Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07

Transkrypt

1 MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Leszek Wiatr Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 3[].Z.7 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 7

2 Recenzenci: dr inŝ. BoŜena Wasielewska mgr inŝ. Sylwia Mikulska Opracowanie redakcyjne: mgr inŝ. Barbara Kapruziak Konsultacja: mgr Małgorzata Sienna Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 3[].Z.7 Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych, zawartej w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta. Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy, Radom 7

3 SPIS TREŚCI. Wprowadzenie 3. Wymagania wstępne 5 3. Cele kształcenia 6 4. Materiał nauczania Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów Wyrównanie metodą pośredniczącą Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów Wyrównanie spostrzeŝeń metodą warunkową Materiał nauczania Pytania sprawdzające Ćwiczenia Sprawdzian postępów 6 5. Sprawdzian osiągnięć Literatura 68

4 . WPROWADZENIE Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o wykorzystaniu teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych. W poradniku znajdziesz: wymagania wstępne, czyli wykaz umiejętności jakie powinieneś mieć juŝ ukształtowane, abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika, cele kształcenia, czyli wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z poradnikiem, materiał nauczania, czyli wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści jednostki modułowej, zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy juŝ opanowałeś określone treści, ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować umiejętności praktyczne, sprawdzian postępów i osiągnięć - przykładowy zestaw zadań. Zaliczenie testu potwierdzi opanowanie materiału całej jednostki modułowej. Wykorzystanie teorii błędów jest zagadnieniem sprawiającym trudności w zrozumieniu i opanowaniu materiału przez przyszłych geodetów. W związku z tym, przy omawianiu poszczególnych zagadnień, w poradniku zastosowano szereg róŝnorodnych przykładów, aby wprowadzić Cię na właściwy tok myślenia. 3

5 3[].Z Mapa sytuacyjno-wysokościowa 3[].Z. Stosowanie instrumentów geodezyjnych 3[].Z. Opracowywanie mapy sytuacyjnej 3[].Z.3 Aktualizacja mapy sytuacyjnej na podstawie pomiarów terenowych 3[].Z.4 Opracowywanie przekrojów podłuŝnych i poprzecznych 3[].Z.5 Wykonywanie mapy warstwicowej 3[].Z.6 Stosowanie rachunku współrzędnych w obliczeniach geodezyjnych 3[].Z.7 Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 3[].Z.8 Projektowanie, pomiar i wyrównanie szczegółowej osnowy geodezyjnej 3[].Z.9 Wykonywanie pomiarów sytuacyjnych i sytuacyjno-wysokościowych 3[].Z. Sporządzenie mapy sytuacyjno-wysokościowej na podstawie pomiarów terenowych 3[].Z. Stosowanie technologii GPS w pomiarach geodezyjnych Schemat układu jednostek modułowych 4

6 . WYMAGANIA WSTĘPNE Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: posługiwać się podstawowymi pojęciami z zakresu pomiarów geodezyjnych, stosować podstawowe zasady rachunku prawdopodobieństwa, stosować zasady zaokrąglania i zapisu liczb, stosować działania na liczbach przybliŝonych (reguły Kryłowa-Bradisa), obliczać pochodne funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych, przeliczać kąty wyraŝone w stopniach, gradach lub radianach, korzystać z róŝnych źródeł informacji, obsługiwać komputer, współpracować w grupie. 5

7 3. CELE KSZTAŁCENIA W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć: rozróŝnić źródła błędów i dokonać ich podziału, scharakteryzować rodzaje błędów występujących w pomiarach geodezyjnych, określić zadania rachunku wyrównawczego, posłuŝyć się podstawową wiedzą z zakresu rachunku wyrównawczego, określić miary charakteryzujące dokładność pomiarów, zastosować prawo przenoszenia się błędów średnich Gaussa, wyrównać spostrzeŝenia bezpośrednie jednakowo dokładne, wyrównać spostrzeŝenia bezpośrednie niejednakowo dokładne, wyrównać pary spostrzeŝeń, wyrównać spostrzeŝenia pośredniczące, zastosować metodę warunkową, wyrównać spostrzeŝenia zawarunkowane, wyrównać spostrzeŝenia metodami ścisłymi z wykorzystaniem komputerowych, programów obliczeniowych. 6

8 4. MATERIAŁ NAUCZANIA 4.. Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów 4... Materiał nauczania Źródła błędów spostrzeŝeń Wyniki pomiarów geodezyjnych zwane takŝe obserwacjami lub częściej spostrzeŝeniami (L, L, L n ) nigdy nie są bezbłędne, lecz stanowią jedynie wartości przybliŝone pewnych nieznanych wartości prawdziwych wielkości mierzonych. SpostrzeŜenia obarczone są licznymi błędami wynikającymi z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmysłów obserwatora oraz zmienności warunków atmosferycznych i środowiskowych podczas wykonywania pomiarów. W zaleŝności od źródeł powstawania i charakteru ich wpływu na rezultat pomiaru moŝna dokonać podziału błędów na trzy grupy: a) błędy grube tzw. omyłki, które spowodowane są niedyspozycją lub nieuwagą obserwatora. Typowym przykładem błędu grubego jest zapisanie błędnej ilości pełnych przyłoŝeń taśmy. Zastąpienie ręcznego notowania obserwacji w dziennikach pomiarowych przez elektroniczny zapis danych pomiarowych znacznie zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędów grubych. Błędy grube muszą być bezwzględnie wyeliminowane z materiału obserwacyjnego przed przystąpieniem do wyrównania. b) błędy systematyczne, które powstają wskutek działania ustalonych prawidłowości w określonych warunkach pomiaru. Źródła tych błędów mogą wynikać z następujących przyczyn: instrumentalnych, spowodowanych wadami instrumentów (przymiarów, niwelatorów, teodolitów, dalmierzy itp.) osobowych, związanymi ze stałymi nawykami obserwatora np. błędu celowania środowiskowych, wynikających z działania znanych praw związanych z określonymi warunkami pomiaru np. nieuwzględnienie temperatury, ciśnienia atmosferycznego czyrefrakcji atmosferycznej. Błędy systematyczne są przewaŝnie stałe co do znaku i wartości liczbowej np. błąd miejsca zera podczas pomiaru kątów pionowych. Błędy systematyczne usuwamy z wyników obserwacji w miarę ich ujawniania c) błędy przypadkowe, które mają charakter losowy i w przeciwieństwie do błędów grubych i systematycznych są niemoŝliwe do wyznaczenia i wyeliminowania ze względu na ich losową zmienność co do wartości liczbowej jak i znaku. Błędy te występują w róŝnym nasileniu i wynikają z mniej lub bardziej znanych przyczyn trudnych do ścisłego określenia takich jak: niedoskonałość instrumentu i wzroku obserwatora zmienne warunki atmosferyczne czy oświetleniowe. Podczas pomiarów prawdopodobieństwo popełnienia błędów przypadkowych ze znakami plus i minus jest jednakowe. Rodzaje błędów: Błąd prawdziwy ε jest to róŝnica między wartością pomierzoną L i wartością prawdziwą spostrzeŝenia X : 7

9 czyli ε = L o X X = L o ε W równaniu tym znana jest tylko wartość pomierzona, poniewaŝ wartość prawdziwa wielkości mierzonej jest z reguły nieznana, zatem nie jest takŝe znany błąd prawdziwy spostrzeŝenia. W praktyce geodezyjnej dąŝymy do uzyskania wartości najbliŝszych wartości prawdziwej. Będzie to wartość najbardziej prawdopodobna, otrzymana z wyrównania spostrzeŝeń. Błąd pozorny spostrzeŝenia -v jest to róŝnica pomiędzy wartością pomierzoną i wartością wyrównaną spostrzeŝenia L w. -v = L w L o Poprawka wyrównawcza v jest to wielkość równa błędowi pozornemu, lecz z przeciwnym znakiem. Wartość poprawki v naleŝy dodać do spostrzeŝenia L o aby otrzymać jego wartość wyrównaną L w L o + v = L w Zadania rachunku wyrównawczego KaŜdy pomiar jakiejkolwiek wielkości niewiadomej zawsze jest obciąŝony większym lub mniejszym błędem przypadkowym. Dlatego teŝ, jeŝeli do wyznaczenia jakiejkolwiek wielkości pojedynczej czy większej liczby niewiadomych, związanych znanymi funkcyjnymi zaleŝnościami z pośrednio mierzonymi wielkościami, wykonamy więcej spostrzeŝeń niŝ to jest niezbędne dla jednoznacznego wyznaczenia niewiadomych, to na ogół nie otrzymamy jednoznacznego rozwiązania zadania. Wykorzystując wyniki bezpośrednich pomiarów kaŝdorazowo otrzymamy inny wynik dla szukanej wielkości, wyniki będą jednak zbliŝone do siebie. W związku z tym powstaje zagadnienie ustalenia na podstawie wyników bezpośrednich spostrzeŝeń, takich wartości niewiadomych, które byłyby najbardziej prawdopodobne. W tym celu naleŝy wyniki obserwacji tak między sobą uzgodnić, aby dawały jednoznacznie najbardziej prawdopodobne rozwiązanie. Uzgodnienie to nosi ogólną nazwę rachunku wyrównawczego i polega na tym, Ŝe do wyników bezpośrednich spostrzeŝeń naleŝy obliczyć takŝe poprawki v, aby wielkości poprawione dały jednoznaczny układ wartości niewiadomych. Podstawy rachunku wyrównawczego. Błędy przypadkowe moŝna uznać za zdarzenia losowe, do których stosuje się zasady rachunku prawdopodobieństwa i teorii błędów. Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów przypadkowych zostało ustalone przez niemieckiego matematyka i geodetę C. F. Gaussa ( ) w postaci prawa błędów Gaussa-Laplace a, a wykresem jest krzywa prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego zwana krzywą de Moivre a-gaussa (rys. ), gdzie φ(ε) jest funkcją określającą zmiany prawdopodobieństwa pojawienia się błędu ε i. 8

10 Rys.. Krzywa prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego ε [opracowanie własne] Z krzywej prawdopodobieństwa wynikają następujące wnioski: najbardziej prawdopodobne jest pojawienie się błędu przypadkowego ε równego zero, prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej, lecz z róŝnymi znakami jest jednakowe, prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niŝ prawdopodobieństwo błędu większego, zwiększenie dokładności pomiaru powoduje zmniejszenie prawdopodobieństwa pojawienia się błędów o duŝych wartościach liczbowych, przy zwiększeniu liczby spostrzeŝeń n suma błędów przypadkowych [ε] dąŝy do zera. Zgodnie z załoŝeniami Gaussa funkcja rozkładu błędów przypadkowych osiąga maksimum (największą wiarygodność) przy spełnieniu warunku [εε] = minimum Najbardziej wiarygodne byłoby, gdyby poprawki v i były równe błędom prawdziwym ε i z przeciwnym znakiem [vv] = minimum Miary dokładności spostrzeŝeń Błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji mogą być następujące: błąd absolutny m a przypadający na całą nieznaną wielkość błąd względny m w przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek błędu absolutnego do mierzonej wielkości d. Błąd ten wyraŝamy za pomocą ułamka z jednością w liczniku i stosujemy tylko przy charakteryzowaniu dokładności pomiaru długości lub powierzchni m w = m a d 9

