Analiza alokacji przestrzeni i charakterystyki czynszów płaconych przez sklepy w Centrach Handlowych na podstawie modelu Jana K.

Raport 7/2015 Analiza alokacji przestrzeni i charakterystyki czynszów płaconych przez sklepy w Centrach Handlowych na podstawie modelu Jana K. Bruecknera autor: Antoni Serednicki INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem w ekonomii ul. Cystersów 13A/1 31-553 Kraków NIP: 6751504218 Regon: 123131534 tel. +48 (12) 341 46 48 kontakt@inime.pl www.inime.pl

Spis treści I. Wstęp 5 II. Analiza Teoretyczna 7 III. Developer jako dyskryminujący monopolista 9 IV. Developer jako perfekcyjnie dyskryminujący monopolista 17 V. Teoria agencji 25 VI. Konkurencja między sklepami 28 VII. Podsumowanie 35 str. 2

Streszczenie Niniejszy raport przedstawia zastosowanie teorii ekonomicznych w procesie optymalizacji alokacji przestrzeni do sklepów w Centrum Handlowym, pozwalającej osiągnąć deweloperowi największy zysk. Zawarty jest tu szczegółowy opis pracy Jana K. Bruecknera - Inter Store Externalities and Space Allocation in Shopping Centers, poparty dodatkowymi rozważaniami, uwagami oraz przykładami, których w opisywanej pracy brakowało. Uznaliśmy za niezwykle istotne przedłożenie takiego opracowania już na początku naszej działalności badawczej, gdyż wszelkie istniejące prace dotyczące optymalizacji czynszów w Centrach Handlowych chętnie czerpią z tego dorobku, traktując wspomnianą pracę jako jedną z najważniejszych w dziedzinie. Pokazano w jaki sposób deweloper może wpływać na zachowanie najemców, jak przydzielać przestrzeń, ustalać czynsze, a nawet jakimi prawidłami powinien kierować się ustalając poszczególne warunki umowy zawieranej z najemcą, tak by osiągnąć największe zyski. Ponadto w niniejszej pracy znajdziemy opis problemów, które możemy napotkać próbując przełożyć analizę teoretyczną na grunt praktyczny. Pokrótce zaprezentowane będzie również rozumowanie stojące w opozycji do modelu Bruecknera, a mianowicie skutki doboru najemców, które musi rozważyć deweloper podejmując decyzję o wyborze sklepów w swoim Centrum Handlowym. Przeprowadzone rozumowanie powinno pomóc każdemu czytelnikowi zrozumieć zależności i właściwości charakterystyczne dla takiego typu handlu detalicznego oraz przekonać się jak ciekawym analitycznie problemem może okazać się szukanie optymalnych rozwiązań. str. 3

Podziękowania Raport został sporządzony na podstawie wcześniejszych publikacji, których autorom chciałbym serdecznie podziękować za trud włożony w próbę zrozumienia i opisu problemu optymalizacji powierzchni Centrów Handlowych. Ponadto chciałbym podziękować dr. Patrykowi Pagaczowi za pomoc merytoryczną, nieustająco towarzyszącą pracy nad tworzonym raportem, jak również za bezcenne uwagi, które niewątpliwie miały istotny jakościowy wpływ na ostateczną treść. str. 4

I. Wstęp Centra Handlowe stały się najważniejszą kreacją handlu detalicznego w XX wieku. Największy wpływ na taką sytuację ma zmniejszenie kosztów transportu dla konsumentów, które skutkuje wzrostem atrakcyjności takiego rodzaju sprzedaży. Centra Handlowe tworzą pewnego rodzaju środowisko handlowe, w którym występują międzysklepowe zależności. Kluczem do stworzenia Galerii mogącej odnosić sukcesy jest świadomość istnienia takiego środowiska i czynników, które je kształtują. Idąc dalej możemy stwierdzić, że sukces każdego pojedynczego sklepu, zależy od działań wykonywanych przez ten sklep, jego lokalizacji czy przestrzeni, ale także od cech środowiska w którym się znajudje, a więc jest zależny również od lokalizacji, działań, czy przestrzeni wszystkich pozostałych sklepów. Aby to potwierdzić możemy przedstawić prosty przykład konsumenta, który postanawia dokonać zakupy pewnego dobra (np. butów), oprócz nich zamierza również kupić inne dobra (dla przykładu spodnie, kosmetyki i artykuły żywieniowe). Jeśli w Galerii znajduje się odpowiedni sklep z butami, zapewne wybierze on to miejsce, z uwagi na koszty transportu, gdyż wszystkie pozostałe dobra będzie mógł kupić w niewielkiej odległości, oszczędzając czas. W ten sposób istnienie sklepu z butami przyniosło dodatkowego klienta, a więc i dodatkowy dochód, sklepom odzieżowym, kosmetycznym oraz posiadającym artykuły żywieniowe. Wzajemne zależności wpływają w ten sposób na sukces Galerii. Żeby w pełni zrozumieć sukces Centrów Handlowych (CH) w handlu detalicznym, możemy przytoczyć kolejny przykład. Jeśli CH składałoby się wyłącznie ze sklepów z butami, to abstrachując od dużego wyboru, istniałyby problemy by przyciągnąć wystarczającą ilość klientów, głównie z uwagi na to, że sklepy z butami znajdują się często w bardziej dogodnych lokalizacjach, blisko miejsca zamieszkania czy pracy konsumentów. Żeby CH stało się konkurencyjne musi zaoferować kolejny produkt, dla przykładu oferując zakup butów i ubrań podczas jednej wizyty. Obecność sklepu z ubraniami podnosi sprzedaż we wszystkich sklepach z butami, gdyż zakupy w CH stają się bardziej korzystne (ze względu na oszczędność w kosztach Rysunek 1: Wybór poziomu produkcji przez monopolistę (6) oraz w warunkach konkurencji doskonałej (7), gdzie P cena, Q poziom sprzedaży, 1 popyt, 2 przychód krańcowy, 3 koszt krańcowy [5] transportu). Galeria o różnorodnej ofercie jest atrakcyjniejsza dla sklepu obuwniczego. Patrząc z perspektywy sklepu z ubraniami, obecność sklepów z butami korzystnie wpływa na jego sprzedaż, generując dodatkową liczbę klientów, którzy chcą kupić zarówno buty jak i ubrania, oszczędzając czas. W ten sposób każdy rodzaj sklepu w CH generuje ruch odczuwalny przez inne sklepy. Należy wyróżnić, iż typy sklepów różnią się między sobą możliwością generowania klientów. Dla przykładu silnie specjalistyczny (w mało popularnej dziedzinie) sklep, sprzedaje dobra, które nie znajdują się na liście oczekiwań wielu klientów robiących zakupy w wielu celach. Duża liczba klientów nie zostanie przyciągnięta do CH z uwagi na obecność takiego sklepu, a więc będzie on miał niewielki wpływ na ich ilość w Galerii. Na drugim biegunie znajdują się wielkopowierzchniowe sklepy (ang. anchors - silnie rozpoznawalne sklepy, które oferują popularne dobra, znajdujące się na listach oczekiwań wielu klientów, a więc przyciągając dużą ich ilość), str. 5

