POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO

Transkrypt

1 POWTÓRZENIE - GEODEZJA OGÓLNA dział 9 ELEMENTY RACHUNKU WYRÓWNAWCZEGO SPOSTRZEŻENIA JEDNAKOWO DOKŁADNE. Spostrzeżenia jednakowo dokładne to takie, które wykonane są: tym samym przyrządem, tą samą metodą pomiaru, w identycznych warunkach środowiska, przez tego samego obserwatora.. Spostrzeżenia jednakowo dokładne mają charakter spostrzeżeń typowych, tzn. charakteryzują się jednakowymi błędami średnimi. 3. Spostrzeżenia nadliczbowe jest to liczba naturalna stanowiąca różnicę pomiędzy ilością n spostrzeżeń niezależnych od siebie uzyskanych z pomiaru a ilością u spostrzeżeń niezbędnych do rozwiązania danego zadania geodezyjnego. n n = n u Jeżeli n > u pojawia się problem wyrównania. 4. Spostrzeżenia L różnią od nieznanych wartości prawdziwych X o wartość błędu prawdziwego ε ε i = X - L i 5. W wyniku procesu wyrównania uzyskujemy poprawki v, które dodane do spostrzeżeń dają w efekcie spostrzeżenia wyrównane L i + v i 6. Problematykę rozwiązania sposobu obliczania poprawek v realizuje się w oparciu o teorię najmniejszych kwadratów. 7. Najbardziej prawdopodobne rozłożenie błędów obserwacji jednakowo dokładnych, zgodnie z rozkładem normalnym, następuje wtedy, gdy suma kwadratów poprawek osiąga wartość najmniejszą: [vv] = minimum 8. Spostrzeżenia bezpośrednie to obserwacje: L,L, L 3,,L n otrzymane w wyniku porównania wielkości mierzonej z podziałką przyrządu mierniczego podczas wielokrotnych pomiarów tej samej wielkości mierzonej, stanowiącej niewiadomą. 9. Najbardziej prawdopodobną wartości ą x dla spostrzeżeń bezpośrednich jest średnia arytmetyczna x po uwzględnieniu poprawek x = x 0 + [ L] W powyższym wzorze wielkości x 0 może mieć dowolną wartość, jednak n najprościej przyjąć najmniejsze spostrzeżenie ponieważ wtedy L 0. L stanowią różnice pomiędzy wartością przybliżoną x 0 a każdym ze spostrzeżeń: L = L i x 0 0. Średnia arytmetyczna obliczona dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych jest równa sumie podzielonej przez liczbę pomiarów x = [L] n. Po wyznaczeniu średniej arytmetycznej oblicza się poprawki poszczególnych spostrzeżeń: v i = x L i. Średni błąd pojedynczego spostrzeżenia wynosi: m 0 = ± [vv] n 3. Średni błąd średniej arytmetycznej wynosi: m x = ± [vv] n(n ) lub m x = ± m 0 n

2 Przykładowe zadanie: Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną wartość długości odcina AB pomierzonego czterokrotnie z jednakową dokładnością. Czyli wyznaczyć trzeba wartość x (na zielono) oraz dokładność m0 (na bordowo) i mx (na brązowo)

