MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE

L.Kowalsk-Modelowae progozowae MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE o Podsawowe charakersk dach sasczch, o Ideks, o Progozowae- wadomośc wsępe, o Modele ekoomercze, o Jedorówaow model low, o Progoza a podsawe modelu lowego, o Model edecj rozwojowej, o Progozowae a podsawe szeregów czasowch, o Nawe prose meod progozowaa, o Model Browa, o Model Hola, o Aalza waraowa, o Teora ger, o Zesaw dach sasczch. Lucja Kowalsk Warszawa

L.Kowalsk-Modelowae progozowae PODSTAWOWE CHARAKTERYSTYKI DANYCH STATYSTYCZNYCH RODZAJE ŚREDNICH Jedą z welkośc charakerzującch dae lczbowe jes warość średa. Rodzaje podsawowch średch: armecza geomercza harmocza Wbór średej zależ od rodzaju badach welkośc porzeb aalz dach. Najczęścej sosowaą średą jes średa armecza. Średą armeczą lczb rzeczwsch,, 3,..., azwam lczbę: (... ) Przkład. W pęcu wbrach solcach lczba l mera wos: 3,, 5,, 3. Ile wos średa l mera w ch solcach? (odp. 3) Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: wsępuje raz,,,,r... k o k k (... k k ) Te sposób lczea średej armeczej azwam średą armeczą ważoą. Przkład. W dwudzesu pęcu wbrach pańswach lczba suów medczch badającch ow wrus grp jes asępująca: w dzesęcu po 3 su, w dzesęcu po 4 su, w pęcu po 6 suów. Ile wos średa lczba ch suów w rozparwach pańswach? k 5 5 ( 3 4 5 6) 4 Średą geomerczą lczb rzeczwsch dodach,, 3,..., azwam perwasek ego sopa z ch loczu, z.

L.Kowalsk-Modelowae progozowae g... Średa geomercza zajduje ajczęścej zasosowae przecęego empa zma w czase, p. do uśredaa deksów łańcuchowch. Przkład. Rocz proceow przros lczb ursów odwedzającch da rego w czerech kolejch laach wosł: %, %, 5%, 5%. Jak bł śred przros w m okrese? g 4 4,,,5,5,5939,36 Śred proceow przros lczb ursów w m okrese wosł około,36% z roku a rok. Zauważm, że średa armecza ch dach wos,5% Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: o wsępuje raz,,,,r g... k k ( ) ( ) ( ) ( )... k k Te sposób lczea średej geomerczej azwam średą geomerczą ważoą. k Średą harmoczą lczb,, 3,..., różch od zera azwam odwroość średej armeczej odwroośc lczb, z. h... Średą harmoczą sosuje sę prz uśredau welkośc względch, p. prz oblczau przecęej prędkośc lub średej gęsośc zaludea. Przkład. Gęsość zaludea w rzech -sęczch masach wos odpowedo, 3 6 osób km. Oblczm przecęą gęsość zaludea. H 3 3 6 3 6 6 8 9 osób/km 3

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Sosując średą armeczą orzmalbśm: 3 6 3 3 333 osób/km Przkład. Pa Kowalsk codzee dojeżdża do prac samochodem z prędkoścą 4km/h. Pewego da zaspał wjechał późej ż zwkle. W połowe ras zoreował sę, że e zdąż zwększł prędkość o km/h, dzęk czemu e spóźł sę do prac. Z jaką średą prędkoścą jechał ego da pa Kowalsk? h 4 6 4 48 5 Zauważm, że średa armecza ch dach wos 5km/h Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: wsępuje raz,,,,r... k o h k k... Te sposób lczea średej harmoczej azwam średą harmoczą ważoą. k k Twerdzee Dla dowolch lczb rzeczwsch dodach,, 3,..., zachodzą erówośc h g prz czm rówość zachodz wed lko wed, gd 3.... Zróżcowae dach. Zróżcowae dach (rozrzu) merzm uśredając ch odchlee od średej. Waracja s [( ) ( )... ( ) ] ( ) Np. dla dach, 5, 3, 4, 6, średa wos 4. Ab wzaczć warację lczm sumę kwadraów odchleń poszczególch dach od średej: 4

L.Kowalsk-Modelowae progozowae ( 4) (5 4) (3 4) (4 4) (6 4) 4 4 orzmaa sumę dzelm przez 5 (lczba dach). Zaem waracja dla powższch dach wos. Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: o wsępuje raz,,,,r s... k k ( ( ) ( )... ( ) ) ( ) k k k Uwaga s k ( ) ( ) Waracja merz rozrzu (zróżcowae) dach sasczch (pukem odesea jes średa) lecz mara a wrażoa jes w kwadraach jedosek rozparwach dach sasczch co uruda erpreację, dlaego w prakce częścej sosujem perwasek z waracj azwa odchleem sadardowm. Odchlee sadardowe s s, Współczk zmeośc s v (eked wk jes podawa w proceach) Współczk zmeośc merz zróżcowae względe określa jaką część (le proce) przecęego pozomu badaej cech saow odchlee sadardowe. Poeważ jes o welkość emaowaa, częso bwa sosowa do porówwaa zróżcowaa dwóch cech lub ej samej cech w różch populacjach. Przedzał powch warośc [ s s],, Jes o przedzał do kórego ależ wększość dach sasczch, erpreacja a jes uzasadoa wed gd cecha ma rozkład zblżo do rozkładu ormalego. Rozsęp r, ma m 5