znajdujące się w każdym dużym CH. Ich obecność jest konieczna ze względu na kreowanie wspomnianego środowiska handlowego, korzystnego dla pozostałych sklepów. Zgodnie z powyższym, należy zauważyć, że określając czynsz czy przestrzeń danego sklepu, musimy wziąć pod uwagę jego możliwości generowania ruchu w centrum. Może się okazać, że korzystna dla developera będzie obecność anchor, nawet jeśli ten będzie opłacać bardzo niski czynsz, a nawet w ekstremalnym przypadku gdy nie płaciłby go w ogóle. Jego obecność spowoduje wzrost sprzedaży w pozostałych sklepach w CH, a więc Galeria stanie się bardziej atrakcyjna, dzięki czemu właściciel będzie mógł podnieść czynsze pozostałych sklepach i w ten sposób, przy odpowiednich proparcjach, osiągnąć wyższy zysk, niż gdyby miało to miesce w przypadku braku anchor. W zgodzie z przeprowadzoną analizą [3] wartość subsydiów wynosi przynajmniej 72 %, w porównaniu do tego co zapłaciłby inny sklep o podobnej powierzchni czy sprzedaży. Przydzielając powierzchnie poszczególnym sklepom deweloper decyduje o ich popularności i wielkości sprzedaży. Zupełnie intuicyjny jest fakt, że im większy będzie dany sklep tym większa będzie grupa jego potencjalnych klientów, ale wzrosną koszty dewelopera, chociażby z uwagi na koszty tworzonej pod najem powierzchni. Odmienna charakterystyka sklepów powoduje, że sprzedaż różnych placówek nie jest tożsamo związana z ich wielkością, warto przy tym pamiętać, że przydzielając powierzchnie musimy brać pod uwagę całe środowisko Centrum Handlowego. Jeśli analizowany sklep zyska dodatkowych klientów dzięki większej przestrzeni, będą oni również potencjalnym źródłem przychodu dla pozostałych w sklepów znajdujących się w Galerii. W Centrach Handlowych znajduje się zazwyczaj więcej niż jeden sklep danego typu, szczególnie jeśli weźmiemy pod uwagę branżę mody. Na pierwszy rzut oka może wydawać się to niekorzystne, gdyż większa ilość sklepów tego samego typu może rozpraszać wspólne zyski, co przełożyłoby się na niższe czynsze. Czynniki zewnętrzne powodują, że w istocie jest to mylne wrażenie, mimo, że zyski każdego pojedynczego sklepu zapewne będą niższe z uwagi na większą konkurencję, generowany przez nie ruch przyczyni się do wzrostu sprzedaży we wszystkich sklepach w CH. Bardziej teoretyczne wytłumaczenie wynika z prostych zasad mikroekonomii. Monopolista (możemy traktować tak pojedynczy sklep danego typu na rynku jakim jest CH) maksymalizuje swoje zyski ograniczając podaż (która w naszej analizie jest silnie związana z generowaniem ruchu), a więc pojedynczy monopol będzie minimalizował korzyści wynikające z generowanych czynników zewnętrznych dla innych sklepów. Możemy zatem stwierdzić, że im większa będzie ilość placówek danego typu tym większy będzie ruch, ale też większa konkurencja. Aby osiągnąć największy zysk, właściciel Galerii powinien znaleźć złoty środek pomiędzy stratą wywołaną spadkiem sprzedaży poszczególnych sklepów z uwagi na konkurencję, a zyskiem wyowołanym przez wzrost atrakcyjności. W taki sposób wybór podaży został uznany determinantem sprzedaży w jednej z prac [2], na której opierało się niniejsze opracowanie. W analizie wykonanej przez Bruecknera [1] takim determinantem była powierzchnia. Oczywiście, z dużą dozą pewności możemy stwierdzić, że obydwa podejścia są prawdziwe. Problem optymalizacji zysku właściciela Centrum Handlowego jest wieloaspektowy, szukając optymalnych rozwiązań należy wziąć pod uwagę szereg zależności. Sprzedaż poszczególnych sklepów zależna jest od wielu czynników, rozwiązanie problemu powinno uwzględniać je w jak największej mierze. str. 6

II. Analiza Teoretyczna Dobór najemców możemy traktować jako problem dwustopniowy. Na początku developer podejmuje decyzję o liczbie i typach sklepów w CH. Później decyduje o powierzchni, która ma zostać przyznana każdemu ze sklepów. Analitycznie, pierwsza część dotyczy dyskretnego problemu wyboru, a druga posiada ciągłe zmienne wyboru. Niniejsza analiza skupi się na drugiej części problemu, związanego z powierzchnią sklepów [1] (analiza doboru sklepów, a w zasadzie wypełnienia wakatu, nowym typem sklepu lub sklepem typu już istniejącego przedstawiona będzie w kolejnym rozdziale). W tym rozważaniu nie będziemy więc opisywać generowania klientów jako czynnika zależnego od dobranej grupy najemców. Znając liczbę i typy sklepów, developer musi przydzielić im odpowiednią przestrzeń. Zakładamy (na potrzeby tego rozważania), że w CH istnieje i sklepów, gdzie i N +, a każdy z nich jest sklepem innego typu. W CH istnieje zatem tylko jeden sklep danego typu. Założono również, że koszty jakie ponosi developer są proporcjonalne do jego całkowitej powierzchni handlowej (ang. GLA - Gross Leasable Area). Odkąd powierzchnię sklepu i oznaczymy S i, całkowity koszt developera możemy określić jako c n i=1 S i, gdzie c > 0, w naszych założeniach oznacza to wszelkie koszty: amortyzacje, konstrukcje, konserwacje. Chociaż całkowita powierzchnia Galerii zazwyczaj jest proporcjonalna do jej GLA, to jednak taki opis kosztów nie uzwględnia faktu, iż koszty te dla kilku małych sklepów, są większe niż dla jednego o powierzchni takiej jak suma powierzchni sklepów małych. Funkcja zależności c(s i ) w rzeczywistości powinna być w pewien sposób malejąca c S i < 0. W analizie nie zostało to jednak uwzględnione, głównie z uwagi na próbę dokładnego opisu problemu, a nie otrzymania konkretnych, liczbowych wyników. Wielkość sprzedaży sklepu i - R i zależy od powierzchni S i, ale również, zgodnie z wcześniejszym opisem, od powierzchni S j - pozostałych w CH sklepów R i = R i (S 1, S 2,..., S n ). (II.1) Taka funkcja z założenia spełniać będzie następujące właściwości: R i S i > 0 R i S j 0 gdzie j i. (II.2) Wzrost własnej powierzchni S i będzie więc skutkował wzrostem całkowitej sprzedaży sklepu R i co jest całkowicie intuicyjne, oczywiście przy założeniu, że wzrost tej powierzchni nie odbywa się kosztem powierzchni pozostałych w CH sklepów. W takim (rzeczywistym) przypadku, to założenie nie musi więc być prawdziwe. W analizowanym modelu każdy sklep otrzyma optymalną powierzchnię, bierzemy więc pod uwagę CH, którego całkowite GLA nie jest ściśle określone i stałe. Zgodnie z omawianymi wcześniej międzysklepowymi zależnościami, w przypadku gdy sklepy i oraz j gdzie i j oferują odmienne dobra, a więc nie stanowią dla siebie konkurencji, wzrost powierzchni sklepu j będzie skutkował wzrostem atrakcyjności CH, co przyciągnie dodatkowych klientów (zwiększy sprzedaż) dla sklepu i. Zgodnie z opisem zawartym we wstępie, klienci sklepu j mogą być również zupełnie obojętni dla sklepu i, wtedy druga nierówność w rów. (II.2) zostanie przyrównana do 0. Należy mieć na uwadzę fakt, że w rzeczywistym przypadku w każdym CH istnieją sklepy tego samego typu, które rywalizują ze sobą o jednego klienta, oferując podobne dobra (tyczy się to szczególnie branży mody). Zakładając, że każdy sklep oferuje komplementarne dobra i nie występiuje konkurencja, znacząco upraszczamy problem. Pomoże nam to jednak przyjąć pewne założenia na bazie których będziemy w stanie sformułować bardziej przejrzyste wnioski. W rzeczywistym przypadku (gdy istnieją tak sklepy sprzedające różne, jak i tożsame dobra) nierówności (II.2) nie muszą być zawsze spełnione, ale nawet biorąc pod uwagę jedynie konkurujące ze sobą sklepy nie muszą być zawsze nieprawdziwe. Musimy pamiętać, że atrakcyjność Galerii zależy w dużej mierze od istnienia komplementarnych jak i konkurujących ze sobą sklepów. Powstanie niewielkiego sklepu k sprzedającego tożsame dobro co sklep m może skutkować wzrostem sprzedaży sklepu str. 7

