Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
|
|
- Antonina Cichoń
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk tel: konsultacje: poniedziałek: 10-11, środa: www: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Pok. 117b (wejście przez 115)
2 ZAMIANA ZMIENNYCH
3 Zamiana zmiennych - Dowolna funkcja zmiennej losowej to także zmienna losową y=y x - Znana f(x), szukana g(y) - Równość prawdopodobieństw: dy= dy dx dx f x dx=g y dy dx= dx dy dy dy y y=f(x) - Funkcja g(y) dobrze określona: y = y(x) jednoznaczna. - Funkcje wieloznaczne, np: y = x rozpatrujemy oddzielnie g(y) f(x) x - Normalizacja rozkładów prawdopodobieństwa: g y dy= f x dx=1 dx 3 x
4 Zamiana zmiennych Jaka jest gęstość prawdopodobieństwa g(y), jeśli znana jest gęstość prawdopodobieństwa f(x)? Równość prawdopodobieństw: f x dx=g y dy f x =1 x [0,1] dx=g y dy=dg y dx= dg y x=g y y=g 1 x dy y y=f(x) y min =G 1 0 y max =G 1 1 g(y) f(x) x dx x
5 Zamiana zmiennych Zamiana dwóch zmiennych: u = u(x,y) v = v(x,y) Funkcja J, która połączy funkcje gęstości prawdopodobieństwa: f(x,y) oraz g(u,v) g u, v =f x, y J x, y u, v x a =x u, v ; y a =y u, v x b =x u, v dv ; y b =y u, v dv x c =x u du, v ; y c =y u du, v Szereg Taylora: x b =x u, v x dv ; y y v b =y u, v dv v x c =x u, v x du ; y y u c =y u, v du u y b v(x,y)+dv d v(x,y) da c a u(x,y) u(x,y)+du x Powierzchnia równoległoboku: x a y a x u da= 1 1 x b y b x v 1 x c y c = du dv= J x, y u, v du dv y v u y 5
6 Zamiana zmiennych J x, y x u u, v = x v y v u y Jakobian transformacji Przypadek ogólny: n zmiennych x = (x(, x, x ) 1 2 n Transformacje: y = y (x) 1 ), y = y (x) 1 2 ), y = y (x) 2 n n Gęstość prawdopodobieństwa zmiennych y wynosi: g y = J x y f x Jakobian: J x y = J x 1,x 2,...,x n y 1, y 2,..., y n = x1 y 1 x 2 y 1... x 1 y 2 x 2 x n y 1 x n n y 2 x n y y x 1 x 2 y n y n... Warunkiem istnienia funkcji g(y) jest jednoznaczność wszystkich pochodnych cząstkowych. 6
7 Zamiana zmiennych f x, y = 1 R, x 2 y 2 R Zamiana zmiennych do współrzędnych biegunowych: Jakobian: r= x 2 y 2 =arctg y x x=r cos y=r sin J r, x x, y = r x r y y = x r y r 2 y 2 r x r J r, x, y = x r g r, =f x, y J r, x, y g r, = 1 R r x r 2 y r y r 2 = x2 r 3 y2 r 3 = x2 y 2 r 3 = r 2 r 3 = 1 r 7
8 PROPAGACJE BŁĘDÓW
9 Transformacje liniowe i ortogonalne. Propagacja błędów Transformacje liniowe bo łatwo się nimi posługiwać Inne transformacje aproksymujemy transformacjami liniowymi (rozwinięcie w szereg Taylora) Funkcje y = (y, y,..., y 1 ) to liniowymi funkcje zmiennych x = (x, x,..., x ): 2 r 1 2 n y 1 =a 1 t 11 x 1 t 12 x 2... t 1n x n y 2 =a 2 t 21 x 1 t 22 x 2... t 2n x n... y r =a r t r1 x 1 t r2 x 2... t rn x n Zapis macierzowy: y =T x a Wartość oczekiwana zmiennej y: E y = y =T x a 9
10 Transformacje liniowe, propagacja błędów Macierz kowariancji: C y =E{ y y y y T } C y =E{ T x a T x a T x a T x a T } C y =E{T x x x x T T T } C y =T E{ x x x x T }T T C y =T C x T T Prawo propagacji błędów: Znane są wartości oczekiwane zmiennych x i, ich odchylenia standardowe (błędy) i kowariancje. Chcemy wyznaczyć błędy funkcji y(x) Jeśli błędy zmiennej x będą małe, to gęstość prawdopodobieństwa będzie różna od zera jedynie w okolicy punktu x. 10
