Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015
Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci 4
Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) Zasady gry Gracze Q i P nie znają bieżącej orientacji monety ani ruchów przeciwnika. Początkowo moneta jest ustawiona reszką do góry. Ruch każdego z graczy polega na odwróceniu monety lub pozostawieniu jej stanu bez zmian. Kolejność ruchów jest następująca: pierwszy ruch gracza Q, ruch gracza P, kończący rozgrywkę ruch gracza Q. Jeżeli końcowy stan monety to reszka, wygrywa Q, jeżeli orzeł wygrywa P. NN NF FN FF N -1 1 1-1 F 1-1 -1 1 Tabela : Tabela wypłat gracza P
Kwantowanie gry w odwracanie monety ψ >= a R > +b O > aa + bb = 1 ( ) 1 R > O > 0 ( ) 0 1 Strategie klasyczne Liniowa kombinacja odwrócenia monety z prawdopodobieństwem p i pozostawienia jej stanu bez zmian z pr-stwem (1 p): U P = p ( ) ( ) 0 1 1 0 +(1 p) 1 0 0 1 Strategie kwantowe Operacje unitarne: ( ) c d U Q = d c gdzie c 2 + d 2 = 1.,
Przewaga strategii kwantowych ( ) ( ψ 1 >= U Q R >= 1 1 1 1 2 1 1 0 ψ 2 >= U P ψ 1 >= 1 2 (p ) = 1 2 ( 1 1 ( ) 0 1 + (1 p) 1 0 ) ( 1 0 0 1 = 1 2 ( R > + O >) (1) )) ( ) 1 1 = 1 2 ( 1 1 ) (2) ( ) ( ) ( ) ψ 3 >= U Q ψ 2 >= 1 2 1 1 1 1 1 2 = = R > (3) 1 1 1 0
Wojna płci Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci α > β > γ Rysunek : Macierz wypłat (źródło obrazka [2]).
Definicje i pojęcia (cz. 1) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci Statyczna gra o pełnej informacji Każdy z graczy zna dostępne strategie innych i wynikające z nich wypłaty, ale poznają wybrane przez nich strategie dopiero wraz z końcem gry. Należy określić: liczbę graczy i = 1, 2,..., N; zbiory strategii dla każdego gracza {s α i }; funkcje wypłaty $ i = $ i (s 1, s 2,..., s N ), które przypisują i temu graczowi liczbę rzeczywistą (wypłatę) w zależności od strategii wybranych przez wszystkich graczy. W przypadku Wojny płci i = 2, zbiór strategii Alicji (Boba) to {O, T }, zaś funkcje wypłaty $ 1 (s 1, s 2 ) oraz $ 2 (s 1, s 2 ) są określone przez macierz wypłaty, np. $ 1 (O, O) = $ 2 (T, T ) = α.
Definicje i pojęcia (cz. 2) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci Mocna dominacja strategii Strategię i tego gracza s i nazywamy ściśle zdominowaną przez strategię s i, jeżeli: $ i (s 1,..., s i,..., s N ) < $ i (s 1,..., s i,..., s N ) dla każdego wyboru (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s N ). Równowaga Nasha Zespół strategii (s1, s 2,..., s N ) stanowi równowagę Nasha, jeżeli dla każdego gracza i zachodzi: $ i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s N) $ i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s N) dla każdej strategii s i dostępnej dla i tego gracza.
Definicje i pojęcia (cz. 3) Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci Strategie mieszane Strategia mieszana dla i tego gracza to rozkład prawdopodobieństwa, który przypisuje pr-stwo pi α każdej czystej strategii si α ze zbioru strategii i tego gracza. Wówczas $ i (s 1, s 2,..., s N ) jest zastępowane przez funkcję oczekiwanej wypłaty: $ i ({p 1 }, {p 2 },..., {p N }) = p α 1 1 pα 2 2...pα N N $ i(s α 1 1, sα 2 2,..., sα N N ) α 1,α 2,...,α N
Równowagi Nasha w Wojnie płci Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci p prawdopodobieństwo, że Alicja wybierze operę, p [0, 1] q prawdopodobieństwo, że Bob wybierze operę, q [0, 1] $ A (p, q) = p[q(α 2γ + β) + γ β] + β + q(γ β) (4) $ B (p, q) = q[p(α 2γ + β) + γ α] + α + p(γ α) (5) { $A (p, q ) $ A (p, q ) = (p p)[q (α + β 2γ) β + γ] 0 $ B (p, q ) $ B (p, q) = (q q)[p (α + β 2γ) α + γ] 0 (6) p (1) = 1, q (1) = 1 p (2) = 0, q (2) = 0 p (3) = α γ α+β 2γ $ A (1, 1) = α $ B (1, 1) = β $ A (0, 0) = β $ B (0, 0) = α q (3) = β γ α+β 2γ $ A = $ B = αβ γ2 α+β 2γ
Kwantowanie gry (cz. 1) Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Reguła 1 Przestrzeń strategii Alicji S A (Boba S B ) jest dwuwymiarową przestrzenią Hilberta: ψ >= a O > +b T >, a 2 + b 2 = 1. Na początku gry ustala się dowolny początkowy stan ψ in > z przestrzeni S = S A S B = ( OO >, OT >, TO >, TT >). Reguła 2 Ruch Alicji (Boba) polega na wykonaniu operacji unitarnej A S A (B S B ) na jej (jego) kubicie stanu ψ in >. Końcowy stan wynosi ψ fin >= A B ψ in >.
