ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

Podobne dokumenty
Przegląd wybranych testów

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

. Wtedy E V U jest równa

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Matematyczny opis ryzyka

KURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

Pojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

1. Relacja preferencji

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE

ZJAZD 1. STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Indukcja matematyczna

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Parametry zmiennej losowej

Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

Wyrażanie niepewności pomiaru

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

= , t 1872, = , t 1872,0.95

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

Wybrane wzory i tablice statystyczne

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

O testowaniu jednorodności współczynników zmienności

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Zmiana bazy i macierz przejścia

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

Analiza niepewności pomiarów Definicje

Statistical evaluation of the intensity of the carbon deposits accumulation on fuel injector nozzles for different bio-fuels

Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych

Nieparametryczna ANOVA

Parametryczne Testy Istotności

KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

Równania rekurencyjne

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Estymacja przedziałowa

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Rozkład normalny (Gaussa)

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Transkrypt:

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE Cel Przedstawee wybraych testów statystyczych zasad wyboru właścwego testu przeprowadzea go oraz terpretac wyów. Wprowadzee teoretycze Testem statystyczym azywamy metodę umożlwaącą weryfacę hpotezy zerowe. W zależośc od e postac od rodzau przeprowadzaego esperymetu ależy wybrać odpowed test. Poże przedstawoe zostały wybrae testy statystycze oraz waru w ach ależy ch użyć. Test t est srótem od azwy test t Studeta. Testy t stosue sę do sprawdzaa hpotez dotyczących wartośc oczewae rozładów ormalych. W zależośc od rodzau daych wyróża sę: test t dla ede próby test t dla prób epowązaych (ezależych) oraz test t dla prób powązaych (zależych). Test t dla ede próby stosue sę dla próby losowe z populac geerale tóre cecha ma rozład ormaly o ezae warac. Hpoteza zerowa est postac H 0 : µ = µ 0 hpoteza alteratywa H : µ µ 0 est to węc test dwustroy. Statystya testowa est postac ( ) µ T = 0 S gdze est średą arytmetyczą badae cechy est lczbą obserwac S est odchyleem stadardowym cechy z próby. Obszar rytyczy (obszar odrzucea) testu est postac gdze t est wartoścą statysty T t --/ ozacza waty rozładu t rzędu -/ o - stopach swobody est pozomem stotośc. Test t dla prób epowązaych stosue sę dla dwóch ezależych prób losowych z dwóch populac geeralych o rozładach ormalych o te same ezae warac. Hpoteza zerowa est postac H 0 : µ = µ hpoteza alteratywa H : µ µ gdze µ est wartoścą oczewaą cechy w perwsze populac µ est wartoścą oczewaą cechy w druge populac. Statystya testowa est postac T ( ) S + ( ) ( + ) S + = gdze są średm arytmetyczym badae cechy w próbe perwsze druge S S są waracam cechy w próbe perwsze druge są lczeboścam prób. Obszar rytyczy testu est postac + gdze t est wartoścą statysty T t + / ozacza waty rozładu t rzędu -/ o + - stopach swobody est pozomem stotośc.

Test t dla prób powązaych stosue sę dla zestawów par wązaych Y gdze D = Y oraz D ma rozład ormaly o średe µ D ezae warac. Hpoteza zerowa est postac H 0 : µ = µ Y hpoteza alteratywa H : µ µ Y. Statystya testowa est postac gdze postac D T = D = S D D = S D = ( D D ) = est lczbą obserwac. Obszar rytyczy testu est gdze t est wartoścą statysty T t --/ ozacza waty rozładu t rzędu -/ o - stopach swobody est pozomem stotośc. Test (test Maa-Whteya) stosue sę do sprawdzea hpotezy że dwe ezależe próby pochodzą z tego samego rozładu typu cągłego (e mus to być rozład ormaly). Hpoteza zerowa est postac H 0 : F = F Y hpoteza alteratywa H : F F Y lub H : F F Y ale F F Y gdze F est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba F Y est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba Y. Statystya testowa est postac = m( ) = gdy > Y gdze = = = 0 gdy Y = gdze = = = 0 Obszar rytyczy testu est postac gdy gdy < Y Y K = u : u < lub u > gdze est watylem rzędu / rozładu statysty. Jeżel 4 4 + 0 to do sprawdzea hpotezy zerowe stosuemy statystyę testową Z = ( + + ) tóra przy założeu że hpoteza zerowa est prawdzwa przy ma rozład N(0). Obszar rytyczy est wówczas postac K = z : z > z gdze z est watylem rzędu -/ rozładu ormalego N(0).

