TRYGONOMETRIA Tadeusz STYŠ

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 6 TRYGONOMETRIA Tadeusz STYŠ y ko lo trygonometryczne pierwsza ćwiartka I B punkt B = (, y ) B y ko lo trygonometryczne druga ćwiartka II sinα = AB sin(α + 90 o ) = AB cosα = OA } {{ } R 0 R = α cosα sinα A R = sin(α + 90 o ) -A cos(α + 90 o ) α + 90 o 0 }{{} R cos(α + 90 o ) = OA y ko lo trygonometryczne sinα(α + 80 o ) = AB y ko lo trygonometryczne trzecia ćwiartka III cosα(α + 80 o ) = OA czwarta ćwiartka IV sin(α + 70 o ) = AB α + 80 o cos(α + 70 o ) = OA sin(α + 80 o ) cos(α + 80 o ) -A 0 }{{} R } {{ } R cos(α + 70 o ) 0 α + 70 o A sin(α + 70 o ) R = R = -B punkt B = (, y ) -B Warszawa 00 Rozdzia l 0. Matematyka dla Szko ly Podstawowej i Liceum Ogȯlnokszta lc acego.

Contents Trygonometria 5. Funkcje trygonometryczne.................... 5. Ko lo trygonometryczne...................... 8.. Wzory redykcyjne..................... 9.3 Zadania.............................. 0.3. Funkcje periodyczne....................3. Wykresy funkcji trygonometrycznych.......... 3.4 Tożsamości trygonometryczne.................. 5.4. Jedynka trygonometryczna................ 6.4. Funkcje sinus i cosinus sumy i różnicy k atów α, β... 7.4.3 Wzory k ata podwȯjonego................ 9.4.4 Wzory k ata po lówkowego................ 0.4.5 funkcje trygonometryczne po lowy k ata......... 0.4.6 Wyrażenie funkcji trygonometrycznych przez tg α...4.7 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych........5 Równania trygonometryczne................... 3.6 Nierówności trygonometryczne.................. 3.7 Twierdzenie sinusów....................... 37.8 Twierdzenie cosinusów...................... 39.9 Funkcje cykliczne......................... 4.9. Arcus sinus........................ 4.9. Arcus cosinus....................... 43.9.3 Arcus tangens....................... 44.9.4 Arcus cotangens...................... 45.0 Zadania.............................. 47.0. Funkcje periodyczne................... 47.0. Tożsamość trygonometryczna.............. 48.0.3 Rȯwnania trygonometryczne............... 48.0.4 Nierȯwności trygonometryczne.............. 49.0.5 Twierdzenie sinusȯw................... 49.0.6 Twierdzenie cosinusȯw.................. 49.0.7 Funkcje cykliczne..................... 49 3

4

Chapter Trygonometria Trygonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trygonometria by lo używane w czasach starożytnych w Babilonie, Egipcie i Grecji.. Funkcje trygonometryczne sin α, czytamy sinus α, cos α, czytamy cosinus α, tg α lub tan α, czytamy tangens α, ctg α lub cot α, czytamy cotangence α, sec α, czytamy secant α, csc α, czytamy cosecant α, sinh α = eα e α, czytamy sinus hiperboliczny α, cos α = eα + e α, czytamy cosinus hiperboliczny α Funkcje trygonometryczne określamy w trójk acie prostok atnym lub na kole trygonometrycznym. 5

6 Rozpatrzmy trȯjk at prostok atny ABC o wierzcho lkach A, B, C przyprostpk atnych AC i BC oraz przeciwprostok atnej AB C przyprostokatna b γ = a przyprostokatna α β A}{{} przeciwprostokatna c B D lugości przyprostok atnych i przeciwprostok atnej oznaczamy ma lymi literami, piszemy a = BC, b = AC, c = AB. Definition. Sinus k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przeciwprostok atnej c sinα = a c Definition. Cosinus k ata α to stosunek przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α do przeciwprostok atnej c cos α = b c Definition.3 Tangens k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α tgα = a b lub tanα = a b Definition.4 Cotangens k ata α to stosunek przyprostok atnej b leż acej przyleg lej do k ata α do przyprostok atnej a leż acej na przeciw k ata α ctgα = b a lub cotα = a b Definition.5 Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem secα = c a Definition.6 Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem secα = c b W matematyce wyższej funkcje trygonometrytczne okeślane s a przez szeregi potȩgowe