Kwantowanie gry (cz. 2) Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Reguła 3 Wartości $ A i $ B znajduje się obliczając kwadraty modułów rzutów stanu ψ fin > na wektory bazowe OO >, OT >, TO >, TT >, a następnie dodając uzyskane liczby przemnożone przez odpowiednie współczynniki z macierzy wypłat. Reguła 4 Ostatecznie Alicja musi zagrać klasyczną strategię, która wynika z pomiaru na końcowym stanie kwantowym, tzn. z rzutowania ψ fin > na wektory bazowe S A. Podobnie Bob.
Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Równowagi Nasha faktoryzowalne stany ψ in > (cz. 1) Skoro ψ in > jest faktoryzowalny, można przyjąć bez straty ogólności ψ in >= OO >. W bazie { O >, T >} operacje Alicji i Boba mają postać: A = ( ) a b b a gdzie a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1. Stan końcowy wynosi zatem: ψ fin >= A B ψ in >= ( ) c d B = d c, = ac OO > ad OT > b c TO > +b d TT >
Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci Równowagi Nasha faktoryzowalne stany ψ in > (cz. 2) Zgodnie z Regułą 3 znajdujemy więc: $ A = a 2 [(α + β 2γ) c 2 β + γ] + β + (γ β) c 2 (7) $ B = c 2 [(α + β 2γ) a 2 α + γ] + α + (γ α) a 2 (8) Wynik ten jest identyczny jak uzyskany w klasycznej teorii gier, jeżeli p = a 2 oraz q = c 2. Równowagi Nasha: ( a 2 = 0, c 2 = 0) ψ fin >= TT > $A = β $ B = α ( a 2 = 1, c 2 = 1) ψ fin >= OO > $ A = α $ B = β ( ) a 2 = α γ α+β 2γ, c 2 = β γ α+β 2γ $ A = $ B = αβ γ2 α+β 2γ ψ fin >= ( α γ O> β γ T >) ( β γ O> α γ T >) α+β 2γ
Nowe równowagi Nasha stany splątane Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci ρ A(B) fin ψ in >= a OO > +b TT >, a 2 + b 2 = 1 = pi ρ A(B) in I +(1 p)cρ A(B) in C (C O >= T, C T >= O) 1 p (1) = q (1) = 1 $ A (1, 1) = α a 2 + β b 2 $B (1, 1) = β a 2 + α b 2 2 p (2) = q (2) = 0 $ A (0, 0) = β a 2 + α b 2 $B (0, 0) = α a 2 + β b 2 3 p(3) = (α γ) a 2 +(β γ) b 2 α+β 2γ q(3) = (α γ) b 2 +(β γ) a 2 α+β 2γ $ A (p (3), q (3) ) = $ B (p (3), q (3) ) = αβ + (α β)2 a 2 b 2 γ 2 α + β 2γ
Ostateczny kompromis Kwantowanie Wojny płci Kwantowa Wojna płci pod nieobecność splątania Wpływ splątania na kwantową Wojnę płci 1. Brak samotnych wieczorów $ A (1, 1) + $ B (1, 1) = $ A (0, 0) + $ B (0, 0) = α + β 2. Równowagi Nasha 1 i 2 można połączyć { $A (1, 1) $ A (0, 0) = (α β)( a 2 b 2 ) $ B (1, 1) $ B (0, 0) = (α β)( b 2 a 2 ) kompromis = a = b = 1 2 3. Najlepsza strategia ψ in >= 1 2 ( OO > + TT >) = ψ fin > (p = 0, q = 0) albo (p = 1, q = 1) $ A = $ B = α + β 2
Paradoks więźnia klasyczne i kwantowe sformułowanie Bob: C Bob: D Alice: C (3,3) (0,5) Alice: D (5,0) (1,1) ψ f >= J (U A U B )J CC > (9) ( ) e U(θ, φ) = cos θ/2 sin θ/2 sin θ/2 e iφ cos θ/2 (10) ( ) ( ) 1 0 0 1 U(0, 0) = C = U(π, 0) = D = U ( ( ) 0, π ) i 0 0 1 1 0 2 = Q = 0 i [ ] iγd D J = exp 2 γ [0, π/2] wsp. splątania (11)
Paradoks więźnia - gra separowalna (γ = 0) Rysunek : Wypłata Alicji w grze separowalnej. Na wykresie wybrano specjalną parametryzację, w której U A i U B zależą tylko od jednego parametru t [ 1, 1]: przyjmujemy U A = U(tπ, 0) dla t [0, 1] oraz U A = U(0, tπ/2) dla t [ 1, 0) (podobnie dla Boba). Zdrada D odpowiada t = 1, współpraca C to t = 0, a strategia Q jest reprezentowana przez t = 1 (źródło obrazka [3]).
Paradoks więźnia - maksymalne splątanie (γ = π/2) Rysunek : Wypłata Alicji w grze o maksymalnym splątaniu (źródło obrazka [3]).
Podsumowanie Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) Poszerzenie przestrzeni dostępnych strategii o strategie kwantowe może prowadzić do powstawania nowych równowag Nasha i znikania dotychczasowych. Zastosowanie strategii kwantowych może prowadzić do rozwiązań korzystniejszych dla obu graczy, klasycznie niedostępnych. Szczególną rolę w grach kwantowych spełnia splątanie stanu, na krórym operacje mogą wykonywać gracze. Gracz dysponujący strategią kwantową grający przeciwko graczowi korzystającemu wyłącznie ze strategii klasycznych na ogół będzie posiadać przewagę.
Literatura Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) [1] David A. Meyer (1999) Quantum strategies Physical Review Letters 82 (5), 1052 1055. [2] L. Marinatto, T. Weber (2000) A quantum approach to static games of complete information Physics Letters A 272, 291 303. [3] J. Eisert, M. Wilkens, M. Lewenstein (1999) Quantum games and quantum strategies Physical Review Letters 83 (15), 3077 3080. [4] http://mindyourdecisions.com/blog/2012/09/11/ quantum-coin-flipping-game-theory/