Test Wlcoxoa (test sumy rag Wlcoxoa) stosue sę dla zestawów par wązaych Y gdze D = Y oraz D ma rozład ezay. Jest to test rówoważy testow ale służy do aalzy prób zależych. Hpoteza zerowa est postac H 0 : F = F Y hpoteza alteratywa H : F F Y lub H : F F Y ale F F Y gdze F est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba F Y est rozładem cechy w populac geerale z tóre pochodz próba Y. Statystya testowa est postac gdze gdze N = W m r r = = r est sumą rag zwaą statystyą Wlcoxoa. Obszar rytyczy testu est postac K = w : w < W lub w > W W est watylem rzędu / rozładu statysty W. Jeżel lczba aalzowaych par przeracza 5 wówczas do sprawdzea hpotezy zerowe stosuemy statystyę testową N( N + ) W Z = 4 N( N + )( N + ) 4 tóra przy założeu że hpoteza zerowa est prawdzwa przy ma rozład N(0). Obszar rytyczy est wówczas postac gdze K = z : z > z z est watylem rzędu -/ rozładu ormalego N(0). Test Krusala Wallsa stosoway est do porówywaa welu populac a podstawe ezależych prób pochodzących po ede z ażde populac tóra ma rozład cągły. Służy do sprawdzea hpotezy że ezależe pobrae próby pochodzą z te same populac. Test te est uogóleem testu Maa Whteya. Jeżel mamy prób ezależych to hpoteza zerowa est postac H 0 : F = F = = F hpoteza alteratywa H : stee co ame eda para ( = ) taa że F F lub F F ale F F. Statystya testowa est postac gdze = R T = = ( + ) = 3 ( + ) est lczeboścą -te próby R est sumą rag dla -te próby. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe rozład statysty T przy est rozładem χ z - stopam swobody. Obszar rytyczy est postac { t t > } K = : h gdze est pozomem stotośc swobody. h est watylem rzędu - rozładu χ o - stopach

Testy χ (testy ch wadrat) służą do sprawdzaa hpotezy o edaowym rozładze zmeych losowych typu dysretego. Ze względu a lość ryterów lasyfac daych wyróża sę test χ dla lasyfac edoczyowe oraz test χ dla lasyfac dwuczyowe. Aalzowae dae są aczęśce w postac częstośc wystąpeń obserwac ależące do dae ategor. Test χ dla lasyfac edoczyowe odos sę do daych podzeloych ze względu a ede czy. Hpoteza zerowa est postac H 0 : częstośc wystąpeń badae cechy są tae same we wszystch grupach (podzeloych ze względu a ede czy) hpoteza alteratywa H : przyame w ede parze grup częstotlwośc wystąpea badae cechy różą sę mędzy sobą. Statystya testowa est postac = ( ) χ = gdze est lczbą grup est lczbą elemetów -te grupy est średą lczbą elemetów wszystch grup. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe statystya testowa ma rozład χ o - stopach swobody. Obszar odrzucea est postac { t t > χ } K = : gdze est pozomem stotośc χ est watylem rzędu - rozładu χ o - stopach swobody. Test χ dla lasyfac dwuczyowe odos sę do daych podzeloych ze względu a dwa czy. Hpoteza zerowa est postac H 0 : częstośc wystąpeń badae cechy są tae same we wszystch grupach (podzeloych ze względu a dwa czy) hpoteza alteratywa H : przyame w ede parze grup częstotlwośc wystąpea badae cechy różą sę mędzy sobą. Statystya testowa est postac m.. = = m χ = m = = =. =. gdze est lczbą grup otrzymaych przez lasyfacę ze względu a perwszy czy m est lczbą grup otrzymaych przez lasyfacę ze względu a drug czy est lczbą elemetów -te -te grupy. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe statystya testowa ma rozład χ o -m- stopach swobody. Obszar odrzucea est postac { t t > χ } K = : m gdze est pozomem stotośc stopach swobody. χ est watylem rzędu - rozładu χ o -m- m