L.Kowalsk-Modelowae progozowae SZEREG CZASOWY Warośc zjawska worzą szereg czasow (szereg damcz):...... chwle lub okres (przedzał pow bć jedakowe) Uwaga: eked sosuje sę zaps:,,...,. INDEKSY (wskaźk damk) Ideks merzą zmaę pozomu zjawska mędz dwoma wróżom okresam (momeam). Ideks dzelm a: deks dwduale (prose), deks zespołowe (agregaowe). INDEKSY INDYWIDUALNE Ideks dwduale sosujem prz badau damk zjawsk jedorodch. a) cąg deksów o sałej podsawe: I /, I /, I 3/,..., I / sała podsawa (dowola spośród,..., ). gdze I / (,,..., ) (moża dodać I / %) b) cąg deksów łańcuchowch: gdze I I /, I 3/, I 4/3,..., I / - / - - (, 3,...,) Przkład Y lczba wpadków drogowch w cągu roku. Rok I / lczba wpadków / 5 5 39 779, 6 4 373,5,5 7 3 43 755,,84 8 4 38 83,976,887 9 5 4 454,7,4 Średe empo damk o średe empo zma przpadające a jedoskę czasu. I 6

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Zagadee Wzaczć lczb g aką, że gdb wszske deks łańcuchowe bł sobe rówe mał warość g o sarując z warośc oblczoa warość zjawska w okrese błab rówa (aka sama jak prz różch deksach łańcuchowch). Lczbę g azwam średm empem damk lub średm empem zma lub średm deksem łańcuchowm. Zauważm, że () I... I / / gdb wszske deks bł rówe o () g Porówując () () mam Własość: g I/-... I / (średa geomercza) g I / Śred wskaźk empa o T g Doda wskaźk empa ozacza, że średo zjawsko wzrasało. Ujem wskaźk empa ozacza, że średo zjawsko malało. Przkład Dla dach z poprzedego przkładu: g 4,5,84,887,4,7,4,4 % T,4,4 % Ozacza o, że średo z roku a rok lczba wpadków wzrasała o,4%. Uwaga Średe empo damk moża sosować do wzaczaa warośc zjawska w okresach asępch (osaą warość zjawska możm przez odpowedą poęgę g ). Przkład Dla dach z poprzedego przkładu wzacz progozę lczb wpadków drogowch w roku. 7

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progozowae- wadomośc wsępe Progozowae o racjoale woskowae o zdarzeach ezach a podsawe zdarzeń zach. Celem progoz jes dosarczee obekwch formacj porzebch do podejmowaa deczj. Progoz a smulacje. Progoza co będze w momece, Smulacja co b bło gdb... Przkład Z rozparwaego modelu wka, że wdak a prasę ksążk saową 5% mesęczch dochodów rodz. Usaloo, że mesęcze dochod rodz wosą 4 zł. Możem zaem posawć progozę, że wdak a prasę ksążk wosą zł. Jeśl jedak wzaczalbśm wdak a prasę ksążk dla różch waraów dochodu, p. wdak 9 zł dla dochodu 38, wdak zł dla dochodu 4, wdak zł dla dochodu 44, o błb smulacje. Procedur progozowaa Prose ucje (a podsawe prosch charakersk lczbowch), Ekoomercze, Poprzez aalogę, Progoz eksperów (heurscze), Wzaczae różch scearusz rozwoju. Progozowae zma warośc badaego zjawska mogą bć: - loścowe (zgode z dochczasową prawdłowoścą p. redem lub fukcją regresj), - jakoścowe (odejśce od dochczasowch prawdłowośc) 8

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Uproszczoa klasfkacja progoz. Ze względu a warośc progoz: progoz loścowa jakoścowa pukowa przedzałow Ze względu a okres progoz: - Krókookresowa (a ak okres w kórm mogą zachodzć lko zma loścowe), - Średookresowa (a ak okres w kórm mogą zachodzć zma loścowe ewelke zma jakoścowe), - Długookresowa (a ak okres w kórm mogą zachodzć zarówo zma loścowe jak jakoścowe). W prakce eked podzał e odos sę do zasęgu eksrapolacj (lczba jedosek czasu wjśca z progoza w przszłość) w porówau z lczbą dach: do % - progoza krókookresowa, od d % - progoza średookresowa, powżej % - progoza długookresowa, Poeważ warośc progoz wzaczam w oparcu o dae, o muszą bć oe dobrej jakośc. Cech dach decdujące o ch jakośc: - rzeelość, - jedozaczość, - defkowalość, - kompleość, - akualość, - kosz (zberaa opracowaa), - porówwalość ( p. w zakrese: czasowm, eroralm, pojęcowm). 9

