dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym 5. SKRĘCNIE PRĘTÓW O PRZEKROJU KOŁOWO SYETRYCZNY I PROSTOKĄTNY 5.. Nprężen dkztłcen Ze kręcnem pręt pryzmtyczneg mmy d czynen wówcz, gdy ukłd ł zewnętrznych p jednej trne jeg przekrju pprzeczneg redukuje ę d mmentu, któreg płzczyzn dzłn jet tyczn d przekrju, wektr jet równległy d pręt. ment ten nzywmy mmentem kręcjącym. Nzym zdnem będze przede wzytkm wyznczene mcerzy nprężeń dkztłceń w dwlnym punkce pręt. Zgdnene kręcn prętów pryzmtycznych dje ę rzwązć prtym metdm wytrzymłśc mterłów tylk w przypdku prętów kłw ymetrycznym przekrju pprzecznym. Rzwżmy węc, pkzny n ry. 5. pręt pryzmtyczny kłwym przekrju pprzecznym, któreg ple jet równe, kreślny w ukłdze (, Y,Z) w którym ś jet ą pręt dwe pztłe ą m głównym centrlnym jeg przekrju pprzeczneg. terł pręt jet lnw prężyty tłych mterłwych E rz ν. Z Y v (,, ) Z Y τ z τ y σ I II I Ry. 5. Ptwne zdne rzwążemy ptępując według klkkrtne już twneg lgrytmu. P dknnu myślweg przekrju pręt n dwe częśc, drzucenu częśc II przyłżenu d częśc I ukłdu ł wewnętrznych rzwżymy trzy kmplety równń tzn. równn równwg, gemetryczne fzyczne. Równn równwg wynkjące z twerdzen równwżnśc dpwednch ukłdu ł wewnętrznych zewnętrznych w tym przypdku przyjmą ptć: d, ( τ y z + τ z y) d ( ) σ d, τ y, τ z d, σ z d, σ y d. (5.) Równn gemetryczne frmułujemy w prcu przypuzczny brz defrmcj pręt. Przyjęte złżen włnścch mterłu pręt, młych przemezczench zd 8
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym płkch przekrjów pzwlją przyjąć brz jeg defrmcj p bcążenu pkzny n ry. 5.. Nrywn n pwerzchn zewnętrznej pręt tk prtpdłych d ebe ln p ϕ( ) Z γ r ρ γ B r dϕ ( ) l d ϕ( l) () B τ r d τ Ry. 5. przyłżenu mmentu kręcjąceg defrmuje ę tk, że lne równległe d pręt przechdzą w lne śrubwe lne prtpdłe d pręt pztją d neg prtpdłe. żn węc pć mechnzm defrmcj jk brty wkół pręt płkch kłwych. ne defrmujących ę przekrjów przy ne zmenjących ę mędzy nm dległścch, ztem dkztłcen lnwe włóken równległych d ukłdu dneen ą równe zeru: ε ε ε, y z rz γ. yz Kąt jk brcją ę pzczególne przekrje nzywć będzemy kątem kręcen znczymy g ϕ ( ). Dl dlzej nlzy defrmcj pręt wytnjmy z neg element dwlne młej długśc d (ptrz ry. 5.). Przyrt kąt kręcen n tym dcnku znczmy przez dϕ ( ). Z ry.5. dczytujemy, że n pbczncy zchdzą zleżnśc: ' BB d γ r BB ' dϕ dϕ( ) ( ) r ztem γ r r, d gdze: γ r - dkztłcene kątwe n pbczncy pręt. Jeśl dlej przyjmemy, że zleżnśc zuwżne n pbczncy pełnne ą równeż wewnątrz pręt t mżemy npć: ( ) dϕ γ ρ (5.) d gdze: γ - dkztłcene kątwe w punkce prmenu wdzącym ρ dwóch prtpdłych d ebe włóken, z których jedn jet równległe d pręt druge prtpdłe d prmen wdząceg. P wprwdzenu pjęc jedntkweg kąt kręcen kreślneg wzrem: dϕ ( ) ( ) θ, (5.) d
