Malowanie sinusoidami Bogusław Fugiel Sygnały akustyczne moŝemy zróŝnicować ze względu na ich głośność, wysokość i barwę. Czym jest barwa dźwięku? Według definicji Amerykańskiego Instytutu Standardów (1994) barwa to taka cecha wraŝenia słuchowego, za pomocą której moŝna odróŝnić dwa dźwięki prezentowane w sposób podobny i mające tę samą wysokość i głośność. Definicja ta uzupełniona została stwierdzeniem, Ŝe barwa dźwięku zaleŝy przede wszystkim od poziomu ciśnienia akustycznego, struktury widmowej i przebiegu czasowego dźwięku. Pojęcia zawarte w powyŝszej definicji wymagałyby oczywiście wyjaśnienia. Wpłynęłoby to jednak znacznie na rozmiar niniejszego artykułu. Stąd chciałbym ograniczyć się do krótkiej analizy zjawisk prowadzących do powstawania struktury widmowej. Zjawiska te moŝna prześledzić analizując drgania struny, która jest podstawowym źródłem dźwięku wielu instrumentów muzycznych. Rozpocznijmy nasze rozwaŝania od przypadku stosunkowo prostego, a mianowicie od analizy drgania poprzecznego cięŝarka umieszczonego pomiędzy dwiema spręŝynami (Rys.1). Ustalmy na wstępie warunki, jakie winien spełniać nasz układ oraz inne układy cięŝarków omawiane w tym artykule. Średnica kaŝdego cięŝarka niech będzie zaniedbywalnie mała w porównaniu z długością kaŝdej z identycznych (na danym rysunku) spręŝyn. Tu musimy rzeczywiście posłuŝyć się wyobraźnią, często potrzebną w fizyce. JeŜeli teraz nieznacznie wychylimy cięŝarek na Rys.1 do góry o wielkość y << i wypuścimy z rąk ( lub szarpniemy, jak gitarzysta ), to ciało to wykonywać będzie swobodne pionowe y f = f 1 Rys. 1. Drgania poprzeczne układu spręŝyna cięŝarek spręŝyna. Strzałka pokazuje wstępne wychylenie, dwa odcinki chwilowe połoŝenia spręŝyn w czasie drgań 1
drganie harmoniczne z określoną częstotliwością f 1 = 2 2 /, gdzie T=K( ) jest siłą napinająca kaŝdą spręŝynę w połoŝeniu równowagi, K jest stałą spręŝystości kaŝdej ze spręŝyn, długością swobodną kaŝdej spręŝyny, m masą kaŝdego cięŝarka (rozwaŝamy tylko drgania poprzeczne w płaszczyźnie rysunku). Przedstawione na rysunku wychylenie cięŝarka jest przesadnie duŝe (jedynie dla przejrzystości rysunku), w istocie powinno być ono znacznie mniejsze. To samo dotyczy pozostałych rysunków. W przypadku dwóch cięŝarków na trzech spręŝynach (Rys.2a,b) sytuacja jest bardziej złoŝona. Wzajemne połoŝenie drgających cięŝarków, stałe lub zmieniające się w czasie, zaleŝeć będzie od tego, jak przygotujemy układ w chwili t=0, tzn. w momencie rozpoczęcia ruchu swobodnego. MoŜemy tu wyróŝnić dwa (jedyne) szczególne przypadki, tzw. postaci drgań własnych przedstawione na Rys. 2a,b. W pierwszym przypadku obie kule wstępnie unosimy do góry na tę samą wysokość ( takŝe nieznacznie, warunek y << obowiązywać (a) f = f 2 (b) f = 3 f 2 Rys.2 Dwie postaci drgań własnych układu z dwoma stopniami swobody. Strzałki pokazują dwa róŝne sposoby przygotowania drgań. Odcinki przedstawiają chwilowe połoŝenia spręŝyn w czasie drgań. 2