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Eap progozowaa: Sformułowae zadaa progosczego Określee zmech progozowach, Usalee celu progoz, Usalee horzou progoz waruków jej dopuszczalośc Określee przesłaek progosczch Określee czków kszałującch badae zjawsko, Zberae dach, Wbór meod progozowaa Wzaczae progoz Ocea dopuszczalośc progoz Wkorzsae progoz Werfkacja moorowae (prz powarzalośc) progoz. Podsawow schema progozowaa. Y - badae zjawsko, - obserwacje badaego zjawska, - progozowae warośc badaego zjawska.,,... (MODEL),..., T (przeszłość) (reguła progozowaa) (przszłość) Bezwzględ błąd progoz jes rów, Względ błąd progoz jes rów dodach), moża go wrażać w proceach. gdze o prawdzwa warość zjawska w okrese progoz. Uwaga (ma zwkle ses dla zjawsk o waroścach Bezwzględ błąd progoz eked defuje sę jako. Względ błąd progoz eked defuje sę jako.

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Prawdzwą warość błędu progoz moża wzaczć dopero po usaleu prawdzwej warośc badaego zjawska, wcześej błąd moża lko oszacować. Szacowae błędu progoz.. Na podsawe progoz wgasłch (e pos),. Meoda sochascza (e ae). Ad.. Wkorzsuje sę formacje o rafośc progozowaa w przeszłośc. Przjmuje sę, że rafość progoz przszłch będze podoba do rafośc progoz przeszłch. Progoz wgasłe użwae do szacowaa pow bć wzaczae w e sam sposób jak osaecza progoza. Jako oszacowae błędu progoz moża p. przjąć średą z k modułów błędów bezwzględch % k lub względch k k % progoz wgasłch. Te sposób szacowaa błędu progoz zasosujem prz modelach adapacjch. Ad.. Wkorzsuje sę sochascze założea o sosowam modelu. Przjmuje sę, że błąd progoz jes zblżo do średej rozbeżośc mędz możlwm waroścam progozowaego zjawska a możlwm progozam ego zjawska w okrese progoz. k Jako oszacowae błędu progoz moża p. błąd średokwadraow ( ) k k lub względ błąd średokwadraow %. Te sposób szacowaa k błędu progoz zasosujem prz modelach ekoomerczch. Neked przjmuje sę, że progoza jes dopuszczala, gd szacowa błąd e przekracza 5 %. Schema progozowaa a podsawe modelu ekoomerczego f() - wekor zmech objaśającch dla okresu progoz. Progoza pukowa: f ( ). Progoza przedzałowa:,, Zwkle ( błąd bezwzględ progoz przedzałowej).

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Jakość progoz w zaczm sopu zależ od jakośc zasosowaego modelu ekoomerczego. Oprócz ego Błąd progoz powe bć mał, Przjęe warośc zmech objaśającch pow bć wargode, Okres progoz powe bć sesow. Przkład Rozparując model Y X, Y jedoskowe kosz produkcj, X welkość produkcj W m przpadku progoz racą ses dla >. Przkład Lczba sudeów keruków ekoomczch w Polsce (s. osób) lczoa a koec roku akademckego w laach 99-97 wosła: 54, 58, 65, 7, 4, 4, 93. lczba sudeów (s. sz.) 37,8e,6 R,979 lczba sudeów (s. sz.) 6 4 8 6 4 4 6 8 4 6 8 Rozparując model Y f (), Y lczba sudeów, rok W m przpadku progoza p. a rok 7 (poad,46 ml osób) błab przesada.

L.Kowalsk-Modelowae progozowae MODELE EKONOMETRYCZNE Model ekoomercz o ops sochasczej zależośc badaego zjawska ekoomczego od czków kszałującch go, wrażo w posac rówośc lub układu rówośc. Jeśl p. rozparujem zjawsko popu a określo owar lub grupę owarów przjmem, że główm czkem kszałującm pop jes cea o możem rozparwać model D f(p) D - pop, P - cea. Z prawa malejącego popu wka, że fukcja f powa bć malejąca ((P < P f(p ) > f(p )). Zależość ę możem zrealzować za pomocą różch fukcj malejącch, ajprossza z ch o fukcja lowa: D a bp (low model popu), a > ; b < jeśl model low e pasuje do zaobserwowach welkośc o ależ zasosować model elow p. model poęgow: D b a P (poęgow model popu), a > ; b < Dla pewch zakresów ce model low może bć dobrm przblżeem modelu elowego D Model low Model elow P P P Neked model z jedą zmeą źle opsuje badae zjawsko, wed możem rozparwać model z weloma zmem. W modelu popu drugm czkem kszałującm pop może bć dochód, wed rozparujem zależość: D f(p, I) I - dochód ludośc. Zależość ę możem jak poprzedo zrealzować za pomocą fukcj lowej D a bp ci lub poęgowej 3

