Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 3

Transkrypt

1 Zestaw 3 Zadanie. 1. Dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N (100; 10) obliczyć: a) P(X<100), b) P(X<85), c) P(X>130), d) P(75<X<105). Zadanie. 2. Obliczyć dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym: a) P(x-σ<X< x+σ), b) P(x-2σ<X< x+2σ), c) P(x-3σ<X< x+3σ). Festina lente Zadanie. 3. W pewnej populacji iloraz inteligencji (IQ) opisany jest rozkładem normalnym o parametrach: wartość oczekiwana = 105, zaś odchylenie standardowe = 5,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany przedstawiciel tej populacji będzie miał IQ: a) <100, b) >120, c) >135, d) (95; 115). Zadanie. 4. Wzrost dojrzałych osobników jednej płci podlega rozkładowi normalnemu N (170 cm; 6 cm). Jaki procent osobników tej populacji ma wzrost zawarty pomiędzy 182 a 186 cm? Zadanie. 5. Zawartość cholesterolu LDL we krwi populacji dorosłych ludzi jest opisywany rozkładem normalnym N (4,8; 0,6). a) jaki procent populacji ma zawartość cholesterolu LDL w granicach od 4,2 do 5,4? b) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany człowiek będzie miał zawartość cholesterolu LDL we krwi mieszczącą się w przedziale: (i) (3,6; 6,0)? (ii) (3,0; 6,6)? c) jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany człowiek będzie miał zawartość cholesterolu LDL we krwi: (i) powyżej 6,6? (ii) powyżej 6,0? (iii) powyżej 5,2?

2 Zadanie. 6. Dla jakiej wartości parametru a zmienna losowa o rozkładzie N (0; 1) spełnia następujące równanie: a) P (z < a) = 0,8? b) P (z < -a) = 0,5? c) P (z < -a) = 0,2? d) P (z > a) = 0,3? Zadanie. 7. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N (2; 4). Obliczyć prawdopodobieństwo P( X <3). Zadanie. 8. Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu N (1; 2). Wyznaczyć wartość stałej b, dla której P( X-1 <b) = 0,90. Zadanie. 9. Błąd pomiaru pewnym przyrządem ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 0 i odchyleniem standardowym 20 jednostek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd przynajmniej jednego z trzech niezależnych pomiarów nie przekroczy 4 jednostek. Zadanie. 10. Wyniki testu kwalifikacyjnego do pewnej firmy mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej 125 i wartości odchylenia standardowego równej 25. Wiedząc, że do firmy przyjmowani są kandydaci, którzy znaleźli się w 10% osób z najlepszymi wynikami, odpowiedzieć na pytanie, ile co najmniej punktów należało uzyskać aby być przyjętym? Zadanie. 11. Dla jakiej wartości parametru A zmienna losowa o rozkładzie normalnym N(1,2) spełnia następujące równanie: P ( x > A) = 0, 6? Zadanie. 12. Błąd pomiaru zawartości cukru we krwi metodami instrumentalnymi podlega rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej równej -0,05 i odchyleniu standardowym 1,5. a) jaki procent pomiarów zawartości cukru we krwi przekracza wartość prawdziwą? b) jaki procent pomiarów zawartości cukru we krwi obarczonych jest błędem znaczącym (za taki błąd przyjmuje się pomiar, który różni się od wielkości prawdziwej więcej niż ±2,8)? Zadanie. 13. Wielkość rocznych opadów na danym terenie wyrażonych w mm podlega rozkładowi normalnemu N (200; 20). Oblicz prawdopodobieństwo, że przez co najmniej dziesięć kolejnych lat suma rocznych opadów w tym terenie nie będzie mniejsza niż 210 mm.