7 Zauważmy, że odwrotność tangensa k ata α równa jest cotangensowi k ata α i odwrotność cotangensa k ata α równa jest tangensowi k ata α tgα = ctgα, ctgα = tgα Przyk lad. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych określonych w trójk acie prostok atnym o bokach a = 3, b = 4, c = 5 Rozwi azanie. K aty tego trójk ata prostok atnego α = 30 o, β = 60 o, γ = 90 o sinα = 3 5, cosα = 4 5, tgα = 3 4, ctgα = 4 3, secα = 5 3, cscα = 5 4. Zauważmy, że określenie funkcji trygonometrycznych w trójk acie prostok atnym dotyczy tylko k atów 0 α 90 o lub w mierze lukowej 0 α. Ponieważ k aty α i β w trójk acie prostok atnym zmieniaj a siȩ od zera do k ata prostego. W tym dla α = 0 cotangens i secant s a nieokreślone. Również dla α = tangens i cosecant nie s a określone. Niżej podamy deficje funkcji trygonometrycznych na kole trygonometrycznym. Funkcje sinus i cosinus określone s a dla wszystkich wartości rzeczywistych argumentu α {, }. Natomiast funkcje tangens określona jest dla rzeczwistych wartości argumentu α k, k = 0,,,...; a funkcja cotangens określna jest dla wszystkich rzeczywistych warto.sci agumentu α k, k = 0,,, 3,...; Wartości funkcji sinus i cosinus leż a w przedziel domkinȩtym [, ]. wartości funkcji tangens i cotanges przebiegaj a ca ly zbiȯ liczb rzeczywistych od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Znak wartości fukcji trugonometrycznych zależy od ćwiartki pierwszej I, drugiej II, trzeciej lub czwartej IV do ktȯrej należy argument α. Dla okeślenia znaku wartości funkcji trygonometrycznych stosujemy heurystyczn a zasadȩ: W pierwszej ćwiarte wszystkie s a dodatnie sinus, cosinus, tangens i kotangens, w drugie tylko sinus jest dodatni, w trzecj tangens i cotangens s a dodatnie, a w czwartej tylko cosinus jest dodatni.

8. Ko lo trygonometryczne. Dla wszystkich k atów o wartościach rzeczywistych, ujemnych lub dodatnich, funkcje trygonometryczne definiujemy w kole trygonometrycznym. y ko lo trygonometryczne pierwsza ćwiartka I B punkt B = (, y ) B y ko lo trygonometryczne druga ćwiartka II sinα = AB sin(α + 90 o ) = AB cosα = OA } {{ } R 0 R = α cosα sinα A R = sin(α + 90 o ) -A cos(α + 90 o ) α + 90 o 0 }{{} R cos(α + 90 o ) = OA y ko lo trygonometryczne sinα(α + 80 o ) = AB y ko lo trygonometryczne trzecia ćwiartka III cosα(α + 80 o ) = OA czwarta ćwiartka IV sin(α + 70 o ) = AB α + 80 o cos(α + 70 o ) = OA sin(α + 80 o ) cos(α + 80 o ) -A 0 }{{} R } {{ } R cos(α + 70 o ) 0 α + 70 o A sin(α + 70 o ) R = R = -B punkt B = (, y ) -B Definition.7 Sinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y do promienia R sinα = y R Definition.8 Cosinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej do promienia R cos α = R Definition.9 Tangens k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y do wpsó lrzȩdnej tg α = y, 0,

