Mechanka analtcna: wółrędne wę tone wobod wółrędne uogólnone Roatruem układ o welu tonach wobod n. układ łożon unktów materalnch. Na układ mogą bć nałożone wę. P r unkt materaln o mae m O Układ wobodn kładaąc ę unktów materalnch Wółrędne dowolne: n.: wektorowe r ]... [ karteańke (rotokątne... Pro. Edmund Wttbrodt
Wółrędne uogólnone: q gde... r cm: n w - lcba ton wobod w - lcba wę n - lcba wółrędnch Wółrędne uogólnone ą to wółrędne neależne od ebe ouące ednonacne ołożene układu w retren (et to mnmalna lcba wółrędnch otrebnch do ou ołożena układu. Pro. Edmund Wttbrodt
Prkładowm układem węam może bć odwóne wahadło matematcne redtawone na onżm runku. Składa ę ono dwóch ma m m ołąconch rętam o długoścach l l. Podwóne wahadło matematcne: a wółrędne kątowe α α ora lnowe ; b różne ołożena wółrędne ma m r te ame wółrędne ; c rkład nnch wółrędnch neależnch (uogólnonch q α q α Zależnośc omęd wółrędnm: l nα l l coα l nα + l coα + l nα coα Pro. Edmund Wttbrodt
Wę Węam ą ograncena nałożone na ruch układu (na wółrędne lub rędkośc unktów lub brł układu. Można e wrać w otac ależnośc analtcnch nawanch równanam węów. Itneą różnego rodau wę omęd wółrędnm lub rędkoścam unktów układów mechancnch. Wśród nch wróżnam wę geometrcne knematcne holonomcne neholonomcne kleronomcne reonomcne dwutronne ednotronne a także dealne recwte. Rodae wę: geometrcne knematcne holonomcne neholonomcne kleronomcne reonomcne dwutronne ednotronne dealne recwte Pro. Edmund Wttbrodt
Wę geometrcne dwutronne ą węam którch równana węów w ae wektorowm maą otać t r r...... w ( r a w ae kalarnm t...... w ( gde w lcba nałożonch na układ wę (odebranch ton wobod. Prkład węów geometrcnch: a unkt B wąan unktem A a omocą twnego łącnka b unkt A orua ę o tore owtałm recęca dwóch walców Pro. Edmund Wttbrodt
Zależnośc omęd wółrędnm dowolnm (karteańkm a wółrędnm uogólnonm dla układu węam holonomcnm reonomcnm w ae kalarnm ( t q q... q t q q... q lub w ae wektorowm r t q q... q ( ( t q q... q r... ( gde: lcba ton wobod układu lcba unktów materalnch. Pochodna wględem cau równań węów geometrcnch w ae kalarnm et równa d dt ( + + +... w t ae wektorowm et równa d r + grad v + dt r t... w t Pro. Edmund Wttbrodt
Wę knematcne dwutronne ą to wę ależne od rędkośc. W równanach tch węów wtęuą wółrędne ch erwe ochodne wględem cau ( t......... w gde lcba węów knematcnch. Nektóre równana węów knematcnch można całkować. Wę te nawam wówca węam knematcnm całkowalnm. Są one równoważne węom geometrcnm. Dla rkładu wę o otac ( ą węam knematcnm całkowalnm gdż równane tch węów można całkować a o całkowanu równane tch węów rmue otać węów geometrcnch. Dowodm tego natęuąco: możem aać ln ln + ln C lub otatecne C kąd o całkowanu otrmuem co odowada równanu węów geometrcnch (. Pro. Edmund Wttbrodt
Prkładem węów knematcnch necałkowalnch ą wę o otac ( ϕ ϕ tgϕ Prkład wę neholonomcnch (holonomcnch necałkowalnch v v tgϕ Jet to tw. równane ań. Sane ocwaą na otrch łoach. Mogą oruać ę tlko w kerunku łó a ne w kerunku do nch orecnm. Onaca to że rędkość środka ań ma kerunek równoległ do ch kerunku co et konekwencą nałożonch na układ węów. Pro. Edmund Wttbrodt
Pro. Edmund Wttbrodt Wę holonomcne ą to wę geometrcne lub wę knematcne całkowalne (wę neależne od rędkośc... ( t. Wę neholonomcne ą to wę knematcne necałkowalne (wę ależne od rędkośc...... ( t Wę kleronomcne lub taconarne ą to wę w którch równanach ne wtęue awne ca t:... (...... ( Wę dwutronne ą to wę które ne owalaą na oderwane układu od węów (oddałuą w dwóch kerunkach. W równanach tch węów wteuą nak równośc.
Jeżel wę owalaą na oderwane układu od węów (oddałuą ednotronne to noą one nawę węów ednotronnch. Równana węów rmuą wówca otać nerównośc (... Prkładam układów węam ednotronnm mogą bć: cężar aweon na nerocąglwe lnce do którego blża ę ruchoma odtawa lub owerchna na którą ada łka rucona ewne wokośc od które odba ę otem welokrotne. Pro. Edmund Wttbrodt
Premecena rgotowane Premecene (reunęce rgotowane (wrtualne et to każde dowolne możlwe remecene unktu godne węam. Jeżel ołożene unktu określone et a omocą wektora r to remecene rgotowane onacam mbolem δ r. a δ r δ r P P δ r δ r δ r r b dr d P d d r Premecena: a rgotowane δ r b recwte dr O O Premecene rgotowane δ r et to omślane (wobrażalne reunece unktu o kerunku godnm kerunkem możlwe rędkośc tego unktu. Premecene rgotowane et wektorem któr możem redtawć w otac δ r δ + δ + δk. Pro. Edmund Wttbrodt
Pro. Edmund Wttbrodt Jeżel dane et równane węów w otac ( redtawaące równane owerchn na które nadue ę roatrwan unkt to dla reunęca rgotowanego achod wąek + + δ δ δ co można aać r grad r δ. Jeżel mam do cnena układem unktów materalnch oddanch w węom to achodą natęuące wąk + + δ δ δ w... lub w otac wektorowe r r grad δ w.... Powże równana wnkaą warunków równoległośc wektorów remeceń rgotowanch wektorów tcnch do łacn ograncaącch ruch unktów (wę.
Prrot elementarne wółrędnch rotokątnch dowolnego -tego unktu ą równe: δ δq q δ δq... q δ δq q lub w ae wektorowm δ r r δq q... gde lcba ton wobod. Pro. Edmund Wttbrodt