11 błąd średni pojedynczego spostrzeŝenia m obliczony na podstawie błędów prawdziwych [ εε] m = n gdzie n jest liczbą błędów prawdziwych, a więc i liczbą spostrzeŝeń. Wobec braku moŝliwości określenia błędów prawdziwych wzór ten jest rzadko stosowany. W przypadku, gdy błędy prawdziwe nie są znane, średni błąd pojedynczego spostrzeŝenia, obliczamy na podstawie błędów pozornych v [ vv] m = n błąd graniczny g, którego nazwa pochodzi stąd, Ŝe jego przekroczenie jest mało prawdopodobne. Błąd ten wyznacza największą wartość błędu dopuszczalnego dla danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego g = 3 m W praktyce przyjmuje się, Ŝe g znajduje się w przedziale m g 3 m Przykład Długość boku poligonowego zmierzono 4-krotnie taśmą stalową uzyskując wyniki: L = 95,46 m L = 95,48 m L 3 = 93,5 m L 4 = 95,45 m Oblicz błąd średni i graniczny, jeŝeli za długość prawdziwą przyjmiemy długość zmierzoną tachimetrem elektronicznym, wynoszącą L = 95,456 m ε i = L i L ε =L L = 95,46 95, 456 =,4 m ε =L L = 95,48 95, 456 =,4 m ε 3 =L 3 L = 95,5 95, 456 =,44 m ε 4 =L 4 L = 95,45 95, 456 =,6 m [ εε] m = n m = ±,4 m = ±,4 [m] g = 3. m g = ±,75 [m] +,4 +, (,6) JeŜeli błędy prawdziwe poszczególnych spostrzeŝeń nie przekraczają błędu granicznego, to wówczas spostrzeŝenia te bierzemy do wyrównania. JeŜeli błąd dowolnego spostrzeŝenia jest większy od błędu granicznego to wówczas spostrzeŝenia tego nie uwzględniamy przy wyrównaniu.

12 Przykład Pomierzyliśmy długość L = m ze średnim błędem m = ± cm. Oblicz błąd względny tej długości. m mw = L ± cm ± cm mw = = = ± = ±, m cm mw = ppm (parts per million) Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych Obserwacje L, L, L n otrzymane w wyniku pomiarów tej samej wielkości, stanowiącej niewiadomą, nazywamy spostrzeŝeniami bezpośrednimi. NiezaleŜnie od zwiększania liczby pomiarów n, nieznana wartość prawidłowa X tej wielkości nie daje się określić. Poszukujemy, zatem jej najbardziej prawdopodobną wartość x spełniającą związek: x = L i + v i Uwzględniając zasadę, Ŝe [vv] = min., otrzymujemy: [vv] = (x L ) +(x L ) + +(x L n ) = n. x x. [L]+[LL] Otrzymana funkcja przedstawia funkcję typu y = ax²+bx+c, minimum tej funkcji występuje b dla wartości xmin =. PoniewaŜ a = n, b = [. L] [L], więc x =. a n Najbardziej prawdopodobną wartością dla spostrzeŝeń L, L, L n jest średnia arytmetyczna, czyli suma spostrzeŝeń podzielona przez liczbę pomiarów. Dla uniknięcia duŝych liczb średnią arytmetyczną moŝemy obliczać za pomocą wartości przybliŝonej x o [ L] x = x o + n Wielkość x o moŝe mieć dowolną wartość, jednak dla wygody obliczeń najprościej jest przyjąć jako x o najmniejsze ze spostrzeŝeń. Wielkości L stanowią róŝnicę pomiędzy kolejnymi spostrzeŝeniami a wartością x o L i = L i x o Po wyznaczeniu średniej arytmetycznej obliczamy poprawki poszczególnych spostrzeŝeń v i = x L i PoniewaŜ suma poprawek spełnia zaleŝność [v] = n. x [L], to podstawiając do równania [ L] wartość x =, otrzymamy [v] =. n Oceny dokładności pomiaru i wielkości wyrównanych dokonujemy przez obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŝenia [vv] m = ± n

13 oraz średniego błędu średniej arytmetycznej m x [vv] m x = ± n (n-) Przykład 3 Długość boku zmierzono siedmiokrotnie. Oblicz wartość najprawdopodobniejszą zmierzonej długości, średni błąd pojedynczego pomiaru oraz średni błąd najprawdopodobniejszej długości. Dane z pomiaru: L = 95,45 m L = 95,4 m L 3 = 93,47 m L 4 = 95,4 m L 5 = 95,39 m L 6 = 95,5 m L 7 = 93,46 m Przyjmujemy wartość przybliŝoną (najlepiej przyjąć najmniejszą z wartości) L = 95,39 m. Wartość najprawdopodobniejszą obliczymy ze wzoru: Li Lw = L + n L i = Li L Obliczenie wartości poprawek do spostrzeŝeń: v = L w L = 95,44 94,45 =, v = L w L = 95,44 94,4 = +, v 3 = L w L 3 = 95,44 94,47 =,3 v 4 = L w L 4 = 95,44 94,4 = +,4 v 5 = L w L 5 = 95,44 94,39 = +,5 v 6 = L w L 6 = 95,44 94,5 =,6 v 7 = L w L 7 = 95,44 94,46 =,.36 Lw = = 95, 44m 7 Teoretyczna suma poprawek powinna równać się zero. [v] =, Na skutek zaokrąglenia wartości najprawdopodobniejszej suma [v], ale jest zbliŝona do zera. Średni błąd pojedynczego pomiaru m = ± [vv] n- [vv] =,95 n = 7

14 , 95 m = ± = ±, 4m 6 Średni błąd najprawdopodobniejszej długości m L = ± [vv] n (n-) m L = ±, 95 7 (7 ) = ±, 5m Wyrównana długość boku wyniesie L w = 95,44m ±,5 m lub L w = 95,44m ± 5 mm Prawo przenoszenia się błędów PoniewaŜ wielkości obserwowane nie są bezbłędne, więc funkcje tych wielkości są takŝe obarczone błędami. Przy rozwiązywaniu zadań geodezyjnych często zachodzi potrzeba określenia dokładności funkcji wielkości obserwowanych. Do wyznaczenia średniego błędu funkcji wielkości obserwowanych, niezaleŝnych od siebie, których błędy średnie są znane, stosuje się sformułowane przez C.F. Gaussa prawo przenoszenia się błędów średnich m F = F F F m + m + + m n L L Ln gdzie: m F błąd średni funkcji, L i wielkość obserwowana, m i średni błąd wielkości obserwowanej, F pochodna cząstkowa funkcji względem ustalonej wielkości obserwowanej. L Błąd średni funkcji obserwacji jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów pochodnych cząstkowych pomnoŝonych przez odpowiadające im średnie błędy zmiennych niezaleŝnych. Wagę funkcji wyraŝa się wzorem F F F = p L p L p L p... F n n 3

15 Tabela. Zestawienie pochodnych funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych [opracowanie własne] Lp. Nazwa funkcji Funkcja Pochodna Stała y = c y = Niewiadoma y = x y = 3 Potęga y = x n y = n. x n- 4 Iloczyn liczby i potęgi y = ax n y = n. a. x n- 5 Pierwiastek y= x = y x 6 Suma lub róŝnica y = f(x)±g(x) y = f (x)±g (x) 7 Iloczyn y = f(x) g(x) y = f (x). g(x)+f(x). g (x) 8 Iloraz 9 Odwrotność f (x) y= g(x) y= x y = ' ' f (x) g(x) f (x) g (x) g (x) = x y Sinus y = sinx y = cosx Cosinus y = cosx y = -sinx Tangens y = tgx 3 Cotangens y = ctgx 4 Arcus sinus y = arc sinx 5 Arcus cosinus y = arc cosx 6 Arcus tangens y = arc tgx 7 Arcus cotangens y = arc ctgx 8 ZłoŜona y = g[f(x)] gdzie f(x) = u y y = = + cos x sin x tg x = = + = x = x y y = + x = + x y y y = g (u). f (x) ( ctg x) Przykład 4 Działka budowlana ma kształt trapezu (rys. ). Pomierzono w niej dwa boki równoległe (a i b) oraz wysokość (h). Oblicz powierzchnię działki oraz jej błąd średni. Rys.. Działka w kształcie trapezu [opracowanie własne] 4

16 Dane uzyskane z pomiaru: a =, m ±,5 m b = 5, m ±, m h = 5, m ±, m Powierzchnia działki (funkcja spostrzeŝeń) a + b P = h m + 5m P = 5m = 6, 5m Średni błąd powierzchni obliczamy ze wzoru P P P p = ± a + b + h m m m m a b h gdzie: P h = a P h = b P a + b = h Podstawiając wyliczone pochodne cząstkowe do wzoru, otrzymamy h h a + b p = ± a + b + h m m m m m = ±.5,5 +.5, +.5, = ±, 4m p P = 6,5 m ±,4 m Przykład 5 Działka ma kształt kwadratu o długości boku 3 m. Z jaką dokładnością musimy pomierzyć bok kwadratu, aby błąd obliczonej powierzchni działki nie przekraczał m? Powierzchnia działki (funkcja spostrzeŝeń) P = a m p P = ± m a a 5

17 mp m poniewaŝ mp ma ± stąd a m ± a m to p a P = a a m = ± a m m a p a m ± 3m ma ±, 3m Odp. Bok kwadratu naleŝy pomierzyć co najmniej z dokładnością ±3 cm. Przykład 6 Działka ma kształt trójkąta prostokątnego (rys. 3). Obliczyć długość przeciwprostokątnej c mając dane przyprostokątne a i b, oraz podać z jakim błędem średnim m c jest ona obliczona. Dane uzyskane z pomiaru: a =, m ±,6 m b = 5, m ±, m Rys. 3. Działka w kształcie trójkąta [opracowanie własne] Długość przeciwprostokątnej (funkcja spostrzeŝeń) c = a + b c = + 5 = 3m Średni błąd długości przeciwprostokątnej m c wyniesie c c c = ± a + b m m a m b c a a = a = = a a + b a + b c c b b = b = = b a + b a + b c 6

18 a b c = ± a + b m m m c c 5 mc = ±,6 +, = ±,6m 3 3 c = 3, m ±6 cm Przykład 7 Zmierzono odległość d pomiędzy punktami A i B oraz kąt nachylenia terenu α (rys. 4). Obliczyć odległość d o, czyli odległość zredukowaną do poziomu odcinka A-B, oraz określić błąd średni tej odległości. Rys. 4. Pomiar odległości skośnej [opracowanie własne] Dane uzyskane z pomiaru: d = 8. m ±,6 m α = 5 ' ± ' Odległość d o zredukowana do poziomu (funkcja spostrzeŝeń): d o = d. cos α d o = 8m. cos 5 ' = 79,78 m d d α d md = ± m m + d d d d = cosα d d = d sinα ' ' ρ = 3438 mα md = ± ( cosα) m ( ) d + d sinα ' ρ ' ' ' md = ± ( cos 5 ),6 + ( 8 sin 5 ) ' 3438 = ±, 6m md d o = 79,78m ±,6m = 79,78m ±6cm 7