będzie zawsze w tym artykule ). Po uwolnieniu nieruchomych cięŝarków w chwili t=0, rozpoczną one drgania swobodne w fazie. Oba będą oscylować w kierunku pionowym, zachowując zawsze jednakowe odchylenie od poziomu wyznaczonego przez stan równowagi. Jedno z moŝliwych chwilowych połoŝeń spręŝyn w tym przypadku przedstawiono za pomocą trzech odcinków na Rys.2a. Drugi sposób przygotowania układu nieruchomego w chwili t=0 (Rys.2b) prowadzi do drgań swobodnych przeciwnych w fazie. Odchyleniu jednego cięŝarka do góry zawsze towarzyszy wtedy przemieszczenie się drugiego o tę samą odległość w dół. Częstotliwość własna drgań przeciwnych w fazie (Rys.2b) jest 3 razy większa od częstotliwości drgań własnych zgodnych w fazie (Rys.2a). MoŜemy teraz zapytać, co się stanie gdy połoŝenie cięŝarków w chwili t=0 będzie przypadkowe. Takie niestaranne uruchomienie drgań powoduje zazwyczaj jednoczesne wzbudzenie obu opisanych wyŝej postaci ruchu i w efekcie pewien nieład. Jest to bardzo istotne stwierdzenie, zgodne z nasza intuicją. Wynika stąd, Ŝe drgania uruchomione w sposób przypadkowy będą zazwyczaj mieć właśnie taki złoŝony charakter. (a) f = f 11 (b) f > f 11 Rys. 3 Pierwsza postać drgań własnych w fazie (a) oraz jedna z pozostałych dziesięciu postaci (b) dla układu z jedenastoma stopniami swobody. Odcinki pokazują chwilowe połoŝenia spręŝyn. Strzałki wskazują wychylenia początkowe, czyli przygotowanie drgań; dla przejrzystości nie narysowano odpowiednich strzałek na rys. (a). 3
W przypadku większej liczby cięŝarków sytuacja jest jeszcze bardziej skomplikowana. Na przykład, kiedy drga aŝ jedenaście kul na dwunastu spręŝynach (Rys.3), mamy do wyboru aŝ jedenaście postaci drgań własnych, a więc takich drgań, które są starannie przygotowane. Przy byle jakim wzbudzeniu ruchu otrzymujemy jednak zazwyczaj drgania dość skomplikowane, będące złoŝeniem jedenastu postaci drgań własnych. Na Rys. 3a przedstawione jest starannie przygotowane drganie o najniŝej częstotliwości, na Rys. 3b jedna z pozostałych dziesięciu postaci drgań własnych, o większej częstotliwości własnej. W ogólności liczba postaci drgań własnych jest równa liczbie cięŝarków. KaŜda postać drgań własnych posiada określoną częstotliwość własną. W przykładzie na Rys.2 mamy tylko dwa drgania własne z częstotliwościami własnymi f 2 = 2π / oraz 3 f 2 = 2π 3 /. Dla układu kul połączonych spręŝynami moŝna określić zaleŝność częstotliwości drgań własnych od długości fali stojącej λ. Zamiast definiować długość fali w opisywanych układach dyskretnych, pozwolę sobie jedynie zauwaŝyć, Ŝe: λ = 4 na Rys.1, λ = 6 na Rys. 2a, λ = 3 na Rys. 2b, λ = 24 na Rys.3a oraz λ = 4 na Rys.3b. Sprawdzenie, Ŝe tak jest powinno dać jasne wyobraŝenie, czym jest parametr λ. Związek łączący częstotliwość f z długością fali λ jest następujący: f = T π a sin 2 maπ λ (1) gdzie T jest siłą, z jaką naciągnięta jest kaŝda ze spręŝyn, kiedy układ nie wykonuje drgań. W rezultacie kolejnego zwiększania liczby cięŝarków (czyli tzw. stopni swobody) oraz spręŝyn dochodzimy w końcu do granicy nieskończenie wielu cięŝarków połoŝonych nieskończenie blisko siebie i połączonych nieskończenie krótkimi spręŝynami (Rys.4). Układ dyskretny zlewa się wtedy w strunę ciągłą. Zamiast krzywych zygzakowatych widocznych na Rysunkach 1-3 otrzymujemy znane nam z trygonometrii krzywe zwane sinusoidami (chociaŝ łamana na Rys. 3b jest juŝ prawie sinusoidą, gdyŝ λ>>. I oto pojawia się znaczne uproszczenie. Ze względu na fakt, Ŝe argument funkcji sinus we wzorze (1) zmierza do zera (dla x wyraŝonego w mierze łukowej mamy: sinx, gdy 0), wzór ten upraszcza się do postaci 4
