Wykład 7 Izolatory i przewodniki Wszystkie ciała możemy podzielić na przewodniki i izolatory albo dielektryki. Przewodnikami są wszystkie metale, roztwory kwasów i zasad, roztopione soli, nagrzane gazy itp. Charakterystyczną cechą przewodników, z punktu widzenia mikroskopowego jest obecność w nich swobodnych ładunków elektrycznych, które pod wpływem nawet słabego pola elektrycznego mogą przemieszczać się w ciele na duże odległości. W metalach ładunkami swobodnymi są elektrony; w roztworach kwasów i zasad swobodnymi ładunkami są dodatnie i ujemnie naładowane jony - kationy i aniony. W dielektrykach nie ma ładunków swobodnych, a istniejące ładunki - elektrony i jądra atomowe, są silnie związane między sobą tak, że działanie zewnętrznego pola elektrycznego może powodować tylko małe przemieszczenia ładunków względem ich położeń równowagowych. Izolatorami są bursztyn, szkło, kauczuk itp. Podział ciał na izolatory i przewodniki jest umown ponieważ zdolności ciał do przewodnictwa elektrycznego silne zależą od warunków zewnętrznych - temperatur ciśnienia itd. Ponadto istnieje liczna grupa ciał, zwanych półprzewodnikami, które wykazują zdolności do przewodnictwa pośrednie między przewodnikami i izolatorami. Przewodniki w polu elektrycznym Umieścimy przewodnik w zewnętrznym polu elektrostatycznym. Wskutek działania pola elektrycznego swobodne ładunki zaczną poruszać się w kierunku przeciwnym do kierunku pola. Ten ruch uporządkowany ładunków nie może trwać w nieskończoność i po upływie pewnego czasu nastąpi stan statyczny. W sytuacji statycznej, która powstaje gdy ładunki po wszystkich przegrupowaniach przestały poruszać się, przewodnik musi mieć następujące właściwości:. Pole elektryczne wewnątrz przewodnika jest równe zeru: E. (7.) wewn Jeżeliby pole wewnątrz przewodnika nie było równe zeru, swobodne ładunki doznawałyby działanie sił wskutek czego zaczęłyby się poruszać się, a to byłoby sprzeczne z założeniem, że mamy sytuację statyczną.
. Na powierzchni przewodnika wektor natężenia pola elektrycznego jest prostopadły do tej powierzchni: E, E n E. (7.) τ Gdyby tak nie było, to pod działaniem składowej pola, stycznej do powierzchni przewodnika E elektrony przemieszczałyby się i nie mielibyśmy sytuacji statycznej. τ 3. Każdy punkt objętości przewodnika ma ten sam potencjał. Istotnie, w dowolnym punkcie wewnątrz przewodnika, zgodnie z (7.) dϕ E dl, skąd ϕ const. wewn 4. Powierzchnia przewodnika też jest powierzchnią ekwipotencjalną, ponieważ, zgodnie (7.) dla dowolnej linii na powierzchni przewodnika dϕ E dl E dl, skąd ϕ const. τ 5. Całkowity ładunek wewnątrz przewodnika jest równy zeru. Ta właściwość przewodnika wynika z prawa Gaussa i wzoru (7.) Q ε Ewewn d. 6. W naładowanym przewodniku w stanie statycznym wszystkie nie skompensowane ładunki elektryczne rozkładają się wyłącznie na powierzchni przewodnika. Ta właściwość przewodnika też wynika z prawa Gaussa i wzoru (7.). 7. Pole elektryczne na powierzchni przewodnika wynosi
( x, E( x, n, (7.3) ε gdzie ( x, - gęstość powierzchniowa ładunku w punkcie ( x, powierzchni przewodnika; n / jest jednostkowy wektor skierowany na zewnątrz powierzchni przewodnika. Dla udowodnienia (7.3) znajdziemy strumień pola elektrycznego przez powierzchnie małego walca prostopadłego do powierzchni przewodnika. Wskutek (7.) oraz małości walca strumień przez boczne powierzchni walca jest równy zeru. Przez dolną podstawę walca strumień też jest równy zeru, ponieważ wewnątrz przewodnika E. A zatem całkowity strumień pola przez powierzchnie małego walca jest równy strumieniowi tylko przez górną podstawę : Φ E. Zgodnie z prawem Gaussa ten strumień jest równy ładunkowi objętemu przez powierzchnie walca. Ponieważ ładunek ten jest zgromadzony tylko na powierzchni przewodnika, wprowadzając gęstość powierzchniową ładunku na elemencie, powierzchni przewodnika otrzymujemy Φ E ε. 3