19 SpostrzeŜenia bezpośrednie jednakowo dokładne, niejednakowo dokładne, pary spostrzeŝeń SpostrzeŜenia jednorodne wykonane tym samym przyrządem i metodą pomiaru, w identycznych warunkach środowiska, przez tego samego obserwatora noszą nazwę spostrzeŝeń bezpośrednich jednakowo dokładnych. Wszystkie te spostrzeŝenia L, L, L n mają charakter spostrzeŝeń typowych, a więc charakteryzują się jednakowymi błędami średnimi m = m = = m n = m Wyniki pomiarów, dla których nie jest spełnione jedno z wcześniej wymienionych załoŝeń (ten sam przyrząd metoda pomiaru, identyczne warunki środowiska, ten sam obserwator) nazywamy spostrzeŝeniami bezpośrednimi niejednakowo dokładnymi. Dla zróŝnicowania dokładności tych spostrzeŝeń przypisujemy kaŝdemu z nich pewną dodatnią i niemianowaną liczbę p zwaną wagą, określającą stopień naszego zaufania do danej obserwacji. SpostrzeŜenia dokładniejsze uzyskują większą wagę niŝ spostrzeŝenia uzyskane z pomiaru mniej dokładnego. Szczególnym spostrzeŝeniem pośród pomiarów niejednakowo dokładnych jest spostrzeŝenie o wadze równej jedności (nie musi występować w danym zbiorze obserwacji), które nosi nazwę spostrzeŝenia typowego a średni błąd m o tego spostrzeŝenia nazywamy średnim błędem jednostkowym. Wszystkie spostrzeŝenia jednakowo dokładne są spostrzeŝeniami typowymi, a więc ich wagi są równe jedności. W pomiarach geodezyjnych bardzo często mamy do czynienia z obserwacjami znacznej liczby jednorodnych wielkości o róŝnych wartościach, z których kaŝdą mierzymy dwukrotnie. Taką formę pomiaru nazywamy pomiarem parami. JeŜeli dysponujemy znaczną liczbą jednorodnych wielkości, mierzonych dwukrotnie (parami), to moŝemy obliczyć średnie błędy takich spostrzeŝeń, przy czym rozróŝniamy pomiary parami jednakowo i niejednakowo dokładne. Średnie błędy spostrzeŝeń Głównymi zadaniami procesów wyrównania są: określenie najbardziej prawdopodobnych wartości wyników pomiaru (spostrzeŝeń), określenie najbardziej prawdopodobnych wartości szukanych wielkości (niewiadomych), dokonanie oceny dokładności materiału obserwacyjnego i wielkości wyrównanych. Dla poszczególnych rodzajów spostrzeŝeń będzie to wyglądało następująco: a) spostrzeŝenia bezpośrednie jednakowo dokładne L, L,, L n określenie najbardziej prawdopodobnej wartości x mierzonej wielkości [L] x = n określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeŝeń L i = x - v i dokładność pojedynczego spostrzeŝenia tzw. średni błąd pojedynczego spostrzeŝenia [vv] m = ± n- dokładność wielkości wyrównanej tzw. średni błąd średniej arytmetycznej [vv] m x = ± n ( n ) 8

20 b) spostrzeŝenia bezpośrednie niejednakowo dokładne L, L,, L n Wagi obserwacji niejednakowo dokładnych są odwrotnie proporcjonalnie do kwadratów ich błędów średnich p : p : p 3...p n = : : :... m m m3 mn Dla i-tego spostrzeŝenia oraz spostrzeŝenia typowego moŝemy napisać proporcje p i : p = : m m i m PoniewaŜ, p o =, więc p i =. mi określenie najbardziej prawdopodobnej wartości x mierzonej wielkości dokonujemy przy pomocy średniej arytmetycznej ogólnej (waŝonej). Średnia arytmetyczna ogólna jest równa sumie iloczynów spostrzeŝeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag [ pl] pl +pl + +pnln x = = p p +p + +p [ ] n Podobnie jak w przypadku zwykłej średniej arytmetycznej do obliczenia średniej ogólnej moŝna wykorzystać wartość przybliŝoną x [ p L] x = x + p [ ] określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrzeŝeń L i = x v i dokładność typowego spostrzeŝenia (po = ) tzw. średni błąd m typowego spostrzeŝenia m = ± [ pvv] dokładność wartości wyrównanej tzw. średni błąd m x średniej arytmetycznej ogólnej m =± x n- [ pvv] [ p]( n-) dokładność i-tego spostrzeŝenia tzw. średni błąd m i pojedynczego spostrzeŝenia [ pvv] ( ) m i =± p i n- c) pary spostrzeŝeń określenie najbardziej prawdopodobnej wartości x mierzonej wielkości dokonuje się przy wielkości średniej lub średniej arytmetycznej ogólnej. ' L JeŜeli pomiary naszych wielkości dały wyniki i pomiędzy pierwszym a drugim pomiarem wynoszą ' '' L d = L - ' '' L d = L - ' '' L d n = n L - n '' L, ' '' L L i,, ' L n, '' Ln to róŝnice 9

21 Gdyby obserwacje nie były obciąŝone Ŝadnymi błędami przypadkowymi ani systematycznymi, to róŝnice te byłyby wszystkie równe zeru. W rzeczywistości jednak wyniki pomiarów bezpośrednich są obciąŝone błędami przypadkowymi, więc otrzymane róŝnice d moŝemy uwaŝać za błędy prawdziwe wyznaczenia róŝnicy dwóch obserwacji. dokładność róŝnicy spostrzeŝeń tzw. średni błąd róŝnicy m = d [ dd] n n liczba par spostrzeŝeń dokładność pojedynczego pomiaru wykonanego parami tzw. średni błąd pojedynczego pomiaru m m = d = dokładność podwójnego pomiaru dowolnej pary danego szeregu spostrzeŝeń tzw. błąd średni średniej arytmetycznej m [ dd] n [ dd] m L = = n dla pomiarów niejednakowo dokładnych błąd róŝnicy spostrzeŝeń d m = oraz średni błąd typowego spostrzeŝenia m = [ pdd] n [ pdd] Przykład 8 Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość długości odcinka AB, pomierzonego czterokrotnie z jednakową dokładnością. L = 54,5m L = 54,47m L 3 = 54,55m L 4 = 54,5m Algorytm stepowania:. Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości L w [ L] Lw = n n L w 54,5 + 54, , ,5 = 4 Lw = 54,5m. Obliczenie poprawek dla poszczególnych spostrzeŝeń

22 3. v i = L w L i v = 54,5 54,5 =,m v = 54,5 54,47 = +,4m v 3 = 54,5 54,55 =,4m v 4 = 54,5 54,5 = +,m [v] = v +v +v 3 +v 4 = 4. Obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŝenia m = [ vv] n [ vv] = v + v + v + v 3 4 [ vv] =, 34 [, 34] m = = ±, 3m 3 5. Obliczenie średniego błędu wyrównanej długości odcinka AB m L = ± [ vv] ( ) n n m L, 34 = ± = ±, m 4 4 ( ) L w = 54,5m ±,m Przykład 9 Pomierzyliśmy kąt trzema teodolitami: pierwszym ze średnim błędem m = ±3, drugim ze średnim błędem m = ±, trzecim ze średnim błędem m 3 = ±. Jakie są wagi tych spostrzeŝeń? PoniewaŜ, nie mamy tutaj podanego średniego błędu typowego spostrzeŝenia, więc jedno ze spostrzeŝeń przyjmujemy za typowe.. m = m = 3 p = ± ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) m p = = =,5 m m 3 3 p = = = 9 m. m = m = ± p =

23 p ( ) ( 3 ) ( ) ( ) m 4 = = = m 9 m 3 3 p = = = 4 m 3. m = m = p3 = p p 3 ± ( ) ( 3 ) ( ) ( ) m = = = m 9 m = = = m 4 Otrzymujemy w ten sposób trzy układy wag, które są sobie równowaŝne i moŝemy dowolny układ wag uwzględniać w obliczeniach. Przykład Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość kąta ABC, który pomierzono czterokrotnie teodolitami o róŝnej dokładności (rys. 5). Rys. 5. Pomiar kąta [opracowanie własne] Wyniki uzyskane z pomiaru: α = 44 5 ± α = ± α 3 = ±5 α 4 = 44 5 ±5. Ustalenie wag poszczególnych spostrzeŝeń. Przyjmujemy średni błąd typowego spostrzeŝenia m o = i w związku z tym p = '' ( ) '' ( ) '' ( ) '' ( ) m p = = =,5 m m 3 3 p = = = 4 m 5

24 '' ( ) '' ( ) m 4 4 p = = =,44 m 5. Określenie wartości przybliŝonej kąta. Przyjmujemy jako przybliŝoną wartość mierzonego kąta, najmniejszą wartość uzyskaną z pomiaru. α = α = Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości pomierzonego kąta α = α + w [ p α ] [ p] o ' o ' α = α α = = + o ' o ' α = α α = = o ' o ' α3 = α3 α = = + 7 o ' o ' α4 = α4 α = = + α o ' w = , , ,44 o ' o ' α w = ,8 = 44 54,8 4. Określenie poprawek dla poszczególnych spostrzeŝeń v i = α w α i o ' v = 44 54,8 o ' 44 5 = 5, o ' v = 44 54,8 o ' = +6,8 o ' v 3 = 44 54,8 o ' =, o ' v 4 = 44 54,8 o ' 44 5 = 5, 5. Kontrola obliczenia średniej arytmetycznej. [pv] = [pv] =,5. ( 5, ) +. (6,8 ) 4. (, ),44. ( 5, ) [pv] =, 6. Określenie średniego błędu typowego spostrzeŝenia m = ± [ pvv] n () [ pvv] = 6, 6, m = ± = ± 6, 4 3

25 7. Określenie średniego błędu pojedynczego spostrzeŝenia m i = ± [ pvv] p (n ) i 6, m = ±,4,5 (4 ) = ± 6, m = ± 6, (4 ) = ± 6, m = ± 3 3, 4 (4 ) = ± 6, m = ± 4 9, 4,44 (4 ) = ± 8. Określenie średniego błędu wyrównanej wartości kąta m = ± α [ pvv] [p](n ) 6, m = ± α,6 5,69 (4 ) = ± α w = ,8 = ±,6 Przykład Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość pięciu odcinków pomierzonych parami z jednakową dokładnością (rys. 6) Rys. 6. Pomiar długości boków w pięciokącie [opracowanie własne] 4

26 Tabela. Wyniki pomiarów [opracowanie własne] Odcinek Wyniki pomiarów l l 7,85 7,9 3,3, ,4 4, ,38 4,3 5 6,7, 5,78. Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości długości odcinków (średnie arytmetyczne) 7,85 + 7, 9 = = 7, 785,3+, 8 3 = =, 95 4, 4 + 4, = = 4, 445 4,38 + 4,3 4 5 = = 4,345 6, 7 + 5, 78 5 = = 5, 75. Określenie błędów prawdziwych wyznaczenia róŝnicy dwóch obserwacji d = l l =, 5m d = 3 l l = +, 3m d3 4 = l l =, 7m d = 4 5 l l = +, 7m d = 5 l l =, 6m 3. Określenie błędu średniego róŝnicy m d = ± [ dd] n [ dd] =, 68, 68 md = ± = ±,58m 5 4. Określenie średniego błędu pojedynczego pomiaru. [ ] m d dd m = = ± n 5