3 SPOSTRZEŻENIA NIEJEDNAKOWO DOKŁADNE. Spostrzeżeniami niejednakowo dokładnymi nazywamy takie wyniki pomiarów dla których nie jest spełnione przynajmniej z poniższych założeń: ten sam przyrząd, ta sama metoda pomiaru, identyczne warunki środowiskowe, ten sam obserwator.. Waga - pewna dodatnia i niemianowana liczba p, która określa nasz stopień zaufania do danej obserwacji. Spostrzeżenie dokładniejsze uzyskuje większą wagę niż spostrzeżenie uzyskane z pomiaru mniej dokładnego. 3. Wagi obserwacji niejednakowo dokładnych są odwrotnie proporcjonalne do kwadratów ich błędów średnich: p i = 4. Zamiast pojęcia wag korzysta się z pojęcia tzw. błędności, które są odwrotnościami wag. 5. Najprawdopodobniejszą wartością spełniającą warunek [pvv] = minimum dla zbioru spostrzeżeń bezpośrednich niejednakowo dokładnych L, którym przyporządkowano wagi p jest średnia arytmetyczna ogólna (ważona) obliczona na podstawie wzoru: m i 6. Średnia arytmetyczna ogólna (ważona) jest równa sumie iloczynów spostrzeżeń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag. 7. Średnią arytmetyczną ogólną można obliczyć również wykorzystując wartość przybliżoną x 0 : x x 0 x gdzie [ pl] x [ p] 8. Kontrolę obliczenia średniej stanowi zerowanie się sumy iloczynów wag i poprawek: [pvv] = 0 9. Średni błąd m 0 typowego spostrzeżenia (średni błąd jednostkowy) określa się na podstawie wzoru: m 0 = ± [pvv] n 0. Średni błąd średniej arytmetycznej ogólnej określa się na podstawie poniższego wzoru: m x = ± [vv] [p](n ) lub m x = ± m 0 [p]

4 Przykładowe zadanie: Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną wartość kąta ABC, który pomierzono czterokrotnie teodolitami o różnej dokładności, uzyskując wyniki:. 44 o 5 0 z błędem ±0. 44 o 4 58 z błędem ± o 5 05 z błędem ± o 5 0 z błędem ±5 Tymczasowo przyjęto wartość średniego błędu jednostkowego m 0 = ±0 (na jasnozielono) Obliczyć więc należy wartość x (na zielono) oraz błąd mx (na bordowo) i m0 (na brązowo). WZORY NA WAGI W zależności od danych jakie mamy wagę spostrzeżenia obliczyć możemy z następujących wzorów: p i = m i p i = n i p i = n i m i p i = L i L i długość ciągu n i liczba pomiarów m i błąd średni spostrzeżenia