9 Definition.0 Cotangens k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej do wpsó lrzȩdnej y ctg α = y, y 0, Definition. Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem sec α = R y, y 0, Definition. Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem csc α = R, 0. Ponieważ secant i cosecant określone s a przez sinus i cosinus, dlatego dalej wystarczy rozpatrywać cztery funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens i cotangens... Wzory redykcyjne Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zauważamy, że wszystkie funkcje s a nieujemne w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż dla k ata 0 α 90 o, wspó lrzȩdne punktu p = (, y ) s a nieujemne, to jest 0, y 0 i promień R > 0. W drugiej ćwiartce tylko sinus (sin α 0), jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna y 0. W trzeciej ćwiartce tangens i cotanges (tgα 0, ctgα 0), s a nieujemne, gdyż obie wspó lrzȩdne 0,, y 0 s a ujemne i wtedy iloraz ( y 0) lub ( y 0). W czwartej ćwiartce tylko cosinus (cos α 0) jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna 0. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli 0 α 90 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 90 o α 80 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 80 o α 70 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 70 α 360 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 Funkcje trygonometryczne dowolnego k ata α osi agaj a już w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego wszystkie możliwe wartości bezwzglȩdne ( z dok ladności a do znaku). Zatem, inne wartości różni a siȩ od nich jedynie znakiem. Te różnice ustalaj a wzory redukcyjne, które podajemy niżej.

0 Najpierw, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 90 o α też leży w pierwszej ćwiartce oraz k at 90 o +α leży w drugiej ćwiartce. Natomiast, k at α leży w czwartej ćwiartce. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli sin(90 o α) = cosα sin(90 o + α) = cos α sin( α) = sinα cos(90 o α) = sinα cos(90 o + α) = sinα cos( α) = cos α tg(90 o α) = ctgα tg(90 O + α) = ctgα tg( α) = tgα ctg(90 O α) = tgα ctg(90 O + α) = tgα ctg( α) = ctgα Teraz, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 80 o α leży w drugiej ćwiartce oraz k at 80 o + α leży w trzeciej ćwiartce. sin(80 o α) = sinα cos(80 o α) = cosα tg(80 o α) = tgα ctg(80 O α) = ctgα sin(80 o + α) = sin α cos(80 o + α) = cos α tg(80 O + α) = tgα ctg(80 O + α) = ctgα Zauważmy podobnie, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 70 o α leży w trzeciej ćwiartce oraz k at 80 o + α leży w czwartej ćwiartce. Zatem, mamy nastȩpuj ace wzory redukcyjne: sin(70 o α) = cos α cos(70 o α) = sinα tg(70 o α) = tgα ctg(70 O α) = ctgα sin(70 o + α) = cos α cos(70 o + α) = sinα tg(70 O + α) = ctgα ctg(70 O + α) = tgα Niżej w tablicy podajemy zebrane wzory redukcyjne w mierze lukowej k atów. K at sinus cosinus tangens cotangens α sin( α) = cos α cos( α) = sin α tg( α) = ctgα ctg( α) = tgα + α sin( + α) = cos α cos( + α) = sinα tg( + α) = ctgα ctg( + α) = tgα α sin( α) = sinα (cos α) = cosα tg( α) = tgα ctg( α) = ctgα + α sin( + α) = sinα cos( + α) = cosα tg( + α) = tgα ctg( + α) = tgα 3 α sin(3 α) = cosα cos(3 α) = sinα tg(3 α) = ctgα tg(3 α) = tgα 3 + α sin(3 + α) = cosα cos(3 + α) = sinα tg(3 + α) = ctgα ctg(3 + α) = tgα α sin( α) = sinα cos( α) = cosα tg( α) = tgα ctg( α) = ctgα.3 Zadania Zadanie. D lugości bokȯw trȯjk ata prostok atnego ABC s a rȯwne a = BC = 6, b = AC = 8, c = AB = 0