L.Kowalsk-Modelowae progozowae D a P b I c Ogóla posać modelu w posac jedej rówośc: Y f ( X, ε) X, Y - zmee, (X może bć posac X (X, X,..., X k )), ε -eleme losow gd Y f (X ) ε o ε azwam składkem losowm, gd Y f (X )ε o ε azwam czkem losowm. Powod uwzględaa elemeu losowego w modelu ekoomerczm: e uwzględee wszskch czków kszałującch badae zjawsko (ajczęścej e uwzględam czków mającch mał wpłw eleme losow reprezeuje łącz wpłw akch zmech), możlwość wsępowaa błędów w pomarze welkośc zmech, brak pewośc cz przjęa do oblczeń posać fukcja modelu jes prawdłowa. Eap modelowaa ekoomerczego: I. Merorcza aalza zjawska kosrukcja II. Esmacja paramerów. III. Werfkacja modelu. pozwa IV. Zasosowae modelu. egawa Uproszczoa klasfkacja zmech w modelu zmea edogecza zmea, kórej warośc określoe są w modelu, zmea egzogecza zmea, kórej warośc określoe są poza modelem, zmea objaśaa wsępuje po lewej sroe rówań modelu, zmea objaśająca wsępuje po prawej sroe rówań modelu. Każda ze zmech może bć beżąca lub opóźoa. Uwaga: W modelach welowmarowch zmea objaśaa może bć jedocześe zmeą objaśającą. Przkład. Rozparzm model wzrosu gospodarczego DN ani NI ddn gdze DN - dochód arodow, NI - akład wescje, b 4 4 Z ε ε c

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Z - zarudee, a, b, c, d - paramer srukurale, ε,ε - eleme losowe ( ε - czk losow, ε - składk losow) Klasfkacja: zmee edogecze: DN, NI, NI4 zmee egzogecze: zmee objaśae: zmee objaśające: zmee beżące: Z DN, NI, 4 Z NI, DN DN, Z, NI zmee opóźoe: NI 4. Klasfkacja model Modele klasfkujem ze względu a asępujące krera: a) lczba zależośc w modelu - modele jedorówaowe, - modele welorówaowe, b) posać zależośc fukcjej, - modele lowe, - modele elowe (poęgowe, wkładcze, p.). c) rola czasu w rówaach, - modele sacze (e uwzględają czasu), - modele damcze. Przkład Model z przkładu jes: - dwurówaow, - elow, - damcz. Przkład 3 (model popu) D - pop, P - cea, I - dochód ludośc. D a bp ci ε Jes o model: - jedorówaow, - low, - sacz. 5

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Przkład 4 (model rówowag rkowej) D a bp ci ε S d ep ε D S S - sprzedaż. Przkład 5 (Model welkośc produkcj Cobba-Douglasa) b b P ax Y a >, < b < P - welkość (warość) produkcj przedsęborswa, X - zarudee (fudusz płac), Y - warość środków rwałch Jedorówaow model low z jedą zmeą objaśającą gdze: Y - zmea objaśaa, β β X ε Y - warośc (obserwacje) zmeej Y; obserwacj, X - zmea objaśająca, - warośc zmeej X,,..., - umer β, β - paramer srukurale (ch przblżoą warość wzacza sę a podsawe obserwacj (, ) ) ε - składk losow. Zakładam, że β β ε,,..., z. każda zaobserwowaa warość jes fukcją lową składka losowego ε. z dokładoścą do Zakładam róweż, że są usalom waroścam (elosowm), akm samm w powarzalch próbach. Składk losowe ε są losowm zmem ezależm o zerowej warośc przecęej waracj, kóra e zależ od (homoskedasczość). Ab wzaczć przblżoą warość paramerów srukuralch β, β a podsawe prób sosujem meodę ajmejszch kwadraów (MNK). MNK polega a wzaczeu akch przblżeń b β b β 6 ab dla dach obserwacj, ) suma kwadraów odchleń zaobserwowach warośc od warośc eoreczch mmum fukcj: () e S( b ( ˆ β β bła mmala, z. chcem wzaczć, b ) e ( ˆ ) ( b b ) ˆ azwam reszam modelu regresj

L.Kowalsk-Modelowae progozowae 7 MNK: Należ wzaczć prosą regresj ak ab suma pól kwadraów bła mmala. Oblczając pochode cząskowe fukcj () przrówując do zera orzmujem (układ rówań ormalch) ) )( ( ) )( ( S S β β β β β β β β β β rozwązując orzma układ rówań (p. perwsze rówae możm przez dodając sroam oblczam β ) orzmam wzor a przblżoe warośc paramerów srukuralch ( ) ( )( ) ( ) ) ( b b b Moża wkazać, że dla ch warośc speło jes waruek dosaecz mmum. Prosą X b b Y ˆ azwam prosą regresj z prób. $Y b b X (prosa regresj z prób) e ŷ e ˆ

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Uwaga: a) ( )( ) b) ( ) ( ) Model regresj lowej: b β b β (esmaor) ε $Y e { { ε } } E(Y ) EY β β X (prosa regresj) $Y b b X (prosa regresj z prób) Uwaga Gd X jes zmeą czasową z. model ma posać Y β β ε wówczas ak model azwam modelem edecj rozwojowej lub modelem redu lowego. Wed korzsając z usaloch warośc wzor a b b o moża uproścć (parz odpowed ema). Mar dopasowaa. Waracja reszowa: Waracja reszowa o uśredee pól kwadraów zbudowach a reszach odzwercedla sopeń dopasowaa prosej regresj do dach sasczch. Nech, e $, gdze $ b b wed czl S e S e e b b S e S e ozacza średe (sadardowe) odchlee od prosej regresj. 8

