Teoria gier Strategie stabilne ewolucyjnie 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 1
John Maynard Smith (1920-2004) 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 2
Hawk- Dove Game Przedstawimy uproszczony model konfliktu omówiony w książce R. Dawkinsa Samolubny Gen : Przedstawiciele pewnego gatunku wchodzą ze sobą losowo w konflikty o pewne zasoby. Każde starcie angażuje dwa osobniki i tylko jeden może wygrać zyskując 50 punktów umownych (np. zwiększone prawdopodobieństwo przekazania genów) W pierwszym podejściu załóżmy, że są dwa możliwe rodzaje zachowań (strategie): jastrząb walczy o zasób, zaś gołąb straszy groźną pozą, ale unika walki. 3 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej
Jastrząb gołąb macierz Spotkanie jastrząb-jastrząb to walka do zranienia i utraty 100 punktów przez przegranego. Wypłaty: 1/2 50 +1/2 (-100). Jastrząb- gołąb, gołąb zmyka bez walki i strat. Gołąb- gołąb długo się straszą, aż jeden z nich zdobywa dobro (za stratę czasu -10). Wypłaty 1/2 50-10. Gra ma symetryczne wypłaty, a gracze takie same strategie, zatem wystarczy podawać wypłaty jednego. Jastrząb gołąb jastrząb -25,-25 50, 0 gołąb 0, 50 15,15 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 4
Ewolucja populacji Załóżmy, że sposób działania jest zdeterminowany dziedzicznie. Niech na początku populacja składa się prawie wyłącznie z gołębi. Każdy gołąb dostaje 15 punktów, ale nieliczne jastrzębie zyskują 50 i z każdym pokoleniem będzie ich relatywnie przybywać. Możemy powiedzieć, że strategia (populacja) gołębi nie jest stabilna ewolucyjnie. Strategia jastrzębi też nie jest stabilna: gdy gołębi jest mało, wartości oczekiwane dla gołębi wynoszą ok. 0, zaś dla jastrzębi około -25 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 5
Gracz charakterystyczny Co by się stało, gdyby w populacji było ¼ jastrzębi i ¾ gołębi. Wymyślamy gracza charakterystycznego, który gra z przeciwnikiem stosującym strategię mieszaną 1/4J+3/4G. Jeśli jest jastrzębiem, to jego wartość oczekiwana wypłaty wynosi 1/4 (-25)+3/4 50=31,75 Jeśli jest gołębiem, to 1/4 0+3/4 15=11,25 Wniosek: Bardziej opłaca się być jastrzębiem, niż gołębiem. Można znaleźć proporcję p jastrzębi,(1-p) gołębi, by wartości oczekiwane były równe. -25p+50(1-p)=0p+15(1-p) p=7/12. 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 6
SSE Definicja: Strategia S jest stabilna ewolucyjnie (SSE), jeżeli dla dowolnej innej strategii T (czystej lub mieszanej) granej przez niewielką ilość graczy (pozostali grają S) wartość oczekiwana dla grających S jest nie mniejsza od wartości oczekiwanej wypłaty graczy grających strategię T. Interpretacja: Jeżeli w populacji stosowana jest strategia S, to nie zagraża jej inwazja zmutowanej strategii T. 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 7
Przykłady (symetryczne) A B A 1 2 Strategia B jest jedyną SSE, ponieważ B ściśle dominuje A. W każdej sytuacji granie B daje lepszy wynik. p 1+(1-p)2 <p 3+(1-p) 4 B 3 4 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 8
Dwie SSE A B A 3 1 B 2 4 Zarówno A, jak i B są SSE: W populacji, gdzie większość gra B, lepiej grać B (4 do 1) W populacji grającej A lepiej grać A (3 do 2). Zatem utrzyma się ta strategia, która pierwsza zostanie zaakceptowana 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 9
Ogólnie w grach symetrycznych 2x2 A B A a b B c d Jeśli a > c lub (a=c i b d), to A jest SSE Jeśli d > b lub (d=b i c a), to B jest SSE Jeżeli nie zachodzi żaden z powyższych warunków, to istnieje dokładnie jedna mieszana SSE, którą możemy znaleźć tak jak w przykładzie 1 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 10
Większa ilość strategii Gdy gracze mają do wyboru większą liczbę strategii, czysta strategia S jest SSE, jeżeli np. wartość wypłaty dla S leżąca na głównej przekątnej jest największa (ostro) w swojej kolumnie. Jeżeli chcemy mieć pewność, że dana strategia jest SSE, dobrze jest wiedzieć, że rozpatrzyliśmy wszystkie dostępne strategie. 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 11
Modyfikacja 1 Dodajmy jedną strategię: Chojrak na początku podejmij walkę. Atakuj, gdy przeciwnik się nie broni. Uciekaj, gdy podejmie walkę. Ponieważ Ch> G, to gołębie wymrą. Zostanie gra J CH w której SSE będzie 1/2J+1/2CH Dużo walk i tchórzostwa J G Ch J -25 50 50 G 0 15 0 Ch 0 50 25 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 12
Modyfikacja 2 Dokładamy jeszcze inną strategię Mściciel zawsze na początku zachowuj się jak gołąb, ale zaatakowany broń się na całego. Z chojrakem wygra J G CH M J -25 50 50-25 G 0 15 0 15 CH 0 50 25 0 M -25 15 50 15 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 13
Komentarz M jest czystą SSE Każda strategia mieszana (1-x)M+x G, gdzie x<0,3, jest SSE. Gdy x>0,3, to strategia jest wrażliwa na inwazję chojraków. W tej stabilnej sytuacji nie będzie walk (wystarczy gotowość do walki!) Wartości oczekiwane: J =0x+(1-x)(-25), G=15, Ch =50x, M =15. Gdy x>0.3, to 50x>15. 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 14
Komentarz do przykładu 1 W grze J/G dla SSE: 7/12J+5/12 G średnia wypłata wynosi 7/12(-25)+5/12 50=6,25 To nie jest wynik Pareto-optymalny. NP. GG daje wypłaty po 15 Potrzebna byłaby kooperacja, np.. Oparta na pewnych sygnałach lub regułach pozwalających rozstrzygać spory bez walki 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 15
50 GJ Symetryczny wynik paretoopt GG SSE JG 50 JJ 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 16
Przykłady reguł Walcz tylko wtedy, gdy jesteś większy od przeciwnika. Walcz tylko wtedy, gdy twój ogon jest dłuższy. Walcz tylko wtedy, gdy twoje upierzenie jest jaśniejsze. Walcz tylko na swoim terytorium. 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 17
Strategia koordynowana regułą J G Ch M P J -25 50 50-25 12,5 G 0 15 0 15 7,5 Ch 0 50 25 0 25 M -25 15 50 15-5 -12,5 P 32,5 25-5 25 Dodano strategię Posiadacz - na swoim terytorium bądź jastrzębiem, na obcym gołębiem. Jego wypłata to średnia J i G, w spotkaniu posiadaczy decyduje terytorium bez walki. Są dwie rodziny SSE: M z niewielką liczbą gołębi, oraz Posiadacz z małą ilością chojraków. Tego typu wzorce są obserwowane w naturze. 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 18
Literatura J. Maynard Smith, G. R. Price, The logic of animal conflict, Nature 246(1973), 15-18. R. Axelrod, The evolution of Cooperation, Basic Books 1984 J. Weibull, Evolutionary Game Theory, MIT Press 1996 J. Hofbauer, K. Sigmund, Evolutionary Games and Population Dynamics, Cambridge U.P. 1998 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 19
Miłych wakacji!!! 2012-01-11 Zdzisław Dzedzej 20