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym w mejce zleżnśc (5.) dtjemy: ( ) γ ρ θ. (5.) Z równń fzycznych Hke trzymujemy: σ σ σ E ν ε + + ν ν ( ε + ε + ε ) σ y z E ν ε y + + ν ν ( ε + ε + ε ) σ y y z y E ν ε z + + ν ν ( ε + ε + ε ) σ z y z z τ yz Gγ yz τ yz rz ( ) τ G γ Gρθ (5.5) Z Kerunek wektr tych ttnch nprężeń tycznychτ, jet prtpdły d prmen τ wdząceg punktu ρ jeg zwrt jet tk, τ y τ z że kręc względem śrdk tk m jk z ρ Y bcążjący przekrój mment kręcjący. α Jk wdć z ry. 5. nprężen tyczne w y rzwżnym punkce, równległe d ukłdu dneen, mżn wyrzć pprzez nprężene tyczne τ wzrm: Ry.5. τ y τ nα τ z τ cα (5.6) p pdtwenu (5.) przyjmują ptć: τ y Gθ ( )z τ Gθ ( )y. (5.7) z Wrcmy d równń równwżnśc (5.). Perwze, pąte zóte z uwg n zerwn ę nprężeń nrmlnych ą pełnne tżmścw. Równne druge ( ) z d Gθ ( ) z d τ y d Gθ, jet pełnne, b cłk t mment ttyczny względem centrlnej Y. Z nlgczneg pwdu pełnne jet trzece równne równwżnśc: z ( ) y d Gθ ( ) y d Gθ τ d. Przejdźmy d równn czwrteg: ( τ y z + τ z y) d ( )
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Pdtwene pd cłkę zleżnśc (5.7) klejne przekztłcen dją [ G ( ) z + Gθ ( ) y ] d ( ) θ Gθ ( ) ( z + y ) d ( ) ( ) θ ( ) (5.8) G J + ρ t begunwy mment bezwłdnśc przekrju gdze: J ( y z ) d d pprzeczneg względem jeg śrdk cężkśc, lczyn nzywny jet ztywnścą n kręcne. Wtwjąc (5.8) d (5.5) trzymujemy wzór kreśljący rzkłd nprężeń tycznych w przekrju pprzecznym kręcneg pręt przekrju kłw-ymetrycznym: τ J ( ) ρ. (5.).. nlz tnu nprężen dkztłcen W rzwżnym przypdku n płzczyznch prtpdłych d ukłdu dneen ne m nprężeń nrmlnych wytępujące w płzczyźne przekrju pprzeczneg nprężen tyczne kreślne wzrem (5.) ą lnw zleżne d dległśc d jeg śrdk cężkśc. Ztem wą njwękzą wrtść ągją ne w punktch leżących n bwdze: ( ) ( ) mτ r (5.) J W J gdze: W - wkźnk wytrzymłśc przy kręcnu (lub begunwy wkźnk r wytrzymłśc) Rzkłd tych nprężeń tycznych pkzny jet n ry.5. jk już pwedzn wyżej ch kerunek jet prtpdły d wektr wdząceg punktu zwrt tk, że kręcą ne względem śrdk cężkśc tk m jk bcążjący przekrój mment kręcjący. Kłw ymetr przekrju pwduje, że tk lnwy rzkłd wytępuje n kżdym dcnku przechdzącym przez śrdek przekrju pprzeczneg. mτ Ry. 5. mτ Pkzuje t wyrźnej ry..5, który mże równeż ułtwć zrzumene, że w mwnym przypdku w kżdym punkce pręt mmy d czynen z płkm tnem nprężen (dkłdnej z czytym ścnnem) że płzczyzną teg tnu jet płzczyzn prtpdł d przekrju pprzeczneg prtpdł d wektr wdząceg punktu. Nprężen główne, z których jedn jet rzcągjące druge śckjące wrtścch równych nprężenm tycznym, nchylne ą pd kątem 5 d pręt (ry.5.5).
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym m τ τ σ τ σ τ τ 5 m τ σ τ 5 σ τ Ry..5 cerz dkztłceń dpwdjącą wyzncznym nprężenm blczmy krzytjąc ze zwązków fzycznych Hke. Z zleżnśc (5.) (8.8) wynk, że kąt kręcen dwóch przekrjów dległych jet równy: ( ) ϕ ( ) θ ( ) d d. (5.) G J Stąd, cłkwty kąt kręcen pręt długśc l, bcążneg tłym mmentem kręcjącym, wyn: ( ) l ϕ. (5.) G J W tym mejcu wrt zwrócć uwgę n zleżnść (5.), pkzuje n, że funkcj mmentów kręcjących pdzeln przez ztywnść n kręcne jet pchdną kąt kręcen. 5.. Energ prężyt kręcneg pręt kłw ymetrycznym przekrju Pdtwene wyrżeń kreśljących elementy mcerzy nprężeń d wzrów (8.8) pzwl n wyznczene gętśc energ prężytej energ prężytej dl kręcneg pręt kłw ymetrycznym przekrju pprzecznym: τ ( ) ( ) τ + τ + ν Φ y z ρ, E G G J tąd energ prężyt tkeg pręt długśc l wyn: l l ( ) ( ) ( ) dv d d d U Φ dv ρ G J ρ G J V V G J W przypdku pręt, któreg przekrój pprzeczny zmen ę n jeg długśc, energ prężyt jet równ:.
