1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003. 2. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 2, Analiza funkcji jednej zmiennej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2001. 3. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1: definicje, twierdzenia, wzory., Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008. 4. Teresa Jurlewicz, Zbigniew Skoczylas: Algebra liniowa 1: Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2007. Literatura uzupełniająca 1. Erich Steiner : Matematyka dla chemików, Warszawa, Wydaw. Naukowe PWN, 2001. 2. Halina Pidek Łopuszańska: Matematyka dla chemików, Wiedza Powszechna, Warszawa 1974. 1. Wiadomości wstępne. 2. Przegląd funkcji elementarnych. 3. Ciągi. Granice ciągów. 4. Granice funkcji. Ciągłość funkcji. Program wykładu 5. Obliczanie pochodnych. Zastosowanie pochodnych. Reguła de L Hospitala. 6. Macierze i działania na macierzach. Wyznaczniki. 7. Macierz odwrotna. Rozwiązywanie układów równań liniowych. 8. Całka nieoznaczona i oznaczona. Zastosowanie całek. Zasady zaliczenia Egzamin testowy po zakończeniu wykładów, warunkiem przystąpienia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń, na ocenę pozytywną wymagane jest uzyskanie powyżej 50% punktów, ocena 4, 5 lub 5 z zaliczenia ćwiczeń zwalnia z egzaminu (zostanie wpisana ocena z ćwiczeń). dr Aleksandra Nowel Instytut Matematyki Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki UG Wita Stwosza 57, Gdańsk pokój 317 (IIIp.) tel. (58) 523 25 28 http://mat.ug.edu.pl/ olanowel/ Aleksandra.Nowel@mat.ug.edu.pl Prowadzący
konsultacje zostaną ustalone w drugim tygodniu zajęć 2 Funkcje elementarne Definicja 1 Funkcją (odwzorowaniem) f : X Y ze zbioru X do zbioru Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f. Niech D R, dana jest funkcja f : D R. Definicja 2 Jeśli dla dowolnych x 1, x 2 D zachodzi: x 1 < x 2 x 1 < x 2 x 1 x 2 f(x 1 ) < ( ) f(x 2 ), to f jest funkcją rosnącą (niemalejącą); f(x 1 ) > ( ) f(x 2 ), to f jest funkcją malejącą (nierosnącą); f(x 1 ) f(x 2 ), to f jest funkcją różnowartościową. 3 Funkcja liniowa 1. Funkcja liniowa: f : R R, f(x) = ax + b, wykresem jest prosta. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym funkcji f, a = tg α, gdzie α oznacza kąt nachylenia wykresu funkcji f do osi odciętych; b = f(0) wyznacza punkt przecięcia wykresu z osią rzędnych, nazywany jest wyrazem wolnym. Jeśli a = 0 to wykresem f jest prosta równoległa do osi odciętych, a f nazywamy funkcją stałą. Wykresy dwóch funkcji liniowych f 1 (x) = a 1 x + b 1, f 2 (x) = a 2 x + b 2 są równoległe jeśli a 1 = a 2, prostopadłe jeśli a 1 a 2 = 1. 2
4 Funkcja kwadratowa 2. Funkcja kwadratowa: f : R R, f(x) = ax 2 + bx + c, a 0, wykresem jest parabola. Niech = b 2 4ac, liczbę tę nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego ( ax 2 +bx+c. b Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie 2a, ). 4a Jeśli > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: x 1 b +. 2a = b, x 2 = 2a Jeśli = 0, to funkcja kwadratowa ma jedno (podwójne) miejsce zerowe: x 0 = b 2a. Jeśli < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych. 3
5 Wielomiany 3. Wielomian (funkcja wielomianowa): f(x) = a n x n +a n 1 x n 1...+a 1 x+a 0, n N, a n 0. Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu. Funkcja kwadratowa jest więc wielomianem stopnia 2, funkcja liniowa jest wielomianem stopnia 1 lub, gdy jest funkcją stałą, stopnia 0. Wielomian nieparzystego stopnia ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje się rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia 1 i (nierozkładalnych) wielomianów stopnia 2. 4