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Dopasowae modelu do dach emprczch moża oceać odchleem sadardowm resz lecz jes o mara bezwzględa euormowaa, dlaego do porówań lepsze są mar względe lub uormowae. Najprosszą względą marą dopasowaa jes współczk zmeośc losowej : V e S Y e % Współczk e formuje jaką część średej warośc badaego zjawska saow odchlee sadardowe resz. Mejsze warośc ego współczka wskazują a lepsze dopasowae modelu do dach emprczch, eked żąda sę ab p. V e <, (,3). } { Zmeość całkowa } Zmeość przpadkowa Zmeość wjaśoa modelem regresj Wprowadzam ozaczea: Całkowa suma kwadraów (zmeość całkowa): Wjaśoa suma kwadraów (zmeość wjaśoa): Newjaśoa suma kwadraów (zmeość przpadkowa): gdze : ˆ b b CSK WSK ( ) ( ˆ ) NSK e Własość: Czl ( ) CSK WSK NSK ( ˆ ) e Marą dopasowaa modelu do rzeczwsośc (warośc zaobserwowach) jes róweż współczk deermacj R WSK Współczk deermacj: R R, CSK Współczk e określa jaka część całkowej zmeośc zmeej objaśaej zosała wjaśoa przez model regresj lowej. Prakcze sposob oblczaa współczka deermacj: 9

L.Kowalsk-Modelowae progozowae R ( ˆ ( ) ) ( e ) b b ( ) b ( ) ( ) Se S Y cov ( X, Y) S S X Y r Wosek. Dla modelu lowego warość lczbowa współczka deermacj jes rówa kwadraow współczka korelacj Pearsoa. Przkład Badao zależośc koszów całkowch (w s. zł.) Y od welkośc produkcj (s. sz.) X w 6-cu zakładach produkcjch. 4 3 6 5 4 4 7 Dla modelu Y β β ε wzaczam przblżoe warośc paramerów srukuralch współczk deermacj. Oblczea wkoam w abel ( )( ) ( ) ( ) ŷ ˆ ( ˆ ) 4 3 6 5 4 4 7 - - 3-3 - 9 4 9 4 4 9 4 3 5 4 3 7 - - 3-9 4 8 4 6 6 8 4 6 8 4 6 3; 4 ; b ; b 4 3 6 6 6 zaem zwązek pomędz koszam całkowm a welkoścą produkcj wraża sę zależoścą lową w posac Y ˆ X Współczk deermacj 6 R,89 8 ależ oczekwać, że rozparwa model wjaśa 89% całkowej zmeośc koszów całkowch produkcj.

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progoza a podsawe modelu lowego. (jeda zmea) $Y b b X oszacowa model ekoomercz. Progoza pukowa. Nech przewdwaa warość cech X w okrese progoz. Progoza pukowa o przewdwaa warość cech Y odpowadająca warośc cech X. b b Sadardow błąd progoz ( ) ( ) e e s s s Zaem ależ rakować warość progoz jako s ± Gdze e s e s o odchlee reszowe. Nech e $, gdze $ b b wed e s e czl b b s e Jakość progoz pukowej możem oceć względm błędem progoz pukowej % δ s puk

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Model edecj rozwojowej Gd X jes zmeą czasową (,,..., ) z. model regresj ma posać b b Y ˆ wówczas ak model azwam modelem edecj rozwojowej lub modelem redu lowego Wed korzsając z własośc: () ) (, 6 ) )( (, ( ) ( ) Mam ( ) ) ( ) ( b b b b Waracja reszowa Nech e $, (gdze $ b b ) o resz modelu, wed e s e czl b b s e e s e s ozacza średe (sadardowe) odchlee od redu lowego. Dopasowae modelu do dach emprczch oceam eż współczkem deermacj ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ˆ r b b b e R Progoza dla modelu redu Nech okres progoz. Progoza pukowa o przewdwaa warość cech Y w okrese. b b Sadardow błąd progoz pukowej

L.Kowalsk-Modelowae progozowae 3 ( ) ( ) e e s s s Wzór e moża uproścć korzsając z własośc (). s s s e e ) ( 4 ) ( 6 ) )( ( ) ( 6 ) )( ( Zaem ależ rakować warość progoz jako s ± Jakość progoz pukowej możem oceć względm błędem progoz pukowej % δ s puk Przkład. Lczba maurzsów (s. osób) w pewm wojewódzwe w laach 99-999 wosła; Rok 99 99 993 994 995 996 997 998 999 Y 3,8 6 7,5 7,5 9, 9,9,3 3, 3,4 Orzmae rówae redu lowego ma posać Y, 3, ˆ Przewdwaa lczba maurzsów w laach asępch: Rok - 5 osób, rok - 64 osób.