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym U n l ( ) d, (5.) gdze umwne nleży wyknć p wzytkch przedzłch chrkterytycznych. 5.. Wymrwne kręcnych prętów kłw ymetrycznym przekrju Stn grnczny nśnśc wymg by njwękze nprężen tyczne w kntrukcj były mnejze d nprężeń blczenwych przy ścnnu R t : m τ R t W przypdku pręt tłym przekrju pprzecznym n cłej jeg długśc njwękze nprężen tyczne wytąpą w przekrju mkymlneg mmentu kręcjąceg we wzytkch punktch n bwdze wrunek tnu grnczneg nśnśc przyjme frmę: m m τ Rt (5.) W Stn grnczny użytkwn ne dpuzcz zbyt dużeg kąt kręcen w kntrukcj zwązny z nm wrunek tw wymóg, by njwękzy jedntkwy kąt kręcen był mnejzy d dpuzczlneg: m θ θ dp. W przypdku pręt pryzmtyczneg wyknneg z jedneg mterłu njwękzy jedntkwy kąt kręcen wytąp w przekrju mkymlneg mmentu kręcjąceg wrunek tnu grnczneg użytkwn przyjmuje ptć: m G J θ dp 5.5. Przykłdy. (5.5) Przykłd 5.5.. Wyznczyć begunwy mment bezwłdnśc begunwy wkźnk wytrzymłśc dl przekrju kłweg rurweg. Z Z O Y O Y J W J y J r r d + J z π r π r π d 6 π d r w r z π r z π rw π rz rw J rz J π rz rw W rz rz
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Przykłd 5.5..Wyznczyć ptrzebną średncę pręt kręcneg bcążneg jk n ryunku ze względu n tn grnczny nśnśc użytkwn jeśl R P, G 8 GP, θ dp. /m. P przyjęcu średncy wyznczyć wykre kątów kręcen pzczególnych przekrjów względem przekrju. S 6 knm knm knm t B C D.5 m. m. m Rzwązne Wykre mmentów kręcjących pzwl kreślć mkymlny mment kręcjący w kntrukcj. by g wyznczyć wperw wylczymy mment kręcjący w utwerdzenu. P przyjęcu jeg zwrtu jk n ryunku wrunek równwg ł dzłjących n pręt m ptć: lub nczej, c pkzuje fzyczną nterpretcję teg wrunku: + 6 +. knm. S S by prządzć wykre mmentów kręcjących wygdne jet przyjąć lklną umwę znkwn tych ł przekrjwych, któr uwlnłby n d ukłdu glblneg nfrmcj p której trne przekrju dknywn jet redukcj. Z pdbnym umwm melśmy już d czynen - był t ukłd włny przekrju pprzeczneg pręt przy znkwnu ł pprzecznych pdłużnych czy też pdy przy mmentch zgnjących. Umwę znkwn mmentów kręcjących pkzuje pnżzy ryunek ddtne mmenty kręcjące ujemne mmenty kręcjące Przy tej umwe wykre mmentów kręcjących w rzwżnym pręce pkzuje ryunek pnżej: knm 6 knm knm knm B C D. m.5 m. m.. () Nm. ϕ..567.75
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym kymlny mment kręcjący m. knm. Wyznczene średncy pręt. Ptrzebny wymr ze względu n tn grnczny nśnśc: m m π d * mτ Rt W d 7. * m. 6 W R 6 * Ptrzebny wymr ze względu n tn grnczny użytkwn: t m mθ θ dp J m Gθ dp π d * * 8 8* * π *. d. * m. W wrunku tnu grnczneg użytkwn θ dp pdne w /m nleżł wyrzć w /m pnewż 8 π - tąd frm zpu teg wrunku. Przyjęt d wyknn d.5 cm. Begunwy mment bezwłdnśc pręt przy tkej średncy wyn: *. 5 J π 6. 8 cm. Kąty kręcen względem przekrju utwerdzen wyznczymy umując kąty kręcen pzczególnych przekrjów chrkterytycznych względem ebe. Pnewż we wzytkch przedzłch chrkterytycznych mmenty kręcjące ą tłe, t kąty kręcen mżemy lczyć według wzru: l ϕ. G J Ztem: ϕ B. * *. 8. rd. * 8 8* * 6. 8* π., ϕ BC. * *. 5 8. 78 rd. 78* 8 8* * 6. 8* π. 7, ϕ. * *. 8 CD. 6 rd. 6* 8 8* * 6. 8* ϕ ϕ + ϕ + ϕ.. 7 +.. 75. D B BC CD π. Oblczne kąty pzwlją nrywć wykre kątów kręcen, który ztł pkzny n ryunku wyżej., Przykłd 5.5.. Wyznczyć mkymlne nprężene tyczne w przekrju pprzecznym dwutrnne zmcwneg pręt kręcneg kkw zmennym przekrju kłwym jk n ryunku. Dne ą: d, l, G rz. 5