m, z uwagi na wzrost atrakcyjności Centrum Handlowego. Duża przestrzeń sklepu k musi jednak wpływać negatywnie na sprzedaż sklepu m, z uwagi na nadmierną konkurencję, jednakże wzrost popularności CH może podnieść sprzedaż we wszystkich pozostałych sklepach. Analiza tego problemu zostanie przedstawiona w kolejnych rozdziałach, na tym etapie załóżmy, że wszystkie sklepy sprzedają inne dobra i nie występuje międzysklepowa konkurencja. W celu dalszej analizy należało przyjąć kolejne założenia odnośnie funkcji sprzedaży. Po pierwsze sprzedaż R i powinna rosnąć w coraz mniejszym stopniu wraz ze wzrostem przestrzeni własnej sklepu i. Takie założenie wydaje się być sensowne, szczególnie gdy omawiana powierzchnia jest wystarczająco duża. Należy jednakże zauważyć, że w przypadku niektórych sklepów zbyt mała powierzchnia może powodować, że sklep nie jest dla klientów wystarczająco atrakcycjny, dopiero od momentu przekroczenia pewnej powierzchni sklep zaczyna być odwiedzany, a jego sprzedaż zaczyna silnie wzrastać (od momentu gdy osiągnie wymaganą minimalną powierzchnię, zależną od typu sklepu). W rzeczywistych warunkach funkcja sprzedaży powinna więc mieć zapewne dwa punkty przegięcia. Dodatkowym założeniem jest to, że wzrost powierzchni S j ma korzystny (lub żaden, w szczególnych przypadkach) wpływ na produktywność powierzchni S i (sprzedaż rośnie w większym stopniu wraz ze wzrostem powierzchni własnej, możemy powiedzieć, że powierzchnia sklepu staje się bardziej produktywna ze względu na sprzedaż). 2 R i S 2 i < 0 2 R i S i S j 0 j i (II.3) Jest oczywiście możliwe, że drugi efekt (II.3) jest nieobecny mimo obecności pierwszego (II.2) (sprzedaż sklepu i wzrasta ze wzrostem przestrzeni innych sklepów j, ale produktywność przestrzeni sklepu i pozostaje taka sama). Byłoby tak w przypadku, gdyby funkcja sprzedaży sklepu i, była rozłączna w swoich argumentach, implikując, że wzrost sprzedaży sklepu i wynikający z czynników zewnętrznych (powierzchni S j ) byłby niezależny od jego własnej powierzchni S i. Taka możliwość wydaje się jednak być nieintuicyjna. Należy mieć na uwadze fakt, że w powyższych rozważaniach jedynymi argumentami funkcji jest przestrzeń sklepów, rola inwentarza (a nawet samego produktu), czy pracy wykonanej przez właścicieli sklepów została pominięta. Model byłby, więc bardziej Rysunek 1: Przykładowa funkcja sprzedaży R i w zależności od powierzchni sklepu i, spełniająca przyjęte założenia realistyczny, gdybyśmy uwzględnili pozostałe argumenty, jednakże nie zmieniłoby to podstawowych rezultatów, a jedynie spowodowało nadmierną złożoność rozumowania. Przedstawiony w ten sposób problem odnosi się jedynie do problemu przydziału przestrzeni przez dewelopera. str. 8

III. Developer jako dyskryminujący monopolista Na potrzeby tego rozdziału załóżmy, że w przypadku najmowania przestrzeni właściciel CH zachowuje się jak dyskryminujący monopolista. Zgodnie z charakterystyką monopol jest dyskryminujący, gdy oferuje swoje produkty po różnych cenach w tym samym czasie i miejscu. Ponadto taki monopolista będzie oferował swoje produkty (w naszym przypadku powierzchnie) po cenie niższej na rynku bardziej elastycznym, a po cenie wyższej na rynku bardziej sztywnym. Developer podaje więc indywidualny dla każdego sklepu czynsz za jednostkę powierzchni. Cena i powierzchnia dobierane są w ten sposób by maksymalizować zyski (odpowiednio developera i sklepu). Takie rozumowanie mogłoby wyjaśniać różnice w czynszach płaconych przez poszczególne sklepy w rzeczywistych CH. Nie tłumaczy ono jednak złożoności współczesnych czynszów, łączących czynsze bazowe (dla nas całkowity zysk developera) oraz procentowe (od sprzedaży, powyżej określonej w umowie granicy; w tym rozumowaniu nie są uwzględniane). Niemniej jednak, takie założenia mogą Rysunek 1: Przykładowe odwrotne funkcje popytu dla funkcji sprzedaży przy ustalonych innych powierzchniach pozostałych sklepów S j być użyteczne jako punkt startowy do dalszych rozważań. Niech p i symbolizuje czynsz za jednostkę powierzchni dla sklepu i. W takim przypadku zysk sklepu i możemy przedstawić jako funkcję przestrzeni (zakładamy, że R i (S) stanowi sprzedaż netto, nie powinno mieć to istotnego wpływu na poczynione wcześniej założenia): R i (S) p i S i, (III.1) gdzie S stanowi wektor powierzchni wszystkich sklepów znajdujących się w Centrum Handlowym S = [S 1, S 2,... S n ]. Zapotrzebowanie przestrzenne sklepu i możemy określić maksymalizując równanie (III.1) względem S i, co skutkuje pierwszym warunkiem: R i (S) S i = p i. (III.2) Determinuje to optymalną przestrzeń S i, na którą wpływają wartości p i oraz S j, j i. Z poczynionych wcześniej założeń (rów. (II.2)) wiemy, że będzie to maksimum funkcji zysku sklepu. Możemy więc powiedzieć, że p i stanowi cenę przy której sklep i będzie chętny do najęcia powierzchni S i (w przypadku znajomości powierzchni S j ). Lewa strona równania (III.2)jest więc odwrotną funkcją popytu (zmienną zależną jest wartość p i, zmienną niezależną powierzchnia S i, wszystko jest korygowane przez wartości S j ). Możemy zatem opisać taką funkcję w następujący sposób: D i (S) = R i(s) S i. (III.3) str. 9

