję pierwotną: - L jest funkcją Lagrange'a. M= T G y - Warunek M = min z więzami: c-bε = 0 jest spełniony, kiedy funkcja Lagrange'a znika: do: L= T G y 2 T c B - Jest to równoważne: dl=2 T G y d 2 T B d =0 T G y T B=0 13
Metoda mnożników Lagrange'a - Wzory końcowe,, przy oznaczeniu: =G B c G B =B G y 1 B T 1 =G y 1 B T G B c = y G y 1 B T G B c - Macierze kowariancji: G 1 =G B G =G y 1 G y 1 B T G B B G y 1 - Zastosowanie do przykładu z trójkątem: c=2 G B = 1 3 Macierze kowariancji: G 1 = 1 3 G 1 = 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 2 14
Metoda mnożników Lagrange'a przypadek nieliniowy - Równania więzów: f k =0 k=1,2,...,q - Rozwijamy w szereg Taylora wokół punktu η 0, będącego pierwszym przybliżeniem η: f k =f k 0 f k 1 0 1 10... f k n 0 n n0 (*) - Wprowadzając oznaczenia: b kl = f k l 0 c=f k 0 k = k k0 11 b 12... b 1n b B=b 21 b 22... b 2n c............ b q1 b q2... b qn c=c1 2 q... c - Równanie (*) w postaci macierzowej: B c=0 =1 2... n 15
Metoda mnożników Lagrange'a przypadek nieliniowy - Jako pierwsze przybliżenie mamy wartości z pomiarów: = 0 = y= 0 = y - Można dowieść,, że: - estymator błędów pomiarowych : = G y 1 B T BG y 1 B T 1 c - estymator wielkości poprawionych: = s = s 1 (wynik każdego kroku to kolejne przybliżenie, po s iteracjach wynik jak wyżej) - macierz kowariancji: G 1 = G y 1 G y B T G B B G y 1 - estymator błędów: = y - minimalizowana M: M= T G y 16
17
PRZYPADEK OGÓLNY MNK
Przypadek ogólny MNK Notacja: poszukiwane parametry to r-wymiarowy wektor x. Wielkości mierzalne: n-wymiarowy wektor η. Wielkości mierzone: n-wymiarowy wektor y. Wyniki pomiarów różnią się od wielkości mierzonych o wielkości błędu ε (n-wymiarowy wektor). Zakładamy, że błędy mają rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą 0 oraz macierzą Kowariancji C = G y y -1. Wektory x oraz η są ze sobą związane za pomocą m funkcji: Zakładamy, że znamy pierwsze przybliżenie wartości szukanych dla wektora η. Są to wyniki pomiarów. Zakładamy, że funkcje f k Rozwinięcie w szereg Taylora: f k x, =f k x, y =0 k=1,2,...,m są liniowe w otoczeniu (x, ( η ). 0 f k x, =f k x 0, 0 f k x 1 x 0, 0 x 1 x 10...... f k x r x 0, 0 x r x r0 f k 1 x 0, 0 1 10... f k n x 0, 0 n n0 19
Przypadek ogólny MNK Wprowadzając oznaczenia: a kl = f k x l x 0, 0 b kl = f k l x 0, 0 c k =f k x 0, 0 11 a 12... a c1 1r 11 b 12... b 1n a A=a 21 a 22... a 2r b c............ b q1 a q2... a mr c= m 2 B=b 21 b 22... b 2n............... b c q1 b q2... b mn =x x 0 = 0 Układ równań w postaci macierzowej: A B c=0 20
Przypadek ogólny MNK Można dowieść, że: = A T G B A 1 A T G B c = G y 1 B T G B c A A T G B A 1 A T G B c =G B A c A A T G B A 1 A T G B c x=x 0 = 0 G x 1 = A T G B A 1 G 1 =G y 1 G y 1 B T G B G Y 1 G y 1 B T G B A A T G B A 1 A T G B BG y 1 Można udowodnić, że przy spełnionym warunku dostatecznej liniowości: M=B T G B B Ma rozkład X 2 o NDF = m-r. W przypadkach nieliniowych stosowana jest procedura iteracyjna przyjmująca jako wartości Początkowe wartości z poprzedniego kroku iteracyjnego. Iteracja może być powtarzana aż Do uzyskania satysfakcjonującego wyniku. Jest to kryterium bardzo trudne do określenia. 21