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym.5 d l d d E B C D l l.5 Pręt jet jednkrtne ttyczne newyznczlny gdyż d wyznczen dwóch rekcj w ptc mmentów kręcjących w utwerdzench E dypnujemy tylk jednym równnem równwg, tj.. Ddtkweg równn nleży, jk zwze w przypdku zdn ttyczne newyznczlneg, pzukwć w wrunkch gemetrycznych kntrukcj. W tym przypdku wrunek gemetryczny wynk z butrnneg zmcwn pręt, ztem kąt kręcen krjnych przekrjów jet równy zer c dje ddtkwe równne w ptc ϕ E. Przy złżnych jk n ryunku, zwrtch mmentów kręcjących w utwerdzench równn te mją ptć: równne równwg + + E, równne gemetryczne ϕ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ, E B BC CD DE l E.55 l + B ( + ) l ( + ) l ( + ) BC + CD + DE l Begunwy mment bezwłdnśc n dcnku B jet równy: π d J B jeśl znczymy g przez J, t begunwe mmenty bezwłdnśc n pztłych dcnkch pręt wynzą: J BC J CD 6J, J DE 8J. Przy tych znczench równne gemetryczne przyjmuje ptć: l + ( + ) l ( + ) l ( + ) G* 6J z któreg wylczmy + G* 6J + G* 8J l,. 5, p wtwenu d równn równwg trzymujemy E. 55. Wykre mmentów kręcjących pkzny n ryunku gemetr przekrjów pprzecznych pręt pzwl ądzć, że njwękze nprężen tyczne wytąpą n dcnku CD w punktch n bwdze przekrju pprzeczneg będą mły wrtść:. 55 m τ. 88. π ( d ) d d 6
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Przykłd 5.5.. Wyznczyć ptrzebną średncę pręt kręcneg, bcążneg jk n ryunku ze względu n tn grnczny nśnśc użytkwn, jeśl R P, G 8 P, θ dp. /m. P przyjęcu średncy wyznczyć wykre kątów kręcen pzczególnych przekrjów względem przekrju. t d.8 d knm knm/m B C D m m m m E Rzwązne Pręt jet jednkrtne ttyczne newyznczlny. D wyznczen dwóch rekcj w ptc mmentów kręcjących w utwerdzench E dypnujemy jednym równnem równwg jednym równnem gemetrycznym. d.8 d knm knm/m E B C D m m m m E 5.88. 6. knm 7.6 m.768 ϕ - rd.8.6 Przy złżnych jk n ry. zwrtch mmentów kręcjących w utwerdzench równn te mją ptć: równne równwg + * + E równne gemetryczne 7
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym ϕ E ϕ + ϕ + ϕ + ϕ B BC CD DE * + C ( + ) * ( + ) * ( + * ) C + CE + CE * W pwyżzym równnu równwg bcążene, rzłżnym w pób cągły mmentem kręcjącym n dcnku DE ztł ztąpne równwżnym, kupnym w śrdku dcnk mmentem kręcjącym. π d Begunwy mment bezwłdnśc n dcnku C jet równy J C jeśl znczymy g przez J, t begunwy mment bezwłdnśc n pztłym dcnku pręt m wrtść (. 8d ) π d π J CE. 5 J. P wykrzytnu tej zleżnśc prtych rchunkch równne gemetryczne przyjmuje ptć: 688 + 88. 76. Z tych dwóch równń trzymujemy:. knm, E 6. knm. Równn mmentów kręcjących: < <. m ( ). knm,. < < 6. m ( ) + 5. 88 knm 6. < <. m ( ) 5. 88 ( 6) ; ( 6) 5. 88 knm, ( 7. 6), ( ) 6. knm. W mejcu zerwn ę mmentu kręcjąceg, tj. dl 7.6 m wytąp ektremum kąt kręcen w tym przedzle. Wykre mmentów kręcjących pkzny jet wyżej. Wyznczene welkśc ptrzebnej średncy pręt. dcnek C m. knm tn grnczny nśnśc m W R t W m R tn grnczny użytkwn t π d. * 6 6 * d. 87 m, m θ dp J m G θ dp π d. * * 8 8* *. * π d. 6m. dcnek CE m 6. knm 8