Zgodnie z równaniem (II.3) otrzymujemy: D i S i < 0, D i S j 0, j i. (III.4) W zgodzie z powyższym odwrtona funkcja popytu maleje, wraz ze wzrostem przestrzeni sklepu i oraz jej wartości są większe lub pozostają bez zmian w przypadku, gdy wzrasta powierzchnia pozostałych sklepów S j. Funkcja jest w ten sposób przeskalowana przez wpływ powierzchni pozostałych sklepów. W literaturze [1] znajdujemy stwierdzenie jakoby była ona jedynie przesunięta w górę, wtedy lim S i R i (S) S i = a gdzie a > 0 co oznaczałoby, że dalszy wzrost przestrzeni sklepu będzie skutkował niemalże stałym, istotnym wzrostem sprzedaży. Świadczyłoby to, że funkcja R(S) dla dużych argumentów S i posiadałaby rosnącą liniową asymptotę. Jeśli więc a (przesunięcie funkcji zależne od powierzchni S j ) byłoby większe niż krańcowy koszt przestrzeni c, wtedy sklep mógłby rosnąć w nieskończoność, dopuszczenie takich możliwości musiałoby więc skutkować kolejnymi założeniami, jednakże wystąpienie takiego przesunięcia w rzeczywsitości jest niemożliwe - świadczyłoby to o tym, że poczynając od pewnej (znacznej) wielkości S i powiększenie jej n razy skutkowałoby równaniem n R i (S j i, S i ) R i (S j i, n S i ). Taka sytuacja byłaby więc nieintuicyjna mimo, że mogłyby być spełnione wszelkie poczynione założenia. Zgodnie z teorią dotyczącą dyskryminacji cenowej, jedną z miar charakteryzującą typ sklepu będzie jego cenowa elastyczność na popyt powierzchni, miara która mówi o tym, jak zmieni się chęć nabycia dodatkowej powierzchni przez sklep, jeśli zmieni się jej cena. Zgodnie z definicją, elastyczność funkcji jest to relacja między wyrażoną w procentach zmianą wartości funkcji, a wyrażoną w procentach zmianą czynnika, który taką zmianę wywołał (def. ϵ x,f = f f : x x ). Informuje nas to o wrażliwości funkcji na zmianę kształtujących jej wartości czynników. Takim czynnikiem w tym przypadku będzie cena powierzchni. Analizowana przez nas funkcja stanowi odwrotną krzywą popytu, gdzie zmienną niezależną stanowi powierzchnia. Licząc elastyczność takiej funkcji, dowiedzielibyśmy się jak zmieni się cena powierzchni w przypadku gdy zmianie ulegnie żądana powierzchnia sklepu, jako że chcemy powziąć odwrotne wnioski (jak zmieni się popyt w przypadku zmiany ceny) elastyczność odwrotnej krzywej popytu należy odwrócić. Elasyczność cenową popytu oznaczymy jako ϵ i, będzie ona stanowić odwrotność elastyczności odwróconej krzywej popytu D i (S i ). Wprost z definicji elastyczności funkcji kilku zmiennych ϵ x (f(x; y)) = f x (x;y) f(x;y) więc dla naszej funkcji, traktując S i jako czynnik, a następnie odwracając: x, a ϵ i = ( Si D i (S) ) 1 D i (S). (III.5) S i Wykorzystując odwróconą krzywą popytu, całkowity zysk CH możemy określić jako różnicę wpływu z czynszów i kosztów powierzchni: n n S i D i (S) c S i. (III.6) i=1 Developer powinien tak dobrać wartość S j by maksymalizować powyższe równanie. Przyrównując kolejne pochodne cząstkowe do zera otrzymujemy: i=1 D j (S) D j (S) + S j + D i (S) S i = c. (III.7) S j S j i j Dla j = 1, 2,..., n otrzymujemy więc n równań, które wspólnie determinują optymalne zagospodarowanie przestrzeni dla n sklepów w CH. Optymalne czynsze wynikają z relacji p j = D j (S). Zakładamy, że druga pochodna rów. (III.6) jest ujemna, a więc znalezione powierzchnie pozwolą wyliczyć maksimum funkcji zysku developera. str. 10

Dodatkowo powinniśmy założyć, że rozwiązanie równania (III.7) da pozytywny zysk dla developera co skutkuje kolejnymi warunkami. Równanie (III.7) możemy zapisać w postaci D j (S) c = n k=1 S k D k(s) S j. Następnie mnożąc je przez powierzchnie S j i sumując po j otrzymamy: ( n n n n ) D k (S) S j D j (S) c S j = S j S k. (III.8) S j j=1 j=1 Zgodnie z powyższym, lewa strona równania stanowi czynsz sklepów pomniejszony o koszty przestrzeni i określa zyski developera. Jeśli jego dochód ma być dodatni, dodatnia musi być zatem prawa strona równania. Wyrażenie które znajduje się w nawiasie posiada dodatnią wartość dla wszystkich k j oraz ujemną dla k = j. Aby więc tak liczony zysk developera był dodatni musi zachodzić k j S k D k(s) D S j < S j(s) j S j, gdzie k = 1, 2,..., n. Czyli negatywny efekt wzrostu przestrzeni S j na marginalną produktywność przestrzeni sklepu j musi zdominować pozytywny efekt marginalnej produktywności przestrzeni pozostałych sklepów. Całość jest uśredniana poprzez ważenie przez powierzchnię sklepu. Równanie (III.7) możemy przekształcić przenosząc składnik odpowiedzialny za wystąpienie czynników zewnętrznych na prawą stronę równania. Wtedy możemy zapisać (III.7) jako funkcję zależną od elastyczności cenowej popytu: z równania (III.5) D j (S) + S j D j (S) S j ( D j (S) 1 + S j Dj(S) j=1 k=1 S i D i (S) S j, = c i j ) D j (S) = c D i (S) S i, S j S j i j D j (S) = c i j S D i (S) i S j 1 + ϵ 1. (III.9) j Powyższe równanie ma jasną interpretację: przestrzeń jest przydzielana do sklepu i do momentu gdy popyt jest równy marginalnemu kosztowi przestrzeni pomniejszonemu o marginalny wzrost czynszów innych sklepów, spowodowany wzrostem powierzchni sklepu i. Całość jest przeskalowana przez elastyczność cenową na popyt sklepu i [1]. Zgodnie z wcześniejszymi założeniami wzrost powierzchni sklepu i korzystnie wpływa na produktywność powierzchni w pozostałych sklepach (lub nie wpływa w ogóle), co znajduje odzwierciedlenie w ich czynszu. Jeśli więc odpowiednio oszacujemy rzeczywiste marginalne koszty, developer ustali czynsz kalkulując narzuty zależne od elastyczności na popyt ϵ i charakterystycznej dla danego sklepu ponad marginalne koszty. Sklepy bardziej elastyczne płacą, więc niższe narzuty ponad specyficzne dla sklepu marginalne koszty, te najmniej elastyczne płacą największe narzuty [1]. Zgodnie z rów. (III.9) różnice czynszów pośród sklepów w CH zależą od różnic w elastyczności cenowej na popyt oraz mocy generowania klientów dla pozostałych w CH sklepów. Załóżmy, że dwa sklepy k i m mają identyczną elastyczność ϵ k = ϵ m. Skupimy się na drugiej właściwości. Różnice w czynszach płaconych przez sklepy możemy zapisać więc: powierzchni c i j S i D i(s) S j gdzie γ = 1/(1 + ϵ 1 ). p k p m = γ i k S i D i (S) S m i m D i (S) S i, S m (III.10) str. 11