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progozowae a podsawe szeregów czasowch. Składowe szeregów czasowch. Szereg czasow składowa ssemacza składowa przpadkowa red sał pozom składowa okresowa wahaa cklcze wahaa sezoowe Tred (edecja rozwojowa) - długookresowa skłoość do jedokerukowch zma (wzrosu lub spadku) warośc zmeej badaej. Jes kosekwecją dzałaa sałch czków p. w przpadku sprzedaż - lczba poecjalch kleów, ch dochod lub preferecje. Może bć wzaczo gd mam dług cąg obserwacj. Sał (przecę pozom) - wsępuje gd w szeregu czasowm e ma redu, zaś warośc badaej zmeej osclują wokół pewego sałego pozomu. Wahaa cklcze - długookresowe wahaa wokół redu lub sałego pozomu. W ekoom ajczęścej zwązae z cklem koukuralm gospodark. Wahaa sezoowe - wahaa wokół redu lub sałego pozomu. Wahaa e mają skłoośc do powarzaa sę w określom czase e przekraczającm jedego roku, odzwercedlają wpłw pogod lub kaledarza a dzałalość gospodarczą. 4

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Czas Wahaa cklcze Wahaa sezoowe Tre d Sał pozom Wahaa przpadkowe Czas 5

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Dekompozcja szeregu czasowego wodrębee poszczególch składowch. sał pozom 5,, 5,, 5,, 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 czas red 5,, 5,, 5,, 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 czas 6

L.Kowalsk-Modelowae progozowae sał pozom wahaa sezoowe 5,, 5,, 5,, 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 czas (w kwarałach) red wahaa sezoowe 5,, 5,, 5,, 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 czas (w kwarałach) Neked przjmuje sę, że wahaa przpadkowe są ewelke, gd ch współczk zmeośc jes rzędu klku, ajwżej klkuasu proce. 7

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progoza zmeej Y jes waroścą fukcj f zależej od czasu, przeszłch warośc progoz ej zmeej. f (,,..., p,,..., p, ξ ) czas warośc progoz składk losow p - welkość opóźea. Uwaga. Jakość modelu oceam jak w ekoomer. Dopasowae welkośc zjawska wzaczoch z modelu (progoz wgasłe) do welkośc zaobserwowach oceam a podsawe: - błędu średokwadraowego progoz wgasłch s k k ( ) k - lczba progoz wgasłch welkość a określa o le średo jedosek progoz wgasłe odchlają sę (plus-mus) od warośc zaobserwowach. - względego błędu średokwadraowego (proceowego błędu średokwadraowego) progoz wgasłch s w k k % welkość a określa o le średo proce progoz wgasłe odchlają sę (plus-mus) od warośc zaobserwowach. - średego błędu względego (proceowego błędu względego) progoz wgasłch k ψ k % (erpreacja jak wżej) Częso osa z ch błędów służ do oce jakośc progoz. 8

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Nawe prose meod progozowaa. (opare a założeu, że wahaa przpadkowe są ewelke e zme sę dochczasow wpłw czków kszałującch obserwowae zjawsko). Zaleą meod awej jes prosoa, wadą brak oce jakośc progoz a podsawe progoz wgasłch. Rodzaje progoz awch: wg sałego pozomu lub 3 wg sałch przrosów bezwzględch (p. red zblżo do lowego) ( ) wg sałch przrosów względch (ekóre red elowe) wg wahań sezoowch sałego pozomu, gdze r długość cklu sezoowego (lczba faz cklu), r wg wahań sezoowch redu r r r, gdze r długość cklu sezoowego (lczba faz cklu), r - przros średch w dwóch osach cklach. Przkład. Dla poszczególch ser dach mesęczch wzacz progozę awą a kolej mesąc. a) 5, 9, 6, 3, 36, b), 4,, 4, 7, c) 5,,, 5,. Przkład. Wedząc, że zjawsko ma charaker sezoow (r 4), dla poszczególch ser dach kwaralch wzacz progozę awą a dwa koleje kwarał. a) 5,, 6,, 7, b) 5,, 9, 7,, 7, 4,, 7 9

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Meoda średej globalej. Meoda średej ruchomej. Meodę ą wkorzsujem zarówo do wgładzaa szeregu czasowego jak do progozowaa. Progoza jes średą armeczą z k osach obserwacj (k - sała wgładzaa). k k k wzaczam ak ab śred kwadraow błąd e pos s ( ) k k mmal. Progozę oceam za pomocą średego błędu względego progoz przeszłch bł Ψ k k k % Uwaga. Gd k o meoda awa. Gd k o średa globala. Gd k duże o średa ruchoma slej wgładza szereg czasow lecz jedocześe wolej reaguje a zma pozomu badaego zjawska. Gd k małe o średa ruchoma szbcej odzwercedla zma zjawska lecz wększ wpłw wwerają a ą wahaa przpadkowe. Ab sosować średą ruchomą powśm zwkle dspoować co ajmej klkuasoma dam. Będzem sosować zwkle k 3 lub k 5. Średa ważoa. Usalam wag < w w... w k < ake, że w (ozacza o, że do wcześejszch formacj przwązujem mejszą wagę). Progozę wzaczam a podsawe wzoru: w k k k 3