11 Transformacje liniowe, propagacja błędów Rozwijamy w szereg Taylora: y i =y i x y i x 1 x= x x 1 x 1... y i x n x= x x n x n wyrazy wyższegorzędu W notacji macierzowej: y =y x T x x wyrazy wyższegorzędu y1 y 1 y x 1 x x n y T= 2 y 2 y x 1 x x n y r y r... x 2 x 1 y r x n x= x Do wzoru opisującego prawo propagacji błędów należy wstawić macierz T przy jednoczesnym zaniedbaniu wyrazów nieliniowych. Błędy zmiennej y (elementy diagonalne macierzy C y ) zależą od: - błędów zmiennej x - od elementów pozadiagonalnych macierzy kowariancji C x. 11
12 Transformacje liniowe, propagacja błędów. - Zmienne x niezależne można nie uwzględniać macierzy kowariancji (jest równa 0). - Elementy diagonalne macierzy C y mają postać: 2 n y i = j=1 y i 2 x j x= x 2 x j - Odchylenie standardowe: y i = n j=1 y i 2 x j x= x x j 2 12
13 Propagacja błędów, kowariancja W układzie kartezjańskim mierzone współrzędne punktu (x, y). Pomiar daje trzykrotnie większe błędy przy współrzędnej y niż x. Pomiary x, y są niezależne. Macierz kowariancji: = C xy 0 Współrzędne biegunowe: r= x 2 y 2 x=r cos =arctg y x y=r sin Macierz transformacji T w punkcie (1,1) dla prostoty obliczeń: r r x y T= x y 1 = r r = 2 2 y 1 1 x y r 2 x r = 1 C r =T C xy T T =
14 Propagacja błędów, kowariancja Współrzędne biegunowe: = C 5 4 r 4 2 x r T'= y r x y r= x 2 y 2 x=r cos = cos r sin sin r cos = =arctg y x y=r sin 1 1 = 1 C xy =T 'C r T ' T = = 1 C xy =T 'C r T ' T Pozadiagonalne elementy macierzy kowariancji są BARDZO WAŻNE! =
15 GENERACJA LICZB PSEUDOLOSOWYCH
16 Generacja liczb (pseudo)losowych 1) Zapis liczb w komputerze 2) Generator liczb pseudolosowych a) generator liniowy kongruentny (LCG) b) generator liniowy multiplikatywny kongruentny (MLCG) 3) Jakość generatorów test widmowy 4) Generowanie liczb pseudolosowych o dowolnym rozkładzie a) transformacja rozkładu jednostajnego b) metoda von Neumanna (akceptacji i odrzucania) c) metoda von Neumanna z funkcją pomocniczą 5) Całkowanie Monte Carlo 16
17 Liczby (pseudo)losowe Dotychczas zajmowaliśmy się opisem zmiennych losowych. Nie było rozważane w jaki sposób się je otrzymuje. Często bardzo użyteczne jest posługiwanie się ciągiem zmiennych losowych. Z uwagi na konieczność przeprowadzania wielu operacji na takich ciągach- wykorzystujemy komputery. Metoda ich generacja powinna być oparta na odpowiednim procesie statystycznym (np. pomiar czasu pomiędzy rozpadami zachodzącymi w próbce z materiałem promieniotwórczym). Z uwagi na deterministyczny charakter metody generacji- komputery nie dają nam liczb losowych (przypadkowych)- są to liczby pseudolosowe.. Metoda analizy danych oparta na wykorzystaniu liczb (pseudo)losowych w programach komputerowych jest metodą Monte Carlo. 17
18 Zapis liczb w komputerze Najmniejszą jednostka informacji bit (0 lub 1). Zapisując k bitów, na k-1 bitów- tylko wartość bezwzględną kodowanej liczby, 1 bit do zapisu jej znaku. a=a (k-2) (k-2) 2 k-2 +a (k-3) 2 k-3 k a (1) 2 1 +a +a (0) 2 0 współczynniki a (j) : 0 lub 1. Postać binarna liczb nieujemnych: = = = = 3 18