27 , 68 m = ± = ±, 4m 5 5. Określenie średniego błędu średniej arytmetycznej m L [ dd] m = = ± n m L, 68 = ± = ±, 9m 5 6. Określenie średniego błędu dla podwójnego pomiaru kaŝdego odcinka. Błędy te obliczamy podstawiając do powyŝszych wzorów n = a zamiast [dd] odpowiednie dd. błąd średni róŝnicy jednej pary m d md md md 3 md 4 md 5 [ dd] = ± = ± d = ±, 5m = ±, 3m = ±, 7m = ±, 7m = ±, 6m błąd średni jednego pomiaru [ dd] d m = ± = ± = ±, 35m m m m m m = ±, m = ±, 5m = ±, 5m = ±, 4m błąd średni średniej arytmetycznej (wartości wyrównanej) m L ml ml ml 3 ml 4 ml5 [ dd] d = ± = ± = ±, 5m = ±, 5m = ±, 35m = ±, 35m = ±, 3m 6

28 = 7, 785 ±, 5m 3 =, 95 ±, 5m 3 4 = 4, 445 ±, 35m 4 5 = 4, 345 ±, 35m 5 = 5, 75 ±, 3m 4... Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.. Jak określamy błędy spostrzeŝeń w zaleŝności od źródła powstawania?. Co to jest błąd prawdziwy spostrzeŝenia? 3. Co jest zadaniem rachunku wyrównawczego? 4. Na czym opierają się podstawy rachunku wyrównawczego? 5. Jak określimy błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji? 6. Jak określamy średnią arytmetyczną? 7. Na czym polega prawo przenoszenia się błędów? 8. Co to są spostrzeŝenia bezpośrednie jednakowo dokładne? 9. Co to są spostrzeŝenia bezpośrednie niejednakowo dokładne?. Co to są pary spostrzeŝeń?. Jakie są główne zadania procesu wyrównania spostrzeŝeń?. Co to są wagi spostrzeŝeń? 3. Jak określamy średnią arytmetyczną ogólną? Ćwiczenia Ćwiczenie Wyrównaj spostrzeŝenia bezpośrednie jednakowo dokładne. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: ) odszukać w materiałach dydaktycznych spostrzeŝenia bezpośrednie jednakowo dokładne i średnie błędy spostrzeŝeń bezpośrednich jednakowo dokładnych, ) sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia, 3) obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną mierzonej wielkości przy pomocy średniej arytmetycznej, 4) określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeŝeń, 5) obliczyć średni błąd pojedynczego pomiaru, 6) obliczyć średni błąd najbardziej prawdopodobnej mierzonej wielkości. WyposaŜenie stanowiska pracy: kalkulator, papier formatu A4, Poradnik dla ucznia. 7

29 Ćwiczenie Wyrównaj spostrzeŝenia bezpośrednie niejednakowo dokładne. Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: ) odszukać w materiałach dydaktycznych spostrzeŝenia bezpośrednie niejednakowo dokładne i średnie błędy spostrzeŝeń bezpośrednich niejednakowo dokładnych, ) sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia, 3) określić wagi spostrzeŝeń, 4) obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość mierzonej wielkości przy pomocy średniej arytmetycznej ogólnej (waŝonej), 5) określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrzeŝeń, 6) obliczyć średni błąd typowego spostrzeŝenia, 7) obliczyć średni błąd średniej arytmetycznej ogólnej, 8) obliczyć średnie błędy poszczególnych spostrzeŝeń. WyposaŜenie stanowiska pracy: kalkulator, papier formatu A4, Poradnik dla ucznia Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie ) dokonać podziału błędów spostrzeŝeń w zaleŝności od źródła powstawania? ) zdefiniować błąd prawdziwy spostrzeŝenia? 3) określić zadanie rachunku wyrównawczego? 4) dokonać podziału błędów, za pomocą których charakteryzuje się dokładność obserwacji? 5) obliczyć średnią arytmetyczną? 6) określić na czym polega prawo przenoszenia się błędów? 7) zdefiniować spostrzeŝenia bezpośrednie jednakowo dokładne? 8) zdefiniować spostrzeŝenia bezpośrednie niejednakowo dokładne? 9) zdefiniować pary spostrzeŝeń? ) określić główne zadanie procesu wyrównania spostrzeŝeń? ) zdefiniować wagi spostrzeŝeń? ) określić średnią arytmetyczną ogólną? 8

30 4.. Wyrównanie metodą pośredniczącą Materiał nauczania Ogólne zasady wyrównania metodą pośredniczącą. Istnieje wiele zadań geodezyjnych, w których bezpośredniemu pomiarowi podlegają wielkości słuŝące do rachunkowego (pośredniego) wyznaczenia innych przekształconych wielkości, stanowiących niewiadome. SpostrzeŜenia L, L,, L n, które nie odnoszą się bezpośrednio do wielkości szukanych, lecz słuŝą do wyznaczenia niewiadomych za pomocą ustalonych związków, noszą nazwę spostrzeŝeń pośredniczących. Charakterystycznym przykładem jest kątowe wcięcie wstecz, w którym bezpośrednio mierzy się kąty poziome o wierzchołku w punkcie o nieznanych współrzędnych i ramionach przechodzących przez punkty o znanych współrzędnych a następnie określa się współrzędne (X s ; Y s ) punktu wcinanego S (rys. 7). n = ilość obserwacji u = ilość niewiadomych Rys. 7. Kątowe wcięcie wstecz [opracowanie własne] Zadanie takie ma tylko jedno rozwiązanie, poniewaŝ zawiera dwie obserwacje niezbędne do określenia dwóch niewiadomych (X, Y) i nie podlegają one wyrównaniu. JeŜeli będziemy mogli pomierzyć kierunki do czterech punktów (rys. 8) to wówczas otrzymamy obserwacje nadliczbowe n n Rys. 8. Kątowe wcięcie wstecz z elementami nadliczbowymi [opracowanie własne] 9

31 n = 5 ilość obserwacji u = ilość niewiadomych n n = n u = 5 = 3 ilość obserwacji nadliczbowych Do obliczenia współrzędnych (X, Y) moŝemy skorzystać z punktów ABC, ABD, ACD lub BCD i otrzymać 4 niezaleŝne rozwiązania. Aby otrzymać jedno rozwiązanie musimy zastosować rachunek wyrównawczy, w którym zakładamy, Ŝe funkcje F, F,, F n zachodzące pomiędzy mierzonymi wartościami prawdziwymi spostrzeŝeń A, A,, A n a prawdziwymi niewiadomymi X, Y, Z, zachodzą takŝe między wartościami wyrównanymi (najbardziej prawdopodobnymi) tych wielkości Przykładem prostego zadania moŝe być wyrównanie kątów w przykładzie (rys. 9). n = 6 u = 3 n n = 3 Rys. 9. Pomiar kątów na stanowisku S [opracowanie własne] W tym przypadku występują trzy spostrzeŝenia nadliczbowe, poniewaŝ do wzajemnego określenia połoŝenia czterech kierunków niezbędne jest pomierzenie trzech kątów np. kątów,, 3, których wartości prawdziwe będą stanowić niewiadome X, Y, Z. Pomiędzy wartościami prawdziwymi spostrzeŝeń A, A,, A 6 a niewiadomymi moŝna napisać następujące związki funkcyjne: A = X A = Y A 3 = Z A 4 = X+Y A 5 = Y+Z A 6 = X+Y+Z PoniewaŜ nie znamy wartości prawdziwych A i mierzonych wielkości, więc zastępujemy je najprawdopodobniejszymi wartościami spostrzeŝeń wyrównanych L i + v i uzyskiwanych w wyniku wyrównania. 3

32 Równania poprawek i równania normalne Proces wyrównawczy dostarcza poprawek v i, które dodane do spostrzeŝeń powodują spełnienie przez spostrzeŝenia wyrównane L i + v i i najprawdopodobniejsze wartości niewiadomych x,y,z,, tych samych funkcji F, F,, F n, które wiąŝą ze sobą wartości prawdziwe spostrzeŝeń A, A,, A n z wartościami prawdziwymi niewiadomych X,Y,Z, Dla kaŝdego spostrzeŝenia, moŝna więc, napisać związki zwane równaniami obserwacyjnymi. L +v = F (x,y,z, ) L +v = F (x,y,z, ).. L n +v n = F n (x,y,z, ) Otrzymany układ n równań obserwacyjnych moŝemy przekształcić do układu n równań poprawek (błędów) w postaci v = F (x,y,z, ) L v = F (x,y,z, ) L. v n = F n (x,y,z, ) L n JeŜeli funkcje F, F,, F n mają charakter nieliniowy, to trzeba je doprowadzić do postaci liniowej poprzez rozwinięcie funkcji na szereg Taylora (z odrzuceniem wyrazów rzędu wyŝszego niŝ pierwszy). JeŜeli zamiast niewiadomych x,y,z, będących przewaŝnie duŝymi liczbami, wprowadzimy niewielkie liczbowo poprawki niewiadomych dx,dy,dz,, które spełniają zaleŝności: x = x o + dx y = y o + dy z = z o + dz to wówczas ( ) = ( ) i i i i F x dx, y dy, z dz i F F F F x, y,z + dx+ dy+ dz x y z Współczynniki przy niewiadomych dx, dy, dz są równe pochodnym cząstkowym funkcji F, F, F n względem poszczególnych niewiadomych i jeŝeli oznaczymy je przez F i = ai x F i = b i y F i = ci z a wyrazy wolne równań powstające jako róŝnice przybliŝonych wartości funkcji F i (x o, y o, z o ) oraz spostrzeŝeń L i oznaczymy przez F i (x o,y o,z o ) L i = l i to wówczas otrzymamy układ równań poprawek w postaci v = a. dx + b. dy + c. dz + + l v = a. dx + b. dy + c. dz + + l... v n = a n. dx + b n. dy + c n. dz + + l n 3