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Model Browa (pros model wgładzaa wkładczego). Zwkle sosujem e model dla szeregów czasowch o sałm pozome lub bardzo słabm redze umarkowach wahaach przpadkowch. Model pozwala wzaczć progozę wg wzoru: ( α) α,, 3,..., progoza jes kombacją wpukłą (średą ważoą) przeszłej warośc zjawska przeszłej progoz. α, paramer wgładzaa. Warość α doberam p. a podsawe krerum ajmejszego błędu średokwadraowego progoz wgasłch s z. m s ( α) gdze α s ( ) α Jeśl e mam możlwośc wzaczea opmalej warośc parameru wgładzaa zwkle zaleca sę sosowaa warośc,,3. Uwaga Rówoważ wzór a progozę w m modelu ma posać: α ( ) zaem dla małch α progoza w małm sopu uwzględa błąd e pos progoz przeszłch. Uwaga Jako warość przjmujem jedą z warośc: a) perwszą warość szeregu czasowego,, b) średą z rzech począkowch warośc szeregu czasowego, c) średą z pęcu począkowch warośc szeregu czasowego, Model Browa jes rozwęcem meod średch ważoch. Wag maleją wkładczo prz coraz sarszch dach. Wdać o gd przekszałcm wzór a progozę w m modelu: 3, 3 3 4 5 5. podsawając α ( α) α ( α) orzmam α ( α)( α ( α) ) α α( α) ( α) asępe podsawając osaecze α α 3 ( α) 3 α( α) α orzmam α( α) ( α) α( α) 3 ( α 3 3 ( α) ( α) 3 3 3 )

L.Kowalsk-Modelowae progozowae α Wag prz poszczególch elemeach szeregu czasowego k k α( α)... α( α) k... α > α( α) >... > α( α) >... saową koleje wraz cągu geomerczego o loraze < α <. Dla dużch ch suma jes prawe rówa bowem k α α α( α)... α( α)... ( α) Uwaga. a) jeśl wgładzee szeregu czasowego (zwłaszcza dla dużch α) e jes zadawalające o możem powższe wgładzae powórzć, b) chocaż dla małch α wgładzee jes lepsze, o e zawsze wed jes ajmejsz błąd średokwadraow dla progoz przeszłch, wdać o w asępującm przkładze Przkład,. Lczba sprzedach żarówek (s. sz.) w hurow LUMEN w kolejch kwarałach la 998-: 37, 36, 34, 33, 34, 33, 35, 34, 35, 33, 34, 36 Badając welkość błędu średokwadraowego dla różch warośc α orzmam: α,,,3,4,5,6,7,8,9 błąd,47,39,36,35,35,36,37,38,4 Jak wdać ajlepsze (z ego puku wdzea) warośc α są w przedzale,4,5. 3

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Szereg czasow z redem. Model Hola. Sosujem dwa rówaa rekurecje: I - służ do wzaczaa wgładzoch warośc szeregu czasowego w chwl α ( α)( F S ) F II - służ do wzaczaa wgładzoch warośc przrosu redu w chwl S β α, β, - paramer wgładzaa. β ( F F ) ( ) S Ich warość doberam p. a podsawe krerum ajmejszego błędu średego progoz wgasłch s z. m s ( α, β ) gdze α, β s β Progoz wgasłe oblczam wg wzoru F S Progozę zmeej Y a okres T (T>) T, d. T w szczególośc dla T mam: ( ( α, )) F ( T ) S (wszske koleje progoz leżą a prosej F S F S ) Uwaga. Poeważ F S o F α ( ) S S αβ ( ) Warośc począkowe F S wzaczam wg propozcj Propozcja F S - 3 Wraz wol lowej fukcj redu oszacowa a podsawe p. klku perwszch obserwacj Współczk kerukow lowej fukcj redu oszacowa a podsawe p. klku perwszch obserwacj 33

L.Kowalsk-Modelowae progozowae SYMULACJE (aalza waraowa) Przkład Rozparzm model poęgow popu oszacowa a podsawe dach z la 99- Y ˆ X X,5,5 Y - pop (s. sz/rok) X - dochod osób (zł/rok) X - cea (zł/sz) Ierpreacja paramerów. Prz usaloej cee wzros dochodów o % powoduje wzros popu o,5%. Prz usaloch dochodach wzros ce o % powoduje spadek popu o,5%. Problem. a) Jaka powa bć welkość produkcj w roku ab e bło zapasów wedząc, że w roku dochod mogą bć w gracach - a cea 6-8? b) Jaka powa bć cea w roku ab prz dochodach w gracach - sprzedać 6 sz? Ad a) Zakładam, że paramer modelu e zmeą sę. Poeważ fukcja modelu jes mooocza ze względu a poszczególe zmee o do określea grac welkośc produkcj (popu) wsarcz rozparzć dole góre grace zakresu zmech objaśającch. Dla X, X 6 mam Y 68 Dla X, X 8 mam Y 44 Dla X, X 6 mam Y 96 Dla X, X 8 mam Y 65 Zaem ależ produkować co ajmej 44 sz. (wara pesmscz), lub co ajwżej 96 sz. (wara opmscz). 34