Dzielenie wielomianów Dane są wielomiany W (x) i P (x). Ilorazem wielomianu W (x) przez wielomian P (x) nazywamy taki wielomian Q(x), że spełniona jest równość W (x) = Q(x) P (x). Jeśli taki wielomian istnieje, to mówimy, że W (x) jest podzielny przez P (x). Wielomian P (x) nazywamy wtedy dzielnikiem wielomianu W (x). Dla wielomianów, podobnie jak dla liczb całkowitych, określa się dzielenie z resztą. Jeżeli W (x) i P (x) są wielomianami oraz P (x) 0, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że W (x) = Q(x) P (x) + R(x), przy czym albo wielomian R(x) = 0 i wtedy W (x) jest podzielny przez P (x), albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P (x). Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x). Algorytm dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian P (x): 1. Uporządkować dwa wielomiany (zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej). 2. Podzielić pierwszy wyraz dzielnej W (x) przez pierwszy wyraz dzielnika P (x). 3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez dzielnik i odjąć od dzielnej. W wyniku odejmowania powstaje reszta R 1 (x). 4. Pierwszy wyraz reszty R 1 (x) należy podzielić przez pierwszy wyraz dzielnika P (x). 5
5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez dzielnik i odjąć od reszty R 1 (x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R 2 (x). 6. Punkty 4 5 powtarzamy do uzyskania reszty równej zero lub reszty, której stopień jest niższy od stopnia dzielnika P (x). Równania i nierówności wielomianowe Definicja 3 Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (a) = 0. Twierdzenie 4 Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez (x a). Definicja 5 Liczbę a nazywamy pierwiastkiem k krotnym wielomianu W (x), jeśli W (x) jest podzielny przez (x a) k i nie jest podzielny przez (x a) k+1. Twierdzenie 6 Jeżeli współczynniki wielomianu W (x) = a n x n +a n 1 x n 1...+a 1 x+a 0, n N, a n 0 są liczbami całkowitymi i liczba wymierna p (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem q tego wielomianu, to p jest dzielnikiem a 0, a q jest dzielnikiem a n. Algorytm rozwiązywania równania W (x) = 0 lub nierówności W (x) > (, <, ) 0 1. Rozkładamy W (x) na czynniki (wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów, wzory skróconego mnożenia, twierdzenie o pierwiastku wielomianu i o pierwiastkach wymiernych oraz wykorzystanie algorytmu dzielenia wielomianów). 2. Znajdujemy pierwiastki wielomianu rozwiązanie równania. 3. Określamy krotność pierwiastków. 4. Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej. 5. Określamy znak współczynnika a n przy najwyższej potędze x. 6. Szkicujemy wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony, od góry jeśli a n > 0, od dołu jeśli a n < 0; wykres przecina oś odciętych w pierwiastkach o nieparzystej krotności, styka się i odbija od osi odciętych w pierwiastkach o parzystej krotności. 7. Odczytujemy rozwiązanie nierówności z wykresu. 6 Funkcja wymierna Dane są wielomiany P (x), Q(x) 0 oraz zbiór Z miejsc zerowych wielomianu Q(x). 4. Funkcja wymierna: f : R \ Z R, f(x) = P (x) Q(x). Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna. Jest to odwzorowanie postaci f(x) = ax + b cx + d, gdzie c 0, ad bc 0. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Posiada ona dwie asymptoty: pionową o równaniu x = d c oraz poziomą o równaniu y = a c. 6