33 W układzie n równań błędów występuje n+u nieznanych poprawek v i oraz u niewiadomych dx, dy, dz,., a więc układu tego nie moŝna rozwiązać bez dodatkowego warunku. Do określenia tych wielkości, jest, więc konieczne wprowadzenie zasady najmniejszych kwadratów [vv]=min. dla spostrzeŝeń jednakowo dokładnych lub [pvv] = min. dla spostrzeŝeń niejednakowo dokładnych. JeŜeli utworzymy funkcję Φ = [vv] to Φ = [vv] = ( a. dx + b. dy + c. dz + + l ) +( a. dx + b. dy + c. dz + + l ) +( a. n dx + b. n dy + c. n dz + + l n ) Po uporządkowaniu powyŝszego równania względem poszczególnych zmiennych oraz wprowadzeniu symboli sumowych otrzymamy: Φ = [vv] = [aa]. dx +. [ab]. dx. dy+. [ac]. dx. dy+. [bc]. dy. dz+. [al]+[bb]. dy + +[ll] Warunkiem koniecznym dla osiągnięcia minimum przez funkcję Φ jest zerowanie się jej wszystkich pochodnych cząstkowych względem poszczególnych zmiennych [ vv] = dx [ vv] dy = np. [ vv] [ vv] dz = = dx. [aa]. dx +. [ab]. dy +. [ac]. dz + +. [al] = Po zestawieniu pozostałych równań i podzieleniu ich przez otrzymamy układ u liniowych równań normalnych zawierających u niewiadomych. [aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + +[al] = [ab]dx + [bb]dy + [bc]dz + +[bl] = [ac]dx + [bc]dy + [cc]dz + +[cl] = Układ równań normalnych jest układem symetrycznym i moŝna rozwiązać go za pomocą wybranego algorytmu obliczeniowego np. algorytmu Gaussa (kolejna redukcja niewiadomych) lub Banachiewicza (pierwiastek krakowianowy). Metoda pośrednicząca Po rozwiązaniu układu równań normalnych uzyskujemy wartości poprawek niewiadomych dx, dy, dz, które dodajemy do przybliŝonych wartości niewiadomych x o, y o, z o, i otrzymujemy najbardziej prawdopodobne (wyrównane) wartości niewiadomych x, y, z, Kolejnym etapem wyrównania jest obliczenie poprawek spostrzeŝeń v i otrzymywanych z równań poprawek a następnie poprawienie spostrzeŝeń L i poprzez dodanie do nich poprawek v i, co w efekcie daje wartości spostrzeŝeń wyrównanych. Kontrola ogólna polega na obliczeniu zaleŝności [al]dx +[bl]dy + [cl]dz + +[ll] = [vv] 3

34 Kontrola generalna (ostateczna) polega na podstawieniu wartości niewiadomych do równań obserwacyjnych i sprawdzeniu ich spełnienia. Końcowy etap wyrównania spostrzeŝeń stanowi ocena dokładności, polegająca na obliczeniu średnich błędów obserwacji niewiadomych i połoŝenia punktów. Średni błąd pojedynczego spostrzeŝenia dla spostrzeŝeń jednakowo dokładnych obliczamy ze wzoru ± [vv] m = n u Dla określenia średniego błędu typowego spostrzeŝenia dla spostrzeŝeń niejednakowo dokładnych posługujemy się wzorem ± [pvv] m o = n u Dla określenia średnich błędów niewiadomych konieczne jest wyznaczenie tzw. współczynników wagowych Q. Jednym ze sposobów ich wyznaczenia jest rozwiązanie układu równań zwanych równaniami wag. Łączna ilość tych równań wynosi n, np. dla spostrzeŝeń jednakowo dokładnych i trzech niewiadomych (u = 3) układ równań wag przyjmuje postać: [aa]q + [ab]q + [ac]q 3 = [ab]q + [bb]q + [bc]q 3 = [ac]q + [bc]q + [cc]q 3 = [aa]q + [ab]q + [ac]q 3 = [ab]q + [bb]q + [bc]q 3 = [ac]q + [bc]q + [cc]q 3 = [aa]q 3 + [ab]q 3 + [ac]q 33 = [ab]q 3 + [bb]q 3 + [bc]q 33 = [ac]q 3 + [bc]q 3 + [cc]q 33 = Średnie błędy poszczególnych niewiadomych określają wzory Q m x = m o m y = m o Q m z = m o Q33 Ocena dokładności osnów geodezyjnych opiera się przewaŝnie na wyznaczeniu po wyrównaniu średnich błędów m x i m y współrzędnych punktów wyznaczanych, stanowiących niewiadome w metodzie pośredniczącej oraz średniego błędu połoŝenia punktu obliczanego na podstawie wzoru m p = m + m x y 33

35 Przykład Wyrównać metodą pośredniczącą jednakowo dokładne kąty pomierzone na pojedynczym stanowisku pomiarowym S (rys. ). Tabela 3 Dane uzyskane z pomiaru Nr kąta Wartość kąta g c cc g c cc 3 g c cc 4 g c cc 5 g c cc 6 g c cc Rys.. Pomiar kątów na stanowisku S [opracowanie własne]. Wybór niewiadomych i określenie ich wartości przybliŝonych: = x = y 3 = z x = g c cc 4 y = g c cc 5 3 z = g c cc Zestawienie równań obserwacyjnych i równań błędów: Równania obserwacyjne L + v = x L 4 + v 4 = x + y L + v = y L 5 + v 5 = y + z L 3 + v 3 = z L 6 + v 6 = x + y + z 34

36 v = x + dx L v = y + dy L v = z + dz L 3 3 v = x + dx + y + dy L 4 4 v = y + dy + z + dz L 5 5 v = x + dx + y + dy + z + dz L 6 6 v = dx 5 cc v = dy 3 v = dz 3 4 cc cc v = dx + dy 5 v = dy + dz cc cc v = dx + dy + dz 6 cc Tabela 4 Stabelaryzowane równania błędów Nr Współczynniki przy niewiadomych Wyrazy poprawki wolne [ cc ] a b c UłoŜenie układu równań normalnych i jego rozwiązanie za pomocą pierwiastka krakowianowego: [aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + [al] = [ab]dx + [bb] dy + [bc]dz + [bl] = [ac]dx + [bc] dy + [cc]dz + [cl] = 3dx + dy +dz 7 = dx + 4dy +dz 84 = dx + dy +3dz 3 = dz = 5,5 dy = 9,49 dx = 7,46,73dx +,6dy +,58dz 73,4 =,63dy +,8dz 6,64 =,4dz,4 = 4. Określenie przyrostów niewiadomych: dx = +7,5 cc dy = +9,5 cc dz = +5,5 cc 35

37 5. Obliczenie poprawek: cc v = 7,5 5 =, 5 v = 9,5 3 =, 5 v = 5, 5 = 6,5 3 v = 7,5 + 9, 5 5 = 5 4 v = 9,5 + 5,5 4 = v = 7,5 + 9, 5 + 5, 5 6 = +,5 6 cc cc cc cc cc 6. Kontrola ogólna: [al]dx + [bl] dy + [cl]dz + [ll] = [vv] (7 7.5) , , = 98 ( ) ( ) [vv] = = 98 c.n.d. 7. Obliczenie niewiadomych: x = x + dx = 4 + 7,5 = 4 7,5 g c cc cc g c cc y = y + dy = ,5 = 5 3 9,5 g c cc cc g c cc z = z + dz = ,5 = , 5 g c cc cc g c cc 8. SpostrzeŜenia wyrównane: L + v = 4 5 +,5 = 4 7,5 g c cc cc g c cc L + v = 5 3 3,5 = 5 3 9,5 3 3 g c cc cc g c cc L + v = ,5 = , g c cc cc g c cc L + v = = g c cc cc g c cc L + v = = g c cc cc g c cc L + v = ,5 = ,5 9. Kontrola ostateczna: L + v = x = 4 7,5 g c cc cc g c cc g c cc L + v = y = 5 3 9,5 3 3 g c cc L + v = z = , g c cc L + v = x + y = g c cc L + v = y + z = g c cc L + v = x + y + z = ,5 g c cc. Ocena dokładności: średni błąd pojedynczego kąta [ vv] 98 cc m = = ± = ± 5,7 n u

38 równania wag: 3Q + Q + Q 3 = Q + 4Q + Q 3 = Q + Q + 3Q 3 = 3Q + Q + Q 3 = Q + 4Q + Q 3 = Q + Q + 3Q 3 = 3Q 3 + Q 3 + Q 33 = Q 3 + 4Q 3 + Q 33 = Q 3 + Q 3 + 3Q 33 = Równania wag moŝemy zredukować przy pomocy algorytmu Gaussa do postaci: [aa]q + [ab]q + [ac]q 3 = [aa]q + [ab]q + [ac]q 3 = [bb.]q + [bc.]q 3 = [aa]q 3 + [ab]q 3 + [ac]q 33 = [bb.]q 3 + [bc.]q 33 = [cc.]q 33 = Redukcja Gaussa I stopnia wygląda następująco: [ ] [ ] [ ab] [ ] [ aa ] [ ab] [ ] [ aa ] bb. = bb ab [ ] [ ] bc. = bc ac a II stopnia tak: [ bc.] [ cc.] = [ cc.] [ ] [ bc. ] bb. [ ac] [ ] [ ] [ ] [ ] [ bc.] cc. = cc ac [ ] [ bc. ] aa bb. obliczenia: [ bb.] = 4 =, 7 3 [ bc.] = =,3 3,3 [ cc.] = 3,3 =, 4 3,7 3Q + Q + Q 3 = 3Q + Q + Q 3 =,7Q +,3Q 3 = 37

39 3Q 3 + Q 3 + Q 33 =,7Q 3 +,3Q 33 =,4Q 33 = Q 33 =,49 =, 4 Q 3 Q 3 = Q =,49 Q =,8 Q =,8 średnie błędy niewiadomych cc m = m Q = ± 3, x m = m Q = ± 4, y m = m Q = ± 4, z 33 Wyrównane wartości kątów: g c cc cc = 4 7,5 ± 3, cc cc = 5 3 9,5 ± 4, g c cc cc 3 = ,5 ± 4, g c cc cc Przykład 3. Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy A-B jest znana (rys. ). Tabela 6. Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne] Pomierzone kierunki. 53 o o o o o o o o

40 Baza A-B = 49,68 m Rys.. Czworobok geodezyjny [opracowanie własne]. Obliczenie współrzędnych przybliŝonych punktów C i D. Przyjmujemy bok AB jako równoległy do osi y-ów i zakładamy, Ŝe współrzędne punktów A i B wynoszą: X A =,; Y A =,; X B =,; Y B = 349,68 i traktujemy je jako bezbłędne. Przy takim załoŝeniu poszukujemy najprawdopodobniejszych współrzędnych punktów C i D i obliczamy poprawki do pomierzonych kątów.. Obliczenie współrzędnych przybliŝonych punktu C (rys. ). Rys.. Wcięcie w przód [opracowanie własne] ( XC, YC ) = f = X Y X Y A A B B ctg4 ctg (,) uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku lewoskrętnym. 39

41 f = X Y = f ( ) C = f ( ) C,,, 349, 68, , X C = 3,674 Y C = 875,774 Kontrolą obliczeń współrzędnych X C, Y C jest policzenie kąta (+3) z formy rachunkowej prof. dr S. Hausbrandta. XC B YC B tg( + 3) = X Y C A C A, , 986 tg( + 3) =, , 774 ( + 3) tg( + 3) =, = 6 58 ( ) O ' wyliczamy teŝ z trójkąta ABC ( + 3) = 8 ( + 4) + 3 = 6 58 ( ) O '.. Obliczenie współrzędnych przybliŝonych punktu D (Rys.3). Rys. 3. Wcięcie w przód [opracowanie własne] ( XD, YD ) f X Y X Y A A B B = = ctg5 ctg8 uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku prawoskrętnym X = f Y ( ) D = f ( ) D (,) 4