19 Zapis liczb w komputerze Np: 213 (dziesiętnie) = 1*1+ 0*2+ 1*4+ 0*8+ 1*16+ 0*32+ 1*64+ 1*128= (binarnie) W przypadku liczb ujemnych na pierwszym bicie zapisywana jest 1. Posługujemy się bajtami- - jednostkami 8-bitowymi Współczesne komputery pracują na liczbach (16), 32, 64-bitowych Liczby bez znaku przyjmują wartości od 0 do 2 k, liczby ze znakiem -2 k-1 do 2 k-1-1, gdzie k to ilość bitów użytych do zapisania liczby Liczbę zmiennoprzecinkową zapisujemy jako: x= M*R E M to mantysa, R to podstawa, E to wykładnik Komputery zapisują liczbę z R=2, notacja naukowa to R=10 Zapis liczb: x= M10 E ; x=m2 E 19
20 GENERATOR LINIOWY KONGRUENTNY
21 Generatory liniowe kongruentne - Działanie komputera ma charakter deterministyczny. - Nie ma możliwości uzyskać generatora liczb pseudolosowych. - Komputer działa deterministycznie (kolejna generowana liczba jest funkcją liczb poprzednio generowanych). - Generator liniowy kongruentny LCG: x[j+1] = ( a*x[j] + c ) mod m - Maksymalny okres generatora - m. - c=0 - generatorem MLCG- - multiplikatywny generator liniowy kongruentny. 21
22 Generatory liniowe kongruentne Generatory MLCG są: - szybsze niż LCG - nie generują 0 - mają krótsze okresy. Wartość początkowa x[0] definiuje cały ciąg. Ciąg jest okresowy. Okres zależy od doboru parametrów i warunków: * c, m nie maja wspólnych dzielników * b = a-1 jest wielokrotnością każdej liczby pierwszej p, która jest dzielnikiem liczby m * b jest wielokrotnością 4 jeśli m tez jest wielokrotnością 4. 22
23 Generatory liniowe kongruentne testowanie jakości Wykonujemy test widmowy: : (x, x i i+1 i+1 ) Obsadzamy m z m 2 węzłów Szukamy prostych łączących obsadzone węzły sieci, wybieramy największą z odległości między nimi Dla rozkładów jednostajnych: odległość ~ m -1/2 (przestrzeń jest równomiernie wypełniona) Dla rozkładów niejednostajnych odległość << m -1/2 Najlepsze wyniki uzyskuje się łącząc ze sobą kilka generatorów liniowych 23
24 Generatory liniowe kongruentne c=0 a=157 m=32363 c=0 a=157 m=
25 GENERACJA LICZB METODĄ TRANSFORMATY LICZB Z INNEGO ROZKŁADU
26 Generowanie liczb losowych o dowolnym rozkładzie Metoda oparta na transformacji liczb wygenerowanych z rozkładu jednostajnego. y x: zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym: f(x)= 1, x in [0,1]; f(x)=0, x in [0,1] dy y=f(x) y: zmienną losową opisana gęstością prawdopodobieństwa g(y): g(y) f(x) x f(x)dx=g(y)dy dx=g(y)dy=dg(y) po zcałkowaniu: x=g(y). dx 0 1 x Zmienna losowa x ma rozkład jednostajny na odcinku [0,1], znana jest funkcja odwrotna: y= G -1 (x), funkcja g(y) opisuje gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej y. 26
27 Generowanie liczb mających rozkład Breita-Wigner'a g y = y a 2 2 y x=g y = g y dy= 2 y 2 4 y a 2 2 dy po zamianie zmiennych: u=2 y a x=g y = 1 a konkretnie: du= 2 dy =2 y a / 1 = 1 u 2 du = 1 [arctgu] 2 y a / =arc tg2 y a / 1 2 y=a 2 tg x 1 2 Liczby losowe x jednostajnie rozłożone na przedziale [0,1], to liczby losowe y mają rozkład Breita- Wigner'a. 27
28 Generowanie liczb mających rozkład Breita-Wigner'a g y = y a
29 GENERACJA LICZB METODĄ VON NEUMANNA