7 Funkcja wykładnicza 5. Funkcja wykładnicza: f(x) = a x, a 1, a > 0. Liczbę a nazywamy podstawą funkcji wykładniczej f. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, tzn. a x = a y x = y. Własności funkcji wykładniczej: a x a y = a x+y ax a y = ax y (a x ) y = a xy (ab) x = a x b x Często podstawą funkcji wykładniczej będzie liczba e (o niej później), oznacza się exp x = e x. 7
Równania, nierówności wykładnicze Równania i nierówności wykładnicze rozwiązujemy, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji wykładniczej. Najpierw, korzystając z własności funkcji wykładniczej, sprowadzamy równanie lub nierówność do najprostszej postaci: a x = a y x = y dla 0 < a < 1: a x a y x y dla a > 1: a x a y x y (analogicznie dla pozostałych nierówności <, >, ). 8 Logarytm, funkcja logarytmiczna Definicja 7 Dane są liczby rzeczywiste a, a > 0, a 1 oraz x > 0. Liczbę y nazywamy logarytmem przy podstawie a z x (oznaczamy y = log a x) wtedy i tylko wtedy, gdy a y = x. Oznaczamy: log x = log 10 x, ln x = log e x. Przykład 8 log 2 4 = 2, log 1000 = 3, log 2 3 9 = 2, ln 1 = 1, log 4 e a 1 = 0 8
6. Funkcja logarytmiczna: f : (0; + ) R, f(x) = log a x, a 1, a > 0. Liczbę a nazywamy podstawą funkcji logarytmicznej f. Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Jest to funkcja różnowartościowa, tzn. log a x = log a y x = y. Własności funkcji logarytmicznej: log a xy = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x y = y log a x log b x = log a x log a b a log a x = x log a a x = x Odczyn ph roztworu określa się wzorem ph= log[h 3 O + ], gdzie [H 3 O + ] oznacza stężenie jonów hydroniowych H 3 O + w roztworze, mierzone w molach na dm 3. Woda ma odczyn obojętny, ph= 7. Roztwory o ph mniejszym od 7 są kwasowe, roztwory o ph większym od 7 są zasadowe. Przykład 9 Sprawdzić, jaki odczyn (kwasowy czy zasadowy) mają: wino (stężenie jonów H 3 O + jest równe 4 10 4 ) woda morska (stężenie jonów H 3 O + jest równe 2, 2 10 9 ) 9
Równania, nierówności logarytmiczne Równania i nierówności logarytmiczne rozwiązujemy, korzystając z różnowartościowości i monotoniczności funkcji logarytmicznej. Najpierw wyznaczamy dziedzinę równania lub nierówności. Następnie, korzystając z własności funkcji logarytmicznej, sprowadzamy równanie lub nierówność do najprostszej postaci: log a x = log a y x = y dla 0 < a < 1: log a x log a y x y dla a > 1: log a x log a y x y (analogicznie dla pozostałych nierówności <, >, ) 9 Funkcje trygonometryczne 7. Funkcje trygonometryczne: Własności: (a) f : R 1; 1, f(x) = sin x, funkcja sinus; funkcja okresowa o okresie 2π (b) f : R 1; 1, f(x) = cos x, funkcja cosinus; funkcja okresowa o okresie 2π (c) f : R \ { π + kπ, k Z} R, f(x) = tg x, funkcja tangens; funkcja okresowa o 2 okresie π (d) f : R\{kπ, k Z} R, f(x) = ctg x, funkcja cotangens; funkcja okresowa o okresie π sin 2 x + cos 2 x = 1 tg x = sin x cos x ctg x = 1 tg x sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x 10
10 Funkcje cyklometryczne 8. Funkcje cyklometryczne (odwrotne do funkcji trygonometrycznych obciętych do pewnych przedziałów): (a) f : 1; 1 π; π, f(x) = arcsin x, funkcja arcus sinus 2 2 (b) f : 1; 1 0; π, f(x) = arccos x, funkcja arcus cosinus (c) f : R ( π; π ), f(x) = arctg x, funkcja arcus tangens 2 2 (d) f : R (0; π), f(x) = arcctg x, funkcja arcus cotangens 11
12
Przykład 10 arcsin 1 2 = π 6, bo π 6 π 2 ; π 2 i sin π 6 = 1 2 13
arcsin 3 = π, bo π π; π i sin π = 3 2 3 3 2 2 3 2 arccos 1 = 0, bo 0 0; π i cos 0 = 1 arctg 1 = π 4, bo π 4 ( π 2 ; π 2 ) i tg π 6 = 1 2 arctg( 1) = π 4, bo π 4 ( π 2 ; π 2 ) i tg ( π 4 ) = 1 Przykład 11 Uwaga: arcctg( 1) = 3π 4 (nie π 4 ), bo 3π 4 (0; π) i ctg 3π 4 = 1; π 4 (0; π)! 14