Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna Potencjalna Ciężkoci Kinetyczna Sprężystoci a. Energia wewnętrzna wielkoć skalarna związana z temperaturą ciała, aby zmienić jej wartoć należy zmienić temperaturę ciała. Ze wzrostem temperatury energia wewnętrzna ciała ronie (nie zawsze proporcjonalnie do zmiany temperatury ciała). b. Energia mechaniczna wielkoć skalarna będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej. c. Energia kinetyczna wielkoć skalarna związana z ruchem ciała. Dla niewielkich prędkoci ( ) jej wartoć można wyrazić jako połowę iloczynu masy ciała m i kwadratu jego prędkoci v. m kg m kg m m N m J kg (dżul) s s s Ek Ek v=const 0 Ek m m=const m 0 Ek v v d. Energia potencjalna ciężkoci wielkoć skalarna związana z położeniem ciała w polu grawitacyjnym. W pobliżu powierzchni Ziemi wartoć tej energii można wyrazić jako iloczyn masy ciała m, przyspieszenia ziemskiego g i odległoci rodka ciężkoci ciała h od wybranego poziomu odniesienia. m kg s m N m J (dżul) Strona 1
e. Energia potencjalna sprężystoci wielkoć skalarna. W przypadku sprężyny jej wartoć można wyrazić jako połowę iloczynu współczynnika sztywnoci (sprężystoci) sprężyny k i kwadratu zmiany jej długoci, na skutek jej rozciągania lub ciskania ( zmianę długoci należy liczyć od stanu, gdy nie była poddana działaniu siły rozciągającej lub ciskającej). Wartoć współczynnika k (wyrażanego w N/m) okrela siły o jakiej wartoci należałoby użyć, aby ją rozciągnąć sprężyci o 1 metr. Wartoć współczynnika sztywnoci zależy od rodzaju materiału, z którego wykonano sprężynę, rednicy drutu, rednicy zwoju i liczby zwojów. N m m N m J (dżul). Praca. Założenie: na ciało o masie m działa stała, co do wartoci, kierunku i zwrotu siła. Pod działaniem tej siły ciało przemieszcza się po linii prostej. Oznacza to, że kąt pomiędzy kierunkiem ruchu ciała a kierunkiem działania rozpatrywanej siły jest stały:. Ponadto przemieszczenie ciała jest równe, co do wartoci przebytej drodze:. Wartoć pracy wykonanej przez siłę można obliczyć (przy powyższych założeniach) ze wzoru: ż Analiza możliwych przypadków: 0 o cos 1 W F r 0 a. 0 o ;90 o 1;0 W 0 b. 90 o cos 0 W 0 c. d. 90 o ;180 o 0;-1 W 0 e. 180 O cos -1 W F r 0 Wynika stąd, że praca może przyjmować wartoci dodatnie, ujemne i zerowe. Na przykład, gdy ciało spada, to jego ciężar wykonuje pracę dodatnią (=0 ), podczas gdy siły oporu powietrza w tym samym czasie wykonują pracę ujemną (=180 ). Jeli ciało wspina się na równię pochyła, to jego ciężar wykonuje pracę ujemną ( (90 ;180 )), a siły sprężystoci podłoża zerową (=90 ).Gdy ciało zjeżdża z równi pochyłej, to jego ciężar wykonuje pracę dodatnią ( (0 ;90 )).Siły tarcia (oporów ruchu) zawsze wykonują pracę ujemną (=180 ). Strona
Interpretacja geometryczna wykresu Założenie: na ciało o pewnej masie, mogące się poruszać wzdłuż osi S (zgodnie z jej zwrotem), działa stała co do wartoci, kierunku i zwrotu siła. Składowa tej siły równoległa do kierunku ruchu jest wektorem niezerowym. Możliwe przypadki: Współrzędna tej siły na kierunku równoległym do kierunku ruchu jest dodatnia. Współrzędna tej siły na kierunku równoległym do kierunku ruchu jest ujemna. Jeżeli dany jest wykres, to miarą pracy wykonanej przez składową równoległą siły (do kierunku ruchu) jest pole figury ograniczone przebiegiem tego wykresu i osią S. Pracę o wartoci wykonała składowa równoległa do kierunku ruchu, której współrzędna była dodatnia. Z kolei pracą o wartoci wykonała składowa równoległa do kierunku ruchu, której współrzędna była ujemna. Uwaga: a. Wartoć pracy wykonanej przez składową prostopadłą do kierunku ruchu jest zerowa, gdyż kąt pomiędzy wektorami i jest zawsze kątem prostym. b. Nie mając dodatkowych informacji, z powyższego wykresu nie można wnosić, czy na rozpatrywane ciało działała stała czy zmienna siła oraz po jakim torze się poruszało. Dlatego, na podstawie tego typu wykresu, można również obliczać pracę sił zmiennych działających na ciało nie poruszające się po linii prostej. Strona 3