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych sin α, sin β, cos α, cos β, tg α, tg β, cotg α, cotg β k atȯw α, β leż acych naprzeciw odpowiednich bokȯw BC, AC. Zadanie. (i) Narysuj po lożenie punktȯw p = (p, p ) = ( 3,), na kole trygonometrycznych o promieniu R =. (ii) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych q = (q, q ) = ( 3, ). (a) sin 30 0 = p R =, sin 600 = p R = (b) cos 30 0 = p R =, cos 600 = p R = (c) tg 30 0 = p p =, tg 60 0 = p p = (d) cotg 30 0 = p p =, cotg 60 0 = p p = (iii) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin 0 0 = q R =, sin 400 = q R = (b) cos 0 0 = q R =, cos 400 = q R = (c) tg 0 0 = q q =, tg 40 0 = q q = (d) cotg 0 0 = q q =, cotg 40 0 = q q = Zadanie.3 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin 0 0 = sin 50 0 = (b) cos 0 0 = cos 50 0 = (c) tg 0 0 = tg 50 0 = (d) cotg 0 0 = cotg 50 0 = Zadanie.4 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin 0 0 = sin 40 0 = (b) cos 0 0 = cos 40 0 = (c) tg 0 0 = tg 40 0 = (d) cotg 0 0 = cotg 40 0 = Zadanie.5 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin 300 0 = sin 330 0 = (b) cos 300 0 = cos 330 0 = (c) tg 300 0 = tg 330 0 = (d) cotg 300 0 = cotg 330 0 =

Zadanie.6 (i) Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: (a) f() = sin 3, (b) f() = cos 3. (c) f() = tg 3, (d) f() = cotg 3. Zadanie.7 Narysuj wykres funkcji (i) f() = sin, dla 0 6 3 (ii) f() = tg dla 3 3. 3.3. Funkcje periodyczne Funkcja f() jest periodyczna, jeżeli istnieje liczba dodatnia ω > 0 taka, że f( + ω) = f(), (.) dla każdej rzeczywistej wartości argumentu należ acego do dziedziny D. Jasne, że jeżeli funkcja f() jest periodyczna o okresie ω > 0, to zachodzi nastȩpuj aca tożsamość: f( + k ω) = f(), D, dla każdego ca lkowitego k = 0, ±, ±,... Okresem funkcji f() nazywamy najmiejsz a z liczb ω > 0, która spe lnia tożsamość (.). 3 Niżej sprawdzimy, że funkcje trygonometryczne s a periodyczne. Mianowicie, zauważamy, że jeżeli promień R obróci siȩ o 360 o lub w mierze lukowej o, to punkt p = (, y ) wróci do pozycji wyjściowej. Co wiecej, jeżeli promień R obróci siȩ w kierunku dodatnim lub ujemnym o wielokrotność okresu ω = 360 o lub w mierze lukowej o wielokrotność ω =, to punkt p = (, y ) też wróci do pozycji wyjściowej. Okresem funkcji sinus i cosinus jest liczba ω = 360 o lub w mierze lukowej liczba ω =. Natomiast, dla funkcji tanges i cotangens okresem jest liczba miejsza ω = 80 o lub w mierze lukowej ω =. Istotnie, funkcje tangens i cotangens osi agaj a te same wartości w pierwszej i w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż tgα = y = y, oraz ctgα = y = y, 0, y 0. Dziedzin a funakcji f() nazywamy zbiȯr argumentȯw dla ktȯch f() jest okkre].slna 3 Tożsamość znaczy, że równość zachodzi dla wszystkich wartości w dziedzinie tożsamości D.

3 Przyk lad. Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: f() = sin 3 Rozawi azanie. Wiemy, że funkcja sinus ma okres. Zatem okresem funkcji f() jest liczba ω taka, że f( + ω) = sin 3 ( + ω) = sin(3 + 3 ω) = sin 3 = f() dla każdego rzeczywistego. Sk ad obliczamy okres 3 ω =, ω = 4 3 Sprawdzamy, że okresem funkcji f() jest liczba ω = 4. Istotnie, mamy 3 równość f( + ω) = f( + 4 3 ) = sin 3 ( + 4 3 ) = sin( 3 + 3 4 3 ). = sin( + ) = sin = f()..3. Wykresy funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus określone s a na ca lej osi liczbowej, dla wszystkich wartości rzeczywistych (, ). Rȯwnież s a funkcjami periodycznymi o tym samym okresie ω =. To znaczy, że funkcje f() = sin i g() = cos spe lniaj a tożsamość 4 f( + )sin( + ) = sin ) = f(), g( + ) = cos( + )cos = g() dla każdego (, ). 4 Tożsamość to znaczy, że zachodzi rȯwność pomiȩdzy lew a i praw a stron a rȯwnania dla wszytstkich wartości zmiennej.