kąd wynika wzór (7.3): E E ( E n) n ε. 8. Gęstość powierzchniowa ładunków elektrycznych ( x, zależy od kształtu powierzchni przewodnika i jest największa na ostrzach i występach. ozważmy dwie naładowane kuli metaliczne o promieniach i ( > ), połączone przewodnikiem. W stanie statycznym potencjały dwóch kul muszą być równe, a zatem: ϕ ϕ 4πε 4πε kąd. (7.4) Ponieważ 4π i 4π, ze wzoru (7.4) otrzymujemy 4π 4π. tąd. (7.5) Ze wzoru (7.5) wynika, że >>. (7.6) 4
A więc gęstość powierzchniowa ładunków elektrycznych ( x, jest największa tam gdy powierzchnia przewodnika jest najbardziej zakrzywiona, czyli na ostrzach i występach. Zgodnie z (7.3) ε E, a zatem ze wzoru (7.6) otrzymujemy E >>. (7.7) E E ównanie (7.7) oznacza, że natężenie pola elektrycznego jest największe tam gdy największa jest gęstość powierzchniowa ładunków, czyli na ostrzach i występach naładowanego przewodnika. 9. W pozbawionym ładunku obszarze, który jest otoczony przewodnikiem tworzącym zamkniętą powierzchnią, pole elektryczne znika. Już wiem że w stanie statycznym wewnątrz przewodnika, znajdującym się w polu elektrycznym, nie ma pola elektrycznego, oraz całkowity ładunek w dowolnej części wewnątrz przewodnika jest równy zeru. A zatem jeżeli usuniemy jakąś wewnętrzną część przewodnika, to w powstałym wydrążeniu pole elektryczne w stanie statycznym zawsze będzie równe zeru. Ta właściwość zamkniętej przewodzącej powłoki ekranowania wewnętrznego obszaru od pola elektrycznego zewnętrznego znajduje szerokie zastosowanie w praktyce, jako ekran elektryczny.. Jeżeli ładunek elektryczny Q otoczymy uziemionym ekranem elektrycznym, to pole elektryczne ładunku Q znika na zewnątrz ekranu. ozważmy wewnątrz przewodnika - ekranu elektrycznego, zamkniętą powierzchnię, otaczającą ładunek Q. Ponieważ w stanie statycznym pole wewnątrz przewodnika jest równe zeru, to strumień pola elektrycznego przez wybraną dowolną powierzchnię wewnątrz przewodnika musi być równy zeru. Zgodnie z prawem Gaussa, to oznacza, że wewnątrz objętości otoczoną powierzchnią Gaussa całkowity ładunek jest równy zeru. Wewnątrz powierzchni Gaussa (w wydrążeniu) znajduje się ładunek Q, a zatem dla tego, żeby całkowity ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa był równy zeru, w przewodniku musi być indukowany ładunek Q. Ten indukowany ładunek może znajdować się tylko na wewnętrznej ściance ekranu, ponieważ wewnątrz przewodniku nie mogą istnieć ładunki nie skompensowane. Ponieważ całkowity ładunek ekranu metalicznego nie może zmienić się, z faktu indukowania 5
ładunku Q na wewnętrznej ściance ekranu wynika, że na zewnętrznej ściance ekranu indukuje się ładunek Q. Jeżeliby ekran nie był połączony z Ziemią przewodnikiem czyli nie był uziemion układ - (ładunek + ekran), wytwarzałby na zewnątrz układu takie same pole jak ładunek Q. Uziemienie ekranu elektrycznego powoduję, że potencjał ekranu wyrównuje się z potencjałem Ziemi, czyli potencjał zewnętrznej powłoki ekranu staje się równym ϕ. Zerowy potencjał ekranu ( ϕ Q ) oznacza, że indukowany na zewnętrznej powłoce ekranu ładunek Q "przepływa" do Ziemi. Wskutek takiego przemieszczenia się ładunku ekran staje się naładowan ale właśnie wskutek takiego naładowania ekranu, całkowity ładunek układu - (ładunek + ekran) staje się równy zeru, a pole elektryczne wytwarzane przez indukowany na wewnętrznej powłoce ekranu ładunek ładunek Q. Q całkowicie kompensuje pole wytwarzane przez. Między ładunkami elektrycznymi zgromadzonymi na powierzchni przewodnika działają siły Coulomba, które powodują, że ciśnienie p działające na powierzchnię naładowanego przewodnika jest równe p ε ε E. (7.8) ozważmy na powierzchni naładowanego przewodnika mały element powierzchni którego ładunek jest równy ( ). Na wybrany element powierzchni działa siła, 6