Powyższe równanie pokazuje w jaki sposób moc generowania klientów wpływa na czynsz sklepu. Jeśli więc wzrost S m w większym stopniu zwiększa produktywność przestrzeni pozostałych sklepów niż wzrost S k, to czynsz p k > p m. W ten sposób możemy tłumaczyć duże różnice w czynszach płaconych przez sklepy w rzeczywistych centrach handlowych, które w wypadku anchors sięgają blisko 80% [3]. Duży wzrost produktywności powierzchni w pozostałych sklepach, świadczy o tym że rzeczywisty marginalny koszt przestrzeni jest niski. Dzięki temu pobudzane są do powiększania swojej przestrzeni przez niskie czynsze. Warto również zauważyć, że jeśli wzrost powierzchni S i podnosi sprzedaż w pozostałych sklepach, ale nie ma wpływu na marginalną produktywność ich przestrzeni (produktywność dodatkowej powierzchni sklepów), czyli w wypadku gdy R i jest rozłączne w swoich argumentach, a więc sklep j generuje taki sam wzrost sprzedaży dla sklepu i niezależnie od powierzchni S i (sklep i nie zyskuje dodatkowych klientów, generowanych przez inne sklepy mimo powiększenia swojej powierzchni). Wtedy R i(s) S j > 0 ale D i(s) S j = 0, a różnice w czynszu zgodnie z rów.(iii.9) wynikają jedynie z elastyczności. Trudno jednak wyobrazić sobie taki przypadek w rzeczywistości. Jeśli założylibyśmy, że CH zawiera więcej niż jeden sklep danego typu, powiedzmy, że byłyby to dwa sklepy obuwnicze k i m, to element odpowiedzialny za internalizację czynników zewnętrznych w rów.(iii.9) mógłby być ujemny( D k(s) S m < 0 wraz z założeniem, że R k(s) S m < 0), a więc zwiększać rzeczywisty marginalny koszt przestrzeni. Developer dokonując optymalnej alokacji przestrzeni powinien więc znaleźć równowagę między zyskami dla sklepów i (i m, i k) wynikającymi z większego wyboru oraz stratami sklepów k i m spowodowanych konkurencją. Bardziej precyzyjna analiza zostanie przedstawiona w kolejnych rozdziałach raportu. Przykład: Załóżmy, że przestrzeń sklepów S j, i j jest nam już znana. Optymalizujemy przestrzeń S j. Żeby w prosty i graficzny sposób przedstawić całe nasze rozumowanie, załóżmy istnienie tylko dwóch sklepów, a więc S = [S i, S j ]. Sklep którego powierzchnię optymalizujemy posiada funkcję sprzedaży R i (S) = (Si ) ln(s j ). Sklep j posiada analogiczną funkcję sprzedaży R j (S) = (S j ) ln(s i ). Dla tak dobranej funkcji spełnione są wszystkie warunki dotyczące pochodnych funkcji sprzedaży. Dodatkowo spełniony jest warunek, że druga pochodna rów. (III.6) jest ujemna dla każdej dodatniej wartości powierzchni S i, S j gdyż wynosi ln(s j) 2. Dodatkowo warunek o dodatnim przychodzie developera skutkuje założeniem: S i S 2 8 1 3 S i Sj ln(s j ) > 2 S i. Optymalizację powierzchni sklepu i przeprowadzono dla dwóch zróżnicowanych wartości S j równych odpowiednio 5 i 150. W takim przypadku, aby spełniony był warunek o dodatnim przychodzie developera S i musi spełniać odpowiednio S i > 7.72 dla S j = 5 oraz dla S j = 150 wartość S i powinna przekraczać 23.9. W celu dokonania graficznej analizy rów.(iii.7) przekształcono do formy: D j (S) D j (S) = S j D i (S) S i + c. S j S j i j Prezentacja graficzna równania ma prostą interpretację, sklep rośnie do momentu w którym marginalny przychód związany ze wzrostem własnej powierzchni zrówna się się z realnymi marginalnymi kosztami korygowanymi przez elastyczność. Poczynając od tego miejsca, dalszy wzrost przestrzeni sklepu będzie niekorzystny. Czynsz p i wyznaczony jest z relacji D i (S i, S j ) = p i. Tak obliczona powierzchnia pozowoli sklepowi i uzyskać maksymalny przychód (największa różnica między R i, a p i S i ), należy przy tym jednak pamiętać, że p i wyznaczane było w taki sposób by maksymalizować zysk developera z CH jako całości). str. 12

Rysunek 2: Przyrost sprzedaży względem przestrzeni własnej sklepu i oraz koszty marginalne przestrzeni pomniejszone o czynniki zewnętrzne, wielkość drugiego sklepu 5. Rysunek 3: Przyrost sprzedaży względem przestrzeni własnej sklepu i oraz koszty marginalne przestrzeni pomniejszone o czynniki zewnętrzne, wielkość drugiego sklepu 150. str. 13

Rysunek 4: Funkcja sprzedaży oraz funkcja kosztów dla obydwu wielkości sklepu j, oznaczono miejsca w kótrym zysk jest maksymalny. Zgodnie z przyjętą funkcją sprzedaży R i zysk sklepu i istotnie zależy od powierzchni sklepu j, odwrotna zależność jest taka sama. Jeśli więc powierzchnia S j wzrośnie, optymalna przestrzeń sklepu i również będzie znacznie większa. Dzieje się tak z uwagi na fakt, że krzywa przyrostu sprzedaży D i osiąga znacznie większe wartości, dodatkowo generowane przez sklep i korzyści również zależą od powierzchni pozostałych sklepów, co jest intuicyjne, gdyż im większą powierzchnia pozostałych sklepów tym większe korzyści może przynieść wzrost powierzchni sklepu i. Możemy to zauważyć w rów.(iii.9) gdzie składnik odpowiedzialny za międzysklepowe zależności jest równy S j D j (S) S i oraz D j(s) S j, skoro funkcja D j (S) jest zgodnie z założeniami dodatnia jest ujemna, to iloczyn odpowiedzialny za międzysklepowe zależności będzie rosnąć wraz z przestrzenią sklepu j. Czynsz p i jest wyższy w przypadku drugiego sklepu gdyż funkcja przedstawiona po prawej stronie rów.(iii.9) rośnie wraz ze wzrostem optymalizowanej powierzchni S i, jako, że funkcja przyrostu sprzedaży osiąga większe wartości w przypadku wyższej wartości S j punkt przecięcia znajdziemy dla większego S i, a co za tym idzie wartość D i będzie większa w tym punkcie. Należy zauważyć, że w analizowanym przypadku elastyczność niezależnie od powierzchni sklepów jest stała, równa 2. Dla takiej samej wartości S i, rzeczywisty marginalny koszt przestrzeni będzie więc niższy w przypadku gdy wartość S j będzie większa (z uwagi na większą wartość czynników zewnętrznych), ale dla optymalnej wartości S i przestaje być to prawdziwe, gdyż c i j S j D j(s) S i jest malejące. Spróbujmy teraz przeprowadzić optymalizację dla dwóch sklepów, których funkcja sprzedaży jest taka jak we wcześniej analizowanym przypadku. Mamy więc do rozwiązania układ dwóch równań. Rozwiązując go otrzymujemy, powierzchnie S 2 i S 1 w przybliżeniu równą 398.9. Identyczna wielkość sklepów wynika z symetryczności funkcji sprzedaży. Poniżej przedstawiamy graficzny obraz optymalizacji, warunek z rów.(iii.7) musi osiągać wartość 0 zarówno dla funkcji pierwszego jak i drugiego sklepu. str. 14

Rysunek 5: Obraz graficzny pierwszego warunku maksymalizacji zysków Warto również porównać różnice w zysku developera w przypadku optymalnej alokacji przestrzeni i wymienionych wyżej przykładów. Dla pierwszej pary (S 1 = 34.98; S 2 = 5) otrzymujemy zysk 4.7358 Dla drugiej (S 1 = 265.3; S 2 = 150) zysk 33.4524 Dla optymalnej alokacji (S 1 = 398.9; S 2 = 398.9) zysk będzie największy i wyniesie 39.8294. Warto zauważyć jak znaczna może być różnica w zysku przy źle i dobrze dobranych parametrach przestrzeni sklepów. Warto mieć na uwadze fakt, że zwiększenie zysku CH chociażby o 1% może być niezwykle istotne dla właściciela. Rozmawiając o produkcie tak wielkiej skali wszelkie działania optymalizacyjne mogą być niezwykle pożądane. Zakładając nawet, że jeśli przez lata układy centrów handlowych zbliżyły się do optymalnych, wciąż znajduje się miejsce dla dodatkowych działań, mających na celu wzrost zysków developera. Poniżej przedsawiono wykresy zależności zysku Centrum Handlowego od powierzchni sklepów S 1 i S 2. str. 15