3. Moc. Moc (rednia) wielkoć skalarna, definiowana jako iloraz wykonanej pracy i czasu, w którym ta praca została wykonana. Korzystając z wzoru definicyjnego pracy otrzymuje się ponadto: Ale iloraz wartoci przemieszczenia ciała i czasu w którym się dokonało, jest wartocią prędkoci redniej. Stąd: 4. Związek pomiędzy pracą a energią. 4.1 Sens fizyczny energii potencjalnej ciężkoci. Założenie: ciało o masie m jest podnoszone pionowo do góry (w pobliżu powierzchni Ziemi) ruchem jednostajnym prostoliniowym przez pewną siłę zewnętrzną. W ciągu pewnego czasu ciało przemieciło się z wysokoci h1 na wysokoć h. (t) h (t1) h1 Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki na ciało poruszające się ruchem jednostajnym prostoliniowym, działają siły równoważące się, dlatego: Ponadto z przyjętych założeń i rysunku wynika, że: oraz Z wzoru definicyjnego pracy mamy: Jeli założymy, że h1 = 0 i h =h (poziom odniesienia można przyjąć dowolnie), to mamy: Można zatem powiedzieć, że energia potencjalna jaką ma ciało, jest równa co do wartoci pracy jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie m podnieć ruchem jednostajnym na wysokoć h w pobliżu powierzchni Ziemi (przypisując poziomowi początkowemu wartoć zero). Strona 4
3. Sens fizyczny energii kinetycznej. Założenie: na ciało o masie m, mogące się poruszać wzdłuż poziomej powierzchni, działa stała siła wypadkowa o niezerowej wartoci. Siła wypadkowa ma kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora przemieszczenia ciała. W chwili początkowej (t 1) prędkoć ciała wynosiła v 1. (t 1) (t ) Z przyjętych założeń wynika, że: oraz, że wartoć energii potencjalnej rozpatrywanego ciała nie ulegała zmianie: Ponadto, z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że: Zatem praca wykonana przez siłę wypadkową poszła na zmianę energii kinetycznej ciała. Wartoć pracy wykonanej przez siłę wypadkową można wyrazić następująco: Jeli teraz założymy, że v 1 = 0 i v = v, to otrzymamy: Można zatem powiedzieć, że energia kinetyczna jaką ma ciało jest równa pracy jaką wykonała stała siła wypadkowa, podczas rozpędzania ciała o masie m (początkowo nieruchomego) do prędkoci v. 3.3 Praca niezrównoważonej siły zewnętrznej. Założenie: na ciało o masie m poruszające się do pionowo do góry działa niezrównoważona siła zewnętrzna. W chwili początkowej t 1 ciało znajdowało się na wysokoci h 1 i miało prędkoć v 1, a w chwili t (t > t 1) było na wysokoci h i miało prędkoć v (v >v 1). Strona 5
F z v (t ) h Q Δr F z v 1 (t 1 ) h 1 Q Z przyjętych założeń i rysunku wynika, że: Z drugiej zasady dynamiki: Stąd: Wynika stąd, że zmiana energii mechanicznej ( E m) ciała (układu ciał) jest równa co do wartoci pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną nad tym ciałem (układem ciał). Z wzoru: wynikają następujące wnioski: 3.4 Zasada zachowania energii mechanicznej. a. jeżeli siła zewnętrzna wykonuje nad ciałem pracę dodatnią, to energia mechaniczna tego ciała ronie, gdy natomiast praca tej siły jest ujemna, to energia mechaniczna tego ciała maleje, b. jeli praca siły (sił) zewnętrznej jest równa zeru, to: ostatecznie: Jeżeli na ciało (układ ciał) nie działają żadne siły zewnętrzne lub praca tych sił jest zerowa, to energia mechaniczna ciała (układu ciał) jest stała tzn. nie ulega zmianie wraz z upływem czasu zasada zachowania energii mechanicznej. Wynika stąd również, że jeli: Zatem, jeżeli energia mechaniczna ciała jest stała, to wzrostowi energii kinetycznej odpowiada (w tym samym czasie) taki sam co do wartoci spadek energii potencjalnej i na odwrót. Strona 6