F ( ) E, (7.9) gdzie E jest natężeniem pola elektrycznego, wytwarzanego przez wszystkie ładunki elektryczne rozmieszczone na pozostałej powierzchni przewodnika w miejscu gdy znajduje się wybrany element powierzchni. Oprócz pola o natężeniu E w pobliżu elementu powierzchni istnieje również pole elektryczne E, pochodzące od ładunków elementu powierzchni. Całkowite pole elektryczne na powierzchni, więc wynosi E E + E. (7.) Załóżm że element powierzchni jest naładowany dodatnie ( > ). Wtedy pole E pochodzące od ładunków tego elementu w pobliżu zewnętrznej powierzchni zewnątrz przewodnika, a pole w pobliżu wewnętrznej powierzchni ma zwrot na jest skierowane wgłęb przewodnika. Ponieważ w stanie statycznym pole wewnątrz przewodnika musi być równe zeru znajdujemy E wew E + Ewew. kąd. (7.) E E wew 7
Na zewnątrz wybranego elementu przewodnika pole E zachowuje swój kierunek, natomiast pole E zmienia swój zwrot: Ezew E wew Biorąc pod uwagę (7.), ze wzoru (7.) znajdujemy E E. (7.) + Ezew E Pole elektryczne E na powierzchni przewodnika określa wzór (7.3). A zatem dla pola E otrzymujemy E E ε n. (7.3) Po podstawieniu (7.3) do wzoru (7.9) mamy F ( ) E n. (7.4) ε Ponieważ F, w niezależności od znaku ładunku elementu powierzchni, siła działająca na ten element jest zawsze zwrócona w kierunku normalnej zewnętrznej. Wynik ten stanowi następstwo odpychania się ładunków powierzchniowych. Dla ciśnienia, ze wzoru (7.4) otrzymujemy F p ε ε E. (7.5) Pojemność elektryczna ozważmy przewodnik o dowolnym kształcie. Po udzieleniu temu przewodnikowi ładunku, ładunek zostaje rozłożony po powierzchni przewodnika z gęstością ( x,. Charakter rozkładu ładunku zależy nie od ładunku całkowitego, lecz jedynie od kształtu przewodnika. Jeżeli przekażemy temu naładowanemu przewodnikowi jeszcze ładunek, to charakter rozkładu wypadkowego ładunku będzie taki sam jak charakter rozkładu ładunku. Zwiększy się tylko o dwa razy gęstość powierzchniowa ładunku w każdym punkcie powierzchni. Inaczej mówiąc stosunek gęstości powierzchniowej ( x, ku ładunkowi 8
( x, f ( x, (7.6) określa pewną funkcję współrzędnych dowolnego punktu ( x, powierzchni przewodnika. Funkcja ta zależy wyłącznie od kształtu powierzchni przewodnika. Znajdziemy teraz potencjał pola naładowanego przewodnika w punkcie P. Podzielmy powierzchnię przewodnika na nieskończenie małe elementy d. Potencjał pola ładunku ( d ) w punkcie P wynosi d f ( x, d dϕ. (7.7) 4πε r 4 r πε Całkując to wyrażenie względem całej powierzchni przewodnika otrzymujemy dla potencjału pola naładowanego przewodnika w punkcie P : f ( x, d ϕ. (7.8) 4πε r Wzór (7.8) jest słuszny dla dowolnego punktu P. Niech ten punkt P znajduje się na powierzchni przewodnika. Ponieważ powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną ( ϕ const), wartość całki we wzorze (7.8) musi nie zależeć od położenia punktu P na powierzchni przewodnika. Więc całka 4πε f ( x, d r we wzorze (7.8) wyliczona dla dowolnego punktu na powierzchni przewodnika jest wielkością zależną jedynie od rozmiarów i kształtu powierzchni przewodnika. Wielkość 9
C 4πε f ( x, d r (7.9) nazywa się pojemnością elektryczną przewodnika. Związek (7.8) z uwzględnieniem (7.9) możemy zapisać w postaci ϕ albo C C. (7.) ϕ Pojemność elektryczna przewodnika jest równa więc ilości elektryczności ( ), jakiej należy udzielić nie naładowanemu przewodnikowi w celu zmiany jego potencjału o jednostkę: ϕ V. Korzystając ze wzoru (7.9) obliczmy pojemność elektryczną kuli przewodzącej o promieniu. Zgodnie ze wzorem (7.6) ( x, f ( x,. (7.) (4π ) 4π A zatem 4πε f ( x, d r (4π ε ) d r. (7.) We wzorze (7.) r jest odległością elementu powierzchni kuli d od dowolnie wybranego punktu P na powierzchni kuli.