42 f =,,, 349, 68, , X D = 53,67 Y D = 77,59 kontrola ( ) tg 6 7 X Y A D A D + = XB D YB D 746, ,59 tg( 6 + 7) = 746, , 89 ( 6 + 7) tg( 6 + 7) =, = ( ) O ' wyliczamy teŝ z trójkąta ABC ( 6 + 7) = 8 (5+8) = ( ) O '. Obliczenie współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych JeŜeli mamy kąt α (rys. 4) α Rys. 4. Pomiar kąta na stanowisku S [opracowanie własne] to wówczas, obliczenie małego przyrostu dα kąta α przy małej zmianie przyrostów współrzędnych dx L, dy L, dx P, dy P, dx S, dy S, punktów wyznaczających ten kąt (punkty L lewe ramię, P prawe ramię, S wierzchołek kąta) obliczamy ze wzoru: dα = dx dy dx dy dx dy A L L P P S S B A B (A A ) (A A ) L L P P L P L P 4

43 Współczynniki kierunkowe A i B z odpowiednimi wskaźnikami są funkcjami przyrostu współrzędnych x A = ρ x + y y B = ρ x + y xl = xl xs y = y y L L S x = x x P P S y = y y P P S A = ρ x + B = ρ y + A = ρ x + B L L xl yl L L xl yl P P xp yp y = ρ + P P xp yp α kąt obliczony ze współrzędnych α m kąt pomierzony dα = α α m.. Obliczenie dla kąta (rys. 5) Rys. 5. Schemat pomiaru dla kąta [opracowanie własne] ( ) tg =, , , 68 tg =, arc tg = , o ' = , o ' 4

44 AL =, 9 AP = B 8, 65 B = 46,3 L = P.. Obliczenie dla kąta (rys. 6) Rys. 6. Schemat pomiaru dla kąta [opracowanie własne] ( ) tg.3. Obliczenie dla kąta 3 (rys. 7) 948,5973 3,84 =, , 774 tg( ) =, o ' = 34 4, AL = 69,87 AP =, 9 BL =,44 BP = 8, 65 Rys. 7. Schemat pomiaru dla kąta 3 [opracowanie własne] ( ) tg 3, ,986 = 948,5973 3,84 tg( 3) =,

45 o ' 3 = ,3.4. Obliczenie dla kąta 4 (rys. 8) AL = 43, 3 AP = 69,87 BL = 63, 64 BP =,44 Rys. 8. Schemat pomiaru dla kąta 4 [opracowanie własne] B L = 46,3 B P = 63,64 ( ) tg 4 49, 68 =, ,986 tg( 4) =, 5853 o ' 4 = 66 37, A L = A P = 43,3. 5. Obliczenie dla kąta 5 (rys. 9) 3. Rys. 9. Schemat pomiaru dla kąta 5 [opracowanie własne] ( ) tg 5 = 746, , 89 49, 68 44

46 .6. Obliczenie dla kąta 6 (rys. ) tg( 5) =, 745 o ' 5 = ,5 AL = 4, 4 AP = BL = 38, 3 BP = 46,3 Rys.. Schemat pomiaru dla kąta 6 [opracowanie własne] ( ) tg 6.7. Obliczenie dla kąta 7 (rys. ) 948,5973 3,84 = 46, , 89 tg( 6) =, = 8 9,3 o ' AL = 69,87 AP = 4, 4 B,44 B = 38, 3 L = P Rys.. Schemat pomiaru dla kąta 7 [opracowanie własne] 746, ,59 tg( 7) = 948,5973 3,84 45

47 .8. Obliczenie dla kąta 8 (rys. ) tg( 7) =, o ' 7 = 5 5 8,89 AL = 98, 78 AP = 69,87 BL = 43, 7 BP =, 44 Rys.. Schemat pomiaru dla kąta 8 [opracowanie własne] ( ) tg 8 49, 68 = tg( 8) =, ,399 77,59 o ' 8 = 66 86, AL = AP = 98, 78 B 46,3 B = 43, 7 L = P Tabela 7. Zestawienie danych do ułoŝenia równań poprawek [opracowanie własne] Nr kąta α α m α α = α α m,89 3,3 4 5 A L A P,9 69,87,9 43,3 69,87 43,3 4,4 B L B P 8,65 46,3,44 8,65 63,64,44 46,3 63,64 38,3 46,3 dx dy dx dy dx dy L L P P S S A B A B (A A ) (A A ) L L P P L P L P dx dy C C, , 3, 9 64, 67 dx dy dx dy D D c c 69,87, 44, 9 8,65 4, 79, dx dy dx dy D D C C 43,3 63,64 69,87, 44 73, 43 66,8 dx dy C 46,3 43,3 63, 64 43,3 8, 68 dx dy D D 4, 4 38,3 46,3 4,4 8, 9 C 46

48 6 4,87 7 9, ,87 4,4 98,78 69,87 98,78,44 38,3 43,7,44 46,3 43,7 dx dy dx dy C C D D 69,87, 44 4, 4 38, 3 34,37 35,95 dx dy dx dy C C D D 98, 78 43, 7 69,87, 44 8,9 46,4 dx dy D 46,3 98, 78 43, 7 98, 78, 6 D 3. UłoŜenie równań poprawek Równania poprawek będą miały postać v i = a i dx C + b i dy C + c i dx D + d i dy D + dα i v = 8,65dx C,9dy C v = 79,dx C + 4,dy C,44dx D + 69,87dy D,89 v 3 = 66,8dx C 73,43dy C +,44dx D 69,87dy D +,3 v 4 = 63,64dx C + 43,3dy C v 5 = 38,3dx D + 4,4dy D v 6 =,44dx C 69,87dy C + 35,95dx D 34,37dy D 4,87 v 7 =,44dx C + 69,87dy C +46,4dx D + 8,9dy D + 9,89 v 8 = 43,7dx D 98,78dy D Tabela 8. Stabelaryzowane równania poprawek [opracowanie własne] Nr Współczynniki przy niewiadomych Wyrazy wolne poprawki a b c d dα [ ] 8,65,9 79, 4,,44 69,87, ,8 73,43,44 69,87,3 4 63,64 43,3 5 38,3 4,4 6,44 69,87 35,95 34,37 4,87 7,44 69,87 46,4 8,9 9, ,7 98,97 4. UłoŜenie układu równań normalnych i jego rozwiązanie [aa] dx C + [ab] dy C + [ac] dx D + [ad] dy P + [adα] = [ab] dx C + [bb] dy C + [bc] dx D + [bc] dy P + [bdα] = [ac] dx C + [bc] dy C + [cc] dx D + [cd] dy P + [cdα] = [ad] dx C + [bd] dy C + [cd] dx D + [dd] dy P + [ddα] = 369,4698dx C + 34,56dy C + 7,736dx D 7,7963dy D + 83,3577 = 34,56 dx C + 537,85dy C + 49,7893dx D + 5,839dy D + 37,44 = 7,736dx C + 49,7893dy C ,8dx D + 3,7dy D + 38,336 = 7,7963dx C + 5,839dy C + 3,7dx D + 34,9733dy D 68,7 = 47

49 Pierwiastek krakowianowy 46,83dx C + 7,769dy C +,49dx D 7,339dy D + 5,6939 = 3,555dy C +,98dx D + 56,774dy D +,3 = 8,374dx D +,749dy D + 3,836 = 7,96dy D 3,77 = dy D =,8 dx D =,465 dy C =,5 dx C = Określenie przyrostów niewiadomych 6. Obliczenie poprawek dx C =,37 dy C =, dx D =,46 dy D =, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v = 8, 65, 37, 9, =,87 v = 79,, ,,, 44, ,87,,89 = 8, 74 v = 66, 8, 37 73, 43, +, 44, 46 69,87, +,3 = 3,9 3 v = 63, 64, ,3, = 3,88 4 v = 38,3,46 + 4,4, = 4,4 5 v =, 44,37 69,87, + 35,95, 46 34,37, 4,87 = 6, 65 6 v =, 44, ,87, + 46,4, ,9, + 9,89 = 7, 73 7 v = 43, 7, 46 98, 78,,89 =, 8 7. Kontrola ogólna [adα]dx C + [bdα]dy C + [cdα]dx D + [ddα]dy D + [dαdα] = [vv] 83,3577, , 44, ,336, ( ) ( ) ( ) ( 68, 7), 8 93, 7 3, = [vv] = 3,54 Zachodzi, więc równość w granicach dokładności obliczeń L 8. Obliczenie niewiadomych współrzędnych wyrównanych. XC = X + dxc = 3, 67, 37 = 3, 3 Y = Y + dy = 875, 77, = 875, 76 C C X = X + dx = 53, 67, 46 = 53, 64 D D Y = Y + dy = 77, 59+, = 77, 63 D D P 48

50 9. SpostrzeŜenia wyrównane + v = ,87 = ,3 ' ' + v = , 74 = , 6 3 ' ' 3 + v = , 9 = 5 57,9 4 ' ' 4 + v = ,88 = 66 33, 5 ' ' 5 + v = , 4 = , 4 6 ' ' 6 + v = 8 4 6, 65 = 8 7, 35 7 ' ' 7 + v = , 73 = 5 5 6, 73 8 ' ' 8 + v = , = ,88 ' '. Kontrola ostateczna Tabela 9. Obliczenie wartości kątów z wyrównanych współrzędnych [opracowanie własne] v Nr α kąta m α obl. α obl. α m (z równań poprawek) ' ' ' ' ' ' ' ' ,3,87 ' 34 34,6 8,74 ' 5 57,9 +3,9 ' 66 33, 3,88 ' ,4 +4,4 ' 8 7,35 6,65 ' 5 5 6,73 +7,73 ' '. Ocena dokładności 66 85,88,,87 8,74 +3,9 3,88 +4,4 6,65 +7,73, Średni błąd pomiaru kąta. n n liczba spostrzeŝeń nadliczbowych m = ± [ vv] n n n n = n u = 8 4 = 4 3,54 m = ± = ± 7,

51 4... Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczenia.. Co to są spostrzeŝenia pośredniczące?. Jak układamy równanie poprawek w metodzie pośredniczącej? 3. Jak układamy równanie normalne w metodzie pośredniczącej? 4. Z jakich etapów składa się wyrównanie spostrzeŝeń metodą pośredniczącą? 5. Czym róŝni się wyrównanie spostrzeŝeń jednakowo dokładnych od wyrównania spostrzeŝeń niejednakowo dokładnych? 6. Do czego słuŝą współczynniki wagowe Q? Ćwiczenia Ćwiczenie Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy jest znana. Rysunek do ćwiczenia. Czworobok geodezyjny [opracowanie własne] Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]: Nr kąta Kąt 4 o o 8 55 o o 54 6 o o o o 45 Długość pomierzonej bazy B 3-4 zmienia się według wzoru: m + nr dz. m; nr dz. numer ucznia w dzienniku 5

