Spis treści Ważniejsze oznaczenia...................................................... 10 Wstęp...................................................................... 13 1 Procesy falowe........................................................... 19 1.1 Równania hydrodynamiki.......................................... 20 1.2 Równania akustyki............................................... 21 1.3 Bilans energii pola akustycznego.................................... 24 1.4 Równanie falowe................................................. 25 1.5 Warunki brzegowe równania falowego............................... 27 1.6 Warunek skończoności i warunek promieniowania..................... 29 1.7 Podsumowanie................................................... 31 2 Funkcja Greena w akustyce.............................................. 32 2.1 Równanie różniczkowe dla funkcji Greena............................ 33 2.2 Wzory całkowe potencjału akustycznego............................. 35 2.3 Obszar nad płaską odgrodą we współrzędnych kartezjańskich............ 37 2.4 Obszar naroża dwuściennego we współrzędnych kartezjańskich.......... 44 2.5 Obszar naroża trójściennego we współrzędnych kartezjańskich.......... 47 2.6 Obszar nad płaską odgrodą we współrzędnych walcowych.............. 50 2.6.1 Obszar naroża dwuściennego we współrzędnych walcowych...... 55 2.6.2 Obszar naroża trójściennego we współrzędnych walcowych....... 56 2.7 Obszar wokół nieskończonego walca kołowego we współrzędnych walcowych...................................................... 57 2.8 Obszar wokół półnieskończonego walca kołowego nad płaską odgrodą we współrzędnych walcowych...................................... 63 2.9 Podsumowanie................................................... 68 3 Modalne wielkości wibroakustyczne...................................... 70 3.1 Płyta jako drgający element konstrukcyjny............................ 73 3.1.1 Charakterystyka drgań...................................... 73
6 Spis treści 3.1.2 Upraszczające założenia Kirchhoffa o zginaniu cienkich płyt...... 74 3.1.3 Modele reologiczne płyt.................................... 75 3.1.4 Model idealnie sprężysty według Kirchhoffa-Love a............. 75 3.1.5 Model płyty z uwzględnieniem tłumienia według Kelvina-Voigta.. 76 3.1.6 Przykłady zastosowań płyt kołowych w układach akustycznych.... 76 3.2 Funkcje własne.................................................. 77 3.3 Płyta pierścieniowa w płaskiej odgrodzie............................. 84 3.3.1 Modalna prędkość drgań, modalne ciśnienie akustyczne......... 84 3.3.2 Modalna moc akustyczna, modalna moc odniesienia, znormalizowana modalna impedancja akustyczna............... 87 3.3.3 Płyta pierścieniowa w płaskiej odgrodzie. Przypadek osiowo-symetryczny....................................... 90 3.3.4 Płyta kołowa w płaskiej odgrodzie. Przypadek niesymetryczny.... 94 3.4 Membrana kołowa w płaskiej sztywnej odgrodzie..................... 97 3.4.1 Modalna prędkość drgań, modalne ciśnienie akustyczne......... 97 3.4.2 Modalna moc akustyczna, modalna moc odniesienia, znormalizowana modalna impedancja akustyczna............... 100 3.5 Membrana kołowa w pobliżu naroża dwuściennego.................... 103 3.5.1 Modalna prędkość drgań, modalne ciśnienie akustyczne......... 103 3.5.2 Modalna moc akustyczna, modalna moc odniesienia, znormalizowana modalna impedancja akustyczna............... 105 3.6 Membrana kołowa w pobliżu naroża trójściennego..................... 107 3.6.1 Modalna prędkość drgań, modalne ciśnienie akustyczne......... 107 3.6.2 Modalna moc akustyczna, modalna moc odniesienia, znormalizowana modalna impedancja akustyczna............... 109 3.7 Płyta prostokątna zamocowana przegubowow płaskiej odgrodzie......... 112 3.7.1 Modalna prędkość drgań, modalne ciśnienie akustyczne......... 112 3.7.2 Modalna moc akustyczna, modalna moc odniesienia, znormalizowana modalna impedancja akustyczna............... 113 3.8 Podsumowanie................................................... 115 4 Wibroakustyczne wielkości fizyczne...................................... 117 4.1 Ciśnienie akustyczne.............................................. 118 4.1.1 Wzór Huygensa-Rayleigha.................................. 118 4.1.2 Ciśnienie dźwięku w reprezentacji spektralnej.................. 119 4.2 Moc akustyczna.................................................. 122 4.3 Płyta pierścieniowa w płaskiej odgrodzie............................. 124 4.3.1 Prędkość drgań............................................ 124 4.3.2 Ciśnienie akustyczne....................................... 126 4.3.3 Moc akustyczna, moc odniesienia, znormalizowana impedancja akustyczna............................................... 126 4.3.4 Rozwiązanie równania wymuszonych drgań płyty............... 129 4.4 Membrana kołowa umieszczona w płaskiej sztywnej odgrodzie.......... 132 4.4.1 Prędkość drgań............................................ 132