(2) gdzie /, T jest siłą naciągu struny, jest gęstością liniową materiału ( = m/ w granicy 0, 0, z którego wykonana jest struna. Zazwyczaj w strunie wzbudzane jest nieskończenie wiele postaci drgań. Trzy najniŝsze przedstawione są na Rys.4, gdzie L jest długością struny w spoczynku. Zgodnie z (2) odpowiednie częstotliwości własne są równe /(2L), 2 /(2L), 3 /(2L), gdzie najniŝsza /(2L) pełni rolę częstotliwości podstawowej f 0, natomiast pozostałe dotyczą tzw. wyŝszych składowych harmonicznych. Widzimy, Ŝe o ile zjawisko jednoczesnej generacji róŝnych postaci drgań moŝna juŝ było obserwować w układach dyskretnych cięŝarków (nawet dwóch), to piękny szereg częstotliwości harmonicznych: f 0, 2f 0, 3f 0, pojawia się dopiero w strunie ciągłej, w wyniku przejścia granicznego. Jest to jeden z wielu przykładów w fizyce, gdzie w wyniku takiego przejścia obraz staje się wyjątkowo przejrzysty. λ=2l/3 ; f=3f 0 (c) λ=l ; f=2f 0 λ=2l ; f=f 0 (b) (a) L Rys.4 Trzy postaci drgań struny ciągłej. Długość struny w spoczynku wynosi L. Gra na instrumentach strunowych jest artystycznym sterowaniem długością L. W szczególności zmieniają się wtedy częstotliwości: podstawowa f 0 0= / L) i wyŝsze, zgodnie ze wzorem (2) oraz przedstawionymi na rysunku związkamii pomiędzy L i λ. 5
Dzięki relacji (2), czyli zawartości harmonicznych moŝliwy jest odbiór wraŝenia wysokości (częstotliwości) dźwięku w sytuacji, gdy słyszymy sumę wielu postaci drgań własnych struny, czyli drgań o róŝnych częstotliwościach. Jak wynika bowiem z prostych rozwaŝań, częstotliwość sygnału będącego sumą składowych o częstotliwościach f 0, 2f 0, 3f 0 jest równa f 0. Jednoczesna generacja wielu postaci drgań podczas gry na strunowym instrumencie muzycznym oznacza powstanie dźwięku o pewnej barwie uwarunkowanej zawartością poszczególnych drgań własnych. MoŜemy tu posłuŝyć się dość luźną lecz sugestywną analogią. O ile zróŝnicowanie kolorów na obrazie powstaje w wyniku mieszania przez artystę malarza róŝnych farb, to kompozytor muzyki elektronicznej lub inŝynier dźwięku osiągają niekiedy wraŝenie barwy w akustyce poprzez kompletowanie i generowanie sinusoidalnych sygnałów o róŝnych częstotliwościach i odpowiednio zróŝnicowanych amplitudach, czyli o określonej strukturze widmowej. Muzyk instrumentalista nie byłby nazywany artystą, gdyby jego zadaniem było tylko sterowanie długością struny L. O wiele większe znaczenie ma sposób przygotowania struny do drgań, czyli generowanie odpowiedniej barwy dźwięku poprzez wydobycie odpowiednich harmonicznych, co jak wspomniałem wyŝej ma takŝe znaczenie choć moŝe nie natury artystycznej lecz raczej matematyczno-fizycznej w przypadku układów dyskretnych. Zazwyczaj będąc nieświadomym matematycznej struktury dźwięku muzyk przygotowuje barwę poprzez pobudzenie struny do drgań w odpowiednim miejscu i z odpowiednią siłą zaleŝną od czasu. I choć określenie staranne przygotowanie drgań ma tutaj wymiar bardziej artystyczny, to pewne elementy fizyki są widoczne. LITERATURA F.C. Crawford, Fale (Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973) E. Ozimek, Dźwięk i jego percepcja. Aspekty fizyczne i psychoakustyczne (Wydawnictwo Naukowe PWN S.A., Warszawa-Poznań 2002) W. Kotoński, Muzyka elektroniczna (Polskie Wydawnictwo Muzyczne, Kraków 1989) 6