52 Sposób wykonania ćwiczenia Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: ) odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody pośredniczącej, ) zapoznać się z przykładem wyrównania sieci kątowej w postaci czworoboku geodezyjnego zamieszczonym poniŝej, 3) dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny. WyposaŜenie stanowiska pracy: papier formatu A4, Poradnik dla ucznia, kalkulator funkcyjny Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie ) zdefiniować spostrzeŝenia pośredniczące? ) ułoŝyć równania poprawek? 3) ułoŝyć równania normalne? 4) wymienić etapy wyrównania spostrzeŝeń metodą pośredniczącą? 5) określić róŝnicę pomiędzy wyrównaniem spostrzeŝeń jednakowo dokładnych a wyrównaniem spostrzeŝeń niejednakowo dokładnych? 6) określić do czego słuŝą współczynniki wagowe Q? 5

53 4.3. Wyrównanie spostrzeŝeń metodą warunkową Materiał nauczania Metoda warunkowa SpostrzeŜeniami zawarunkowanymi nazywamy wyniki pomiarów geodezyjnych odnoszące się do takich wielkości, których wartości prawdziwe muszą spełniać z góry wiadome i ściśle określone równania matematyczne, zwane warunkami. W ramach wyrównania spostrzeŝeń zawarunkowanych przyjmowane jest załoŝenie, Ŝe równania warunkowe muszą spełniać nie tylko wartości prawdziwe mierzonych wartości, lecz takŝe spostrzeŝenia wyrównane (L+v). W postaci ogólnej równanie warunkowe moŝna przedstawić jako równość funkcji spostrzeŝeń wyrównanych f i określanych wartości liczbowych w. f (L +v,l +v, L n +v n ) = w f (L +v,l +v, L n +v n ) = w. f r (L +v,l +v, L n +v n ) = w r W przypadku gdy funkcje f,f,, f n są funkcjami nieliniowymi, naleŝy je doprowadzić do postaci liniowej rozwijając funkcję na szereg Taylora z pominięciem wyrazów o potędze wyŝszej niŝ pierwsza. Do sprawdzenia obliczeń wykorzystujemy kontrolę ogólną pvv= w k [ ] [ ] Kontrola generalna wyrównania polega na sprawdzeniu spełnienia wyjściowych warunków podstawiając do nich spostrzeŝenia wyrównane (L+v). Ocena dokładności spostrzeŝeń zawarunkowanych polega na obliczeniu średniego błędu pojedynczego spostrzeŝenia m. m=± [ vv] r lub spostrzeŝenia typowego m [ pvv] m =± średnie błędy poszczególnych spostrzeŝeń niejednakowo dokładnych obliczamy ze wzoru: m mi=± p Równania warunkowe Podczas układania równań warunkowych naleŝy przestrzegać następujących zasad: a) liczba warunków r musi być równa liczbie spostrzeŝeń nadliczbowych n n, b) warunki naleŝy układać tak, aby liczba zawartych w nich spostrzeŝeń była jak najmniejsza, lecz jednocześnie w układzie równań warunkowych muszą wystąpić wszystkie spostrzeŝenia danego zadania, c) warunki muszą być niezaleŝne od siebie tzn. takie, aby Ŝadnego z nich nie moŝna było wyliczyć z pozostałych równań warunkowych. r i 5

54 Prostymi przykładami równań warunkowych są: a) przy wyrównaniu kątów zmierzonych na jednym stanowisku (rys. 4 ) mamy daną liczbę n kątów pomierzonych oraz znaną liczbę k kierunków które mamy wyznaczyć. Do wyznaczenia k kierunków trzeba wyznaczyć k kątów czyli liczba warunków r równa się liczbie spostrzeŝeń nadliczbowych n n r = n n r = n (k ) = n k + Przykład 4 UłóŜ równania warunkowe dla kątów mierzonych z jednego stanowiska Rys. 3. Pomiar kątów na stanowisku do 4 kierunków [opracowanie własne] Liczba równań warunkowych wynosi 3, są to: o. 5+ 6= = = 6 n = 6 k = 4 r = = 3 b) W siatkach niwelacyjnych z kaŝdego obwodu zamkniętego wynika, Ŝe suma róŝnic wysokości równa się zero [h] =. W ciągach niwelacyjnych otwartych suma poszczególnych róŝnic wysokości jest równa róŝnicy wysokości reperów [h] = H RpA H RpB Ogólnie rzecz ujmując, w siatkach niwelacyjnych wysokość co najmniej jednego reperu jest znana. Zatem do wyznaczenia kaŝdego następnego punktu potrzebna jest jedna róŝnica wysokości, a do wyznaczenia x punktów potrzebnych jest x róŝnic wysokości. Liczba warunków powinna spełniać poniŝszą równość: r = n n = n x 53

55 gdzie: n jest to liczba pomierzonych róŝnic wysokości x jest to liczba nieznanych reperów Przykład 5 UłóŜ równania warunkowe dla siatki niwelacyjnej (rys. 4) Rys. 4. Przykład siatki niwelacyjnej [opracowanie własne] liczba pomierzonych róŝnic wysokości 9 n = 9 liczba nieznanych reperów 4 x = 4 r = n n = n x = 9 4 = 5. h 3 + h 6 h =. h 4 + h 5 h 3 = 3. h + h 4 + h 5 = H B H A 4. h + h 3 + h 8 = H C H A 5. h + h + h 7 = H D H A a) przy wyrównaniu siatki triangulacyjnej musimy uwzględniać następujące warunki: warunek bazowy kaŝda siatka musi mieć jedną bazę, warunek trójkątów kaŝdy trójkąt z trzema pomierzonymi kątami daje warunek sumy kątów równej 8, warunek sinusów wszędzie tam, gdzie do obliczenia długości boków stosujemy twierdzenie sinusów, to mamy tyle warunków sinusowych ile twierdzeń sinusowych, warunek horyzontu suma kątów równa się 36 dla kątów zamykających horyzont na stanowisku, warunek nawiązania azymutalnego liczba nawiązań do dwóch boków o znanych azymutach. Łączna liczba warunków w siatkach triangulacyjnych jest sumą spostrzeŝeń nadliczbowych wszystkich wymienionych warunków. 54

56 Liczba warunków r jest zawsze mniejsza od liczby spostrzeŝeń n poniewaŝ w przeciwnym wypadku wielkości występujące w równaniach jako niewiadome, dałoby się wyznaczyć na podstawie równań warunkowych. Przykład 6 Wyrównaj metodą warunkową kąty pomierzone w trójkącie (rys. 5) β α γ Rys. 5. Pomiar kątów w trójkącie [opracowanie własne] Dane: α = β = 78 3 γ = UłoŜenie równań warunkowych n = 3 u = r = n u = 3 = Mamy tutaj do czynienia z jedną obserwacją nadliczbową, a więc tylko z jednym warunkiem (α + v ) + (β + v ) + (γ + v 3 ) = 8. Obliczenie odchyłek ω a = α + β + γ 8 ω a = 3 3. Zestawienie równań poprawek v + v + v 3 3 = poprawki v v v 3 ω a Zestawienie równań poprawek wyraŝonych przez korelaty v i = a i. k a v = k a v = k a v 3 = k a 5. Zestawienie równań normalnych korelat [aa]. k a + ω a = 3k a 3 = k a = 55

57 6. Obliczenie wartości poprawek wyraŝonych przez korelaty v = v = v 3 = 7. Kontrola ogólna [vv] = 3 [k. ω] = 3 [vv] = [k. ω] 3 = 3 8. SpostrzeŜenia wyrównane α + v = β + v = 78 4 γ + v 3 = Kontrola generalna (α + v ) + (β + v ) + (γ + v 3 ) = = 8. Obliczenie średniego błędu spostrzeŝenia m=± [ vv] r m = ± 3 = ± 7,3 Zastosowanie metody warunkowej PoniewaŜ wyrównanie spostrzeŝeń wykonywane metodą pośredniczącą i warunkową daje identyczne wyniki, więc istnieje problem ustalenia kryterium dokonania wyboru metody wyrównania. Przy tradycyjnych metodach wykonywania obliczeń głównym kryterium wyboru była liczba równań normalnych, niezbędnych do rozwiązania danego zadania. W metodzie pośredniczącej liczba ta jest równa liczbie niewiadomych u, natomiast w metodzie warunkowej ilość równań normalnych jest równa liczbie warunków r. czyli r = n u u = n r Biorąc pod uwagę kryterium liczby równań normalnych: wybieramy metodę pośredniczącą w przypadku gdy: n r > wybieramy metodę warunkową gdy: r < n Przy zastosowaniu współczesnej techniki obliczeniowej róŝnice w ilości równań normalnych nie mają istotnego znaczenia dla procesu rachunkowego, dlatego w ramach 56

58 układania komputerowych programów obliczeniowych z reguły wykorzystuje się wyrównanie metodą pośredniczącą, która zapewnia lepszą jednolitość i przejrzystość postępowania oraz wygodniejszą ocenę dokładności. Programy obliczeniowe do wyrównania spostrzeŝeń metodami ścisłymi Wyrównania ścisłe osnów geodezyjnych moŝna wykonać metodą pośredniczącą lub warunkową. Obie te metody zostały wcześniej omówione. Obecnie wyrównanie osnów tymi metodami przeprowadzane jest z wykorzystaniem komputerowych technik obliczeniowych. Najpopularniejszymi programami słuŝącymi do ścisłego wyrównania osnów są m.in. program C-GEO stworzony przez firmę Softline z Wrocławia i GEONET stworzony przez prof. dr hab. inŝ. R. Kadaja z Akademii Rolniczej w Krakowie. Programy te są stosowane z wielkim powodzeniem w całej Polsce. Przykład 7 Wyrównaj spostrzeŝenia metodą warunkową Posługując się danymi uzyskanymi z pomiary wyrównaj metodą warunkową róŝnice wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej jednopunktowo (rys. 6). Rys. 6. Siatka niwelacyjna [opracowanie własne] Tabela. Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne] Nr ciągu Długość ciągu [km] RóŜnica wysokości [m].,74-5,36.,9 +3,84 3.,35 -,594 4.,85 +3,65 5.,953 +8,48 6.,989-4,785 n = 6 u = 3 r = n n = n u = 6 3 = 3 57

59 . UłoŜenie równań warunkowych I (h + v ) + (h 5 + v 5 ) (h + v ) = II (h + v ) + (h 3 + v 3 ) (h 4 + v 4 ) = III (h + v ) + (h 6 + v 6 ) (h 3 + v 3 ) =. Obliczenie odchyłek ω a = h + h 5 h ω b = h + h 3 h 4 ω c = h + h 6 h 3 ω a = = mm ω b = = 8mm ω c = = 7mm 3. Zestawienie równań poprawek. I v v + v 5 = II v v 3 v 4 8 = III v v 3 + v 6 7 = Tabela. Stabelaryzowane równania poprawek [opracowanie własne] Warunki Poprawka v v v 3 v 4 v 5 v 6 ω I a II b III c Zestawienie równań poprawek wyraŝonych przez korelaty: ai bi ci vi = ka + kb + kc p p p i i i dla ciągów niwelacyjnych wagi spostrzeŝeń przyjmujemy z zasady jako: pi = Li Li p = i gdzie L długość ciągu w km v =,74. k a,74. k b v = -,9. k a +,93. k c v 3 =,35. k b,35. k c v 4 =,85. k b v 5 =,953. k a v 6 =,989. k c 5. Zestawienie równań normalnych korelat aa ab ac ka kb kc ω p = p p ab bb bc ka kb kc ω p = p p ac bc cc ka kb kc ω3 p = p p 58