30 Generacja liczb losowych metodą von Neumann'a (akceptacji i odrzucania) Standardowa metoda generacji liczb losowych ma ograniczone zastosowanie. Dystrybuanta jest znana, możliwe jest znalezienie jej funkcji odwrotnej. Gdy znana jest tylko gęstość prawdopodobieństwa: metoda von Neumanna. Chcemy wygenerować liczby z rozkładu w kształcie półokręgu. Rozkład gęstości jest opisany wzorem: g y = 2 R 2 R 2 y 2 y R Generujemy N razy pary liczb (y,u). 30
31 Generacja liczb losowych metodą von Neumann'a (akceptacji i odrzucania) Składowa (y): rozkład jednostajny w przedziale zmienności [-R,R], Składowa (u): rozkład jednostajny na przedziale wartości, jakie przyjmuje g(y), czyli [0,R]. Dla każdej pary sprawdzany warunek: u<g(y). Spełniony? Akceptujemy liczbę y jako podlegającą rozkładowi g(y) Wydajność metody jest równa ilorazowi par zaakceptowanych do wszystkich par 31
32 Wydajność metody jest równa ilorazowi par zaakceptowanych do wszystkich par odrzucamy akceptujemy 32
33 Wydajność metody von Neumann'a b a g y dy E= b a u max Metodę von Neumann'a można uogólnić na przypadek wielowymiarowy, czyli na funkcję dowolnej liczby zmiennych losowych f x 1, x 2,... x n Generujemy zestawy liczb Sprawdzamy warunek u i f x 1 i, x 2 i,.., x n i Akceptujemy (lub odrzucamy) cały zestaw zmiennych x 1 i, x 2 i,... x n i, u i 33
34 GENERACJA LICZB METODĄ VON NEUMANNA Z FUNKCJĄ POMOCNICZĄ
35 Generacja liczb losowych metodą von Neumann'a (akceptacji i odrzucania) z funkcją pomocniczą Wydajność metody możnapoprawić: uogólniona metoda von Neumanna: [a)] Wybieramy gęstość prawdopodobieństwa s(y), którą możemy wygenerować przy pomocy metody odwrotnej transformaty. Najlepiej, żeby była to zmienna, której rozkład gęstości prawdopodobieństwa był podobny do rozkładu zmiennej, którą chcemy generować. [b)] Wybieramy stałą skalowania c taką, żeby: cs(y)=g(y)>=f(y) Funkcję s(y) (lub jej przeskalowanie) g(y) nazywamy funkcją pomocniczą. f(y) to nasz szukany rozkład 35
36 Generacja liczb losowych metodą von Neumann'a (akceptacji i odrzucania) z funkcją pomocniczą [c)] Generujemy jedną liczbę losową y podlegającą wybranemu rozkładowi w przedziale oraz drugą liczbę losową u (liczbę testową) rozłożoną jednostajnie w przedziale [0,1]. [d)] Akceptujemy liczbę y, jeżeli jest spełniony warunek: u f y g y Wydajność metody: E= b a b a g y dy f y dy 36
37 Generacja liczb losowych metodą von Neumann'a (akceptacji i odrzucania) z funkcją pomocniczą f y =I 0 y ; y 0 y a g y = y 1 I 0 a = a 1 G y = 1 2 y 2 y=x = I 0 a a Rozwiązujemy równanie kwadratowe: 1 2 y 2 y x=0 =1 2 x y= x x jest generowany z rozkładu jednostajnego [G(y min ), G(y max )]= = [0, G(a)] u jest generowane z rozkładu jednostajnego [0,1] Sprawdzamy warunek: u f y g y 37
38 38
39 CAŁKOWANIE MONTE-CARLO
40 Całkowanie Monte Carlo Korzystamy z metody von Neumanna ich akceptacji i odrzucaniu. Wyjdźmy ze wzoru na wydajność metody b a g y dy E= b a u max = n N Przyjmuje się, że N par liczb losowych (yi,u,ui), i=1,...,n zostało wygenerowanych zgodnie z tą metodą oraz, że w wyniku spełnienia warunku (von Neumanna). N-n par zostało odrzuconych. 40
41 Całkowanie Monte Carlo Czyli nasza poszukiwana całka: b I = a g y dy= b a u max n N Możliwe jest obliczenie DOWOLNEJ całki oznaczonej poprzez bardzo prostą generację liczb z rozkładu jednostajnego! :-) Można przykład rozszerzyć na przypadek wielu zmiennych Dokładność metody I I = 1 N zakceptowane 41