Rysunek 6: Zysk developera w zależności od wielkości sklepów str. 16

IV. Developer jako perfekcyjnie dyskryminujący monopolista W tym rozdziale zmienimy nieco wcześniejsze założenia. Poprzednio na rynku gdzie działała prosta dyskryminacja cenowa, developer ustalał optymalny czynsz, wymuszając w pewien sposób wzrost powierzchni sklepu do określonej wielkości, tak by ten mógł zarobić najwięcej przy postawionych przez developera warunkach. Taka powierzchnia związana była w ten sposób z cenową elastycznością na popyt danego sklepu, oraz wzrostem krańcowej produktywności przestrzeni pozostałych sklepów. Taka sytuacja jest jednak daleka od rzeczywistości, a dodatkowo zakłada również optymalne zachowanie każdego sklepu. W rzeczywistości zachowanie developera jest bliższe zachowaniu teoretycznego perfekcyjnie dyskryminującego monopolisty, a więc osoby, która w naszym przypadku oferuje każdemu sklepowi pewną określoną powierzchnię, w zamian za stałą określoną płatność. Możemy więc powiedzieć, że dla każdego sklepu, który ma znaleźć się w centrum, zostaje złożona oferta, zawierająca całkowity czynsz i powierzchnie - oferta (S i, P i ) dla sklepu i, gdzie P i to całkowity czynsz za powierzchnię S i. Taka sytuacja jest tożsama z popularnymi, znanymi nam wszystkim warunkami najmu powierzchni. Centra Handlowe wyróżniają się jednak w tym aspekcie gdyż ich czynsze częstokroć skonstruowane są nieco inaczej. Zawierają zarówno stały bazowy czynsz (który w przypadku innych nieruchomości zazwyczaj jest jedynym), oraz czynsz procentowy, stanowiący procent sprzedaży sklepu (liczony zazwyczaj od przekroczenia, pewnej opisanej w umowie najmu granicy sprzedaży). Oczywiście czynszów takiego typu nie znajdziemy w każdej umowie najmu, są one jednak zalecane przez Polską Radę Centrów Handlowych [6]. Powody wystąpienia takich rozbudowanych umów omówione zostaną w dalszej części raportu. Sklep otrzymuje więc od developera ofertę S i, P i, aby chciał rozpocząć współpracę, musi zostać zapewniony, że poziom zysków będzie co najmniej tak wysoki jak w założonej przez niego strategii, w szczególności nie może być niższy niż w przypadku przyjęcia konkurencyjnej oferty, dodatkowo zakładamy, że nie jest on związany z powierzchnią sklepu. Mając więc oczekiwany przez sklep poziom zysków π i, grupa ofert musi spełniać dla każdego sklepu i: R i (S) P i π i. (IV.1) Tak poczynione założenia nie występowały w poprzedniej części, gdzie uznano, że nie są one bezpośredno związane z problemem. W poprzednich rozdziale sklep powiększał swoją powierzchnię by zmaksymalizować swój zysk, a więc próbował uzyskać jak nawięcej na rynku na którym już się znajduje. W rozpatrywanym teraz przypadku developer osiągnie zysk, stanowiący wpływy z czynszów P i pomniejszony o koszty przestrzeni: n n P i c S i. i=1 i=1 (IV.2) Możemy powiedzieć również, że zadaniem developera będzie taki dobór wysokości czynszu, który pozwoli mu osiągnąć maksymalne korzyści, nie powodując jednocześnie zaniechania współpracy przez sklep. Sklep powinien osiągnąć więc najniższy satysfakcjonujący go dochód, a więc w zgodzie z rów(iv.1) P i = R i π i. Przy optymalnie wyznaczonym czynszu zysk developera jest więc równy: str. 17

n i=1 R i n n π i c S i. i=1 i=1 (IV.3) W powyższym równaniu suma wartości π i stanowi dla developera stały koszt, niezależny od przyznanej sklepom powierzchni. W naszym rozważaniu nie będziemy skupiać się na możliwościach, czy warunkach stawianych przez poszczególnych najemców, a więc w szczególności na ich doborze. Zakładamy, że w drodze do maksymalizacji swojego zysku developer będzie dobierał odpowiednią przestrzeń S i dla już wybranych najemców. Jego zadaniem jest taki dobór powierzchni by osiągnąć największą sprzedaż pomniejszoną o koszty przestrzeni (pozostajemy przy założeniu, że rozmiar CH nie jest z góry narzucony). Następnie, kiedy przestrzeń jest już dobrana optymalnie, należy ustalić wysokość czynszów, która uchwyci powstałą nadwyżkę. Przyrównując pochodną rów.(iv.3) do zera, pierwszym warunkiem optymalizacyjnym jest: D j (S) = c i j R i (S) S j. (IV.4) Przestrzeń sklepu j jest więc optymalna, gdy popyt jest równy krańcowemu kosztowi powierzchni pomniejszonemu o wzrost sprzedaży w pozostałych sklepach spowodowany ekspansją sklepu j. Skoro wzrost sprzedaży jest podstawą do zwiększania czynszów, to rów.(iv.4) przedstawia podobne zasady co rów.(iii.9), a więc wzrost czynszów w innych sklepach musi zostać odjęty od marginalnego kosztu powierzchni, obliczając realny marginalny koszt powierzchni. W analizowanym przypadku nie uwzględniamy elastyczności na popyt, związane jest to z przesunięciem ciężaru doboru powierzchni na developera. Należy również zauważyć, że tym razem nie analizujemy wpływu optymalizowanej powierzchni na krańcową produktywność powierzchni pozostałych sklepów, a jedynie na wzrost ich sprzedaży. Wynika to z prostej zależności, że w tym momencie to developer ustala czynsze i przestrzeń, a ich wyznacznikiem jest odpowiednio pomniejszona sprzedaż sklepu. We wcześniejszej analizie gdy developer mógł ustalić jedynie czynsz, sklep powiększał swoją powierzchnie do momentu gdy jego zysk był największy, sprzedaż nie była determinantem czynszów, a te wynikały jedynie z jej przyrostu. Obliczając wtedy realny marginalny koszt przestrzeni braliśmy, podobnie jak teraz wzrost w czynszu płaconym przez pozostałe sklepy, jednakże ten wynikał z innych własności. We wcześniejszym przypadku sama sprzedaż sklepu nie determinowała wysokości czynszów, sklep mógł więc odnosić bardzo niewielkie, jak i ogromne zyski. Możemy przedstawić różnice w rozumowaniu na wcześniej opisanym przykładzie. Przykład: Załóżmy więc istnienie funkcji sprzedaży jak we wcześniejszym przykładzie (R 1 (S) = (S 1 ) ln(s 2 ) i R 2 (S) = (S 2 ) ln(s 1 )). Powierzchnia sklepów w pierwszym przypadku wyniesie S 1 = 398.9; S 2 = 398.9. Jeśli przeprowadzimy analizę zgodną z założeniami poczynionymi w tym rozdziale, szukając optymalnej przestrzeni otrzymamy, S 1 = 2390.94; S 2 = 2390.94, różnica będzie więc znacząca, poziom zysków w tym przypadku będzie zależny od wymagalnego zysku sklepów π i. Możemy przedstawić całość graficznie i zobrazować jak wygląda zależność sprzedaży od realnego kosztu marginalnego, przy optymalnym ustawieniu oraz jaką powierzchnie osiągnąłby nasz sklep gdyby powierzchnia drugiego sklepu wynosiła 150 lub gdyby była optymalna. Nie jesteśmy w stanie porównać zysków developera, gdyż w teraźniejszym rozważaniu pojawia się dodatkowa zmienna π, oznaczająca wymagany poziom zysków sklepu, którego nie jesteśmy w stanie ocenić. Warto dodatkowo zauważyć, jak istotny wpływ mają czynniki zewnętrzne wywoływane przez sklep, które obniżają krańcowy koszt wzrostu jego powierzchni. Na drugim wykresie czerwoną linią przedstawiono optymalną powierzchnię drugiego sklepu w wypadku, w którym podjęlibyśmy się optymalizacji jedynie jego powierzchni, chcąc uzyskać największy możliwy zysk, a więc optymalizując rów.(iv.3) jedynie dla jednego sklepu, zakładając powierzchnie drugiego jako stałą, równą 2390.94. str. 18