Test F (test F Sedecora) stosue sę do testowaa stotośc zależośc zmee zależe y od zmee ezależe x opsae wzorem y = β 0 +β x. Hpoteza zerowa est postac H 0 : zmea y e zależy od zmee x hpoteza alteratywa H : zmea y zależy od zmee x. Statystya testowa est postac F = = = ( yˆ y) ( yˆ y) gdze est lczbą obserwac ozacza progozę zmee zależe otrzymaą z wzoru yˆ = β + β x est lczbą współczyów (β) w rówau. Przy prawdzwośc hpotezy zerowe ˆ0 ˆ statystya testowa ma rozład F --. Obszar odrzucea est postac K { F F > } F --- ozacza waty rzędu - rozładu F o -- stopach swobody. = : F gdze Zadae do wyoaa. Odłowoo zważoo 8 sro w Bałymstou 6 sro w Glwcach. Podać azwy wszystch zaych testów dla ustalea czy sro z tych dwóch mast różą sę cężarem wedząc że cężar sro ma rozład ormaly. Zapsać postawoe hpotezy.. Pewe włośca ze Słom upł od rańca z Żytomerza 400 a przepóre apońsch płacąc za e po 45 groszy. raec gwaratował śred wylęg a w 80%. Jam testem moża sprawdzć uczcwość rańca? Ilość a z tórych wylęgły sę pslęta ma rozład ormaly. Zapsać postawoe hpotezy. 3. Pewe badacz mał za zadae ustalć ae est stężee metal cężch w taach rośl rosących wzdłuż 80 m autostrady dące z półocy a połude. W tym celu postaowł pobrać rówolcze próby w 0 różych mescach. Jaego testu ależy użyć aby porówać stężee metal cężch w próbach zebraych a perwszych 0 m pozostałych 60 m autostrady? Jaego testu ależy użyć aby porówać stężee metal cężch w zebraych próbach? Zapsać postawoe hpotezy. 4. Na 0 staowsach badawczych w oolcy budowy przyszłe zapory oreśloo lczbę wszystch gatuów chrząszczy a astępe badaa te powtórzoo po apełeu zbora wodą. Jam testem moża sprawdzć czy budowa zapory e zmay tóre w tym czase astąpły spowodowały stote zmeszee lub zwęszee lczby gatuów chrząszczy? Zapsać postawoe hpotezy. 5. Aby ustalć zmeszee sę lośc wtamy C w zemaach z upływem czasu wybrao 8 zemaów zaraz po zborze oreśloo w ch lość wtamy C w mg a 00 g zemaa. W mesąc po zborze wybrao losowo 7 zemaów zbadao e w ta sam sposób. Jam testem moża ustalć czy po mesącu lość wtamy C w zemaach zmesza sę. Zapsać postawoe hpotezy. 6. Podać przyłady esperymetów w tórym zastosowae zalazłby ażdy z opsaych powyże testów. Źródła: Łomc A. Wprowadzee do statysty dla przyrodów PWN Warszawa 007 Magera R. Modele metody statysty matematycze GS Wrocław 00