D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 1 Plnownie złożonych przedsięwzięć wieloczynnościowych (Project Mngement - zrządznie projektmi) Anlizujemy złożone przedsięwzięci wieloczynnościowe. Kżde tkie przedsięwzięcie dje się opisć z pomocą skończonej liczy pojedynczych, wzjemnie ze soą powiąznych czynności (mniejszych przedsięwzięć). Powiązni pomiędzy czynnościmi przyierją dwie formy: równoległość rozumin jko możliwość niezleżnego wykonywni dnych czynności w tym smym czsie orz szeregowość polegjąc n tym, iż dn czynność (lu grup czynności) może yć wykonywn dopiero po zkończeniu pewnej czynności (lu grupy czynności), które nzywmy czynnościmi poprzedzjącymi. Ogół dziłń związnych z hrmonogrmowniem i nlizowniem przedsięwzięć nzywmy plnowniem sieciowym, które relizujemy z pomocą tzw. metod sieciowych. Do njrdziej znnych nleżą nstępujące metody: CPM (Criticl Pth Method; metod ścieżki krytycznej), PERT (Progrmm Evolution nd Review Technique) - progrm oceny i przeglądu technik, LESS (Lest Cost Estimting nd Scheduling) - ocen njmniejszych kosztów i hrmonogrmownie orz RAMPS (Resource Alloction in Multi-Project nd Scheduling) - przydził środków produkcyjnych w złożonych przedsięwzięcich i hrmonogrmownie.
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT Modelownie złożonych przedsięwzięć wieloczynnościowych Złożone przedsięwzięci wieloczynnościowe modelujemy z pomocą grfów skierownych nzywnych siecimi, Ściślej ędą to sieci zredukowne, tj. grfy skierowne ez pętli włsnych, łuków równoległych, ez wierzchołków izolownych i owodów skierownych, o jednym źródle i jednym odpływie. Porównnie symoliki i nzewnictw w plnowniu sieciowym i teorii grfów podje tel: oznczenie symoliczne plnownie sieciowe teori grfów czynność łuk, krwędź zdrzenie wierzchołek Czynność - odwzorowuje wykonywnie dowolnego zdni cząstkowego. Jest ztem procesem trwjącym w czsie. Proces ten "zużyw" nie tylko czs, le również środki, pociąg koszty związne z jego relizcją, itp. Częstym zjwiskiem występującym w plnowniu sieciowym są czynności pozorne (fikcyjne), tj. czynności nie wymgjące nkłdów czsu i środków. Zdrzenie - termin ten określ rozpoczęcie lu zkończenie jednej lu więcej czynności. Kżde ze zdrzeń m w sieci swoją etykietę - nzwę lu njczęściej numer. Numercj zdrzeń powinn yć rosnąc, tj. że dl kżdej czynności rozpoczynjącej się w zdrzeniu o numerze i kończącym w zdrzeniu o numerze j zchodzi. Wżnym pojęciem jest pojęcie zjści zdrzeni. Mówimy, że zdrzenie zszło jeżeli zkończone zostły wszystkie czynności, dl których to zdrzenie jest zdrzeniem końcowym. Etpy plnowni sieciowego udow sieci nliz sieci nliz czsow (np. CPM, PERT) nliz kosztowo-czsow (np. LESS) nliz sieci pod kątem optymlnego zużyci zsoów (np. RAMPS)
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 3 STOCHASTYCZNA nliz czsow przedsięwzięci (metod PERT) Zkłdmy, że czsy trwni czynności nie są ściśle określone (są zmiennymi losowymi). CEL nlizy PERT 1. Wyznczyć hrmonogrm o njkrótszym czsie relizcji przedsięwzięci (n poziomie wrtości oczekiwnych),. Ustlić wąskie grdł przedsięwzięci (czynności krytyczne) orz 3. Ustlić sznsę dotrzymni terminu dyrektywnego W klsycznym podejściu PERT przyjmuje się, że czsy trwni czynności mją rozkłdy Bet z wrtościmi oczekiwnymi Et orz wrincjmi D t, tj. t :B E t, D t Nkłd się pewne ogrniczeni n rozkłd czsu trwni czynności (i,j), tj. n funkcję gęstości f t 1. czs trwni czynności t, rozptruje się w przedzile t, t, tj. zkłd się że prwdopodoieństwo zrelizowni czynności (i,j) w czsie krótszym niż t lu dłuższym niż t wynosi zero, tj. P t t 0 P t t 0. doór prmetrów funkcji Bet, któr jest podstwą w formułowniu funkcji gęstości f t jest tki, y rozkłd prwdopodoieństw czsu trwni czynności ył rozkłdem symetrycznym prwostronnie, tj. dominnt wrtość oczekiwn
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 4 Metod PERT - wstwk dl dociekliwych W metodzie PERT zkłd się, że czsy trwni czynności t m t ( t ) są zmiennymi losowymi o rozkłdzie Bet : B Et ; D t f t t t t,, t t t t 1 t t 1 1 0 0 4 Prmetry orz są tk dorne, y uzyskć dominnt Mo t symetrię prwostronną rozkłdu. t t wrtość oczekiwn m t 4t t E t 6 D t Przykłd: t 5 t t 0 wrincj prmetry ksztłtu i skośności: =1 orz =3 8,75 10 6,5 t t 36
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 5 Fz I (wstępn) Anlizę czsową sieci stochstycznej metodą PERT rozpoczyn się od fzy wstępnej, któr poleg n oszcowniu dl kżdej czynności wrtości oczekiwnej i wrincji czsu trwni czynności. Oznczmy estymtory: m - wrtości oczekiwnej Et czsu trwni czynności (i,j) S - wrincji D t czsu trwni czynności (i,j) m t t m t 4 6 S t t 6 t - ocen ekspertów dl njkrótszego czsu trwni czynności (i,j), tj. optymistyczny czs trwni czynności m t - ocen ekspertów dl njczęściej spotyknego czsu trwni czynności (i,j), tj. njrdziej prwdopodony czs trwni czynności (dominnt) t - ocen ekspertów dl njdłuższego czsu trwni czynności (i,j), tj. pesymistyczny czs trwni czynności
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 6 Fz II (zsdnicz) Dlsze dziłni nlizy czsowej sieci stochstycznej są nlogiczne jk dl sieci deterministycznej (CPM). Z tym, że zmist ustlonych (nielosowych) jk w CPM czsów t, metod PERT używ w etpch I-VI wrtości oczekiwnych m. W etpie II przyjmujemy n początek termin dyrektywny (TD) TD t t 0 1 n n Fz III (końcow) W klsycznym podejściu PERT korzyst się z centrlnego twierdzeni grnicznego. Twierdzenie to orzek, że sum (różnic) dużej liczy niezleżnych zmiennych losowych o tym smym rozkłdzie m rozkłd symptotycznie normlny. Poniewż hrmonogrm jest wyliczny n podstwie wrtości oczekiwnych, to kżdy wyliczony termin podny jest n poziomie wrtości oczekiwnej zmiennej któr m rozkłd symptotycznie normlny. Szns dotrzymni terminu dyrektywnego (TD) n poziomie terminu njwcześniejszego ( t n 0 ) wynosi w metodzie PERT 50%.