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym (. 8d ) π d π d π J. 5. 58 d J W. 5 d. d tn grnczny nśnśc, m m 6. * Rt W. 5 d 6 W Rt * d. 78 m, tn grnczny użytkwn m m 6. * * 8 θ dp J. 58 d G θ 8* *. * π d. 5 m. dp Przyjęt d wyknn d. m.. Begunwy mment bezwłdnśc n dcnku C wyn 77 cm n dcnku CE jet równy 7 cm Równn kątów kręcen względem przekrju : < <. m ϕ. ( ). * d d. 67* ; B. 8* 8 ϕ 8* * 77* rd. < < 5. m ϕ ( ) ϕ B + d ϕ B +. 8* +. 8* 8* 5. 88* * 77* d ( ) ; ϕ. 6* rd C 8 5. < < 6. m ϕ ( ) ϕ C + d ϕ C +. 6* 5 5 +. 6* 8* 5. 88* * 7* d ( 5) ; ϕ. 6* rd D 8 6. < <. m ϕ ϕ D + 6 5. 6* ( ) [ 5. 88 ( 6) ] d ϕ D + 6 +. 6* 8* * 7*. 8* * 8 d ; ϕ E. 5* 6 rd
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Ektremlny kąt kręcen w tym przedzle: ( 7. 6). 768* rd ϕ. Wykre kątów kręcen względem przekrju jet wyżej pkzny. Przykłd 5.5.5. W kręcnym pręce kłwym średncy d cm bcążnym jk n ry. wyznczyć: wykre mmentów kręcjących, wykre kątów kręcen pzczególnych przekrjów względem przekrju rz ektremlne nprężen główne dkztłcen główne jeżel tłe mterłwe wynzą E 5 GP, ν.. knm 5 knm/m m B knm/m m C Rzwązne knm 5 knm/m knm/m m B m C. 5.5. m.. knm ϕ - rd. 7.6.58 5.85 Równn mmentów kręcjących: < <. m ( ).. 5*.. 5, ( ). knm, ( ) 5. 5 knm, ( ).. < <. m ( ) + ( ) knm. ( ). knm, ( ). knm, (. ). knm. * Begunwy mment bezwłdnśc przekrju pręt wyn: J π 5. 75cm.
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym E 5* 8 Sztywnść n kręcne J 5. 75*. 65* + ν +. ( ) ( ) Równn kątów kręcen względem przekrju : < <. m 6 Nm. ϕ ( ) ( +. 5 )* d d (. +. 56 )* rd 6. 65*. * rd, ϕ ϕ B ( ) ( ) 7. 6* rd ϕ.. < <. m ϕ ( ) ( ) * d ϕ + d (. +.. ) * rd ϕ B + B. 65* 6 6 6 5 8 67 ϕ ( ) ϕ 7 6* rd, ϕ ( ). 55* rd, ϕ ( ) ϕ 5. 85* rd B. C ϕ.. 58*. Ektremlny kąt kręcen: ( ) rd Ektremlne nprężen główne dkztłcen główne wytąpą w przekrju njwękzeg mmentu kręcjąceg w dwlnym punkce n bwdze przekrju pprzeczneg pręt. Jeśl wyberzemy punkt K, t przy przyjętym ukłdze wpółrzędnych, wytąpą w nm jedyne nprężen tyczne: τ z τ z W. *. P. π *. 6 W wybrnym punkce wytępuje płk tn nprężen (czyte ścnne), który w płzczyźne tnu nprężen (tzn. płzczyźne (, Z)) jet reprezentwny przez mcerz :. T σ P.. Nprężen główne mją wrtśc: σ σ + σ z σ σ z + + τ m z. P, τ z K τ z Z Y. σ mn σ + σ z σ σ y + τ z. P. ch kerunk kreślją kąty :
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym tgα m τ z. α σ σ z m m 5, tgα τ z. α σ σ mn mn z mn 5. Z mn Wrtśc ektremlnych dkztłceń głównych wyznczymy, krzytjąc z równń Hke 6 ( +. ) *. ε m ( σ m νσ mn ). 6*, E 5* ε mn. Z.. σ m. σ mn. 6 ( +. ) *. * E 5* ( σ mn νσ m ). 6 Kerunk włóken, które mją ektremlne dkztłcen lnwe ( dkztłcen kątwe ą równe zer) pkrywją ę z kerunkm nprężeń głównych. 