4 Wykreślaj ac funkcje trygonometryczne argument odk ladamy na osi, jak na rysunku. y Wykres funkcji sin 3 3 sin w okresie [0,] {}}{ 0 3 3 Z określenia funkcji sinus sin = y R, gdyz R y, dla < <. Wartości funkcji sinus nie przekraczaj a przedzia lu [, ]. To znaczy, że dla wszystkich wartości argumentu < < spe lniona jest nierȯwność Istotnie, z określenia funkcji sinus sin. sin = y R, gdyz R y, dla < <. Podobnie, funkcja cosinus jest periodyczna o okresie i określona dla wszystkich rzeczywistych wartości k ata < <. Jej warotości nie przekraczaj a przedzia lu [.], gdyż z okresślenia funkcji cosinusa cos = R, gdyz y R, dla < <. Wykres funkcji cos 3 3 cos w przedziale [0,] {}}{ 0 3 3 Funkcje trygonometryczne tangens i cotangens s a periodyczne o okresie ω =. Istotnie, k at + leży w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego. Z tabeli

5 odczytujeme wartość tg( + ) = tg. Zatem, prawdziwa jest nastȩpuj aca tożsamość: f( + ) = tg( + ) = tg = f(), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji tangens D = { : k, k = 0, ± ±,...; }. i tożsamość f( + ) = ctg( + ) = ctg = f(), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji cotangens D = { : k, k = 0, ± ±,...; }. y W ykres f unkcji tg dla (, ) tg {}}{ 4 0 4 Wykres funkcji cotangens W ykres f unkcji ctg w przedziale (0, ) y 4 ctg w dla (0,) {}}{ 0 3 4 4.4 Tożsamości trygonometryczne Tożsamości a trygonometryczn a nazywamy równość, która jest prawdziwa dla wszystkich wartości k atȯw w dziedzinie tożsamości. W odróżnieniu od tożsamości,

6 równanie trygonometryczne jest spe lnione tylko dla niektȯrych wartości k atȯw z dziedziny równania. Podobnie, wzory trygonometryczne s a tożsamościami dla wszystkich wartości k atów z dziedziny ich określenia..4. Jedynka trygonometryczna Jedynka trygonometryczna to jest tożsamość sin α + cos α = dla wszystkich wartości rzeczywistych k ata α (, ). Wprost z definicji funkcji sinus i cosinus obliczamy przyprostok atne a i b trȯjk ata prostok atnego ABC a = csinα, b = ccos α. C przyprostokatna b γ = a przyprostokatna α β A}{{} przeciwprostokatna c B Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że suma kwadratȯw przyprostok atnych rȯwna jest kwadratowi przeciwprostok atnej a + b = c, Po podstawieniu a = c sin α, b = c cos α otrzymamy (csinα) + (ccos α) = c, c (sin α + cos α) = c : c, Sk ad wynika tozsamość sin α + cos α = dla każdej wartości α (, ). To jest jedynka trygonometryczna. Z jedynki trygonometrycznej wynikaj a nastȩpuj ace tożsamości: + tg α = cos α = csc α, α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...;

7 Istotnie, z definicji funkcji tangens wynika rȯwność + tg α = + sin α cos α = cos α + sin α cos α = + tg α = csc α. dla każdego k ata α ( + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; dla ktȯrego cos α 0. To znaczy dla k ata α ze zbioru określoności funkcji tangens. 5 Podobbnie z defincji funkcji cotangens wynika rȯwność + ctg α = + cos α sin α = sin α = sec α. dla każdego k ata α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; dla ktȯrego sin α 0. To znaczy dla k ata α ze zbioru określoności funkcji cotangens. 6.4. Funkcje sinus i cosinus sumy i różnicy k atów α, β Niżej wyprowadzimy wzory na sumȩ i różniȩ dwóch k atów sin(α + β) = sinα cosβ + sinβ cos α, sin(α β) = sinα cosβ sin β cos α, cos(α + β) = cos α cosβ sin β sinα, (.) cos(α β) = cos α cos β + sin β sinα, Rozpatrzmy rysunek C α β h A D Wysokość h trójk ata ABC B 5 Nieparzyst a wielokrotność k ata prostego piszemy ( + ), k =, ±, ±, ±3,...; 6 Parzyst a wielokrotność k ata pȯ lpe lnego piszemy k, k = 0, ±, ±, ±3,...;

