Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Podobne dokumenty
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

Matematyka ETId Elementy logiki

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Lista 1 (elementy logiki)

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Elementy logiki matematycznej

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Rachunek zdao i logika matematyczna

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

Dalszy ciąg rachunku zdań

1 Podstawowe oznaczenia

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Logika pragmatyczna dla inżynierów

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Rachunek zdań i predykatów

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

dr ANNA NIEWULIS CENTRUM NAUCZANIA MATEMATYKI i KSZTAŁCENIA na ODLEGŁOŚĆ pokój 310

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Drzewa Semantyczne w KRZ

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Dorota Pekasiewicz Uniwersytet Łódzki, Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Katedra Metod Statystycznych, Łódź, ul. Rewolucji 1905 r.

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

1 Działania na zbiorach

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Konsekwencja logiczna

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Logika Matematyczna Spójniki logiczne Tautologie Dowodzenie Kwantyfikatory Zagadki. Logika Matematyczna. Marcelina Borcz.

Zbiory, relacje i funkcje

ĆWICZENIE 2. DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł wartościowanie w, takie że w A. A,, A w KRZ, jeżeli nie istnieje

Rachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a

Adam Meissner.

LOGIKA Dedukcja Naturalna

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

4 Klasyczny rachunek zdań

Elementy logiki matematycznej

Wstęp do matematyki listy zadań

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

Matematyka dla biologów skrót wykładu 1.

Zestaw 1. Podaj zdanie odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycję) dla każdego z następujących

Logika, teoria zbiorów i wartość bezwzględna

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Wstęp do matematyki Piotr Jędrzejewicz UMK Toruń 2014

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

Podstawy logiki i teorii mnogości w zadaniach

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Transkrypt:

1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady. Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0, Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 + 1 > 0, Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: Czy lubisz frytki?, Daj mi spokój, x dzieli się przez 3, bo nie można przypisać im wartości logicznej. Zdania oznaczamy literami: p, q,.... Z danych zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych): oznaczanych symbolami Zdania złożone: nie, i, lub, implikuje (jeżeli... to), jest równoważne,,,,,. p, p q, p q, p q, p q, nazywamy odpowiednio negacją (zdania p), koniunkcją, alternatywą (zdań p, q), implikacją (o poprzedniku p i następniku q) i równoważnością (zdań p, q). Wartości logiczne zdań złożonych zależą tylko od wartości logicznych zdań prostych. Wyjaśnia to tabela: p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Największe trudności sprawia implikacja. Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (w szczególności również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) 1

Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego). Mianowicie, jeżeli p q, to q jest warunkiem koniecznym dla p (tzn. jeśli nie zachodzi q, to nie może zachodzić p); jednocześnie, p jest warunkiem dostatecznym dla q (gdy występuje p, to na pewno prawdziwe jest q). Np. zdanie liczba x jest parzysta jest warunkiem koniecznym dla zdania liczba x jest podzielna przez 4, ale nie jest warunkiem dostatecznym dla tego zdania. Jeżeli w zapisie nie ma nawiasów między funktorami, to najpierw wykonujemy negację, potem koniunkcję, alternatywę, implikację i równoważność. Oczywiście nawiasy są nadrzędne, tzn. najpierw wykonujemy działania w nawiasach. W przykładach wypowiedzi, które nie są zdaniami, było: x dzieli się przez 3. Nie można jej przypisać wartości logicznej, gdy nie wiemy, czym jest x. Gdy jednak w miejsce x podstawimy jakąś liczbę, to otrzymamy zdanie. Dlatego tego typu wypowiedź nazywamy formą zdaniową. Definicja 1 Formą zdaniową (lub funkcją zdaniową) nazywamy wypowiedź zawierająca pewną liczbę zmiennych p, q, r,..., przy czym jeśli w miejsce zmiennych podstawimy konkretny obiekt, to otrzymamy zdanie. Np. formą jest: x leży w Polsce. Podstawiając w miejsce x Kraków otrzymamy zdanie prawdziwe, a podstawiając Londyn zdanie fałszywe. Obiektem może być też inne zdanie. Jeżeli dane wyrażenie zawiera zmienne zdaniowe p, q, r,... połączone funktorami to nazywamy je formułą rachunku zdań. Np. (p q) r jest formułą. Gdy podstawimy np. p: Kraków leży w Polsce, q: Polska leży w Europie. r: Kraków leży w Europie, to otrzymamy zdanie. Wartość logiczna zdania otrzymanego z formy zdaniowej zależy na ogół od wartości logicznej zdań składowych. Np. formuła (p q) r ma wartość 1 dla p = 0, q = 0, r = 1, zaś wartość 0 dla p = 1, q = 1, r = 0. Istnieją jednak formuły rachunku zdań, które przyjmują wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe. Definicja 2 Formułę rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe nazywamy tautologią (prawem rachunku zdań). Wymienimy teraz ważniejsze tautologie. 1. Prawo wyłączonego środka (tertium non datur): p p. Zasada ta precyzuje, czym jest zaprzeczenie zdania. Przykładowo, zaprzeczeniem zdania Następny sprawdzian z matematyki odbędzie się za tydzień nie jest zdanie Następny sprawdzian z matematyki odbędzie się za dwa tygodnie, bo sprawdzian może się odbyć w innym terminie. Poprawnym zaprzeczeniem jest zdanie Następny sprawdzian z matematyki nie odbędzie się za tydzień. 2. Prawo sprzeczności: (p p). Oznacza to, że zdanie i jego zaprzeczenie nie mogą być jednocześnie prawdziwe. 3. Prawa de Morgana: (p q) p q, 2