5.6. Nprężen tyczne w kręcnym pręce przekrju prtkątnym Przy kręcnu prętów przekrju pprzecznym kżdym nnym nż kłw ymetrycznym, ne jet prwdzwe złżene jkby przekrój płk przed przyłżenem bcążen pztł tk p bcążenu jeg przemezczen pległy jedyne n brce wkół pręt. Swbdnemu kręcnu tkch prętów twrzyzy deplncj (wypczne) ch przekrju pprzeczneg, tzn. punkty przekrju pprzeczneg mgą ę wbdne przemezczć w kerunku równległym d jeg nprężen nrmlne w przekrju pprzecznym ą równe zer. Otrzymne ścłych wynków dl tkch przypdków wymg użyc brdzej nż dtąd złżnych metd nlzy mtemtycznej nżej grnczymy ę jedyne d pdn kńcwych wynków ścłeg rzwązn zgdnen kręcn pręt przekrju prtkątnym uzyknych przez de Snt-Vennt w 855 r. Rzkłd nprężeń tycznych w kręcnym przekrju prtkątnym pkzny jet n ry.5.6. Nleży przede wzytkm zuwżyć, że nprężen te ą tyczne d knturu ągją njwękzą wrtść w płwe dłużzeg bku, zerują ę w nrżch. Zwrt nprężeń jet tk, że kręcą względem śrdk tk m jk bcążjący mment kręcjący. Wrtśc njwękzych nprężeń tycznych rz jedntkweg kąt pdją wzry:. 5 α mn 5 α m m
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Z h m τ Y m τ, (5.6) α hb b θ. (5.7) G β hb Ry. 5.6 Wpółczynnk α rz β wytępujące we wzrch (5.6) (5.7) zleżą ą d tunku bków h/b (b jet z umwy krótzym bkem) pdne ą w tbelce pnżej h/b..5.75..5.. 6. 8.. α.8...6.58.67.8..7.. β..6....6.8..7.. 5.7. Przyblżny pób wyznczn nprężeń tycznych w kręcnych prętch dwlnym przekrju Ten przyblżny pób tujemy njczęścej przy kręcnu prętów cenkścennych. Pręty tke chrkteryzują ę newelką grubścą ścnk w tunku d pztłych wymrów. Ze względu n kztłt przekrju mżemy je pdzelć n prfle twrte prfle zmknęte (ry.5.7). Zjmemy ę kżdym z tych rdzjów prętów ddzelne głównym nzym celem będze wyznczene njwękzych nprężeń tycznych w przekrju. prfle twrte prfle zmknęte Ry. 5.7 Zcznemy d prfl twrtych. Perwzym krkem, który mumy dknć w tym pdejścu jet pdzł prkymcj cłkwteg przekrju n częśc kłdwe, kżd przekrju prtkątnym (ry. 5.8). Dlej ten prkymwny przekrój trktwny jet jk zbór prtkątów, kżdy bcążny jkmś wm mmentem kręcjącym. Dl tkeg przyblżneg przekrju przyjmemy ntępne złżen uprzczjące: um mmentów kręcjących pzczególne prtkątne częśc kłdwe jet równ mmentw kręcjącemu przyłżnemu d cłeg prflu jednkwy jet jedntkwy kąt kręcn wzytkch pzczególnych elementów kłdwych.
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym b Rzwżmy pkzny n ry.5.8 przekrój pdzelmy g trzy prtkątne elementy (ztem w dlzych wzrch n ) wymrch b h, gdze zerkść b jet mnejzym wymrem dneg prtkąt. Pdzł n elementy kłdwe w zdze jet dwlny le wkzne jet zdrwrządkwe pdejśce w tym zkree. h b b h Ry. 5.8 Dl kżdeg kłdweg -teg elementu bwązują zleżnśc rzkłd nprężeń tycznych jk w prtkące: m τ, α h b θ Gβ hb Perwze złżene uprzczjące dje równne (mżemy je nzwć równnem równwg): n, (5.8) τ m druge złżene uprzczjące pzwl npć zleżnśc (mżemy je nzwć gemetrycznym): θ θ. (5.) Ze wzrów dl prtkąt zleżnśc gemetrycznych trzymujemy zwązk : h b θ Gβ h b θ Gβ h b, które p wtwenu d równn (5.8) dją zleżnść: n n θ G β h b, z której mżemy wyznczyć jedntkwy kąt kręcen przekrju: θ (5.) gdze: J β h b (5.) Wtwjąc wyrżene n jedntkwy kąt kręcen (5.) d wzru n mment kręcjący w -tym prtkące: θ Gβ hb Gβ hb G J J β h b dlej d wzru n nprężen tyczne, trzymujemy wzór kreśljący welkść mkymlnych nprężeń tycznych w nm wytępujących:
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym β mτ b. (5.) J α Z mkymlne nprężene tyczne w przekrju uznjemy njwękze nprężene ze wzytkch kłdwych prtkątów. Tblc wrtśc wpółczynnków α rz β pkzuje, że dl prtkątów, których wykść h jet znczne wękz d zerkśc b lrz β α jet blk jednśc gdy przekrój kłd ę włśne z tkch prtkątów t njwękze nprężene tyczne wytąp w prtkące njwękzej zerkśc. Zjmjmy ę terz njwękzym nprężenm tycznym w przekrju pprzecznym prfl zmknętych w ddtku tylk jednkmrwych (ry.5.). Z h() d τ d Y τ δ d τ δ d Ry. 5. W tym przypdku złżenem uprzczjącym będze przyjęce, że nprężen tyczne rzkłdją ę równmerne n grubśc ścnk. Pnewż nprężen tyczne n dwóch d ebe prtpdłych płzczyznch ą be równe, t wrunek równwg wycęteg dwlne młeg elementu pręt dwdz: τ τ δ τ δ, δd τ δ d że lczyn grubśc ścnk pnujących w tym mejcu nprężeń tycznych jet tły τ δ cnt Z kle z twerdzen równwżnśc ukłdów ł zewnętrznych wewnętrznych wynk: ( ) δ ( ) d h( ) τδ h( ) τ d. Ry.5. pkzuje, że ( ) τδ d τ δ h d d, ztem: gdze: - ple bzru grnczneg lną śrdkwą ścnk. żemy węc npć zleżnść: τ (5.) δ z której wynk, że mkymlne nprężen tyczne wytąpą w mejcu w którym grubść ścnk jet mnmln wynzą: 5
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym mτ. (5.) mnδ Wyznczmy terz jedntkwy kąt kręcen tkeg pręt. W rzdzle 8 twerdzlśmy, że w przypdku bcążeń ttycznych w kntrukcj wyknnej z mterłu prężyteg prc ł zewnętrznych jet równ energ prężytej ukłdu. Ztem dl pręt rzwżnym przekrju jedntkwej długśc bcążneg mmentem kręcjącym mżemy npć: τ θ dv. G V Pdtwjąc d pwyżzej zleżnśc wzór (5.) uwzględnjąc gemetrę przekrju pprzeczneg pręt, trzymujemy: le θ d, 8Gδ d δ d, węc tteczne, p prtym przekztłcenu, dtjemy: G d. (5.5) δ θ Wzry (5.) (5.5), kreśljące przyblżne wrtśc mkymlnych nprężeń tycznych jedntkweg kąt kręcen dl prfl zmknętych nzywne bywją wzrm Bredt. 5.7.. Przykłdy Przykłd 5.7... Wyznczyć njwękze nprężene tyczne w przekrju pprzecznym zyny klejwej pkznej n ry. kręcnej mmentem wrtśc. knm. 68 68 5 wymry w mm 7 7 Rzwązne P prkymcj przekrju trzem prtkątm jk n ryunku ptrzebujemy wyznczyć wpółczynnk α rz β dl kżdeg z nch. Interplując wrtśc pdne w tbelce trzymujemy: prtkąt : h b 68. 7 α. 7, β. prtkąt : h b 7 5. 5 α. 5, β. 5 prtkąt : h b 7 6. 7 α., β. J β h b. * 6. 8*. +. 5* 7. *. +. *. *. 7. cm. 6
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Njwękze nprężene tyczne wytąp w prtkące (m njwękzą zerkść) przyjmujemy, że jet t njwękze nprężene tyczne w rzwżnym przekrju mτ m τ β *. 6 b *. * 8 J α. *. 7 N/m. P. Przykłd 5.7... Zbdć jk wpływ n welkść njwękzeg nprężen tyczneg w przekrju pprzecznym kręcnym mmentem m pób jeg prkymcj prtkątm w dwóch pkznych n ryunku przekrjch. 5 5 Rzwązne Perwzy przekrój. Pdzł n trzy prtkąty Wpółczynnk α. 8, β. J β hb *.. mτ J β b α.. 66.. 8 Pdzł n dw prtkąty Wpółczynnk α 6, β, α 8, β J... β hb. * * +.. 5. mτ mτ β. b. 55 J α. 5. 6 β. b. 7 J α. 5. 8 Jeśl przyjąć perwzy pdzł z mrdjny t prcentwy błąd wynkjący z drugeg pdzłu wyn (. 66. 55). 66. % Drug przekrój. 7