Rysunek 1: Krzywa popytu D i oraz realny krańcowy koszt powierzchni Rysunek 2: Koszty developera oraz sprzedaż sklepu R i w zależności od powierzchni drugiego sklepu Na powyższym wykresie widzimy jak wielką rolę odgrywają czynniki zewnętrzne, obniżające krańcowy koszt powierzchni. Wykres przedstawia jak mylne może być patrzenie na Centrum Handlowe jako sieć odizolowanych placówek oraz jak duże straty mogą temu towarzyszyć. W analizowanym na wykresie przypadku jeśli developer ustaliłby czynsz traktując sklep jako odizolowany (powierzchnia oznaczone czerwoną linią) - czyli w przypadku gdy ustaliłby powierzchnie sklepu tak, żeby różnica między kosztami str. 19

zajmowanej przez niego powierzchni, powiększonymi o wymagany zysk sklepu, a jego sprzedażą netto była największa, nie analizując przy tym przychodów drugiego sklepu - osiągnąłby łączny zysk 190.2232. W przypadku gdy weźmie pod uwagę czynniki zewnętrzne (powierzchnia oznaczona zieloną linią) - ustali taką powierzchnie sklepu, która pozwoli osiągnąć największy łączny przychód z obydwu sklepów, czyli uwzględni również wzrost sprzedaży w drugim sklepie, wywołany ekspansją pierwszego - osiągnie wtedy łączny zysk 202.5985. Wyniki opisują dane podane na wykresie, krańcowy koszt powierzchni podobnie jak w poprzednim przykładzie wynosi c = 0.1. Rysunek 3: Zysk Centrum Handlowego w perfekcyjnej dyskryminacji w zależności od powierzchni S 1 i S 2 Perfekcyjna dyskryminacja gdy sklepy wykonują działania marketingowe Rozwiniemy teraz wcześniejsze rozważania. Załóżmy, że atrakcyjność sklepu w CH zależy zarówno od jego przestrzeni, jak i wysiłków podjętych przez właścicieli sklepów. Takie założenie odpowiada rzeczywistości, gdyż sprzedaż sklepu jest bardzo istotnie uzależniona od wszelkich działań marketingowych, łączących w sobie reklamy, charakter sklepu, różnorodność, a nawet atrakcyjność wystawy czy pilność personelu, takich czynników możemy znaleźć bardzo wiele. Możemy stwierdzić, że każdy wysiłek powiązany jest z dodatkowym kosztem ponoszonym przez właściciela sklepu. Dla dalszego rozważania przyjmijmy, że poziom podjętych starań jest proporcjonalny do ich kosztów. Oznaczmy więc e i jako koszt starań sklepu i oraz przyjmijmy, że definiuje on poziom starań sklepu. W tak podjętej analizie funkcja sprzedaży sklepów będzie uzależniona tak od powierzchni, jak i od poziomu starań R i (S 1, e 1, S 2, e 2,..., S n, e n ), a więc na sprzedaż sklepu i będą wpływały własne działania marketingowe, jak i działania marketingowe wszystkich innych sklepów, które zwiększając atrakcyjność Centrum przyciągają większą ilość klientów. Pamiętając, że sklepy nie rywalizują ze sobą zakładamy, że R i e i > 0 i R i e j 0. Przyjmując koszt starań jako odpowiednik ich poziomu oraz zakładając, że są one niezależne od powierzchni, zysk sklepu i możemy określić jako R i (S, e) e i P i, a więc sprzedaż pomniejszoną o koszt starań oraz czynsz. Podobnie jak w rów.(iv.1), tym razem uwzględniając koszty starań, czynsz sklepu możemy określić str. 20

jako P i = R i (S, e) e i πi, a więc zysk developera wynosi: n (R i (S, e) e i ) i=1 n n π i c S i. i=1 i=1 (IV.5) W takim wypadku powinniśmy zachować się podobnie jak w poprzedniej części rozważania, a więc szukając największego zysku - maksymalnej wartości rów.(iv.5). Powierzchnie sklepów dobieramy zgodnie z rów.(iv.4). Warto zauważyć, że w takiej analizie aby otrzymać identyczne wyniki co w poprzednim rozważaniu, koszt starań sklepu musiałby być niezależny od powierzchni, a funkcja sprzedaży rozłączną w argumentach dotyczących starań i powierzchni. W przypadku gdyby funkcja sprzedaży nie była rozłączna, inny byłby przyrost sprzedaży wraz z własną powierzchnią, tak jak i wzrost sprzedaży w innych sklepach. Implikowałoby to więc rozbieżne wartości S i dla warunków optymalizacyjnych rów.(iv.5) i rów.(iv.3). Gdyby developer mógł kontrolować dodatkowo poziom starań każdego sklepu, drugim warunkiem optymalizacyjnym rów.(iv.5), do spełnienia którego by dążył byłoby takie ustalenie poziomu e j by spełniał: n i=1 R i (S, e) e j = 1. (IV.6) Powyższy warunek świadczy o tym, że wzrost sprzedaży w całym Centrum Handlowym, związany z poziomem wysiłków wykonywanych przez sklep j powinien zrównać się z ich marginalnym kosztem, oczywiście zakładając jak wcześniej wspomniano, że ich koszt jest niezależny. Trudno jednak wyobrazić sobie sytuację w której developer może wnikać w wenętrzną politykę sklepów, a więc decydować o kosztach przeznaczonych na działania marketingowe. Każdy sklep będzie więc dobierał taki poziom starań, który pozwoli mu na osiągnięcie największego zysku. Zamiast spełniać więc rów.(iv.6), sklep j tak dobierze poziom starań by przyrost jego własnej sprzedaży, spowodowanej wzrostem poziomu starań, zrównał się z ich marginalnym kosztem. R j (S, e) e j = 1. (IV.7) Możemy zauważyć, że działając w ten sposób (ignorując korzyści pozostałych sklepów) sklep ustali poziom wysiłków niżej niż oczekiwałby tego deweloper. Wynika to z założenia, że funkcja sprzedaży będzie od pewnego momentu rosnąć w sposób malejący, wraz ze wzrostem starań. Przekształcając rów.(iv.6) do postaci i j R i(s,e) e j + R j(s,e) e j = 1 oraz pamiętając, że pierwszy człon takiego równania jest zawsze nieujemny, możemy stwierdzić, że poziom ustalony przez poszczególny sklep będzie niższy (w szczególnych przypadkach taki sam) niż oczekiwałby tego deweloper. W takim przypadku właściciel Centrum Handlowego, by maksymalizować swój zysk mógłby w zawartej ze sklepem umowie definiować wymagany przez niego poziom starań. W takim przypadku zmienne go opisujące musiałyby być bezpośrednio obserwowalne, a zadaniem dewelopera byłoby je monitorować. Tego typu inwigilacja byłaby z pewnością bardzo skomplikowana i nawet gdyby była możliwa wiązałaby się z ogromnymi kosztami po stronie dewelopera. W takim razie ustalenie poziomu starań e j powinno leżeć w gestii właściciela sklepu j. Deweloper może jednak wymusić oczekiwany od sklepu poziom starań odpowiednio dopasowując strukturę czynszów. Umowa najmu od tej pory oprócz stałego czynszu bazowego, powinna zawierać również składnik procentowy, związany ze sprzedażą sklepu j. Właściciel sklepu będzie dążyć do maksymalizowania swojego zysku. Jeśli R i e i > 0, a czynsz płacony przez sklep będzie obniżony o ustalony przez dewelopera procent sprzedaży, sklep może dobrać poziom starań powyżej tego obliczonego zgodnie z rów.(iv.7), co będzie dla niego korzystne. Aby oszacować jakiej wysokości subsydia należą się dla danego sklepu w związku z jego sprzedażą obliczamy wartość: δ j = i j R i (S, e) e j. (IV.8) str. 21