(p q) p q. Zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń, zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń. 4. Rozdzielność koniunkcji względem alternatywy: p (q r) (p q) (p r). 5. Rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: 6. Prawo transpozycji: 7. Prawo odrywania (modus ponens): p (q r) (p q) (p r). (p q) [( q) ( p)]. [(p q) p] q. Jest to jedna z podstawowych reguł wnioskowania. Jeżeli prawdziwa jest implikacja i jeżeli prawdziwy jest jej poprzednik, to prawdziwy musi być także jej następnik. 8. Prawo sylogizmu: [(p q) (q r)] (p r). To, czy dana forma zdaniowa jest tautologią, czy nie, można sprawdzić stosując tzw. metodę zero-jedynkową, tzn. podstawiając w miejsce zmiennych ich wszystkie możliwe wartości logiczne. Przykład.. Sprawdzimy pierwsze prawo de Morgana. p q p q (p q) p q (p q) p q 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Wiemy, że funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania. Innym sposobem uzyskania zdania z formy zdaniowej jest użycie kwantyfikatorów określających wzajemne związki między funkcją zdaniową a zakresem zmienności jej zmiennych zdaniowych. Definicja 3 Wyrażenie dla każdego nazywamy kwantyfikatorem ogólnym (dużym) i oznaczamy symbolem. Wyrażenie istnieje nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (małym) i oznaczamy symbolem. Np. symbol x>0 czytamy dla każdego x > 0 lub dla dowolnego x > 0. Forma zdaniowa sin x > 0 poprzedzona tym kwantyfikatorem staje się zdaniem: x>0 sin x > 0. Jest to oczywiście zdanie fałszywe. Natomiast zdanie: x>0 sin x > 0 (istnieje takie x, że sin x > 0) jest zdaniem prawdziwym. Z określenia kwantyfikatorów wynika, że x X p(x) 3

jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy podstawiając do formuły p(x) dowolny obiekt ze zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe. Natomiast x X p(x) jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy w zbiorze X istnieje obiekt taki, że podstawiając go do formuły p(x) otrzymujemy zdanie prawdziwe. Powyższe stwierdzenia można wykorzystać do dowodu następujących praw rachunku kwantyfikatorów. x X p(x) x X p(x), x X p(x) x X p(x), x X y Y p(x, y) y Y x X p(x, y), x X y Y p(x, y) y Y x X p(x, y), x X y Y p(x, y) y Y x X p(x, y). Zwróćmy uwagę, że ostatniej implikacji nie można odwrócić. Przykładowo, zdanie y x x + y 2 < 0 jest prawdziwe, ale zdanie jest fałszywe. x y x + y 2 < 0 2 Zbiory Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. Zbiory oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A). Zbiór można określić wypisując jego elementy: lub używając formy zdaniowej p(x): A = {a 1, a 2,..., a n }, X = {x : p(x)}. W tym drugim przypadku X składa sie z tych elementów x dla których forma p(x) staje się zdaniem prawdziwym. Np. jeśli p(x) jest formą: x jest liczbą podzielną przez 3, to X = {0, ±3, ±6, ±9,...}. Przypomnijmy oznaczenia: (zbiór pusty), A B (A jest podzbiorem B), A B (suma zbiorów A i B), A B (iloczyn lub przekrój zbiorów A i B), A \ B (różnica zbiorów A i B). Jeśli rozpatrujemy tylko zbiory zawarte w pewnym większym zbiorze E (który w tej sytuacji nazywamy zbiorem uniwersalnym lub uniwersum, to można określić dopełnienie zbioru A jako A = E \ A, czyli zbiór tych elementów x E, które nie należą do A. 4

Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}. Jest to więc zbiór wszystkich par takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B. Nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Rene Descartesa, czyli Kartezjusza. Również na jego cześć prostokątny układ współrzędnych nazywa się układem kartezjańskim. 5