8 Zauważamy, że sinα = AD AC, DB sinβ = BC, cosα = h AC, cosβ = h BC, h = AC cosα, h = BC cosβ Pole P trójk ata ABC jest sum a pola P trójk ata ADC i pola P trójk ata DBC Z drugiej strony, wiemy, że P = P + P = AC BC sin((α + β) (.3) P = AC h sinα, P = BC h sinβ, (.4) Porȯwnuj ac pola określone przez rȯwności (.3) i (.4), przez proste przekszta lcenia, otrzymamy wzór na sinus sumy dwóch k atów α i β AC BC sin((α + β) = AC h sinα + BC h sinβ, AC BC sin(α + β) = AC BC cosβ sinα + AC BC cosα, Skad sinus sumy sin(α + β) = sinα cos β + sin β cos α, }{{} sin (α+β) Pozosta le wzory wyprowadzamy korzystaj ac ze wzorów redukcyjnych. sin((α β) = sin(α + ( β)) = sinα cos( β) + sin( β) cos α = sinα cosβ sinβ cos α, }{{} sin (α β) cos(α + β) = sin(90 o (α + β)) = sin((90 o α) β) = sin(90 o α)cos β sinβ cos(90 o α), = cos αcos β sinα sinβ, }{{} cos (α+β) cos(α β) = sin(90 o (α β)) = sin((90 o α) + β) = sin(90 o α)cos β + sin β cos(90 o α), = cos αcos β + sin αsinβ, }{{} cos (α β) Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy dwóch k atów wynikaj a bezpośrednio

9 z powyżych wzorów tg(α + β) = sin(α + β) sinα cos β + sinβ cosα = cos(α + β) cos α cos β sinβ sinα dla α + β (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg(α + β) = cos(α + β) sin(α + β) = cosα cos β sinβ sin α sinα cos β + sinβ cosα dla α + β k, k = 0, ±, ±, ±3,...; = tgα + tgβ tgαtgβ }{{} tg (α+β) = ctgα ctgβ ctgα + ctgβ }{{} ctg (α+β) Podobnie wyprowadzamy wzory na tangens i cotangens różnicy dwóch k atów. tg(α β) = sin(α β) sin α cos β sinβ cos α = cos(α β) cos α cosβ + sinβ sin α dla α β (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg(α β) = cos(α β) sin(α β) = cos α cosβ + sinβ sinα sinα cosβ sinβ cos α dla α β k, k = 0, ±, ±, ±3,...; = tgα tgβ + tgαtgβ }{{} tg (α β) = ctgα ctgβ + ctgβ ctgα }{{} ctg (α β).4.3 Wzory k ata podwȯjonego Wzory k ata podwójnego wynikaj a bezpośrednio z powyższych wzorów na sumȩ. Mianowicie, dla α = β sinα = sin α cosα, dla α (, ) cosα = cos α sin α, dla α (, ) tgα = tgα tg α, dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; 4 ctgα = ctg α, dla α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg α

0.4.4 Wzory k ata po lówkowego Wzory k ata po lówkowego otrzymujemy przez podstawienie do powyższych wzorów k ata podwójnego zamiast α po lowȩ k ata α, wtedy otrzymamy sinα = sin α cos α, α (, ), cosα = cos α sin α, cos α = sin α, cosα = cos α α (, ), tgα = tgα tg α dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; ctgα = ctg α ctg, dla α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; α.4.5 funkcje trygonometryczne po lowy k ata Z powyższych wzorów k ata po lówkowego bezpośrednio wynikaj a wzory po lowy k ata. Mianowicie, obliczaj ac cosinus i sinus ze wzorów cos α = cos α, cos α = sin α otrzymamy wzóry cosinusa i sinusa na po lowȩ k ata α dla α (, ). cos + cosα α =, sin cos α α = Wzory po lowy k ata dla tangensa i cotangensa wynikaj a bezpośrednio z defincji tych funkcji i wzorów dla sinusa i cosinusa cosα tg α = sin α cos α = cos α = + cos α + cosα dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; Cotangens jest odwrotności a tangensa, zatem dla α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg α = + cos α cos α