Dla obliczonych wcześniej optymalnych warunków (z rów.(iv.4) i rów.(iv.6)), a więc dla parametrów dla których wartość rów.(iv.5) będzie największa. Wartość δ j pokazuje nam jaki jest przyrost sprzedaży pozostałych sklepów, w przypadku gdy poziom e j jest optymalny. Możemy więc przekształcić rów.(iv.6) do następującej formy: R j (S, e) e j = 1 δ j. (IV.9) Zakładamy, że deweloper zna już optymalny poziom starań sklepu, w ten sposób wyznacza parametr δ j. Następnie aby sklep j był chętny do osiągnięcia wymaganego poziomu starań, deweloper oferuje mu umowę dotyczącą najmu, która zawiera płatność ryczałtową T j pomniejszoną o procent sprzedaży α j, czynsz sklepu wynosi więc teraz P j = T j α j R j, a jego zysk (1 + α j )R j e j T j, a więc szukając poziomu starań e j umożliwiającego uzyskanie największych korzyści, właściciel sklepu dobierze go tak by spełniać: R j (S, e) e j = 1 1 + α j. (IV.10) Aby wyznaczyć odpowiednią wartość parametru α j, dzięki której deweloper uzyska oczekiwany poziom starań, należy przyrównać prawe strony rów.(iv.9) i rów.(iv.10), a więc: α j = 1 1 δ j 1. (IV.11) Przy tak wyznaczonym parametrze α j sklep j automatycznie ustali poziom starań oczekiwany przez dewelopera. Możemy zauważyć, że pochodna funkcji zależności α j (δ j ) jest dodatnia w całej dziedzinie, a więc z wyłączeniem przypadku gdy δ j = 1. Zgodnie z poczynionymi wcześniej założeniami R i e j 0, a więc δ j 0. Wartość parametru α j rośnie więc w przedziałach δ j 0, 1) oraz δ j (1, ), z tym, że w pierwszym z nich jest dodatnia, a w drugim ujemna. Należy w tym miejscu zauważyć, że jeśli parametr δ j spełnia założenie δ j 1, to prawa strona rów.(iv.9)- 1 δ j - byłaby nie dodatnia, co świadczyłoby o niekorzystnym wpływie starań własnych sklepu na swoją sprzedaż, a z poczynionych na wstępie założeń wynika, że R i e i > 0. Należy więc założyć, że wartości wszystkich parametrów δ j znajdują się w przedziale 0, 1). Warto więc dodać dodatkowe założenie, odnośnie poziomu starań 2 R j e 2 j > 0 oraz 2 R i e 2 j < 2 R j, w ten sposób rozwiązanie e 2 j problemu maksymalizacji zysku dewelopera będzie mogło osiągnąć realne wartości. Zakładając jak powyżej, możemy stwierdzić, że wraz ze wzrostem parametru δ j, rosną subsydia sklepów. Sklepy, których starania przyciągną najwięcej klientów, otrzymają więc najbardziej korzystne umowy. Należy pamiętać, że komponent ryczałtowy umowy T j dobrany jest tak by maksymalizować zysk, a więc T j = R j (1 + α j ) π j e j lub po prostu T j = P j + α j R j, a więc sytuacja jest analogiczna do wcześniejszych rozważań i deweloper otrzymuje w postaci czynszu całość zysku sklepu, przekraczającą zakładany poziom zysku π j oraz pomniejszoną o koszt starań e j. Oczywiście wciąż dopuszczamy sytuację, w której subsydia przekraczać będą 100%, gdyby wartość δ j była bliska 1. Taka sytuacja wydaje się być jednak mało realistyczna, w rzeczywistości wartość δ j powinna być na tyle mała, że obliczone subsydia przyjmą rozsądną postać. Przykład: Załóżmy w tym przypadku, że funkcja sprzedaży ma postać R i = 0.01a e i ln(e j ), gdzie a = 380.34 jest stałą, opisującą funkcję sprzedaży względem ustalonej już wcześniej powierzchni. Wartość a została dobrana jako wynik równania dla przedstawionej w poprzednich przykładach funkcji sprzedaży, w przypadku wykorzystania optymalnych dla wcześniejszego rozważania wartości (tj. a = S 1 ln(s 2 )) gdzie S 1 = S 2 = 2390.94, sztuczne zawarcie składnika 0.01 spowoduje, że otrzymane wyniki będą łątwiejsze do analizy (będą znacznie mniejsze), chociaż w takim przypadku koszt powierzchni c = 0.1 jest zbyt duży, został on na potrzeby tworzenia wykresów również przeskalowany przez czynnik 0.01. Należy mieć na uwadze fakt, że optymalna powierzchnia sklepów posiadających opisaną w tym przykładzie funkcje sprzedaży będzie zapewne inna. Chcemy jednak w naszym rozważaniu skupić się wyłącznie na działaniach marketingowych wykonywanych przez sklepy, problem str. 22

optymalnego doboru powierzchni został już wcześniej dokładnie opisany. Dodanie zmiennych opisujących poziom działań sklepów będzie skutkować, w czasie szukania optymalnej powierzchni, jedynie różnicą w funkcji sprzedaży, a mianowicie (dla rozważanego przypadku) warunek optymalizacyjny będzie miał postać R b 1 D 1 (S) = c b 2 2 S 1, gdzie b 1 = e 1 ln(e 2 ); b 2 = e 2 ln(e 1 ), jeśli założymy, że b 1, b 2 > 1 powierzchnia sklepów w tym wypadku będzie więc większa. Dla tak dobranych danych optymalnym dla dewelopera poziomem starań będzie e 1 = e 2 = 189.91, gdyby jednak nie występowały czynsze procentowe, sklepy ustaliłyby dla takich danych swój poziom starań jako e 1 = e 2 = 61.225, optymalizując w ten sposób swoją własną sprzedaż. Widać więc, że dla tak dobranych funkcji, deweloper oczekiwałby ponad trzykrotnego wzrostu starań, co musi odzwierciedlić w czynszach ustalająć poziom α 1 = α 2 = 38.12%. Idealnie czynsz wyglądałby więc następująco, P i = 149.91 R i 0.3812 i przy optymalnej sprzedaży sklepu, czyli w wypadku gdy ten dobierze starania maksymalizując swoje zyski, wyniósłby P i = 45.1. Aby najlepiej zrozumieć jak ważny jest czynsz procentowy, przedstawmy graficznie sytuację, w której sklep posiadałby czynsz bazowy i procentowy oraz jedynie stały bazowy czynsz, porównajmy jak wyglądałyby w tym przypadku zyski dewelopera. Zakładamy, że drugi sklep wykonuje optymalne starania e 2 = 189.91. Sklep najprawdopodbniej dobierze taki poziom starań, który zapewni mu największe zyski. Rysunek 4: Zysk dewelopera i sklepu 1 w zależności od poziomu starań e 1, porównanie struktury czynszów Aby przekonać się jak istotne może być ustalenie odpowiedniego poziomu α i w czynszu procentowym, przedstawimy zależność całkowitych zysków dewelopera od ustalonego poziomu α i. Na cele sporządzenia wykresu przyjęto, że wartość starań drugiego sklepu jest optymalna i wynosi e i = 189.91. Możemy zauważyć, że istotnie dla parametru α i o wartości bliskiej 38% zysk dewelopera będzie największy. Warto dodatkowo zauważyć, że na poniższym wykresie analizujemy jedynie wpływ ustalenia jednego z parametrów α, podczas gdy drugi sklep działa już w warunkach optymalnych. W przypadku analizy dla obydwu parametrów czynszu procentowego różnice w zysku byłyby więc zapewne jeszcze większe. Na tej podstawie możemy zobaczyć jak istotne może być dla dewelopera zawarcie odpowiedniej umowy oraz określenie odpowiednich stawek. str. 23