EODA ELEENÓW SKOŃCZONYCH PRZYKŁAD. B zminnym przrju z ciążnim trójątnym. Sprządzić wyrs sił przrjwych, rz inii ugięci. p N/m α α A P Np N m Nm,p L,m A x I(x I( B Przd dnnim dysrtyzcji rzwżymy dw zgdnini: - udw mcirzy sztywnści mntu; - udw wtr ciążń mntu uwzgędnijącg wpływ ciążń międzywęzłwych.. cirz sztywnści mntu wg z zżnści v ϕ v ϕ q cirz sztywnści mntu wg rśimy w nym ułdzi współrzędnych x, y, z rzystjąc z pznnych wczśnij wzrów trnsfrmcyjnych sycznj mtdy przmiszczń. W zdniu ułd gny i ny ni są rócn wzgędm sii. Dw węzły ( i, żdy p dw stpni swdy w węzłch (v i ϕ. Wtr przmiszczń węzłwych mntu q jst cztrsłdniwy. Odpwidjący mu wtr ciążń węzłwych mntu jst równiż -słdniwy. cirz sztywnści mntu jst słdniw. q Z wzrów trnsfrmcyjnych mtdy przmiszczń d pręt ustrnni utwirdzng: υ υ v v (ϕ ϕ (ϕ ϕ (ϕ ϕ v v
v v ( ϕ ϕ v v ( ϕ ϕ v v ( ϕ ϕ v v ( ϕ ϕ - - - - - - v ϕ v ϕ - - - - - -. Rducj ciążń międzywęzłwych d węzłów - wtr ciążń Dysrtyzcji pdgją tż: spsó pdprci j i ciążni. W przypdu ciążni międzywęzłwg ciągłg nży zstąpić jg dziłni zstępczymi ciążnimi supinymi dziłjącymi w węzłch t, y prc ciążni zstępczg δl ył równ prcy ciążni ciągłg L p Pszuiwny wtr zstępczych sił węzłwych mntu: żmy wtdy wtr mntrnych sił węzłwych q rzdziić n dw wtry i wtdy w q przypdu, gdy w w. gdzi: - wtr sił węzłwych w Prc ciążni zstępczg n wirtunym stni przmiszczń węzłów L δ v δϕ δv δϕ δq. pdx, ( ( Prc ciągłg ciążni międzywęzłwg n wirtunj inii ugięci L p : L p δv ( x p( x dx D jj iczni ptrzn jst znjmść inii ugięci i v(x. Przyjmując xξ mżmy zpisć inię ugięci v ( ξ ξ ξ ξ. Jst t ścisły wzór w pstci wiminu -g stpni n ini ugięci I ( v, gdy siły i mmnty dziłją ty n ńcch.
dv dv Stł i wyznczmy z wrunów rzgwych uwzgędnijąc, ż ϕ : dx dξ v ( v v, v' ( ϕ ϕ '( ϕ ϕ v ( v ϕ v v Rzwiązując ułd równń złżny z równń i trzymmy: v ϕ v ϕ, v ϕ v ϕ P pdstwiniu i uprządwniu: v( ξ ( ξ ξ v ( ξ ξ ξ ϕ ( ξ ξ v ( ξ ξ ϕ Wprwdzjąc znczni N i, i,..., - funcj prsymując (tzw. funcj sztłtu mżmy mcirzw zpisć: v( ξ N q, { { gdzi N[N N N N ] jst mcirzą funcji sztłtu (mcirz prsymując. (x (x Pszczgón funcj sztłtu rśją inię ugięci i wywłną jdnstwym przmiszcznim przy przmiszcznich równych zru, np. N t v(x, gdy ϕ i v v ϕ. L p Przz ngię z wzrm mżmy zpisć, ż L p δ ( Nδq p( ξ dξ q L N N δ pdξ pdξ q p ξ ξ p ξp W przypdu ciążni zminng iniw: ( ( ( ξ ( ξ ξ (ξ ( ξ [( ξ p ξ p ] ξ ξ ξ [( ξp ξp ] [( ξ p ξp ] [( ξ p ξp ] dξ dξ dξ dξ [( ξ ξ ξ ξ p ( ξ ξ ξ p ] dξ [( ξ ξ ξ ξ p ( ξ ξ ξ p] [( ξ ξ ξ p (ξ ξ p ] [( ξ ξ ξ p ( ξ ξ p ] dξ dξ dξ
Wyrzystując zpisy: ξ ξ / d ξ d ξ ξ / ξ d ξ ξ / ξ d ξ ξ d ξ trzymmy: ( 7 p ( p p p ( p p ( p 7 p q q gdy p p q cnst t q q q q q Wtr mżn trtwć j siły przciwn (ujmn d rcji w ddtw wprwdznych więzch iminujących przmiszczni (pręt ustrnni utwirdzny. p p p x x y y 8 p p 9 9 7. Pdził n dw mnty dysrtyzcj.,7, X r r r r r r Y m m K r R Wtr sił węzłwych R rzdzimy n dw wtry tzn. R R, gdzi R - gny wtr sił węzłwych wynijący z ciążni przyłżng zpśrdni d węzłów nstrucji; - wtr sił węzłwych nstrucji wynijących z ciążni międzywęzłwg.
X r r r r r r N Nm cirz sztywnści mntów w ułdzi gnym są nstępując:,, -,, 97 97 97 97,, -,, 97 7 97 8 -, -,,, 97 97 97 97,, -,, 97 8 97 7 r r r r r r r r w. ( w. (,, -,, 9 8 9 8,, -,, 8 8 8 7 -, -,, -, 9 8 9 8,, -,, 8 7 8 8 r r r r r r r r w. ( w. ( N ch mcirzy zpisn są gn numry stpni swdy nstrucji r i ( i,..., dpwidjąc stpnim swdy mntu. Opisują n spsó płączni mntów rz spsó rzmiszczni pszczgónych słdniów mcirzy przy grgcji gnj mcirzy sztywnści nstrucji. W prgrmch mputrwych numry t są przchwywn w tzw. ticy cji, tórj pszczgón umny tzw. wtry cji dtyczą jdng mntu. Wtr cji mntu i : ϕ ϕ i ϕ ϕ i mnt mnt Z wtrów cji wyni zgdnść przmiszczń węzłów wspónych np.: v v r i ϕ ϕ r
Agrgcji mcirzy sztywnści j pprzdni z równń równwgi r r r r r r Zr Zr r r K r 97 97 7 8 9 8 r r r,, -,, 97 97 97 97,, -,, 97 7 97 8 -, -,, -, -,,,, -,, -, 97 8 8 8 7 -, -,, -, 9 8 9 8,, -, 8 7 8 8 r ϕ r r P p ϕ r r r ϕ r ϕ r R ni (r : (, 97r (, 9r, 97r P, 97r r p, 97r 9 r r r p, 8r, 9r, 8r P r r r r R ni (r : (, 97r, 97r p p p ( 9, 7r, 8r, 9r, 8r
p, 8,9 p p 9, 9,,9 9,9,9, 8,9 9,9,9, α [N],, α [Nm] Pdził n cztry mnty 9,,87,,7, X r r r r r r r r r 7 r 9 8 Y m m m m 8,,,7 9, 8, 7, α [N],,,, α [Nm] 7,7 Pdził n sim mntów Pdni j wyżj, cz uzys się jszcz rdzij dłdn wynii. 7