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Ad b) Oblczam z rówaa modelu zmeą X X X Y,5 3 Dla X, Y 6 mam X 6,5 Dla X, Y 6 mam X 8, Zaem bezpecza cea o 6,5 zł/sz. (wara pesmscz). Uwaga. Jeśl X, X porakujem jako zmee losowe o określom rozkładze o przez geerowae losowch warośc ch zmech moża określć losową warość popu. Zadae. Rozparzm model poęgow popu (jak wżej) oszacowa a podsawe dach z la 99- Y ˆ X X,7,8 a) Podać erpreację paramerów, b) Jaka powa bć welkość produkcj w roku ab e bło zapasów wedząc, że w roku dochod mogą bć w gracach - 5 a cea 3-4? c) Jaka powa bć cea w roku ab prz dochodach w gracach - sprzedać 8 sz? 35

L.Kowalsk-Modelowae progozowae TEORIA GIER Teora ger o eora podejmowaa deczj w erakwch suacjach koflku lub współprac. Począkowo gr uożsamao z gram owarzskm lub hazardowm, ch problemaką zajmowało sę welu maemaków flozofów. Teora ger jako dzedza maemak sosowaej zasała w 944 roku dzęk moograf Joha vo Neumaa Oskara Morgesera "Theor of Games ad Ecoomc Behavor" szbko zalazła zasosowaa w ekoom, socjolog, pscholog, bolog, formace, ssemach łączośc, aukach polczch, wojskowośc ekolog. Poowe ożwoe zaeresowae eorą ger asąpło po roku 994 gd rzech maemaków orzmało agrodę Nobla z ekoom za prace w ej dzedze (Joh Nash, Joh Harsaj Rehard Sele). Wprowadzee, podsawowe pojęca. Przjmuje sę, że w grze pow uczesczć przajmej dwe osob (pańswa, frm, gauk d., uczeskem gr może eż bć aura). Każd uczesk (gracz) ma pewą lczbę możlwch sposobów rozegraa gr (sraeg). Wk gr jes określo przez układ sraeg wbrach przez poszczególch gracz. Każdemu wkow gr odpowada zesaw wpła dla poszczególch gracz, określają oe wk gr. Rozparzm kokree suacje, kóre mogą bć aalzowae przez eorę ger. Przkład Gra w orła (O) reszkę (R). Gracz A wbera orła lub reszkę. Gracz B e zając wboru gracza A wbera róweż orła lub reszkę. Jeśl obdwaj wbral o samo, gracz B wgrwa zł od gracza A, w przecwm przpadku gracz A wgrwa zł od gracza B. Rozparwaą grę moża zapsać w posac drzewa (zw. posać ekseswa lub rozwęa) 36

L.Kowalsk-Modelowae progozowae A R O B R O R O (-,) (,-) (, -) (-,) Lczb prz werzchołkach końcowch ozaczają warośc wpła poszczególch gracz (perwsza lczba o wpłaa gracza A, druga - gracza B). Drug sposób zapsu gr o posać macerzowa (posać ormala). O B R A O (-, ) (, -) R (, -) (-, ) lub krócej (, ) (, ) ( ) ( ),, (zw. zaps dwumacerzow). Poeważ suma wpła w każdm przpadku wos zero ( gra o sume zerowej) o zaps macerzow ej gr może bć jeszcze prossz (uwzględam lko wpła gracza A, wpła gracza B są domśle lczbam przecwm) 37

L.Kowalsk-Modelowae progozowae Przkład Dlema węźa. Dwaj osobc podejrza o popełee poważego przesępswa zosal zarzma a podsawe poszlakowch formacj umeszcze w oddzelch pomeszczeach. Orzmują propozcje współprac z prowadzącm śledzwo. Zarzma, kór obcąż drugego z zarzmach będze wol, aomas obcążo orzma wrok 8 la węzea. Jeżel obaj przzają sę do w o dosaa po 6 la, gd żade sę e przza o zosaą skaza lko za udzał w m drobm przesępswe a kar po roku węzea. Każd z zarzmach chce orzmać jak ajższ wrok ma dwe sraege "przzać sę", "e przzać sę". Rozparwae zagadee moża zapsać w posac macerzowej Przkład 3 Zmowa karelowa. ( 6, 6) ( 8, ) (, 8) (, ) Dwaj producec wwarzają e sam owar. Jeśl zawrą porozumee doczące ce welkośc produkcj ab osągąć zsk maksmal o łącz zsk w wsokośc s zł podzelą po rówo. Zwększee produkcj groz obżką ce (zaem zsku), ale frm wedzą, że jeśl lko jeda frma zwększ produkcję o jej zsk wese 5 s zł a rwala, kór e zmeł welkośc produkcj lko 4 s zł. Jeśl jedak obe frm zwększą produkcję o orzmają lko po 5 s zł. Każda z frm ma dwe sraege "wkoać usaloą produkcję", "zwększć produkcję ".. Rozparwae zagadee jes podobe do "dlemau węźa" moża go zapsać w posac macerzowej (, ) ( 4, 5) ( 5, 4) ( 5, 5) Ie suacje prowadzące do ger pu "dlema węźa" o p. a) dwa kokurujące ze sobą sklep sraege "obżć ce", "e obżać ce ", jako wpła rozparujem zsk poszczególch sklepów. 38