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Pdzł n trzy prtkąty Wpółczynnk: α β, α α 8,.. 5 5 β β 8 J. β h b. * * + *. 8* * 6. 6 + mτ β. b. 66 J α. 6. 6 m τ β. 8 b. 656 J α. 6. 8 Pdzł n cztery prtkąty 5 5 6 Wpółczynnk α β. ą tke me dl wzytkch czterech prtkątów J β hb *. * 5* 5, 8 kymlne nprężene tyczne w kżdym prtkące będze równe m τ J β. b. 7 α 5. 8. Prcentwy błąd wynkjący z różnej prkymcj prtkątm w tym przypdku wyn (. 7. 66). 7. 6 % Te dw przykłdy dwdzą (chć zpewne ne jednznczne), że dwlny le rządny pdzł przekrju n kłdwe prtkąty m newelk wpływ n wrtść njwękzeg nprężen tyczneg w przekrju. Przykłd 5.7... Wyznczyć jk zmeną ę njwękze nprężen tyczne jedntkwy kąt kręcen w rurze kręcnej mmentem p jej przecęcu n pbczncy równlegle d jej. Rzwązne S.8 d z d z 8
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym W przypdku rury ne rzcętej mmy d czynen ze kręcnem przekrju kłw ymetryczneg. Ścłe rzwązne teg zgdnen dje njwękze nprężen tyczne w dwlnym punkce n bwdze wrtśc: m τ, W jedntkwy kąt kręcen wyn: θ. Begunwy mment bezwłdnśc begunwy wkźnk wytrzymłśc w rzwżnym przypdku ą równe: d π J π d z (.8 ) (. 8 ). d, W. d z J 576 5 z. d z d z W przypdku rzcętej rury ztujemy przyblżne rzwązne prkymując przekrój prtkątem wymrch b. d z rz h π *. d z. 87 d z.8 d z h b d z Njwękze nprężen tyczne jedntkwy kąt kręcen w przekrju prtkątnym wynzą: m τ α b h, θ. Gβ b h W rzwżnym przypdku dl h b. 87. 8. 7, wpółczynnk α β.. Stąd njwękze nprężen tyczne p rzcęcu rury wzrtją:.*.5d (.d ) z z *.87d z. rzy, jedntkwy kąt kręcen wzrt:.*.576 d (.d ) z z *.87d z 6.568 rzy.
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym Przykłd 5.7... Prównć wrtśc mkymlnych nprężeń tycznych jedntkweg kąt kręcen blczne według wzrów ścłych przyblżnych wzrów Bredt, w kręcnej rurze różnej grubśc ścnk. R r S Rzwązne Ptrzebujemy wyznczyć pewne chrkterytyk gemetryczne rury prmenu zewnętrznym R wewnętrznym r wytępujących we wzrch kreśljących pzukwne welkśc. δ R r R η, gdze : η r R. Grubść ścnk: ( ) π R Begunwy mment bezwłdnśc: ( η ) J. π R W η. Begunwy wkźnk wytrzymłśc: ( ) R + r πr Ple bzru grnczneg lną śrdkwą ścnk: π ( + η). d π R ( + η) π ( + η) Cłk p ln śrdkwej ścnk:. δ R ( η) ( η) kymlne nprężen tyczne blczne według wzrów trzymnych z rzwązn zgdnen kręcn prętów kłw ymetrycznych wynzą: mτ, W kymlne nprężen tyczne blczne według przyblżnych wzrów dl cenkścennych prfl zmknętych ą równe: mτ B, mnδ Stunek nprężeń wyzncznych według wzrów przyblżnych ścłych wyn: mτ B κ mτ S ( η ) ( η)( + η) ( η )( + η ) ( η )( + η) ( + η ) ( + η) Wykre zleżnśc wpółczynnk κ d η jet nżej pkzny.,75,5,5,5,5,75 r/r Wylczmy mnmlną wrtść wpółczynnk κ.
dm Bdnr: Wytrzymłść terłów. Skręcne prętów przekrju kłw ymetrycznym prtkątnym ( + η ) dκ η η + η η.. dη + η ( + η) Stąd mnmln wrtść κ wyn: ( +. ) mn κ. 88 ( +. ) kymlne nprężen tyczne blczne przyblżnym wzrem Bredt w kręcnej rurze, ą nżze d ścłych njwękzy prcentwy błąd wyn: (-.88)*% 7.%. Jedntkwy kąt kręcen według wzrów trzymnych z rzwązn zgdnen kręcn prętów kłw ymetrycznych jet równy: θ S. G J Jedntkwy kąt kręcen według przyblżneg wzru Bredt wyn: θ d B G. δ Stunek jedntkwych kątów kręcen wyzncznych według wzrów przyblżnych ścłych jet równy: θ κ θ ( η ) ( η)( + η) ( η)( + η)( + η ) ( η)( + η) ( + η ) B. S ( + η) Zleżnśc wpółczynnk κ d η pkzuje pnżzy wykre.,5,5,5,5,75 r/r Ztem blczen jedntkweg kąt kręcen, przyblżnym wzrem Bredt, dją wynk wękze d dkłdnych.