42 KONIEC WYKŁADU 4
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4 6.03.08 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 07/08 Zamiana zmiennych Transformacje liniowe Propagacja niepewności
Bardziej szczegółowoGeneracja liczb pseudolosowych
Generacja liczb pseudolosowych Zapis liczb w komputerze Generatory liczb pseudolosowych Liniowe kongruentne Liniowe mutiplikatywne kongruentne Jakość generatorów Test widmowy Generowanie liczb losowych
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 4 8.03.06 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr letni 05/06 Zamiana zmiennych Transformacje liniowe Propagacja niepewności Metody Monte
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak
Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoAlgorytmy zrandomizowane
Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 3 11.03.2016 dr inż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Wykłady z poprzednich lat (dr inż. H. Zbroszczyk): http://www.if.pw.edu.pl/~gos/student
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK - KATEDRA AUTOMATYKI Technologie Informacyjne www.pk.edu.pl/~zk/ti_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład: Generacja liczb losowych Problem generacji
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoInstytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha.
Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. 1. Cel ćwiczenia
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Bardziej szczegółowoPojęcie funkcji. Funkcja liniowa
Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry
Bardziej szczegółowoARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010
ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowoElementy statystyki wielowymiarowej
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoProgram MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=
Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoEstymacja w regresji nieparametrycznej
Estymacja w regresji nieparametrycznej Jakub Kolecki Politechnika Gdańska 28 listopada 2011 1 Wstęp Co to jest regresja? Przykład regresji 2 Regresja nieparametryczna Założenia modelu Estymacja i jej charakterystyki
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoPodstawy symulacji komputerowej
Podstawy symulacji komputerowej Wykład 3 Generatory liczb losowych Wojciech Kordecki wojciech.kordecki@pwsz-legnica.eu Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy Wydział Nauk Technicznych
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoObliczenia Symboliczne
Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRozkłady dwóch zmiennych losowych
Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe
Bardziej szczegółowoFunkcje. Część pierwsza. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Funkcje Część pierwsza Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? y(x) x Co to są funkcje? Funkcja dla każdego argumentu ma określoną dokładnie jedną
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowo