TEORIA PRZEJή FAZOWYCH

Transkrypt

1 RYSZARD GOCZAREK EORIA PRZEJή FAZOWYC WYBRAE ZAGADIEIA OFICYA WYDAWICZA POLIECIKI WROC AWSKIEJ WROC AW 4

2 Recenent Lucan Jacak Oracowane redakcne korekta Alna Kacak Proekt ok³adk Zofa Daru Godlewc Corght b Ofcna Wdawnca Poltechnk Wroc³awke Wroc³aw 4 OFICYA WYDAWICZA POLIECIKI WROC AWSKIEJ Wbre e Wañkego Wroc³aw ISB Drukarna Ofcn Wdawnce Poltechnk Wroc³awke. Zam. nr 7/4.

3 SPIS REŒCI Wtê Klacne formu³owane agadnena eora Yanga Lee Preman faowe odele ferromagnetmu Relaca ferromagnetk antferromagnetk Granca termodnamcna eca erowe welke um tattcne odele ednowmarowe Preœca faowe w uk³adach ednowmarowch odel Inga eore rbl one Zawka krtcne Indek krtcne otea kalowana eora gru renormalacne Kerunk nowch oukwañ Lteratura

4 WSÊP Preœca faowe wane tak e remanam faowm to roce które owechne wtêu¹ w otaca¹ce na recwtoœc. Ich wnkem et awe kokowa mana ewnch w³anoœc fcnch ca³a które odlega remane. Preman faowe achod¹ w okreœlonch warunkach t. dla okreœlonch wartoœc temeratur cœnena odowada¹cch równowade faowe danego uk³adu. Preman faowe odca którch natêu¹ man tanu kuena n. reœce gau w cec cec w ca³o ta³e gêtoœæ natomat a atem obêtoœæ ora take funkce termodnamcne ak energa wewnêtrna energa wobodna entala entroa dona¹ kokowe man to reman faowe erwego rodau. ake reman ³¹c¹ ê awe wdelanem lub och³ananem ewne loœc ce³a tanow¹cego tw. ce³o utaone reman faowe. Z kole reman faowe odca którch gêtoœæ ora funkce tanu uk³adu mena¹ ê w oób c¹g³ kokowe man natomat dotc¹ oemnoœc celne wó³cnnka roeralnoœc celne wó³cnnka œcœlwoœc rê - noœc t. to reman faowe drugego rodau. Ce³o reman faowch drugego rodau et równe eru a rk³adam takch reman ¹: reœce ferromagnetka w aramagnetk reœce uk³adu metalcnego e tanu normalnego w tan nadrewod¹c reœce cek³ego helu arówno 4 e ak 3 e e tanu normalnego w tan nadcek³oœc. W badanach w³anoœc termodnamcnch uk³adów reman faowe ora awka oko³okrtcne tanow¹ wodrêbnon¹ gruê agadneñ którch ecfka wmaga³a oracowana w³aœcwch dla nch uêæ teoretcnch model. Obecne tnee bardo erok matera³ teoretcn dotc¹c tch agadneñ wkortu¹c tak e aawanowan aarat anal funkconalne ora metod numercnch któr ne oób ednak redtawæ w trakce ednoemetralnego wk³adu. Dlatego w nnem oracowanu ograncono ê do areentowana klkunatu wbranch agadneñ które ednak e umo lwa¹ lutrowane ró norodne ecfk roblemów w¹anch badanem reman faowch. W odró nenu od nnch oracowañ odrêcnkowch w reentowanm materale amecono wele bardo cegó³owch oblceñ analtcnch co ma na celu wkaane tudentom ora antereowanm tm roblema-

5 6 Wtê m doktorantom e owechne rtacane formu³ relace bêd¹ce efektem rowou teor reœæ faowch wnka¹ e nanch raw fk mo na e ukaæ w rot oób wkonu¹c œrednoaawanowane oblcena. ne odrêcnk awera matera³ wk³adan od klku lat re autora tudentom kerunku fka Wda³u Podtawowch Problemów echnk Poltechnk Wroc³awke owta³ r ch wó³udale.

6 7. KLASYCZE SFORU OWAIE ZAGADIEIA odel twardch kul welka uma tattcna arametrcne równana tanu granca termodnamcna ooblwoœc równana tanu Preœcem faowm nawam reœce edne fa uk³adu nadu¹cego ê w równowade termodnamcne w nn¹ faê. W trakce reœca faowego ubtanca rmue now t truktur lub nabwa nowch cech w³aœcwch dla nowe fa które ne wtêowa³ red reœcem faowm. Stwerdene. Z doœwadcena wadomo e reœca faowe achod¹ gd w równanu tanu oawa¹ ê ooblwoœc lub nec¹g³oœc. Wtêu¹ one w uk³adach charakteru¹cch ê lnm waemnm odda³wanem k³adnków. atomat w uk³adach dealnch utworonch takch k³adnków którch waemne odda³wane oma ê a anala ch w³anoœc redukue ê do rowa ana oedncego k³adnka reœca faowe ne wtêu¹. S¹ to n. klacne ga dokona³e. Zatem tot¹ reœæ faowch et wtêowane odda³wana mêd c¹tkam co et w³aœcwoœc¹ n. gaów van der Waala. odel twardch kul Rowa am klacn uk³ad ednakowch c¹tek w obêtoœc V ak³ada¹c tnene odda³wañ mêd nm. amltonan takego uk³adu mo na wraæ natêu¹co: K Ω... gde K m waemne odda³wana r cm w w r r. okreœla energê c¹tek natomat Ω... < w wra a ch

7 8. Klacne formu³owane agadnena Stwerdene. C¹tk lub atom twor¹ce ewne ubtance mo na uwa aæ a twarde kule. Odda³wane takch c¹tek na ma³ch odleg³oœcach cechue tnene ³ odcha¹cch a którch wtêowane odowedalne et nakrwane ê funkc falowch elektronów walencnch odda³u¹cch c¹tek. a nenacne wêkch odleg³oœcach w odda³wanu c¹tek oawa¹ ê ³ rc¹ga¹ce wane ³am van der Waala. PRZYK AD warde kule o romenu a otocone otenca³em rc¹ga¹cm o ogranconm aêgu r o g³êbokoœc ε wówca gd r a w r gd r r ora ε < w r < gd a < r < r o o wr a r o ε r R... odelowe odda³wane wr o aêgu r o g³êbokoœc e Stwerdene. Choca areentowane odda³wane et modelowe to odobne otenca³ rc¹ga¹ce o ogranconm aêgu koñcone g³êbokoœc ¹ otkane w rrode. Stwerdene. O uk³ade mówm e et chaoem molekularnm gd w wnku dereñ c¹tek brak et korelac mêd r t v t. Wówca rêdkoœc c¹tek v t nadu¹cch ê w o³o enu r t mog¹ bæ dowolne. Suma tattcna Zak³adam e elementarne w³anoœc k³adnków uk³adu ¹ nane otrafm wnacæ umê tattcn¹. Umo lwa to wnacene arametrów termodnamcnch rowa anch uk³adów. Ponewa recwte uk³ad ¹ komlkowane w rowa anach toue ê ró nego tu urocena ograncone do ewnch model uk³adów fcnch ak n. model twardch kul.

8 9 Klacna uma tattcna wra a ê natêu¹co: Q V 3 3 3! Ω K q e d d h ! q q m q e d e h d Ω gde: k q wó³rêdne uogólnone êd uogólnone ora Ponewa erw¹ otrmanch ca³ek mo na wnacæ analtcne t. m m m d e h mk e e d d h e h d I gde m π e d a atem 3 mk I π h ora wrowada¹c termcn¹ d³ugoœæ fal c¹tk mk πh λ ca³kê tê aue ê w otac I 3 λ a t¹d Q V ! qe d Ω λ Ponadto dla rmue ê e Q V. Wówca welka uma tattcna ma otaæ: 3 3! V qe d Q Ω λ Ξ Stwerdene. Równane tanu w otac arametrcne et okreœlone natêu¹co: ln ln V V V v V V P Ξ Ξ. Klacne formu³owane agadnena

9 . Klacne formu³owane agadnena Zaadnce równane tanu okreœla¹ce Pv owtae o welmnowanu aktwnoœc równañ arametrcnch. Z drugego równana nale wnacæ v v a natêne v wówca o wtawenu v do erwego równana otrmue ê cœnene P Pv w ale noœc edne od obêtoœc w³aœcwe v V/ która et ntenwnm arametrem uk³adu. Uwaga. W równanu tanu w otac arametrcne amat aktwnoœc e µ wrowadæ otenca³ chemcn µ. mo na Preœca faowe Stwerdene. eca ooblwe funkc Pv odowada¹ reœcom faowm. Dlatego badane ale noœc funkc Pv dla utalone obêtoœc V ma na celu okreœlene e neanaltcnoœc. Stwerdene. W koñcone obêtoœc V mo na gromadæ co naw e m V c¹tek 4 3 gd obêtoœæ ka de nch wno 3 π a. Gd > m V wówca co namne dwe c¹tk mu¹ ê renkaæ odleg³oœæ mêd nm d < a. Wówca otenca³ wd/ a t¹d d w 3 Ω 3 < > 3 q e d q e d q e co owodue e Q V dla > m V gd Ω. Stwerdene. Ooblwoœc równana tanu wtêu¹ gd Ξ V gd wówca otenca³ termodnamcn Ω V k ln Ξ V o¹ga wartoœæ nekoñcon¹. Stwerdene. Dla koñconch obêtoœc V welka uma tattcna ma otaæ: V Ξ Q V Q V... cl et to uma k³ada¹ca ê e koñcone lcb dodatnch k³adnków gd e µ > Q V ora Q V > dla m. Ponewa ΞV et welomanem tona m ΞV > wêc ne mo e meæ recwtch dodatnch erwatków. Wnka t¹d e dla koñconch obêtoœc V ne ma reœæ faowch. m Q m V Stwerdene. Dla koñconch obêtoœc V równane tanu w otac arametrcne ma otaæ:

10 ]... ln[ V Q V Q V Q V Q V Q V Q V v V Q V Q V P m m m m m m m Pred³u ene analtcne Stwerdene. Je el r¹æ e aktwnoœæ et lcb¹ eolon¹ C to P v ¹ funkcam analtcnm w ewnm obare ³acn eolone C któr obemue ó³oœ recwt¹ dodatn¹ gde >. Jet to red³u ene analtcne funkc P v oa dodatn¹ ó³oœ R. Stwerdene. Z analtcnoœc funkc v wnka e et ona odwracalna funkca v et atem te analtcna. Ponewa P et analtcna wêc Pv Pv et te analtcna. Stwerdene. Zachod¹ natêu¹ce relace: P dla R. D o w ó d. Ponewa ]... ln[ V Q V Q V P m m ora > µ e Q V > dla m wêc ln[ wra dodatne] a t¹d P. < v V m obêtoœæ w³aœcwa et ograncona do³u. Dowód. Obêtoœæ w³aœcwa V v ora m dla... m t¹d V V m < v V m. v v P warunek tablnoœc uk³adu. Dowód. v v v v v P v P gd ln ln V V v V V P Ξ Ξ wêc P v P v.. Klacne formu³owane agadnena

11 . Klacne formu³owane agadnena Ponadto v v v v V v < > V < n > gd < > Ξ Q Q Q Q Ξ < > < > < >. Ξ Ponewa < > < > < >< > < > < > < > P v v V < > 3 wêc [ ] v v Uwaga. Otrmane równane et tak e ³une dla radku kwantowego. Granca termodnamcna Stwerdene. Uk³ad oota¹c w tane równowag termodnamcne et owan re klka welkoœc arametrów termodnamcnch które mog¹ bæ otrmwane ako ochodne otenca³u termodnamcnego ΩV k ln Ξ V. Cech¹ charakteru¹c¹ arametr ektenwne take ak obêtoœæ entroa energa wobodna et to e ch wartoœc ¹ wrot roorconalne do lcb elementarnch k³adnków twor¹cch uk³ad. Parametr ntenwne take ak temeratura cœnene gêtoœæ oota¹ nemenone dla owêkone lcb elementarnch k³adnków. Stwerdene. Welkoœc termodnamcne w ewnch obarach ¹ c¹g³m funkcam arametrów tanu. W unktach odowada¹cch reœcom faowm dona¹ one mne lub barde gwa³townch man oawa¹ ê ooblwoœc reta¹ bæ funkcam c¹g³m takch arametrów tanu ak temeratura c gêtoœæ. Prowad do wnoku e ownn tneæ ewne ograncena co do charakteru waemnego odda³wana elementarnch k³adnków uk³adu wr < a w rowa anach uk³ad nale traktowaæ ako dotatecne du tak ab mo na b³o dokonwaæ reœca V r cm gêtoœæ /V ootae ta³a. ake reœce grancne nawam reœcem do granc termodnamcne or. rod. 6..

12 . Klacne formu³owane agadnena 3 Uwaga. Preœce do granc termodnamcne onaca e gd V tounek /V ootae ta³. Jet to atem reœce edn¹ ta³¹ do nekoñconoœc n. V gd wówca cont V. ale amêtaæ e take reœce ne et równowa - ne adnemu reœæ: lm... lm... lub lm... lm... które ame mog¹ bæ V V neremenne. Stwerdene. Ab uawnæ mo lwoœæ wtêowana reœca faowego be awnego wnacena um tattcne nale reœæ do granc termodnamcne. Parametrcne równane tanu ma wówca otaæ: P lm ln Ξ V V lm V ln Ξ V v V V gde V gd V/ cont. Zauwa m e matematcne oerace lm mog¹ V bæ neremenne wówca P. v Stwerdene. Ooblwoœc równana tanu oawa¹ce ê w granc termodnamcne nale uto amaæ reœcam faowm. Dlatego reœca faowe tne¹ tlko w nekoñconch uk³adach.

13 4. EORIA YAGA I LEE werdena Yanga Lee faa ednorodna reœca faowe twerdena teor Yanga Lee wbrane rk³ad równañ tanu ermodnamka fenomenologcna tanow nabarde ogóln formalm umo lwa¹c makrokoow o uk³adów welu ca³ awk nm w¹anch. Poêce fa ora e mana w¹ e ê œcœle w³anoœcam makrokoowm mo na e traktowaæ w kategorach akoœcowch ale mechanm reman et w¹an uk³adem welu ca³. Wele odtawowch nformac o achowanu ê uk³adu w okolc unktu krtcnego a wêc o reœcach faowch mo na ukaæ na odtawe rowa añ na oome teor fenomenologcnch. Ab naleÿæ fcne rcn wtêowana reœæ faowch w uk³adach welu ca³ nale êgaæ do odtawowe metod nterretacne ak¹ w tm radku et fka tattcna. Stwerdene. Dla uk³adów klacnch lub kwantowch gd obêtoœæ et koñcona V < choca bardo du a ne oberwue ê ooblwoœc w równanu tanu t. ΞV ne ma dodatnch erwatków R. atomat w ³acŸne eolone C tnee m erwatków eolonch C gde... m którch lcba roœne gd wêka ê obêtoœæ V. W granc termodnamcne atem lcba erwatków eolonch d¹ do nekoñconoœc ewen nekoñcon odc¹g tch erwatków mo e okaaæ ê be n do dodatne o recwte t. gd V... n C n wówca tnee odc¹g n R. Stwerdene. Recwte dodatne erwatk welke um tattcne mog¹ oawæ ê w³¹cne o reœcu do granc termodnamcne. Ich obecnoœæ mlkue tnene unktów w którch otenca³ termodnamcn retae bæ funkc¹ analtcn¹. Utalene otac neanaltcnoœc wtêu¹cch w tch unktach owala okreœlæ roda reœca faowego.

14 . eora Yanga Lee 5 Defnca Obar fa ednorodne ech obar S le ¹c na ³acŸne eolone bêde obarem otwartm obemu¹cm ceœæ o recwte dodatne R dla dowolnego V ΞV ne ma erwatków na tm obare t. ΞV dla S to obar ten odowada fae ednorodne. Stwerdene. Dla danego ΞV mo e tneæ wele obarów S fa ednorodne. Wówca r remecanu ê od ednego do drugego obaru S wd³u o R achod¹ reœca faowe. R... Obar S 3... fa ednorodne w ³acŸne eolone C. Wkaane tra³kam unkt R odowada¹ reœcom faowm WIERDZEIE YAGA I LEE I dotc R Granca termodnamcna wra ena lm [ V ln Ξ V ] tnee awe dla wtkch R V ne ale od wboru oobu reœca do granc termodnamcne. Otrmane wra ene et c¹g³¹ nemale¹c¹ funkc¹ arametru. Uwaga. Otrmana funkca ne mu bæ funkc¹ analtcn¹ cl ró nckowalna nekoñcene wele ra. W dowode twerdena onadto ak³ada ê e owerchna S otaca¹ca obêtoœæ V ne roœne bce n obêtoœæ odneona do otêg /3. W radku reœæ do granc termodnamcne gd uk³ad ma kta³t regularn n. rotoad³oœcanu lub kul S ~ V /3. WIERDZEIE YAGA I LEE II dotc C ech S bêde obarem otwartm na ³acŸne eolone C obemu¹cm ewn¹ cêœæ dodatne ó³o recwte R któr dla dowolne obêtoœc V ne awera adnego erwatka równana Ξ V. Dla ka dego S wra ene V ln ΞV et be ne ednotane do ewne granc gd V t.

15 6 ln lm F V V V Ξ gde funkca F et analtcna dla wtkch S. Stwerdene. Faa to bór tanów termodnamcnch odowada¹cch tm wartoœcom które le ¹ w obare S na o R. Stwerdene. Dla takch obarów fa ednorodne S którch mo e tneæ wele awe e³nona et ale noœæ ln lm S F V V V Ξ a funkce F ¹ ró nm funkcam analtcnm okreœlonm odowedno w obarach S. Stwerdene. Ponewa w obarach ednofaowch S funkce F ¹ analtcne co aewna e oerace V lm ¹ remenne równane tanu otrmane w granc termodnamcne dla R ma otaæ F v F P które wnka¹ natêu¹ce w³anoœc arametrów uk³adu w fae ednorodne: onewa F et nemale¹c¹ funkc¹ R v F a t¹d v P. o reœcu obaru < o do obaru > o funkca v ne mo e maleæ gd dla dowolnch koñconch obêtoœc V achod relaca or.. ln V V V V V v Ξ a atem v. eora Yanga Lee

16 . eora Yanga Lee 7 P P P onewa v v v v wêc wobec odanch relac et P e³non warunek tablnoœc uk³adu. v Stwerdene. Je el R < to v v lub odowedno. v v. Wbrane rk³ad równañ tanu I. ech tnee tlko eden obar S któr obemue ca³¹ ó³oœ recwt¹ R. ak uk³ad et awe w obare edne fa et to uk³ad ednofaow. Ponewa P ora wêc orentacne row¹ana grafcne dla takego v uk³adu ma¹ otaæ redtawon¹ na runku.. a b c P _ v Pv v R... Cœnene ron¹ca analtcna funkca a odwrotnoœæ obêtoœc w³aœcwe ron¹ca analtcna funkca b cœnene male¹ca analtcna funkca v c II. ech uk³ad ma eden unkt R tanow¹c grancê row¹añ równana Ξ V gd V. ak uk³ad ma dwe fa odowada¹ce < > a w unkce achod reœce faowe. W obarach S S funkce F F ¹ analtcne funkca P et atem c¹g³a w. Gd erwa ochodna P ma w tm unkce P kok a onadto ora wówca orentacne row¹ana v grafcne dla takego uk³adu ma¹ otaæ odan¹ na runku.3.

17 8. eora Yanga Lee a b c P _ v Pv v v v R..3. Cœnene ron¹ca c¹g³a funkca a odwrotnoœæ obêtoœc w³aœcwe ron¹ca funkca która w unkce oada kok b cœnene male¹ca funkca v która rmue ta³¹ wartoœæ dla reœca faowego c III. ech uk³ad ma eden unkt R tanow¹c grancê row¹añ równana ΞV gd V. ak uk³ad ma dwe fa odowada¹ce < > a w unkce achod reœce faowe. W obarach S S funkce F F ¹ analtcne funkca P atem et c¹g³a w. Gd erwa ochodna P et P c¹g³a a druga ochodna ma w tm unkce kok a onadto ora wówca orentacne row¹ana grafcne dla takego uk³adu ma¹ v otaæ redtawon¹ na runku.4. a b c P _ v Pv v v R..4. Cœnene ron¹ca c¹g³a funkca a odwrotnoœæ obêtoœc w³aœcwe ron¹ca c¹g³a funkca która w unkce et neanaltcna b cœnene male¹ca funkca v która w unkce v et neanaltcna c

18 . eora Yanga Lee 9 Stwerdene. Z redtawonch rowa añ wnka e welka uma tattcna ΞV ora otenca³ termodnamcn Ω V k ln Ξ V ¹ funkcam analtcnm dla uk³adów koñconch V <. Stuaca et towa w teor awk krtcnch w które wkle okaue ê e otenca³ termodnamcne uk³adów koñconch ¹ funkcam analtcnm odowednch mennch. Dlatego w uk³adach koñconch ne mog¹ achodæ reœca faowe roumane ako reœca uk³adu re unkt w którch otenca³ termodnamcn et neanaltcn. Ponewa obekt badawce tu makrokoowego k³ada¹ ê bardo du e lcb c¹tek nale ocekwaæ e ch w³anoœc ¹ bl one do w³anoœc hotetcnch uk³adów nekoñconch. Dlatego te w badanach rowadonch na grunce fk tattcne uka ê mo lwoœc wt¹ena reœæ faowch w matematcnm ene w³¹cne w grancnm radku uk³adów nekoñconch rechod¹c do granc termodnamcne. Komentar. W celu otwerdena takego odeœca Yang Lee badal reœce do granc termodnamcne roatru¹c welk rok³ad kanoncn dla boru c¹tek twor¹cch ga ecow ogranca¹c rowa ana w³¹cne do odda³wañ dwuc¹tkowch r otencale tu twardch kul co nacne uroœc³o dowód. Podobne rowa ana rerowadone re Yanga Lee ora Jonea dotc¹ce tnena o³o- ena er um tattcne lub welke um tattcne w ³acŸne eolone /k owol³ wkaaæ e w radku reœca do granc termodnamcne era te mog¹ tworæ unkt kuena a nawet lne. Punkt na ³acŸne eolone w którm lna takch er recna oœ recwt¹ odowada reœcu faowemu wrot okreœla temeraturê c /k c takego reœca.

19 3. PRZEIAY FAZOWE Klafkaca Ehrenfeta faa gaowa relace eera twerdene van ove a Preman faowe tanow¹ obern¹ dednê fk wc¹ bardo dnamcne rowa¹c¹ ê a na ch nacene k³ada ê wele cnnków. Premana faowa ³¹c ê e kokow¹ man¹ edne lub klku welkoœc fcnch a cêto nawet totn¹ man¹ w³aœcwoœc fcnch uk³adu ak n. mana tanu kuena ank ooru elektrcnego oawene ê ontancne magnetac wele nnch. ak totne man w³anoœc makrokoowch uk³adu ¹ mo lwe dêk temu e o reœcu faowm decdu¹ ³o one awka w którch ucetnc¹ wtke k³adnk twor¹ce uk³ad t. atom on c¹teck t. Z tego te owodu w teoretcnch rowa anach odno¹cch ê do reœæ faowch nale a³ob uwglêdnaæ odda³wana mêd wtkm k³adnkam uk³adu co rowad do aadncch komlkac ale otwera nowe horont badañ. Wtko to tanow o atrakcnoœc roblematk w¹ane reœcam faowm a tak e e awkam krtcnm blko okrewnonm remanam faowm. W towch badanach wró na ê reœca faowe erwego drugego rodau. Perwe nch to nane codennego doœwadcena man tanu kuena: tonene arowane ublmaca natomat reœca faowe drugego rodau to kokowe man nnch w³anoœc ca³ ta³ch cec rebega¹ce be man tanu kuena. S¹ to reman truktur krtalcne truktur magnetcne elektrcne lekoœc t. Choæ ne towar m mana obêtoœc róbk an wdelane ce³a to wkle ednak kokowo mena ê ch ce³o w³aœcwe które et edn¹ welkoœc nabarde reagu¹cch na reman faowe. Klafkaca reœæ faowch Ehrenfeta Stwerdene. Z regu³ fa Gbba: n f gde f et lcb¹ fa w tane równowag faowe uk³adu o n k³adnkach neale nch ntenwnch arametrach tanu t. neale nch tonach wobod wnka e lcba fa bêd¹cch w równowade ne mo e rekracaæ lcb k³adnków wêkone o. Ponewa raktcnego teore-

20 3. Preman faowe tcnego unktu wdena nawa nee ¹ reœca faowe w uk³adach ctch ednok³adnkowch roatrwana klafkaca reœæ faowch odno ê w³¹cne do uk³adów ednok³adnkowch n. W takch uk³adach mog¹ wó³tneæ dwe fa f gd lcba ton wobod ora tr fa f 3 gd lcba ton wobod. Stwerdene. Potenca³em termodnamcnm w³aœcwm do badana reœæ faowch et molarn otenca³ Gbba g g X ale n w³¹cne od arametrów ntenwnch n. g P lub g któr e³na równane G X g X gde G X et otenca³em Gbba a okreœla lcbê mol k³adnka twor¹cego uk³ad. olarn otenca³ Gbba et w toce otenca³em chemcnm. Klafkaca Ehrenfeta Preœce faowe et n-tego rodau e el dla dwóch ró nch fa wtke ochodne g X rêdu k w unkce reœca faowego ¹ równe dla k... n t. k k g g k k k k g g k k X X ora dla n-te ochodne achod: n n g g n n lub n n g g n n X X r cm wtarc ab b³a e³nona tlko edna tch nerównoœc. Stwerdene. Pr reœcu faowm I rodau uk³ad wdela lub och³ana ce³o. Jet to tw. ce³o reman lub ce³o utaone. W³anoœæ tê ró n¹c¹ reœca faowe I rodau od reœæ faowch w ch rodaów dla którch ce³o reman et równe eru unae ê a odtawow¹ gd mo na to rawdæ ekermentalne. Stwerdene. Równane ró nckowe krwe równowag fa r reœcach I rodau nawa ê równanem Clauua-Claerona ma otaæ: dx q d gde q et molarnm ce³em reman a et utalonm dla ka de fa molekularnm arametrem tanu termodnamcne rê onm do arametru X t. takm eb locn X ma³ wmar energ n. et równe V/ dla P lub / dla. Stou¹c regu³ê de L otala równana Clauua Claerona otrmue ê analogcn¹ relacê dla reœæ faowch II rodau która ma otaæ:

21 3. Preman faowe dx d X X q gde et molarn¹ entro¹ ochodne X amoœc awella. nale utalæ korta¹c to - X Stwerdene. Klafkacê Ehrenfeta mo na toowaæ do reœæ faowch wnka¹cch neanaltcnoœc otenca³u termodnamcnego dentfkowanch w teor Yanga Lee. W rowa anch uk³adach temeratura /k et ta³a. Ponewa µ g wêc ln g a t¹d dg d. Z druge tron ró ncka dg d vdp redukue ê g do otac dg vdp gd cont. Korta¹c obu formu³ otrmue ê v ora P a t¹d P P P v g P v Gd funkca P g ma atem kok wówca et nec¹g³a ora ochodna et v P tak e nec¹g³a co onaca e taka neooblwoœæ odowada reœcu faowemu I rodau. Wnoek. Omówone w rodale reœca faowe w wbranch rk³adach równañ tanu II III ¹ odowedno reœcam faowm erwego drugego rodau. Faa gaowa odeœce eera Stwerdene. W obare ednorodne fa gd obar S obemue unkt wówca odowada on fae gaowe t. woke temerature ma³e gêtoœc. Ponewa funkca F et analtcna w otocenu mo na ¹ rown¹æ w ereg otêgow równane tanu wraæ w natêu¹ce forme:

22 3. Preman faowe 3 P λ v λ 3 l l 3 l l lb l l b gde bl lm bl V ¹ bewmarowe a λ et termcn¹ d³ugoœc¹ fal. V Cœnene P w fae ednorodne et funkc¹ analtcn¹ a w obare reœca faowego I rodau rmue ta³¹ wartoœæ co owodue e ereg b be n l ograncon dla > o ego wartoœæ et raktcne ta³a. atomat ab obêtoœæ v mog³a d¹ æ do era wartoœæ eregu lb dla du ch > o ne mo e bæ ograncona. W radku ma³ch «równane tanu redukue ê do otac l P b 3 λ b v Pv 3 λ które wnka e w obare tm otrmane równane et dentcne równanem tanu klacnego gau dokona³ego. a odtawe otrmanch relac mo na twerdæ e oterm dla uk³adu rêtego re eera ma¹ otaæ redtawon¹ na runku 3.. Stwerdene. Je el relace eera ¹ orawne a rownêce wralne et ³une dla wtkch > to oterma ownna meæ kta³t ak na runku. Jednak e tak rebeg oterm et nefcn gd dla v cœnene Pv mu ron¹æ. W odeœcu l l l l Pv v v o v R. 3.. Ioterma fa gaowe w odeœcu eera. Dla v < v o wartoœæ cœnena et ta³a. Dla orównana krwa reentue rebeg oterm gaów recwtch

23 4 3. Preman faowe eera w toce achod¹ dwa reœca grancne ora V które ¹ traktowane w oób neale n a atem negodne warunkam reœca do granc termodnamcne gde /V cont. Preœca grancne ora V ¹ onadto w ogólnoœc neremenne. WIERDZEIE VA OVE A. Po reœcu do granc termodnamcne równane tanu w eole kanoncnm et take amo ak w welkm eole kanoncnm. Wnoek. Rowa ana odno¹ce ê do reœæ faowch mog¹ bæ rowadone arowno w eole kanoncnm ak welkm eole kanoncnm ¹ obe równowa ne.

24 5 4. ODELE FERROAGEYZU odele: eenberga Inga XY reœce Koterlta-houlea odowednoœæ waemna modelu Inga gau ecowego temeratura Cure faa cek³a gaowa w³anoœc metr gau ecowego Stwerdene. Roatrwana et eæ krtalcna... n-wmarowa gde w ka - dm kerunków retren n-wmarowe et... n wê³ów lcba atem wê³ów ec cl n. atomów wno n. Ka d wêe³ te ec et obadon c¹tk¹ o ne ró nm od era. aka eæ twor tw. uk³ad nów. Gd w - tm wêÿle ec nadue ê atom o ne to hamltonan uk³adu ma natêu¹c¹ otaæ: < > B J gµ gde erw c³on oue waemne odda³wane nów a drug c³on tw. eemanowk wra a odda³wane uk³adu nów ewnêtrnm olem magnetcnm awca kerowanm wd³u o Z. Smbol <> onaca umê o wtkch mo lwch arach nów g et cnnkem grokoowm Landego µ B to magneton Bohra a J et ca³k¹ wman cl otenca³em odda³wana mêd nam J et dodatna dla ferromagnetków J et uemna dla antferromagnetków. acêœce okreœla ê ¹ fenomenologcne co owala modelowaæ agadnene. Stwerdene. Wartoœæ ca³k wman w totn oób ale od waemne odleg³oœc wê³ów. Stoue ê rbl ena kolench t... n-tch ¹adów. W raktce ednak rmue ê e et to odda³wane krótkoaêgowe którego otenca³ malee bce n /r ora e J et ró ne od era edne dla ar nabl ch ¹adów. Ilocn kalarn mo na wraæ natêu¹co:

25 6 Sn elektronu ½ natomat w radku atomów regu³ undta aewna¹ e ch ca³kowt n et ma³ cêto mo na go rowadæ do wartoœc ½. Wted k³adowe oeratora nu mo na wraæ a omoc¹ macer Paulego w oób: α α gde α ] [ ] [ lub awne Stwerdene. odel eenberga et modelem otroowm tn. odda³wane nów et take amo dla -owe k³adowe nu. Pewnm uogólnenem tego modelu et model anotroow w którm hamltonan ma otaæ: > < α α α µ B g J gde α ora k³adowe oeratora nu ne komutu¹ e ob¹ gd γ αγ α ε δ ] [ amltonan ten mo na rowadæ do o g³ównch uk³adu wówca rbera on otaæ: > < B g J J J µ } { Stwerdene. Dla ferromagnetków roatrue ê natêu¹ce rbl ena: model otroow cl model eenberga gd wtke k³adowe ca³k wman ¹ obe równe J J α wówca hamltonan ma otaæ: > < B g J µ model lne anotroow orentowan w kerunku tw. model Inga w którm ak³ada ê e k³adowe J ora J ca³k wman ¹ ma³e do omnêca wówca hamltonan redukue ê do otac: 4. odele ferromagnetmu

26 4. odele ferromagnetmu 7 J gµ < > B gde J J W tm radku rmue tlko dwe wartoœc t. ±½. Cêto oma ê tak e górn wkaÿnk wówca hamltonan ukue formê: J g µ < > B Efekt kwantowe w¹ane w³anoœcam remennoœc oeratorów k³adowch nów ne w³wa¹ u w tm radku na dale rowa ana. Ilutrue to runek 4.. odel ten et w³aœcw do ou uk³adów o lne anotro w ednm kerunku. R. 4.. Prk³adow rok³ad nów w dwuwmarowm modelu Inga model XY gd mo na omn¹æ odda³wane k³adowch -owch nu odca gd k³adowe ora wno¹ totn wk³ad do hamltonanu a odda³wane ch et anotroowe wówca hamltonan ma otaæ: < > J [ η η ] gµ gde J J J ora J J η J J. odel ten toue ê do ou reœca Koterlta houlea uor¹dkowana blkego aêgu w dwuwmarowch uk³adach ak n. wr w cenkch wartwach nadrewodnka lub te k³a nowe nne. Stwerdene. Zareentowane modele mog¹ bæ roatrwane ako welowmarowe modele oane na ecach welowmarowch ednak e dok³adne analtcne row¹ana otrmue ê edne dla uk³adów ednowmarowch D ora caam dla uk³a- B

27 8 4. odele ferromagnetmu dów dwuwmarowch D. W oota³ch radkach nale toowaæ oblcena numercne. W ka dm radku oerator nu ¹ brane w retren trówmarowe 3D ak w modelu eenberga lub w retren ednowmarowe D ak w modelu Inga. Ga ecowe ech eæ krtalcna ma wê³ów r cm w ka dm wêÿle mo e ale ne mu bæ lokalowana c¹tka tn. ka d wêe³ mo e bæ obadon lub ne. ech arametr obadena -tego wê³a et okreœlon natêu¹co: gd w wêÿle et c¹tka r cm n gd w wêÿle c¹tk ne ma Onacm re ε energê odda³wana c¹tek oadonch w wê³ach -tm -tm wówca hamltonan okreœla¹c energê uk³adu E ma otaæ: ε < > gde c³on w¹an drganam w³anm c¹tek ota³ omnêt. ego tu uk³ad nawan et gaem ecowm. R. 4.. Rolokowane atomów w wê³ach ec Stwerdene. odel gau ecowego ³u równe do ou rotworu lub tou dwuk³adnkowego wówca wê³ ¹ obadane re atom dwóch erwatków A B to A ora B lub A B.

28 4. odele ferromagnetmu 9 Stwerdene. Energa uk³adu dwuk³adnkowego ma otaæ: E d { ε AA A < > ε BB B B} A ε AB[ A B B A] r cm energe odda³wana atomu A lokalowanego w wêÿle atomem B lokalowanm w wêÿle ¹ obe równe co wnka metr odda³wana t. ε AB ε BA. Stwerdene. W radku dowolnego romecena dwóch tów atomów w ec mo na r¹æ e A B wêc B A a t¹d energê odda³wana mo na reaæ natêu¹co: E d < > < > [ε AB ε AA ε BB] A [ ε AA A ε BB B ] B < > ε BB Ponewa drug c³on wra ena na energê ne ale od romecena atomów A B w ec gd ka d atom A ka d atom B odda³ue wtkm wê³am ec wêc c³on ten et ta³ tak amo ak c³on trec dlatego ¹ one omane w dalch rowa anach. Stwerdene. Uk³ad dwuk³adnkow et równowa n gaow ecowemu gde n atomów ednego k³adnka odowada gaow ecowemu n atomów drugego k³adnka odowada ne obadonm wê³om gau ecowego. atomat reœce atomu wê³a do nnego ne obadonego wê³a odowada retawenu dwóch atomów ró - nego tu. Zauwa m e gd ara atomów A B oawa ê w wê³ach wówca energa mena ê o wartoœæ [ε AB ε AA ε BB]. PRZYK AD Zman trukturalne w toach. Rowa m to dwuk³adnkow ³o onego atomów tu A B. Preœce faowe w takm uk³ade olega na mane truktur neuor¹dkowane na uor¹dkowan¹ lub odwrotne. Zak³adam e lcba atomów A et równa lcbe atomów B wno lcba atem wtkch wê³ów ec krtalcne dotênch dla obu tów atomów et równa. ak to wkaue ró n toeñ uor¹dkowana. W woke temerature romecene atomów et ue³ne radkowe w marê aœ obn ana temeratur toeñ uor¹dkowana wrata a do e³nego uor¹dkowana gd w wê³ach ka de odec nadu¹ ê atom tlko ednego tu.

29 3 4. odele ferromagnetmu a b R Sto uor¹dkowan a neuor¹dkowan b. atom t A l atom tu B W tane ca³kowce uor¹dkowanm atom A amu¹ edn¹ odeæ atom B drug¹. W tane neuor¹dkowanm atom obu tów nadu¹ ê w obu odecach. Dla okreœlena tona uor¹dkowana dalekego aêgu wrowada ê arametr d któr okreœla u³amek ca³kowte lcb atomów A lub B obada¹cch wê³ w woe odec. Stanow e³nego uor¹dkowana odowada wartoœæ d natomat e³nego neuor¹dkowana d /. Ponewa wgodne et o³ugwaæ ê arametrem mena¹cm ê w akree od do okreœla¹cm rawdoodobeñtwo wrowada ê arametr l [] wówca d l/. Lcba A atomów A obada¹cch wê³ odec A wno atem l A ora l B Ab okreœlæ energê E d uk³adu wrowada ê tr arametr energetcne ε AA ε AB ε BB okreœla¹ce energe odda³wana dwóch odowednch atomów ¹adu¹cch e ob¹ ora ak³ada ê e odda³wana atomów ne bêd¹cch nabl m ¹adam mo na omn¹æ. Wówca E d AA ε ε AA BB BB AB ε AB gde lcbê ar AA atomów tu A oblca ê w natêu¹c oób: atom A nadu¹c ê w odec A ma nabl ch ¹adów nale ¹cch do odec B r cm atom A wtêu¹ rawdoodobeñtwem l a atem AA l l ora AA BB Lcba ar meanch wnacona w analogcn oób wno AB [ l l ] wówca energa E d otrmue otaæ

30 4. odele ferromagnetmu 3 E d gde E E l E ε AB ε AA ε AB ora E ε AB ε AA ε AB E d et kwadratow¹ funkc¹ arametru uor¹dkowana l r cm et to funkca ron¹ca gd E > male¹ca gd E <. Gd E > E d o¹ga wartoœæ mnmaln¹ dla l cl dla tanu neuor¹dkowanego natomat gd E < mnmalna wartoœæ energ wewnêtrne et o¹gana dla l cl w tane e³nego uor¹dkowana. W temerature ow e era bewglêdnego nale rowa aæ energê wobodn¹ F E S. Entroê uk³adu S okreœla ê defnc¹ Boltmanna. Jeœl w odec o wê³ach nadue ê A atomów tu A to mo na e ro³o æ na oobów. A Entroa atem wno S k ln S k[ lln l l ln l] A gde wkortano wór Strlnga a wra ne awera¹ce arametru l twor¹ ta³ c³on S którego awna otaæ ne et otrebna. Entroa et monotoncne male¹c¹ funkc¹ l od wartoœc S S dla l do wartoœc S S k ln dla l. St¹d energa wobodna uk³adu et natêu¹c¹ funkc¹ arametru l: F F E l k[ l ln l lln l] wêc r utalone temerature tablna bêde ta konfguraca makrokoowa dla które F o¹ga mnmum ako funkca l a atem df dl l E l k ln l Otrman reultat umo lwa okreœlene tona uor¹dkowana l w ale noœc od temeratur odowada¹c tablne konfgurac uk³adu. Ponewa drug k³adnk odanego równana et awe dodatn warunkem konecnm tnena neerowch row¹añ et ab erw k³adnk b³ uemn co et równowa ne warunkow: E < lub ε AB < ε AA ε BB a atem waemne odda³wane atomów ró nch mu bæ ³abe od œredne artmetcne odda³wañ omêd atomam ednakowm.

31 3 4. odele ferromagnetmu Ab okreœlæ temeraturê reœca w które l nale otrman logartm rown¹æ w ereg achowu¹c tlko lnow¹ cêœæ rownêca. Wówca o urocenu re l otrmue ê c E k Z ow ego woru mo na wnacæ E korta¹c wartoœc c okreœlone ekermentalne. emeratura krtcna et atem beoœredn¹ mar¹ arametru energetcnego E któr ota³ wrowadon w trakce rowa añ nad energ¹ wewnêtrn¹ tou. Ab utalæ ale noœæ tona uor¹dkowana od temeratur w obare temeratur c nale o³u æ ê rownêcem logartmu w ereg achowanem natênego wrau rownêca t.: l ln l l l 3 wówca równana E l k l k l 3 otrmue ê l 3 c Stan uor¹dkowana uk³adu dwuk³adnkowego wtêue gd E < ora < c w uk³adach tch achod reœce faowe. Stwerdene. W uk³adach dwuk³adnkowch a atem w gaach ecowch ¹ mo - lwe reœca faowe. Odowednoœæ waemna gau ecowego modelu Inga Stwerdene. Prmue ê e w gae ecowm lcba wê³ów ec wno n aœ et lcb¹ obada¹cch te wê³ atomów n < wówca n ora energa ec wno

32 4. odele ferromagnetmu 33 E < > ε ε gde ε et energ¹ w³an¹ drgañ atomów w ec. Suma tattcna Z welka uma tattcna Ξ dla gau ecowego ma¹ odowedno otaæ: n Σ n Z e E Ξ n e µ n n Σ n e E µ n Σ n e E k ln gde eε et rcnkem do um tattcne ochod¹cm od drgañ atomu w danm wêÿle ec o którm ak³adam e et neale n od konfgurac otaca¹cch atomów. Parametr µ et otenca³em chemcnm natomat uma Σ n onaca umowane o wtkch rok³adach dla którch lcba obada¹cch wê³ atomów wno n. Stwerdene. O magnetku Inga ak³ada ê e awera nów ± wówca rmu¹c e energa uk³adu otrmue otaæ: E J m < > gde m gµ B /. Suma tattcna et okreœlona worem: Ξ e E { } gde { } onaca umowane o wtkch mo lwch kombnacach rok³adu nów. Stwerdene. Ca³kowta magnetaca uk³adu dana et worem: m wówca m m lub /m gd /m et odowednkem n dla gau ecowego. agnetacê wkortuem do ou rok³adu nów w uk³ade. Sum

33 34 4. odele ferromagnetmu tattcne Z Ξ ¹ równowa ne co onaca e tak e równana tanu o awk ¹ równe waemne równowa ne. Ponewa umowane wkonue ê dla nów to ednak o uwglêdnenu warunku wtkch ch mo lwch rok³adów w ec gde ± wówca tak wêc Ξ dla uk³adu nów et race welk¹ um¹ tattcn¹ odowednkem Ξ dla gau ecowego. Stwerdene. Po odtawenu / gde dla ora dla welka energa gau ecowego otrmue otaæ: E gde µ k ln ε ε < > ε µ ε ε µ k ln k ln ε ora rmue ê e uma ta et be na dla co achod gd ε dotatecne bko dla oddala¹cch ê ar wê³ów <>. Wówca dla dotatecne du ego uk³adu ε et ta³e neale ne od drugego ndeku. Wówca welka uma tattcna wra a ê natêu¹co: ε Ξ e µ k ln Ξ gde E k Ξ e ora E ε ε µ k ln { } < > Stwerdene. Gd obêtoœæ komórk elementarne ec wno obêtoœæ uk³adu V równane tanu ma otaæ Ξ ε Ξ e P µ k ln P e a t¹d k Stwerdene. W gae ecowm œredn¹ lcbê c¹tek <n> okreœla ale noœæ

34 4. odele ferromagnetmu 35 ln Ξ < n > ln Ξ k µ gd d dµ. atomat wra ene otac ln Ξ k µ k Ξ k { } E e k n okreœla lcbê c¹tek gau ecowego omneon¹ o /. Powodue to e ln Ξ n cl k µ Stwerdene. Dla modelu Inga w radku wtêowana ewnêtrnego ola magnetcnego e³none ¹ relace: G G E S µ ora µ Ξ e e k k gde onaca magnetacê a µ otenca³ chemcn. G Ponewa ora G natêu¹co: k ln Ξ wêc magnetaca uk³adu wra a ê a t¹d ln Ξ k m ora m Stwerdene. Odowednoœæ gau ecowego magnetka Inga wnka orównana wra eñ Ξ ' Ξ. Ich uto amene rowad do odowednoœc ocególnch welkoœc charakteru¹cch oba uk³ad co redtawono w tabel 4.. W³anoœc magnetka Inga ma¹ woe odowednk w gae ecowm. Dotc to tak e reœca faowego. Stwerdene. Pon e temeratur Cure c w modelu Inga achod ontancne namagneowane dla oawa¹ ê uor¹dkowane obar fa ferromagnetcne odca gd dla temeratur > c uk³ad et nemagnetcn a rok³ad nów

35 36 4. odele ferromagnetmu abela 4.. Odowednoœæ modelu Inga gau ecowego Parametr uk³adu odel Inga Ga ecow Energa odda³wana J ε agnetaca lcba atomów /m n Energa odda³wana ewnêtrnm olem magnetcnm otenca³ chemcn m ε µ k ln / Potenca³ chemcn µ P ε / µ k ln / Cœnene m µ P ε /4 wkaue e³n chao. W fae ferromagnetcne wartoœæ magnetac na eden n wno mi gd albo mi gd gde I > gd < c. Welkoœæ I I /m okreœla u³amek nów uor¹dkowanch w fae ferromagnetcne. Równane tanu magnetka Inga dla ma ooblwoœæ która wra a tnene reœca faowego. Stwerdene. ech ς aktwnoœæ uogólnona ma otaæ ς e[ µ k ln ] wówca Ξ gde e ε { } < > e ε ς e ε µ k ln Stan gau ecowego odowada¹c radkow w modelu Inga okreœla warunek cl równoœæ ε µ k ln. Se³nene te równoœc rowad do ooblwoœc w równanu tanu a wówca on e temeratur c w gae ecowm et realowan tan wó³tnena dwóch fa t. fa cek³e fa gaowe odowedno o gêtoœcach n l I ora I n g gd warunków odowednoœc wnka relaca n. Ponewa w modelu m Inga I wêc gêtoœæ fa cek³e odowada¹ce fae uor¹dkowane ferromagnetcne ma m otaæ

36 4. odele ferromagnetmu 37 n l m I PRZYK AD Dwuwmarow model Inga odda³wanem nabl ch ¹adów J oan na ec kwadratowe. Yang okaa³ e w takm radku I 4 gde L nh L 8 J k Otrmana relaca umolwa wnacene gêtoœc fa cek³e gaowe gau ecowego ako funkce L. Cœnene P natomat mo na wnacæ korta¹c ednoceœne rownêca Onagera odanego w rod. wówca P k π L ln coh L ln κ n ϕ dϕ π gde κ nh L coh L R Prk³adowa ale noœæ cœnena od obêtoœc w³aœcwe dla gau ecowego. Prbl on rebeg oterm oedncch fa anacono lnam rerwanm W³anoœc metr gau ecowego Stwerdene. Wrowadone onacena: e ε ς ora ς e[ µ k ln ]

37 38 owala¹ traktowaæ welk¹ umê tattcn¹ Ξ' ako funkcê t. > < } { e ε Ξ Funkca ta et nemennca wglêdem aman naku wtkch na gd uma } { uwglêdna wtke mo lwe rok³ad gde ± a atem o amane naku awera ona tak e wtke mo lwe rok³ad. St¹d Ξ Ξ. Stwerdene. Lcba c¹tek gau ecowego defnowana w otac n e³na relace k n ln ln ln Ξ µ Ξ gd > < } { e ln ln ε Ξ Ξ ora ln e wêc ln Stwerdene. Pochodna ln n gd 4. odele ferromagnetmu

38 39 e e ln ln } { } { > < > < n ε Ξ ε Ξ Stwerdene. Suma tattcna Ξ' et art¹ funkc¹ ln gd Ξ Ξ wêc ln e ln e Ξ Ξ. Stwerdene. Wra ene n et neart¹ funkc¹ ln gd n ln ln e ln Ξ et erw¹ ochodn¹ funkc arte o e argumence. Stwerdene. Wra ene n et nemale¹c¹ ron¹c¹ lub ta³¹ funkc¹ ln gd ln n Stwerdene. Ponewa w modelu Inga oawa ê uor¹dkowane tan ferromagnetcn dla < c kok magnetac w unkce wêc dla modelu gau ecowego mu oawæ ê faa cek³a kok gêtoœc c¹tek. Gêtoœæ c¹tek gau ecowego okreœla funkca n ln ln Ξ które mo lwe form redtawono 4. odele ferromagnetmu

39 4 4. odele ferromagnetmu na runku 4.5. Krwa ma kta³t a eœl wra ene n/ et analtcn¹ funkc¹ ln w redale. Gd funkca natomat ma unkt ooblw nec¹g³oœæ to odowedn¹ krw¹ bêde krwa b gde nec¹g³oœæ oawa ê godne twerdenem Lee Yanga w unkce w którm ln. R o lwe form ale noœc n/ od ln dla gau ecowego Stwerdene. Dla wokch temeratur Ξ' redukue ê do otac Ξ która wra a umê tattcn¹ uk³adu neodda³u¹cch c¹tek. W tm radku n/ et analtcn¹ funkc¹ w redale a wêc tak e dla cl ln. Dowód W radku gd w wra enu Ξ e ε { } < > mo na omn¹æ erw c³on k³ad¹c ego wartoœæ równ¹. ake rbl ene odowada omnêcu odda³wañ mêd c¹tkam. Redukue ê ono wówca do otac Ξ { }

40 4 Ponewa mena ê co gd menam ak¹œ wartoœæ na recwn¹ wêc n n n n n n n } { Ξ gd ednakowa wartoœæ mo e bæ realowana na n oobów a atem ln e eln ln Ξ a t¹d ] tanhln [ ln e eln ln e eln ] ln e ln[e ln ln n Otrmane wra ene et analtcn¹ funkc¹ ln w redale dla ln rmue wartoœæ ½. 4. odele ferromagnetmu

41 4 5. RELACJA FERROAGEYK AYFERROAGEYK agnetk Inga magnetaca a arametr uor¹dkowana dalekego aêgu temeratur Cure éela Zaadnca dea modelu nanego obecne ako model Inga ota³a formu³owana w 9 r. ako rot model ferromagnetka re Lena. Len ruca³ e dotatecne lne odda³wane ochodena nemagnetcnego które wró n ako energetcne barde kortne edno mo lwch o³o eñ momentu magnetcnego c¹teck wglêdem e nabl ch ¹adów w krtale ferromagnetcnm ownno rowadæ r braku ewnêtrnego ola magnetcnego do uor¹dkowana momentów magnetcnch w ca³m krtale t. do oawena ê ró nego od era arametru or¹dku. Ing w 95 r. wkona³ analê aroonowanego modelu dla ednowmarowego ³añcucha atomów wkaa³ e w tm radku ne wtêue reœce do tanu uor¹dkowanego w adne temerature ow e era bewglêdnego. en negatwn wnk owodowa³ e o modelu aomnano. Zantereowane modelem oaw³o ê nów gd Peerl wkaa³ e dwu- trwmarowe modele Inga ou¹ awko uor¹dkowana magnetcnego. eco óÿne w 944 r. Onager oda³ dok³adne row¹ane dla dwuwmarowego modelu r erowm olu magnetcnm wkaa³ e tnee mo lwoœæ ou reœæ faowch na grunce teor mkrokoowe. Podtawow¹ alet¹ modelu Inga et ego rotota u³atwa¹ca rowa ana tattcne co równe umo lwa toowane modelu do ou reœæ faowch w nnch uk³adach. Itota odda³wana or¹dku¹cego moment magnetcne ne b³a nana w caach Lena Inga. Wceœne We t³umac³ tnene uor¹dkowana magnetcnego w ferromagnetkach ako efekt da³ana newkle lnego ola wewnêtrnego o nenanm ochodenu. atura tego odda³wana ota³a waœnona doero re eenberga na grunce mechank kwantowe. Za tnene tego odda³wana odowedalne ¹ elektron ow³ok elektronowch atomów którch now moment magnetcn ne et komenowan drugm elektronem w tane kwantowm o te ame g³ówne nowe lcbe kwantowe. Jeœl roatræ uk³ad dwóch takch atomów to aada Paulego wmaga ab funkca falowa b³a antmetrcna wglêdem

42 5. Relaca ferromagnetk antferromagnetk 43 redtawena mennch nowch retrennch. Prowad to do wnoku e energe w³ane uk³adu ¹ ró ne gd nowe moment ¹ równoleg³e lub antrównoleg³e. Onaca to e tnee odda³wane które orentue moment nowe równolegle lub antrównolegle. Stwerdene. W rerowadonch rowa anach roatrwan et model Inga dla którego wmar mo e bæ wbran dowolne. Zak³ada¹c krótkoaêgowoœæ odda³wana mo na r¹æ e wtêue ono edne mêd aram nabl ch ¹adów. Ca³¹ eæ tanow¹ dwa dentcne odtem ec A B. W wê³ach odec A B nadu¹ ê c¹tk którch moment magnetcne mog¹ rmowaæ edne dwa recwne o³o ena ± wglêdem wró nonego w retren kerunku. C¹tk traktowane ¹ oa tm unktowo ¹ twno w¹ane ec¹ krtalcn¹ co onaca e nne tone wobod ne ma¹ totnego w³wu na owane awko. o na wêc mówæ o uk³ade nów romeconch w wê³ach dwóch ec o adane geometr gde nabl ¹ed nadu¹ ê w nne odec. Je el we wtkch wê³ach odec A n albo ora we wtkch wê³ach odec B n albo to uk³ad twor uor¹dkowan tan ferromagnetka. Gd natomat we wtkch wê³ach odec A n albo a we wtkch wê³ach odec B n albo to uk³ad twor uor¹dkowan tan antferromagnetka. R. 5.. Prk³adowe romecene nów dla uk³adu dwuwmarowego w wê³ach odec A B Stwerdene. Energa uk³adu r uwglêdnenu odda³wana nabl ch ¹adów ma otaæ E J < >

43 44 5. Relaca ferromagnetk antferromagnetk gde <> onaca umowane o nabl ch ¹adach r cm n odowada¹ce ndekom mu¹ nale eæ do ró nch odec. Dla ferromagnetka J > a dla antferromagnetka J <. Dla rotch uk³adów regularnch rmue ê e J J et ta³e. Stwerdene. Dla ferromagnetka tanem o nan e energ et tan gd wtke A n w obu odecach ma¹ dentcne utawene n. B albo wówca E J gde J > < > Dla antferromagnetka tanem o nan e energ et tan gd wtke n w ka de odec ma¹ dentcne utawene ale n w ró nch odecach ¹ utawone recwne n. albo A B A B wówca E J J gd J < < > < > Stwerdene. Suma tattcna Ξ e } < > J { gde { } onaca umowane o wtkch mo lwch rok³adach nów w obu odecach et nemennca wglêdem ednocene aman wtkch J J ora w ca³e edne odec A albo B. aka amana wra a reœce od ferromagnetka do antferromagnetka. Stwerdene. Ponewa uma tattcna a wêc równane tanu dla ferromagnetka J > dla antferromagnetka J < ¹ take ame w³anoœc atem F AF ¹ analogcne n. ale noœæ ce³a w³aœcwego od temeratur tnene ooblwoœc okreœlene temeratur reœca faowego. Defnca. Parametr or¹dku et welkoœc¹ ntenwn¹ okreœla tan uor¹dkowana uk³adu. ech A A onaca¹ lcb nów o wartoœc odowedno B B romeconch w odec A a odowedno lcb nów romeconch w odec B wówca arametrem or¹dku et dla:

44 45 ferromagnetka welkoœæ wra a¹ca ontancn¹ magnetacê [ ] B A B A B A m > < antferromagnetka toeñ uor¹dkowana dalekego aêgu w obu odecach [ ] [ ] B B A A B B A A B A S gde B B A A onaca ca³kowt¹ lcbê nów w obu odecach. Stwerdene. Parametr or¹dku dla ferromagnetka <>/m ora antferromagnetka S ale od temeratur d¹ do makmalne wartoœc równe gd. Jet wówca o¹gane w³aœcwe e³ne uor¹dkowane w obu odecach. W radku gd c t. temeratur Cure dla F lub t. temeratur éela dla AF arametr or¹dku d¹ do era brak et uor¹dkowana dalekego aêgu. m S c R. 5.. Zale noœæ arametru or¹dku F <>/m ora AF S od temeratur. Parametr or¹dku nka o o¹gnêcu temeratur krtcne c lub 5. Relaca ferromagnetk antferromagnetk

45 46 6. GRAICA ERODYAICZA W³anoœc analtcne um tattcne r reœcu do granc termodnamcne warunk tablnoœc uk³adu rk³ad oacowana Stwerdene. Uk³ad w tane równowag termodnamcne et owan re arametr ntenwne ektenwne. Parametr ntenwne n. P ρ ne ale ¹ od lcb elementarnch k³adnków arametr ektenwne n. V S F G ¹ roorconalne do lcb c¹tek lub nów t. ogólne do lcb. Stwerdene. Funkce termodnamcne da¹ ê wraæ re ln Z lub ln Ξ n. F k ln Z Ω k ln Ξ lub ch odowedne ochodne n. S k ln Z / t. Stwerdene. Funkce termodnamcne w ocególnch faach uk³adu ¹ analtcnm funkcam ntenwnch arametrów tanu. W unktach reœæ faowch ewne welkoœc termodnamcne reta¹ bæ funkcam c¹g³m ntenwnch arametrów tanu P ρ w wnku reœæ faowch natêu¹ ch gwa³towne man. Stwerdene. Welkoœc termodnamcne ne ale ¹ od rodau eo³u tattcnego u tego do ch wnacena. Defnca Granca termodnamcna et to formalne reœce grancne dotc¹ce lcb c¹tek nów ora obêtoœc V o a³o enu e koncentraca /V ootae ta³a. Stwerdene. Preœce do granc termodnamcne aewna: ednorodnoœæ retrenn¹ uk³adu ora brak efektów w¹anch bregem uk³adu gd neednorodnoœc ta¹ ê ma³e a breg nekoñcene odleg³ oawene ê ooblwoœc w logartme um tattcne nnch welkoœcach termodnamcnch gd tlko V które ¹ odowedalne a reœca faowe.

46 6. Granca termodnamcna 47 PRZYK AD Roatrm model Inga w rbl enu nabl ch ¹adów J J. Suma tattcna dla uk³adu nów ± ma otaæ: Ξ... e J k ± ± < > Zawera ona k³adnków analtcnch gd dla utalonego achod < > gde et lcb¹ nabl ch ¹adów a wêc wartoœæ um dla wtkch ar < > et ograncona nech < > < > wówca Ξ n J An e n k gde gde A n ewna lcba naturalna et funkc¹ analtcn¹ ako koñcona uma funkc analtcnch gd >. Stwerdene. Suma tattcna et analtcn¹ funkc¹ temeratur w¹tkem co owodue newtêowane reœæ faowch doók lcba k³adnków uk³adu et koñcona <. Stwerdene. Ooblwoœc funkc termodnamcnch w ene œc³ch defnc matematcnch mog¹ ê oawæ edne o reœcu do granc termodnamcne. Stwerdene. Recwte uk³ad awe ¹ koñcone gd ¹ budowane e koñcone lcb k³adnków choca mo e bæ bardo du e. Oberwowane cech doœwadcalne w unktach reœæ faowch ¹ dentfkowane re ch ektraolace na odowednk ooblwoœc oawa¹ce ê odca reœca do granc termodnamcne. Stwerdene. Jednorodnoœæ retrenna uk³adu ora brak bregu r reœcu do granc termodnamcne owodu¹ konecnoœæ nak³adana ogranceñ na otenca³ odda³wana k³adnków uk³adu. Stwerdene. Gd ¹ lcbam c¹tek uk³adu nale ¹cch odowedno do oduk³adów I II wówca energa wewnêtrna uk³adu EI II EI EII W gde W

47 48 6. Granca termodnamcna et energ¹ odda³wana oduk³adów I II która wra a efekt bregu. atêu¹ce lemat wrowada¹ ograncena na otenca³ odda³u¹cch k³adnków uk³adu. LEA. Warunek W A r q gde ta³a A et wtarca¹c ab omn¹æ efekt bregu gd r okreœla¹ce namne¹ odleg³oœæ dwóch c¹tek nale ¹cch do oduk³adów I II et du e a wk³adnk q wêk n wmar d retren konfguracne q > d co aewna addtwnoœæ oduk³adów. LEA. Warunek E B gde B owala unkn¹æ efektu gromadena ê c¹tek rowad¹cego do netablnoœc uk³adu ora aewna be noœæ um tattcne. Ponewa E ~ wêc warunek E/ B onaca tnene kreu dolnego energ rada¹ce na edn¹ c¹tkê neale ne od lcb c¹tek uk³adu. PRZYK AD Uk³ad c¹tek ednoatomowch ednego gatunku. Dla takego uk³adu uma tattcna ma otaæ: Z d 3 3! λ V e [ E ] gde λ π h mk et termcn¹ d³ugoœc¹ fal c¹tk ora E B wêc E B. Wówca uma tattcna et ograncona natêu¹co: Z! λ 3 V e B V B e! 3 λ e 3 λ n e B gde n /V cont ora wkortano wór Strlnga! e. St¹d welka uma tattcna która wra a ê: Ξ ς! V 3 d e[ E ] gde ς /λ 3 a et aktwnoœc¹ o uwglêdnenu warunku E B dae ê oacowaæ natêu¹co Ξ ς V! e B [ ς V e B]! e[ ς V e B] Stwerdene. Predtawone oacowana dowod¹ e w radku koñconego uk³adu V < < wartoœc Z ora Ξ ¹ koñcone. e mu to dotcæ granc termo-

48 6. Granca termodnamcna 49 dnamcne. Jednak otrmane wra ena umo lwa¹ oacowane cœnena w granc termodnamcne. Ponewa P wêc F V P ln Z ln Z e lm lm n ln e B < k V V V V 3 λ n gde wkortano regu³ê d otala. Cœnene mo na równe wnacæ oacowaæ formu³ P k ln Ξ lm ς e B < V V Z otrmanch oacowañ wnka atem e wra ena rmu¹ koñcone wartoœc. V Z ln lm V ora ln Ξ lm V V

49 5 7. IEJSCA ZEROWE WIELKIEJ SUY SAYSYCZEJ Pred³u ene analtcne meca erowe welke um tattcne dentfkaca reœca faowego w gae ecowm orównane otenca³em Coulomba w dwuwmarowe retren Stwerdene. Preawem reœca faowego et nec¹g³oœæ albo ooblwoœæ w równanu tanu badanego uk³adu. Rowa anm obektem et uk³ad odda³u¹cch c¹tek awartch w nacnu o obêtoœc V dla którch otenca³ odda³wana vr charakterue ê koñconm aêgem r twnm rdenem ³ odcha¹cch o œrednc a ma natêu¹c¹ otaæ or. rod. : gd r < a v r ora v vr gd a r r gd r < r Powodue to e w obêtoœc V mo e nadowaæ ê co naw e m V c¹tek gd dla > m V co namne dwe c¹tk bêd¹ ê tka³ wówca klacna uma tattcna et równa eru t. Q V dla > m V atem welka uma tattcna rowa anego uk³adu ma otaæ Ξ V V m gde Q V ora Q Q V 3! d λ V 3 e Ω... > m Ξ V Q V Q V... Q V m

50 7. eca erowe welke um tattcne 5 et welomanem tona m m V < menne. Ponewa wtke wó³cnnk welomanu ¹ dodatne Q V > ora e µ R równane ΞV ne ma erwatków wœród recwtch dodatnch. Stwerdene. Pred³u ene analtcne funkc ΞV na ca³¹ ³acnê eolon¹ C aewna e równane ΞV ma m V erwatków... C. Wówca m welk¹ umê tattcn¹ ΞV mo na redtawæ w otac: V m Ξ V Otrmane wra ene umo lwa okreœlene cœnena w granc termodnamcne w natêu¹ce forme: P k m V lm V V ln gde C a R. Ponewa dla V < wtke erwatk R wêc w granc V lcba erwatków m V mo e tneæ nekoñcon odc¹g ' R gd ' ora Ξ V. Wówca et unktem ooblwm aktwnoœc w którm achod reœce faowe. R. 7.. Prk³adow c¹g unktów ' ' ' C d¹ ¹c do R Stwerdene. Itnene reœca faowego w gae ecowm mo na wkaaæ re orównane w³anoœc dwuwmarowm otenca³em Coulomba. Dowód. ech erwatk równana ΞV twor¹ce c¹g be n do R ¹ otac r e θ ora R wówca n n n

51 5 7. eca erowe welke um tattcne ln rn coθ n rn nθ n [ rn coθn r n nθ n n ln r e θ n n ln cêœæ uroona ln rn coθ n rn ln rn cêœæ uroona Równane tanu atem które w granc termodnamcne ma otaæ P k m V lm V V ln gde > et aktwnoœc¹ awera wœród k³adnków nekoñconego eregu element otac ln r co n θ n rn. Rowa m otenca³ elektrotatcn w retren dwuwmarowe ochod¹c od e ³adunku unktowego e. Z twerdena Gaua wnka e E πr 4πe cl E r gde E wartoœæ natê ena ola elektrcnego w odleg³oœc r od ³adunku unktowego e e atem natê ene E r r a t¹d odowada¹c mu otenca³ odda³wana kulombowkego ma otaæ φ r e ln r. Preno¹c rowa ana na ³acnê XY r mo na twerdæ e dwuwmarow otenca³ elektrotatcn w unkce P ochod¹c od ³adunku e ½ umeconego w unkce P n wra a ê on natêu¹co n ln rn coθn rn φ r gd odleg³oœæ P P r coθ r n n n n r n P n r n θ n P R. 7.. W unktach P n nadu¹ ê ³adunk e ½. Gd unkt P n mera do unktu wówca unkt tak e d¹ do unktu