5 BŁĘDY SPOSTRZEŻEŃ, ICH RODZAJE I CHARAKTERYSTYKA W zależności od źródeł powstawania i charakteru skażenia przez błędy pomiarowe rezultatów pomiarów wyróżnić można trzy grupy błędów: ) Błędy grube (tzw. omyłki) - mają duże wartości liczbowe i są spowodowane niedyspozycją lub nieuwagą obserwatora, który z tych powodów może odczytać lub zapisać inny wynik niż wskazuje przyrząd. Zastąpienie ręcznego notowania obserwacji w dziennikach polowych przez elektroniczny zapis danych pomiarowych w nośnikach pamięci znacznie zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędów grubych. Błędy grube powinny być bezwzględnie wyeliminowane z materiału obserwacyjnego przed przystąpieniem do wyrównania spostrzeżeń ) Błędy systematyczne powstają wskutek działania ustalonych prawidłowości w określonych warunkach pomiaru. Ich źródła mogą wynikać z następujących przyczyn: instrumentalnych, spowodowanych wadami instrumentów (przymiarów, dalmierzy, teodolitów, niwelatorów), osobowych, związanych ze stałymi nawykami obserwatora, wykazującego skłonność do błędnego celowania lub tendencyjnego szacowania odczytów, zmierzającego do ich systematycznego zwiększania lub zmniejszania, środowiskowych, wynikających z działania znanych praw związanych z określonymi warunkami pomiaru (np. nieuwzględnienie rozszerzalności termicznej taśmy, wpływ na pomiar kątów refrakcji atmosferycznej lub bocznego oświetlenia celu). Błędy systematyczne są stałe co do znaku i wartości liczbowej, jednakowo obarczając powtarzające się obserwacje. Błędy systematyczne zmienne to np. sinusoidalny wpływ mimośrodu alidady. Błędy systematyczne usuwa się w miarę możliwości ich ujawnienia, co niestety nie zawsze jest wykonalne. 3) Błędy przypadkowe mają charakter losowy i w przeciwieństwie do wcześniej wymienionych błędów, są niemożliwe do wyznaczenia i wyeliminowania ze względu na ich losową zmienność co do wartości liczbowej oraz znaku. Prawdopodobieństwo popełnienia błędów przypadkowych ze znakami plus i minus jest jednakowe. Wynikają z przyczyn trudnych do ścisłego określenia, np.: niedoskonałości instrumentu i wzroku obserwatora, zmiennych warunków zewnętrznych, itp. Wartość osiąganych błędów można zmniejszyć poprzez: zwiększenie liczby pomiarów, stosowanie dokładniejszych przyrządów i bardziej racjonalnych metod pracy, skracanie czasu trwania obserwacji, wybór korzystnych pór dnia, roku oraz stanu pogody, zapewniających dogodne warunki prac polowych. Zmniejszenie wpływu błędów przypadkowych na wyniki obserwacji osiąga się poprzez tzw. wyrównanie, które doprowadza spostrzeżenie do wzajemnej matematycznej zgodności oraz umożliwia dokonanie oceny dokładności obserwacji po wyrównaniu. Pozostałe błędy: Błąd średni m, stosowany najczęściej do oceny dokładności. Prawdopodobieństwo jego nieprzekroczenia wynosi 0,68, co oznacza, że przeciętnie na trzy błędy przypadkowe obserwacji dwa są od błędu średniego mniejsze, zaś jeden większy. Na podstawie wartości błędów prawdziwych szeregu n spostrzeżeń jego błąd średni określa się na podstawie wzoru: Błąd graniczny g, przekroczenie jego jest mało prawdopodobne. Błąd ten wyznacza największą wartość błędu, dopuszczalną dla danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle jako trzykrotna wartość błędu średniego, czyli: g = 3*m Prawdopodobieństwo popełnienia błędu większego od błędu granicznego jest niewielkie i wynosi :370. Niekiedy zamiast błędu 3m w roli błędu granicznego przyjmowany jest także błąd równy podwójnej wartości błędu średniego m, którego przekroczenie zdarza się na raz na obserwacje. Błąd względny jest równy średniemu błędowi bezwzględnemu (absolutnemu) m, przypadającemu na całą mierzoną wielkość d i podzielonemu przez wynik pomiaru tej wielkości. Utworzony w ten sposób iloraz doprowadza się do ułamka z licznikiem równym jedności. Błąd względny jest wykorzystywany szczególnie do oceny dokładności pomiarów długości i pola powierzchni. Np. Średni błąd pomiaru taśmą odcinka o długości 00m wynosi ±cm. Błąd względny tego pomiaru wynosi: m d = cm cm = : 5000 Błąd przeciętny jest równy średniej arytmetycznej sumy wartości bezwzględnych błędów przypadkowych.

6 PRAWO PRZENOSZENIA SIĘ BŁĘDÓW ŚREDNICH. Błąd średni funkcji obserwacji jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów pochodnych cząstkowych pomnożonych przez odpowiadające im średnie błędy zmiennych niezależnych. Krzywa prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego, zwana też krzywą de Moivre a-gaussa. Wnioski z analizy krzywej: Najbardziej prawdopodobne jest pojawienie się błędu przypadkowego ε równego zero. Prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe niż prawdopodobieństwo błędu większego. Prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej, lecz z różnymi znakami jest jednakowe. Zwiększenie dokładności pomiaru wyrażone zwiększeniem wartości parametru h powoduje zmniejszenie prawdopodobieństwa pojawienia się błędów o dużych wartościach liczbowych. Przy zwiększaniu ilości spostrzeżeń n suma błędów przypadkowych [ε] dąży do zera.

7 WYRÓWNANIE PAR OBSERWACJI W pomiarach geodezyjnych wiele pomiarów wykonuje się dwukrotnie, np: boki w poligonie kąty w osnowie różnice wysokości w niwelacji. Wyniki tych pomiarów tworzą tak zwane pary spostrzeżeń. Ocena dokładności wielu par spostrzeżeń wykorzystuje się błąd średni jednostkowy: Dla jednakowo dokładnych m [ dd] r Dla niejednakowo dokładnych m 0 [ pdd] r r liczba par spostrzeżeń Wartość wyrównana Różnica między spostrzeżeniami Jednakowo dokładne x d L L Niejednakowo dokładne pl x p L L d L L pl p błąd średni różnicy średni pojedynczego pomiaru błąd średni średniej arytmetycznej dwóch pomiarów Przykład: