PodstawyGeodezji Teoria błędów pomiarów geodezyjnych mgr inŝ. Geodeta Tomasz Miszczak e-mail: tomasz@miszczak.waw.pl
Wyniki pomiarów geodezyjnych będące obserwacjami (L1, L2,, Ln) nigdy nie są bezbłędne. Stanowią jedynie wartości przybliŝone pewnych nieznanych nam wartości prawdziwych wielkości przez nas mierzonych. Obserwacje obarczone są licznymi błędami wynikającymi z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmiennych i niejednorodnych warunków atmosferycznych, otaczającego nas środowiska oraz wpływu zmysłów obserwatora w trakcie wykonywania pomiarów.
Źródła powstawania błędów mogą mieć charakter: a. Przypadkowy b. Systematyczny c. Omyłkowy (gruby)
Rodzaje błędów: Błąd prawdziwy ε jest to róŝnica między wartością pomierzoną L 0 i wartością prawdziwą spostrzeŝenia X : ε = L 0 X czyli X = L 0 ε W równaniu tym znana jest tylko wartość pomierzona, poniewaŝ wartość prawdziwa wielkości mierzonej jest z reguły nieznana, zatem nie jest takŝe znany błąd prawdziwy obserwacji. W praktyce geodezyjnej naleŝy dąŝyć do uzyskania wartości najbliŝszych wartości prawdziwej. Będzie to wartość najbardziej prawdopodobna.
Błąd pozorny spostrzeŝenia -v stanowi róŝnicę pomiędzy wartością pomierzoną i wartością wyrównaną spostrzeŝenia Lw. -v = Lw L 0 Poprawka wyrównawcza v jest to wielkość równa błędowi pozornemu, lecz z przeciwnym znakiem. Wartość poprawki v naleŝy dodać do spostrzeŝenia L 0 aby otrzymać jego wartość wyrównaną Lw L 0 + v = Lw
KaŜdy pomiar jakiejkolwiek wielkości niewiadomej zawsze jest obciąŝony błędem przypadkowym. Jego wielkość moŝe być większa lub mniejsza. Do wyznaczenia jakiejkolwiek wielkości pojedynczej czy większej liczby niewiadomych, związanych znanymi zaleŝnościami naleŝy wykonać więcej obserwacji niŝ jest to niezbędne dla jednoznacznego wyznaczenia mierzonej wielkości. Te dodatkowe spostrzeŝenia zwane są obserwacjami nadliczbowymi. Porównując wyniki bezpośrednich pomiarów kaŝdorazowo otrzymamy inną wartość wielkości podlegającej pomiarowi, wyniki będą jednak zbliŝone do siebie. Pozostaje zatem sprawa ustalenia wielkości która będzie stanowiła wielkość najbardziej zbliŝoną do nieznanej nam wielkości prawdziwej. NaleŜ zatem dokonaćw wynikach obserwacji takich uzgodnień między nimi, aby dawały jednoznacznie najbardziej prawdopodobne rozwiązanie. Takie postępowanie nosi nazwę rachunku wyrównawczego. Polega na tym, Ŝe do wyników bezpośrednich spostrzeŝeń naleŝy obliczyć takie poprawki v, aby wielkości poprawione dały jednoznaczny układ wartości niewiadomych.
Pomiar wyniki rozkład normalny Błędy przypadkowe
Abraham de Moivre (1667-1754) fr: abȑa:m d mwavȑ francuski matematyk Rozkład normalny Carl Friedrich Gauss (1777-1855) niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta Rozkład normalny, rozkład Gaussa (w literaturze francuskiej zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a) Krzywa dzwonowa
Prawo błędów Gaussa Teoria błędów wykresem jest krzywa prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego zwana krzywą de Moivre a- Gaussa, gdzie φ(ε) jest funkcją określającą zmiany prawdopodobieństwa pojawienia się błędu εi.
Z krzywej prawdopodobieństwa wynikają następujące wnioski: - najbardziej prawdopodobne jest pojawienie się błędu przypadkowego ε równego zero, - prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej, lecz z róŝnymi znakami jest jednakowe, - prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niŝ prawdopodobieństwo błędu większego, - zwiększenie dokładności pomiaru powoduje zmniejszenie prawdopodobieństwa pojawienia się błędów o duŝych wartościach liczbowych, - przy zwiększeniu liczby spostrzeŝeń n suma błędów przypadkowych [ε] dąŝy do zera. Zgodnie z załoŝeniami Gaussa funkcja rozkładu błędów przypadkowych osiąga maksimum (największą wiarygodność) przy spełnieniu warunku [εε] = minimum Najbardziej wiarygodne byłoby, gdyby poprawki vi były równe błędom prawdziwym εi z przeciwnym znakiem [vv] = minimum
Miary dokładności spostrzeŝeń Błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji mogą być następujące: - błąd absolutny ma przypadający na całą nieznaną wielkość -błąd względny mw przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek błędu absolutnego do mierzonej wielkości d. Błąd ten wyraŝa się za pomocą ułamka z jednością w liczniku. Stosowany jest najczęściej do charakteryzowania dokładności pomiaru długości lub powierzchni. - błąd średni pojedynczego spostrzeŝenia m obliczony na podstawie błędów prawdziwych gdzie n jest liczbą błędów prawdziwych, a więc i liczbą spostrzeŝeń. Wobec braku moŝliwości określenia błędów prawdziwych wzór ten jest rzadko stosowany. W przypadku, gdy błędy prawdziwe nie są znane, średni błąd pojedynczego spostrzeŝenia, obliczamy na podstawie błędów pozornych v
- błąd graniczny g, którego nazwa pochodzi stąd, Ŝe jego przekroczenie jest mało prawdopodobne. Błąd ten wyznacza największą wartość błędu dopuszczalnego dla danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego g = 3 m W praktyce przyjmuje się, Ŝe g znajduje się w przedziale 2m g 3 m
Obserwacje L1, L2, Ln otrzymane w wyniku pomiarów tej samej wielkości, stanowiącej niewiadomą, nazywamy spostrzeŝeniami bezpośrednimi. NiezaleŜnie od zwiększania liczby pomiarów n, nieznana wartość prawdziwa X tej wielkości nie daje się określić. NaleŜy zatem poszukać jej najbardziej prawdopodobną wartość x spełniającą związek: x = Li + vi NaleŜy uwzględnić, Ŝe: [vv] = minimum Najbardziej prawdopodobną wartością dla spostrzeŝeń. L1, L2, Ln jest średnia arytmetyczna czyli suma spostrzeŝeń podzielona przez liczbę pomiarów.
Oceny dokładności pomiaru i wielkości wyrównanych dokonujemy przez obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŝenia Oceną dokładności wielkości uznanej za najbardziej prawdopodobną czyli wielkości średniej jest określenie średniego błędu średniej arytmetycznej mx