52 7. eca erowe welke um tattcne 53 Gd lcba ³adunków wówca ta¹ ê one ro³o one w oób c¹g³ wd³u krwe ak na runku 7. która recna oœ X w unkce >. W unkce tm otenca³ elektrotatcn ochod¹c od gromadonch na krwe ³adunków e ½ któr ma otaæ n n n Φ r ln r n coθ r mena ê w oób c¹g³ natê ene natomat gwa³towne wêka ê kokowo do wartoœc recwne. Zauwa m e w radku ³adunków ro³o onch wd³u nekoñcone rote rotoad³e do o X rechod¹ce re unkt otenca³ wnacan na o X ma otaæ Φ E gde E et ta³¹ wartoœc¹ natê ena ola. St¹d natê ene ola wd³u o X ^ wektor ednotkow ma otaæ E Φ r Φ ˆ E gn cl mena kokowo wo¹ wartoœæ na recwn¹ w unkce. Ponewa gêtoœæ koncentraca c¹tek gau ecowego wra a ê natêu¹co ρ lm ln Ξ V cl P ρ V V V k a uma tattcna awera tak e take ame wra ak otenca³ elektrotatcn atem gêtoœæ ρ w unkce mu wkawaæ nec¹g³oœæ tu kok et to unkt reœca faowego. Faa gaowa tnee gd < faa cek³a gd >. a odtawe rerowadonch rowa añ nale ocekwaæ e funkca gêtoœc w nabl m otocenu unktu bêde wra aæ ê natêu¹co: ρ ρ ρ gn gde ρ ochod od nnch k³adnków welke um tattcne n te które ma¹ woe odowednk w dwuwmarowm otencale elektrotatcnm a ρ okreœla welkoœæ koku gêtoœc. ˆ

53 54 8. ODELE JEDOWYIAROWE odele ednowmarowe odda³wanem o koñconm aêgu rok³ad P analtcnoœæ równana tanu model odda³wana o nekoñcene d³ugm aêgu r anedbwalne ma³e energ Stwerdene. odele ednowmarowe da¹ ê row¹aæ œcœle w oób analtcn. Otrmwane row¹ana owala¹ utalæ warunk achodena reœæ faowch lub wkau¹ ch brak. Uk³ad o odda³wanach w³¹cne mêd nabl m ¹adam Rowa an et model ednowmarow w którm: obêtoœæ V L et d³ugoœc¹ uk³adu a c¹tk ¹ romecone w retren ednowmarowe odda³wane krótkoaêgowe et ograncone do odda³wana nabl ch ¹adów uwglêdnane ¹ edne ³ waemnego odda³wana wtêu¹ce mêd aram ¹adu¹cch c¹tecek c¹tk ednego rodau onacone numeram... romecone koleno wd³u ln uk³adu ne mog¹ renkaæ ê waemne d³ugoœæ uk³adu L mo e rmowaæ dowolne wartoœc. Stwerdene. Je el w rowa anm uk³ade achod reœce faowe to tnee taka d³ugoœæ L * e ochodna P/L et nec¹g³a w L L *. Ab badaæ tê w³anoœæ uk³adu nale rowa æ defnowane dale welkoœc. Suma tattcna dla uk³adu ednowmarowego ma otaæ L... e u d λ Z... d

54 55 8. odele ednowmarowe gde cnnk /! ne wtêue onewa c¹tk klacne ne mog¹ amenaæ we kolenoœc w uk³ade ednowmarowm mk h π λ termcna d³ugoœæ fal c¹tk. Stwerdene. Ab reneœæ rowa ana do uk³adu w którm arametram ¹ cœnene temeratura cl tw. uk³adu P nale okreœlæ otaæ cnnka Boltmanna uwglêdna¹c¹ man lcb tanów od adanm cœnenem termotatu. Ponewa entroa termotatu wno PV E V E S V V S E E S V E S V V E E S wêc cnnk Boltmanna ma otaæ [ ] e V P E a t¹d uma o wtkch tanach cl uma tattcna w eole P wra a ê natêu¹co e V Z PV dv P Y tanow tranformatê Lalace a um tattcne Z V. Stwerdene. Y P e[ GP] gde GP et ental¹ wobodn¹ okreœlan¹ tak e ako otenca³ Gbba. Dowód. Ponewa Z V e[ FV] gde FV et energ¹ wobodn¹ wêc ]} [ e{ e V F PV dv V Z PV dv P Y cego wnka e ]} [ e{ ]} [ e{ ln S F V P V F V F PV V F PV dv P Y V F PV dv P Y P Y > < > < > < gde et ental¹ ora S F F k F k F

55 56 8. odele ednowmarowe a onacene < A > dv e{ [ PV F V ]} A V Y P defnue œredn¹ o eole tattcnm P. Z druge tron ln Y G P G G G S a atem G S cl G et ental¹ wobodn¹. Stwerdene. Œredna obêtoœæ w eole P wra a ê worem < V gd < V > > Y ln Y P P P dv e{ [ PV F V ]} V Stwerdene. W rowa anm uk³ade ednowmarowm uma tattcna w eole P ma otaæ Y P dl e PL Z L PL dl e d... d λ e u Po redtawenu d³ugoœæ L w forme L 3... L ora amane mennch ca³kowana atêu¹c odowedno wtêu¹ce w ca³kach ró nck: d d d 3 d 3... dl dl wra ene Y P mo na rekta³cæ do otac

56 57 8. odele ednowmarowe 3 ] e[ ] e[ ]} [ e{... ]} [ e{ e... ]}... [ e{ ]}... [ e{... P u d P L P P u P u P L d d d d u u u L P dl d d P Y λ λ λ Po wrowadenu onacena ] e[ P u d P F otrmuem ] [ P F P P Y λ Stwerdene. Ponewa w uk³adach ednowmarowch obêtoœc odowada d³ugoœæ wêc e œredna wartoœæ < L > L wra a ê worem P P Y L ln et funkc¹ P. Po odtawenu wnaconch wra eñ otrmuem [ ] ln ln ] ln ln ln [ ln P F P k P F P k P k P F P P P F P P L λ λ

57 58 8. odele ednowmarowe gd a atem l L k F P d e[ u P ] gde l et d³ugoœc¹ w³aœcw¹. Stwerdene. Ab utalæ c w badanm uk³ade mo e achodæ reœce faowe nale wnacæ ochodn¹ P/l. Wmaga to naomoœc otac otenca³u u. W uk³ade ednowmarowm otenca³ u mu bæ otenca³em odcha¹cm tn. u > ora u gd gd otenca³ rc¹ga¹c referowa³b tan gromadena ê c¹tek atem wra ene u P > a t¹d ora F P d e[ u P ] < d e P F P P d e[ u P ] < k P k d e P P co tanow e dla P > FP et regularn¹ ograncon¹ male¹c¹ funkc¹ P cl funkc¹ analtcn¹ które ochodna te et funkc¹ analtcn¹. Wnka t¹d e d³ugoœæ w³aœcwa l et analtcn¹ funkc¹ P ora P Pl et tak e funkc¹ analtcn¹ dla wtkch wartoœc l. Brak ooblwoœc funkc Pl onaca e ne ¹ mo lwe adne reœca faowe. Stwerdene. W uk³adach ednowmarowch r a³o enu odda³wana nabl - ch ¹adów reœca faowe ne wtêu¹. Jednowmarow ga ecow uwglêdna¹c odda³wana erwch drugch trecch nabl ch ¹adów Za³o ena Ga ecow tanow uk³ad w którm n c¹tek et romeconch w wê³ach ec krtalcne gde n. odel gau ecowego et równowa n modelow Inga. W modelu ednowmarowego gau ecowego uwglêdna¹cm edne odda³wana nabl ch ¹adów adne reœca faowe ne wtêu¹.

58 8. odele ednowmarowe 59 Obektem rowa añ et ednowmarow uk³ad w którm waemne odda³wana obemu¹ koñcon¹ lcbê kolench nabl ch ¹adów. Scegó³owe rowa ana ¹ rowadone dla radku gd uwglêdna ê odda³wana omêd trema nabl m ¹adam. c b a R. 8.. Odda³wana mêd ¹adam: a nabl m b drugego rêdu c trecego rêdu Stwerdene. W radku odda³wana mêd trema nabl m ¹adam energê waemnego odda³wana uk³adu n c¹tek obada¹cch wê³ów mo na aaæ w forme E u 3 4 u u gde u 3 et energ¹ ran¹ c¹tce nadu¹ce ê w wêÿle -tm która wra a odda³wane -te c¹tk c¹tkam obada¹cm wê³ 3 gd wêe³ et obadon gd wêe³ et ut ora Wówca welka uma tattcna ma otaæ Ξ n ξ e n Σ n u 3 n gde wra ene Σ n onaca umowane o wtkch mo lwch tanach t. kombnacach rolokowana n c¹tek w wê³ach. Zak³adam onadto e uk³ad twor amknêt erœceñ co uto ama wêe³ erwm wê³em td. Po rekta³cenu welke um tattcne do otac Ξ { } e[ u ] ξ 3 gde umowane odbwa ê o wtkch mo lwch kombnacach obadena wê³ów ora o wrowadenu onacena