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 7 Njczęściej zdwnym pytniem w nlizie czsowej PERT jest pytnie o prwdopodoieństwo dotrzymni terminu dyrektywnego TD. Oznczmy: t n - termin relizcji przedsięwzięci (zmienn losow) Termin relizcji przedsięwzięci w metodzie PERT (t n ) m rozkłd normlny (symptotycznie) z wrtością oczekiwną mt n równą 0 wrtości oczekiwnej terminu njwcześniejszego ( t n ) i z wrincją S t n równą sumie wrincji czsów trwni czynności nleżących do zioru czynności krytycznych C, tj. t : N mt t, St S :( i, j ) C 0 n n n n Szns dotrzymni dowolnego terminu dyrektywnego TD jest wyliczn w metodzie PERT z wykorzystniem tlic dystryunty rozkłdu normlnego N(0,1) TD Ptn TD FTD S t mt n W klsycznym podejściu PERT przyjmuje się, że termin dyrektywny TD powinien yć doierny tk, y szns jego dotrzymni zwierł się w grnicch od 30% do 60%, tj. t TD 0, 6 0,3 P n Hrmonogrm o sznsie relizcji poniżej 30% nzyw się hrmonogrmem ryzyknt. Hrmonogrm o sznsie relizcji powyżej 60% nzyw się hrmonogrmem sekurnt. n
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 8 PRZYKŁAD czynność opis czynności czynności ezpośrednio poprzedzjące A Wykonnie projektu produktu rk Wykonnie plnu dń rk B C rynku Przygotownie technologii produkcji D Zudownie prototypu A A E Przygotownie roszury reklmowej F Ocen kosztów C D G Wstępne testownie produktu D H Bdnie rynku B E I Rport cenowy i prognozy H J Rport końcowy F G I A
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 9 czynność t czs trwni czynności (oceny ekspertów) [tygodnie] t m wrtość oczekiwn wrincj t m S A 4 6 14 7,78 B 1 3 0,11 C 3 4 17 6 5,44 D 4 6 14 7,78 E 3 4 3 0,11 F 1 3 0,11 G 4 5 18 7 5,44 H 3 10 4 1,78 I 8 3 1,00 J 1 3 0,11
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 10 czynność (i,j) m S rozpoczęcie zkończenie zps czsu NWP NPP NWK NPK ZC czynność krytyczn A 7,78 0 0 7 7 0 TAK B 0,11 0 1 14 1 nie C 6 5,44 7 13 13 19 6 nie D 7,78 7 7 14 14 0 TAK E 3 0,11 7 11 10 14 4 nie F 0,11 14 19 16 1 5 nie G 7 5,44 14 14 1 1 0 TAK H 4 1,78 10 14 14 18 4 nie I 3 1,00 14 18 17 1 4 nie J 0,11 1 1 3 3 0 TAK Oczekiwny termin zkończeni przedsięwzięci wynosi m t 0 t 3 8 8 Wrincj tego terminu wynosi (sum wrincji czsu trwni czynności krytycznych) S A SD SG SJ =,78+,78+5,44+0,11 = 11,11 Odchylenie stndrdowe terminu końcowego jest równe 11,11 3,33
D Miszczyńsk, M.Miszczyński KBO UŁ, Bdni opercyjne, metod PERT 11 Termin zkończeni przedsięwzięci m rozkłd normlny (symptotycznie) z wrtością oczekiwną 3 i odchyleniem stndrdowym 3,33, tj. t 8 : N ( 3 ; 3,33 ) Prwdopodoieństwo dotrzymni dowolnego terminu dyrektywnego (TD) wyzncz się wykorzystując tlice dystryunty rozkłdu normlnego dl zmiennej losowej U:N(0;1), tj. P{t 8 TD}= = P{ (t 8 3)/3,33 (TD 3)/3,33 } = = P{U (TD 3)/3,33 } = = [ (TD 3)/3,33 ] Termin dyrektywny (TD) nleży ustlć tk, y szns jego dotrzymni mieścił się w grnicch 30-60%, tj. 0,3 P{t 8 TD} 0,6 Termin dyrektywny (TD) tki, że P{t 8 TD} 0,3 P{t 8 TD} 0,6 termin ryzyknt termin sekurnt