Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero
Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania. często określane są też jako ściśle konkurencyjne, gdzie interesy graczy są przeciwstawne. u 1 (a) = u 2 (a), a A Gry o sumie zerowej były podstawą matematycznej teorii gier opracowanej przez J. von Neumanna i O Morgensterna
Rysunek: John von Neumann Jeden z pionierów informatyki; Twórca teorii gier oraz teorii automatów komórkowych; Istotny wkład w dziedzinach; logika matematyczna, teoria mnogości, analiza matematyczna, mechaniki kwantowej; udowodnił twierdzenie min-max;
Wspólnie z von Neumannem stworzył podstawy teorii gier; Istotny wkład w dziedzinie ekonomii; Rysunek: Oskar Morgenstern
Szachy; Warcaby; GO; gry karciane; Przykłady gier o sumie zero: Kamień-Papier-Nożyczki; Orzeł-Reszka; Należy pamiętać, że gry w postaci ekstensywnej takie jak szachy czy warcaby, mogą zostać przedstawione jako gra w postaci macierzowej.
Rysunek: Gra o sumie zero
W grze o sumie zero: każdy z graczy posiada skończoną liczbę strategii; strategie poszczególnych graczy wybierane są jednocześnie; przy wyborze strategii gracz może za każdym razem wybierać tylko jedną strategię - w takiej sytuacji jest to strategia czysta; profil strategii czystych, to sytuacja, w której gracze wybrali jedną ze swoich strategii czystych: s = (x n, y m ), gdzie x n X oraz y m Y. x n oraz y m oznaczają odpowiednio n-tą oraz m-tą strategię czystą graczy.
W przeciwieństwie do strategii czystej, strategia mieszana określa częstotliwość wyboru danej strategii czystej w n kolejnych grach. Rysunek: Gra o sumie zero Wartości obok wierszy gracza niebieskiego oraz wartości pod kolumnami gracza czerwonego oznaczają częstości wyboru poszczególnych strategii. W tym wypadku strategię mieszaną można odczytać następująco: na każde 12 gier, 5 razy stosuj strategię pierwszą, natomiast pozostałe 7 razy strategię drugą.
Twierdzenie o minmaksie Dla każdej 2-osobowej skończonej gry o sumie zero: 1 Istnieje punkt siodłowy; 2 Istnieje v taka, że v 1 = v 2 = v, gdzie v 1 oznacza maksimum z minimów dla wierszy, natomiast v 2 to minimum z maksimów kolumn; 3 Jeżeli s = (x n, y m ) jest punktem siodłowym to wypłata graczy stosujących strategie x n orazy m wynosi v ; 4 s = (x n, y m ) jest punktem siodłowym, gdy pierwszy z graczy gra strategię maksminową, natomist gracz drugi - minmaksową.
Rysunek: Przykład wyznaczania punktu siodłowego Wiersze : Maksimum z minimów : max z {4, 1} Kolumny : Minimum z maksimów : min z {7, 4} Siodło istnieje, jeżeli : max min = min max
Rysunek: Obliczanie strategii mieszanych w grze 2x2
Rysunek: Dodanie stałej do komórek macierzy Dodanie określonej stałej c do każdej z komórek macierzy wypłat nie wpływa w żaden sposób na częstość wyboru strategii poszczególnych graczy.
Rysunek: Istnienie punktów siodłowych w grach 2xm
Rysunek: Dominowanie strategii w grach 2xm
Rysunek: Dominowanie strategii w grach mx2
Rysunek: Graficzna metoda rozwiązywania gier
Rysunek: Graficzna metoda rozwiązywania gier poprzedzona usuwaniem strategii zdominowanych
Rysunek: Graficzna metoda rozwiązywania gier 2xm
Rysunek: Punkt siodłowy w grze 3x3
Ogólne zasady postępowania: 1 Czy istnieje punkt siodłowy? 2 Czy można usunąć strategie zdominowane oraz dominujące? 3 Wyznacz częstości stosowania strategii poszczególnych graczy. 4 Wybierz losowo po 2 strategie graczy sprowadzając problem do gry 2x2. 5 W przypadku dużych gier zastosuj rozwiązanie przybliżone.
Rysunek: Algorytm przybliżony - krok 1
Rysunek: Algorytm przybliżony - po 6 kroku
Rysunek: Algorytm przybliżony - po 14 krokach
Dziękuję za uwagę.