60 7,39ka,74k b,9k c =,74k + 7, 59k, 35k 8 = a b c,9k, 35k + 7, 46k 7 = a b c 6. Rozwiązanie układu równań normalnych korelat przy pomocy pierwiastka krakowianowego:, 75k,84k,8k 4, 436 = a b c,57k,3k 4, 4494 = b,345k 6, 67 = c c k c =,845 k b =,99 k a = 3,38 7. Obliczenie wartości poprawek wyraŝonych przez korelaty: v =,74. 3,38,74.,99 =,85 v =,9. 3,38 +,9.,845 =,7 v 3 =,35.,99,35.,845 =,33 v 4 =,85.,99 = 8,53 v 5 =,953. 3,38 = 9,98 v 6 =,989.,845 = 8,5 8. Kontrola ogólna: 9. SpostrzeŜenia wyrównane: h + v = 536 +,85 = 535,5 mm h + v = 384,7 = 38,83 mm h 3 + v 3 = 594 +,33 = 593,67 mm h 4 + v 4 = 365 8,53 = 364,47 mm h 5 + v 5 = ,98 = 847,98 mm h 6 + v 6 = ,5 = 4776,5 mm [pvv] = 84,44 [k. ω] = 84,4 [pvv] = [k. ω]. Kontrola ostateczna: I (h + v ) + (h 5 + v 5 ) (h + v ) = 535, ,98 38,83 = II (h + v ) + (h 3 + v 3 ) (h 4 + v 4 ) = 535,5 593,67 364,47 =, III (h + v ) + (h 6 + v 6 ) (h 3 + v 3 ) = 38, , ,67 =. Obliczenie średniego błędu typowego spostrzeŝenia (dla ciągu o długości km): m = ± [ ] [ pvv] 84, 44 mm m = ± = ± 5,3 3 km r 59

61 . Obliczenie średnich błędów poszczególnych spostrzeŝeń: m i = m p i m = 5,3 = ± 7,83mm,74 m m m m m = 5,3 = ± 7,86mm,9 = 5,3 = ± 7,94mm,35 = 5,3 = ± 8,96mm,85 = 5,3 = ± 9,mm,953 = 5,3 = ± 9,8mm, Pytania sprawdzające Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.. Co to są spostrzeŝenia warunkowe?. Jak układamy równania normalne? 3. Co to są korelaty i do czego słuŝą? 4. Jak układamy równania normalne korelat? 5. W jaki sposób wybieramy metodę wyrównania spostrzeŝeń? 6

62 Ćwiczenia Ćwiczenie Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą warunkową róŝnice wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej wielopunktowo. Rysunek do ćwiczenia. Siatka niwelacyjna [opracowanie własne] Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne] Nr ciągu RóŜnica wysokości [m] 3,85,947,45,,487,99,74 Długość [km] 4,7 5,9 3,8,5,7 3,, Wysokości reperów nawiązania: H A = 96,67m H B = 95,599m H C = 94,4m Sposób wykonania ćwiczenia: Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś: ) odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody warunkowej, ) zapoznać się z przykładem wyrównanie metodą warunkową róŝnic wysokości w siatce niwelacyjnej w celu wyznaczenia wysokości trzech reperów zamieszczonym poniŝej, 3) ustalić dane wyjściowe do wykonania ćwiczenia, 4) dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny. WyposaŜenie stanowiska pracy: kalkulator funkcyjny, papier formatu A4, Poradnik dla ucznia. 6

63 Sprawdzian postępów Czy potrafisz: Tak Nie ) zdefiniować spostrzeŝenia zawarunkowane? ) ułoŝyć równania normalne przy wyrównaniu kątów? 3) ułoŝyć równania normalne w siatkach niwelacyjnych? 4) zdefiniować pojęcie korelaty? 5) ułoŝyć równania normalne korelat? 6) wybrać metodę wyrównania spostrzeŝeń? 6

64 5. SPRAWDZIAN OSIĄGNIĘĆ INSTRUKCJA DLA UCZNIA. Przeczytaj uwaŝnie instrukcję.. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi. 3. Zapoznaj się z zestawem zadań testowych. 4. Test zawiera zadań. Do kaŝdego zadania dołączone są 4 moŝliwości odpowiedzi. Tylko jedna jest prawidłowa. 5. Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi, stawiając w odpowiedniej rubryce znak x. W przypadku pomyłki naleŝy błędną odpowiedź zaznaczyć kółkiem, a następnie ponownie zakreślić odpowiedź prawidłową. 6. Zadania wymagają prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed wskazaniem poprawnego wyniku. 7. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonywanego zadania. 8. JeŜeli udzielenie odpowiedzi będzie Ci sprawiało trudność, wtedy odłóŝ jego rozwiązanie i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas. 9. Na rozwiązanie testu masz 45 minut. Powodzenia! ZESTAW ZADAŃ TESTOWYCH. Wyniki pomiarów geodezyjnych są a) zawsze bezbłędne. b) wartościami prawdziwymi mierzonych wielkości. c) wartościami przybliŝonymi wielkości prawdziwych. d) podstawą podziału błędów na trzy grupy.. Błędy systematyczne powstają wskutek a) nieuwagi obserwatora. b) działania ustalonych prawidłowości w określonych warunkach pomiaru. c) przyczyn trudnych do ścisłego określenia. d) zbyt duŝej liczby pomiarów. 3. Błędy przypadkowe są a) moŝliwe do wyznaczenia na podstawie duŝej liczby obserwacji. b) niemoŝliwe do wyznaczenia i wyeliminowania. c) moŝliwe do wyznaczenia na postawie znajomości źródeł błędów. d) stałe co do znaku i wartości liczbowej. 4. Z przebiegu krzywej prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego wynika, Ŝe a) prawdopodobieństwo błędu większego jest większe niŝ prawdopodobieństwo błędu mniejszego. b) prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niŝ prawdopodobieństwo błędu większego. c) przy zmniejszaniu liczby spostrzeŝeń suma błędów przypadkowych dąŝy do zera. d) prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej lecz z róŝnymi znakami jest równe zero. 63

65 5. Błąd względny jest równy a) błędowi średniemu. b) błędowi granicznemu. c) średniemu błędowi bezwzględnemu przypadającemu na całą mierzoną wielkość. d) dwukrotnej wartości błędu średniego. 6. Średnia arytmetyczna obliczona dla spostrzeŝeń jednakowo dokładnych jest równa a) sumie spostrzeŝeń. b) sumie spostrzeŝeń podzielonej przez liczbę pomiarów. c) liczbie pomiarów. d) wartości przybliŝonej mierzonej wielkości. 7. Prawo przenoszenia się błędów średnich słuŝy do obliczania a) błędu średniego funkcji obserwacji. b) błędu względnego funkcji obserwacji. c) pochodnych cząstkowych funkcji obserwacji. d) błędów średnich bezpośrednio obserwowanych wielkości. 8. Do obliczenia błędu średniego przewyŝszenia, korzystamy z funkcji h = d. tgα i wówczas h równa się d a) d. sinα. b) tgα. c) d. cosα. d) d. 9. Pomierzona przekątna działki w kształcie kwadratu wynosi m. JeŜeli przekątną pomierzyliśmy z błędem ±, m, to powierzchnię tej działki obliczymy z błędem a) ±5 m. b) ± m. c) ± m. d) ± m.. Na mapie zmierzono odległość pomiędzy dwoma punktami, przy czym błąd przyłoŝenia podziałki wynosi ±, mm a błąd odczytu ±,5mm. Przy zmierzonej długości naleŝy oczekiwać błędu a) ±, mm. b) ±,5 mm. c) ±,8 mm. d) ±,5 mm.. Do obliczania wartości kąta nachylenia terenu pomiędzy dwoma punktami, przy pomierzonej poziomej odległości między nimi d i róŝnicy wysokości h stosujemy h wzór tg α =. Przy obliczaniu błędu średniego tego kąta korzystamy z funkcji d a) tgα. b) ctgα, c) arc tgα. d) arc ctgα. 64

66 . Średnia arytmetyczna ogólna obliczana dla spostrzeŝeń bezpośrednich niejednakowo dokładnych jest równa sumie a) spostrzeŝeń podzielonych przez sumę wag. b) spostrzeŝeń podzielonej przez liczbę pomiarów. c) iloczynów spostrzeŝeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag. d) iloczynów spostrzeŝeń i odpowiadających im wag podzielonej przez liczbę wag. 3. Przy pomiarach ciągów poligonowych, przyjmuje się najczęściej wagi odnoszące się do boków jako a) wprost proporcjonalne do długości boków. b) odwrotnie proporcjonalne do długości ciągów. c) równe liczbie przyłoŝeń taśmy na danym ciągu. d) równe błędom średnim pomierzonych boków. 4. JeŜeli za spostrzeŝenie typowe przyjmiemy spostrzeŝenie o średnim błędzie ±3, to waga dla spostrzeŝenia o średnim błędzie ± wynosi a) 9. b) 6. c) 3. d). 5. Mamy trzy spostrzeŝenia niejednakowo dokładne o średnich błędach m = ± cm, m = ± cm, m 3 = ±5 cm. SpostrzeŜeniom tym odpowiadają wagi a) p =,5; p =; p 3 =,4. b) p =6; p =5; p 3 =. c) p =4; p =6; p 3 =,5. d) p =,5; p =; p 3 =,. 6. SpostrzeŜenia pośredniczące a) odnoszą się bezpośrednio do szukanych wielkości. b) słuŝą do wyznaczenia niewiadomych za pomocą ustalonych związków funkcyjnych. c) słuŝą do wyznaczenia wartości prawdziwych mierzonych wielkości. d) pozwalają określić ilość spostrzeŝeń nadliczbowych. 7. JeŜeli funkcja, którą się posługujemy przy wyrównywaniu spostrzeŝeń, nie jest funkcją liniową to naleŝy rozwinąć ją na szereg a) Taylora. b) Maclaurina. c) Taylora z odrzuceniem wyrazów rzędu wyŝszego niŝ pierwszy. d) Maclaurina z odrzuceniem wyrazów rzędu wyŝszego niŝ pierwszy. 8. Liczba spostrzeŝeń nadliczbowych jest równa a) liczbie spostrzeŝeń niezaleŝnych od siebie. b) liczbie spostrzeŝeń niezbędnych do rozwiązania danego zadania geodezyjnego. c) róŝnicy liczby spostrzeŝeń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrzeŝeń niezaleŝnych od siebie. d) róŝnicy liczby spostrzeŝeń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrzeŝeń niezbędnych do rozwiązania danego zadania geodezyjnego. 65

67 9. Pomierzyliśmy 5 ciągów niwelacyjnych w celu wyznaczenia wysokości trzech nowych reperów. Liczba warunków wynosi a). b). c) 3. d) 4. Siatka niwelacyjna nawiązana jednopunktowo [opracowanie własne]. Korelaty są to a) poprawki do spostrzeŝeń. b) wartości najbardziej prawdopodobne niewiadomych. c) współczynniki nieoznaczone występujące jako dodatkowe niewiadome. d) odchyłki, których suma jest równa zero. 66