Spis treści 7 4.4.2 Ciśnienie akustyczne....................................... 132 4.4.3 Moc akustyczna, moc odniesienia, znormalizowana impedancja akustyczna............................................... 133 4.4.4 Rozwiązanie równania wymuszonych drgań membrany.......... 135 4.5 Membrana kołowa w pobliżu naroża dwuściennego.................... 138 4.5.1 Prędkość drgań, ciśnienie akustyczne......................... 138 4.5.2 Moc akustyczna, moc odniesienia, znormalizowana impedancja akustyczna............................................... 139 4.5.3 Rozwiązanie równania wymuszonych drgań membrany.......... 140 4.6 Membrana kołowa w pobliżu naroża trójściennego..................... 142 4.6.1 Prędkość drgań, ciśnienie akustyczne......................... 142 4.6.2 Moc akustyczna, moc odniesienia, znormalizowana impedancja akustyczna, rozwiązanie równania wymuszonych drgań membrany, błąd aproksymacji............................... 142 4.7 Płyta prostokątna zamocowana przegubowo.......................... 143 4.7.1 Prędkość drgań, ciśnienie akustyczne......................... 143 4.7.2 Moc akustyczna, moc odniesienia, znormalizowana impedancja akustyczna............................................... 144 4.7.3 Rozwiązanie równania wymuszonych drgań płyty............... 146 4.8 Błąd aproksymacji................................................ 149 4.8.1 Błąd wielkości modalnych.................................. 150 4.8.2 Błąd ograniczenia szeregu.................................. 151 4.9 Podsumowanie................................................... 152 5 Ciśnienie akustyczne w strefie Fraunhofera............................... 153 5.1 Ciśnienie akustyczne drgającego źródła kołowego lub pierścieniowego w pobliżu naroża trójściennego..................................... 155 5.1.1 Promieniowanie drgającego tłoka pierścieniowego umieszczonego w pobliżu naroża trójściennego................. 157 5.1.2 Promieniowanie drgającej membrany kołowej umieszczonej w pobliżu naroża trójściennego.............................. 158 5.2 Ciśnienie akustyczne drgającego źródła kołowego lub pierścieniowego w pobliżu naroża dwuściennego.................................... 159 5.2.1 Promieniowanie drgającego tłoka pierścieniowego umieszczonego w pobliżu naroża dwuściennego................ 160 5.2.2 Promieniowanie drgającej membrany kołowej umieszczonej w pobliżu naroża dwuściennego............................. 161 5.3 Ciśnienie akustyczne drgającego źródła kołowego lub pierścieniowego nad płaską powierzchnią........................................... 162 5.3.1 Promieniowanie drgającego tłoka pierścieniowego umieszczonego na płaskiej powierzchni....................... 163 5.3.2 Promieniowanie drgającej membrany kołowej umieszczonej na płaskiej powierzchni....................................... 164 5.4 Ciśnienie akustyczne drgającego źródła prostokątnego w płaskiej odgrodzie 164
8 Spis treści 5.4.1 Promieniowanie drgającego tłoka prostokątnego umieszczonego w płaskiej sztywnej odgrodzie............................... 165 5.4.2 Promieniowanie drgającej swobodnie napiętej membrany prostokątnej umieszczonej w płaskiej sztywnej odgrodzie........ 166 5.4.3 Promieniowanie drgającej swobodnie płyty prostokątnej, zamocowanej przegubowo, umieszczonej w płaskiej sztywnej odgrodzie................................................ 167 5.5 Ciśnienie akustyczne drgającego źródła prostokątnego w pobliżu naroża dwuściennego................................................... 168 5.5.1 Promieniowanie drgającego tłoka prostokątnego w pobliżu naroża dwuściennego...................................... 169 5.5.2 Promieniowanie drgającej swobodnie napiętej membrany prostokątnej w pobliżu naroża dwuściennego.................. 170 5.5.3 Promieniowanie drgającej swobodnie płyty prostokątnej zamocowanej przegubowo w pobliżu naroża dwuściennego....... 170 5.6 Ciśnienie akustyczne źródła prostokątnego w narożu trójściennym....... 171 5.6.1 Promieniowanie drgającego tłoka prostokątnego w pobliżu naroża trójściennego....................................... 172 5.6.2 Promieniowanie drgającej swobodnie napiętej membrany prostokątnej w pobliżu naroża trójściennego................... 172 5.6.3 Promieniowanie drgającej swobodnie płyty prostokątnej utwierdzonej przegubowo w pobliżu naroża trójściennego........ 173 5.7 Podsumowanie................................................... 173 6 Przykłady zastosowań................................................... 174 6.1 Moc akustyczna promieniowania w obszarze naroża dwuściennego drgającej membrany kołowej....................................... 174 6.2 Ciśnienie akustyczne promieniowania drgającego tłoka kołowego umieszczonego w obszarze naroża dwuściennego i trójściennego......... 178 6.3 Wpływ sposobu zamocowania krawędzi drgającej płyty kołowej na drgania i promieniowanie dźwięku.................................. 181 6.3.1 Postaci drgań własnych..................................... 181 6.3.2 Modalna impedancja akustyczna............................. 184 6.4 Podsumowanie................................................... 190 Dodatki.................................................................... 191 A Operatory różniczkowe............................................ 191 A.1 Symbol Kroneckera........................................ 191 A.2 Dystrybucja delta Diraca.................................... 192 A.3 Układ współrzędnych kartezjańskich.......................... 193 A.4 Układ współrzędnych walcowych............................ 193 A.5 Układ współrzędnych sferycznych............................ 194 B Przykłady obliczania całek z funkcji trygonometrycznych............... 194
Spis treści 9 C Wybrane właściwości funkcji specjalnych............................ 204 C.1 Modalna kierunkowość promieniowania płyty pierścieniowej..... 204 C.2 Przykłady obliczania całek z funkcji specjalnych................ 206 D Rozwiązanie osiowo-symetrycznego zagadnienia brzegowego........... 206 E Obliczenie mocy akustycznej przy pomocy asymptotycznej metody stałej fazy............................................................ 213 F Metoda obliczenia pozostałości funkcji zmiennej zespolonej w biegunie drugiego rzędu................................................... 214 G Wartość skuteczna i wielkości mierzone............................. 214 Bibliografia................................................................. 216