Wybierzmy punkt P na biegunie północnym kuli. Wtedy biorąc pod uwagę, że d sinθ dθ dϕ θ θ sin cos dθ dϕ, θ r sin, znajdujemy d θ d cos d (4 ) r (4 ) ϕ θ π ε π ε 4πε π π. (7.3) Po podstawieniu tego wyniku do wzoru (7.9) otrzymujemy C 4πε f ( x, d (4πε ) r. (7.4) Oczywiście, że wzór (7.4) również wynika ze wzoru (7.), jeżeli przypomnim że potencjał kuli o promieniu jest równy ϕ /( 4πε ). W układzie I jednostką pojemności jest farad (F) C F. V Ze wzoru (7.4) otrzymujem że pojemność elektryczną równą faradowi posiada kula przewodząca o promieniu ( k 4πε 9 9 Nm /C ) C 4 πε 9 9 6 m 9 km. Przypomnim że promień Ziemi wynosi 64 km. Z W praktyce stosuje się często pochodne jednostki pojemności elektrycznej: mikrofarad ( µ F ) -6 F; pikofarad ( pf ) - F. Pojemność układu przewodników. Kondensatory Pojemność odosobnionego naładowanego przewodnika określa wzór (7.). Jeżeli jednak w sąsiedztwie tego przewodnika umieścimy drugi nawet nie naładowany przewodnik, to
pojemność naładowanego przewodnika, czyli stosunek ładunku przewodnika do jego potencjału ϕ, zwiększy się. Istota tego zjawiska polega na tym, że w polu elektrycznym wytwarzanym przez przewodnik naładowan nie naładowany przewodnik elektryzuje się, przy czym najbliższymi do naładowanego przewodnika okazują się ładunki przeciwnego znaku. Te indukowany ładunki wytwarzają swoje pole elektryczne, które ma przeciwny zwrot niż pole naładowanego przewodnika. Wskutek nałożenia (superpozycji) tych dwóch pól potencjał naładowanego przewodnika zmniejszy się, a pojemność ( C ϕ ) - zwiększy się. Ta właściwość przewodnika zwiększać pojemność innych przewodników ze swego otoczenia, znajduje praktyczne zastosowanie w urządzeniach które nazywamy kondensatorami. Kondensator składa się z dwóch naładowanych przewodników, które posiadają taki kształt i są tak względem siebie położone, że wytwarzane przez nie pole elektrostatyczne jest całkowicie lub niemal całkowicie skupione w ograniczonej przestrzeni. Pojemność kondensatora określamy wzorem C, (7.5) U gdzie > - ładunek jednej z okładek i U ϕ ϕ jest różnicą potencjałów między okładkami kondensatora. > W zależności od kształtu okładek kondensatory dzielą się na płaskie, kuliste i cylindryczne. Określimy pojemność płaskiego kondensatora. óżnica potencjałów między okładkami jest równa
U d d ϕ ϕ E dx d, ε ε a zatem C ε. U d 3