3 Zadanie. 14. Roczna wielkość opadów atmosferycznych na terenie pewnej miejscowości ma rozkład normalny N (200; 50). Oblicz prawdopodobieństwo: a) zaistnienia sytuacji, że w trzech kolejnych latach wielkość rocznych opadów przekroczy 300 mm, b) zaistnienia sytuacji, że w trzech z czterech kolejnych lat wielkość rocznych opadów nie przekroczy 50 mm, c) zaistnienia sytuacji, że dokładnie w dwóch latach spośród czterech kolejnych wielkość rocznych opadów nie przekroczy 100 mm. Zadanie. 15. Błąd wskazań pewnego przyrządu pomiarowego podlega rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej równej 0 i wariancji równej 4 jednostki. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzech kolejnych pomiarach tym przyrządem błąd pomiaru nie przekroczy ±3 jednostek? b) Ile wynosi wartość błędu pomiaru ±B tym przyrządem, dla którego prawdopodobieństwo uzyskania błędu większego wynosi 0,1? Zadanie. 16. Czas parkowania przed pewnym uniwersytetem, liczony od momentu wjazdu na teren parkingu do momentu zajęcia miejsca i wyłączenia silnika, podlega rozkładowi normalnemu N(105 s; 20 s). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trzech kolejnych dniach uda nam się zaparkować w czasie krótszym od 1 minuty. Zadanie. 17. Wiedząc, że rozkład zawartości cholesterolu we krwi dorosłych osobników pewnej populacji podlega rozkładowi normalnemu N (4,8; 0,6) obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 5 losowo wybranych mężczyzn: 2 ma zawartość cholesterolu poniżej 3,6; 2 powyżej 5,4, natomiast jeden zawartość w granicach od 4,8 do 5,4. Zadanie. 18. Przeciętny czas niezawodnej pracy produkowanego seryjnie urządzenia wynosi godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane urządzenie będzie prawidłowo pracować: a) co najmniej godzin? b) co najmniej godzin? c) mniej niż godzin? Zadanie. 19. Wiedząc, że średni czas niezawodnej pracy pewnego rodzaju urządzenia wynosi 1000 godzin, obliczyć prawdopodobieństwo, że urządzenie to: a) będzie pracowało w sposób niezawodny ponad 3000 godzin, b) będzie pracowało w sposób niezawodny mniej niż 1000 godzin.

4 Zadanie.20. Wiedząc, że średni czas niezawodnej pracy pewnego urządzenia wynosi 5000 godzin, pewna firma zakupiła 3 tego typu urządzenia. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnej pracy tych urządzeń: a) żadne z nich nie przepracuje dłużej niż 1000 godzin, b) co najmniej jedno z nich przepracuje więcej niż 5000 godzin, c) każde z nich przepracuje co najmniej 5000 godzin, d) dokładnie 2 z nich przepracują co najmniej 5000 godzin. Zadanie. 21. Badania Pomorskiej Akademii Medycznej w Szczecinie wykazały, że wiek pacjentów leczonych na raka krtani ma rozkład normalny. Średni wiek zgłaszających się pacjentów wynosił dotychczas 44,68 lat, natomiast przeciętne odchylenie wieku od tej średniej 5,62 lata. W pewnym roku na leczenie zgłosiło się 154 pacjentów, a najmłodszy spośród nich miał 17 lat. po-równać prawdopodobieństwo (wyznaczone z rozkładu teoretycznego) oraz częstość względną leczenia tej choroby u osób w wieku 17 lat i młodszych. Zadanie. 22. Waga mężczyzn ma rozkład normalny o parametrach µ = 72 kg oraz σ = 8,1 kg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mężczyzna będzie miał wagę: a) poniżej 68 kg, b) od 68 do 74 kg, c) powyżej 80 kg, Wyznaczyć kwartyl pierwszy rozkładu wagi mężczyzn. Zadanie. 23. Ślusarz zakupił maszynę do dorabiania kluczy, która pracuje ze średnią niedokładnością (mierzoną wartością odchylenia standardowego) ± 0,01 mm. Skutki ewentualnej niedokładności zauważalne są dopiero przy odchyleniu od wzorca o ± 0,025 mm. Ilu średnio klientów, którzy przyjdą z zażaleniem w ciągu tygodnia, może oczekiwać ślusarz, jeżeli tygodniowo obsługuje on około 100 klientów, a błędy niedokładności mają rozkład normalny. Zadanie. 24. Zakładając, że opóźnienie przyjazdu pociągu do stacji A jest zmienną losową o rozkładzie losowym N (15 min., 13 min.), obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) pociąg, który miał przyjechać o przyjedzie między a 22.10, b) ten sam pociąg przyjedzie po Zadanie. 25. Poniżej podane zostały, moim zdaniem, ciekawe rozkłady normalne: a) wzrost Amerykanek w wieku lata N (65,5 cala; 2,5 cala), b) wzrost dorosłych mieszkańców USA N (70 cali; 3 cale), c) zawartość cholesterolu we krwi N (4,8; 0,6).

5 Ciekawe strony www: 1. Strona dotycząca rozkładu normalnego, z kalkulatorem prawdopodobieństwa i ciekawymi przykładami zastosowania tegoż rozkład 2. Co to jest maszyna Galtona? 3. O najczęściej spotykanych rozkładach (ciągłych i dyskretnych) w języku J.W.Goethe