.4.6 Wyrażenie funkcji trygonometrycznych przez tg α Oznaczmy przez t = tg α dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...;. Wtedy funkcje trygonometryczne k ata α można zapisać w postaci nastȩpuj acych wymierażeń wymiernych zmiennej t. sinα = t t + t, cosα = + t, < t <, tgα = t t t, t,, ctgα = t 0. t Istotnie, wiemy, że sinα = sin α cos α = sin α cos α sin α + cos α sin α cos α = cos α sin α + cos α cos α = t + t Podobnie funkcja cosinus cos α = cos α sin α = cos α sin α cos + sin α = cos α sin α cos α cos + sin α cos α = t + t. Dla funkcji tangens i cotangens wzory p lowy k ata wynikaj a wprost z ich definicji i wyżej podanych wzorów dla funkcji sinus i cosinus tgα = sinα cosα = t + t t + t = t t, t,

Cotanges jest odwrotności a tangnsa. Zatem wzór dla cotangensa ctgα = t, t 0. t.4.7 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych Niżej podajemy nastȩpuj ace wzory na sumȩ i ró znicȩ funkcji trygonometrycznych sinα + sinβ = sin α+β cos α β, sinα sin β = sin α β cos α+β, cos α + cos β = cos α+β cos α β, cos α cosβ = sin α+β sin α β, cos α cosβ tgα + tgβ = sin(α + β) cosα cos β tgα tgβ = sin(α β) cos αcos β ctgα + tgβ = sin(α + β) cosα cos β tgα tgβ = sin(α β) (.5) Powyższe wzory wynikaj a ze wzorów (.4) sinusa i cosinusa sumy i różnicy k atów. Mianowicie, wprowadzamy nowe zmienne α = + y, β = y, = α + β, y = α β, Korzystaj ac ze wzorów (.4) na sinus i cosinus sumy i różnicy k atów zauważamy, że sin α + sinβ = sin( + y) + sin( y) = (sincos y + siny cos) + (sincos y sin y cos ) = sin cos y = sin α + β sin α sinβ = sin( + y) sin( y) cos α β. = (sincos y + siny cos) (sincos y siny cos ) = sin y cos = sin α β cos α + β.

3 cos α + cos β = cos( + y) + cos( y) = (coscos y sin siny) + (cos cos y + sinsin y) = cos cos y = cos α+β cos α β. cos α cosβ = cos( + y) cos( y) = (coscos y sin siny) (cos cosy + sinsiny) = sinsin y = sin α+β sin α β Wzory sumy i różnicy tangensa i cotangensa wynikaj a wprost z definicji powyższych wzorów dla sinusa cosinusa. tgα + tgβ = = tgα tgβ = = sin α cosα + sin β cosβ, sinαcos β + sin β cos α = cosα cos β sin α cosα sinβ cos β, sinαcos β sinβ cos α = cos αcos β sin(α + β) cos αcos β sin(α β) cosαcos β (.6) Ponieważ cotangens jest odwrotności a tangensa, zatem wzór dla sumy cotangensa cos αcos β ctgα + ctgβ = sin(α + β), ctgα ctgβ = cos α cosβ sin(α β)..5 Równania trygonometryczne Zacznijmy od najprostrzych równań trygonometrycznych, rozwi azania których s a czȩści a rozwi azań bardziej z lożonych równań. Przyk lad.3 Znajdź wszystkie rozwi azania równania (i) sin = 0, (ii) sin =. Rozwi azanie (i). G lównymi pierwiastami tego równania, to znaczy zerami funkcji sinus w jej okresie od 0 do 360 o lub w mierze lukowej w zakresie od 0 α s a rozwi azania = 0, lub =.

4 To rozwi azanie jest zaznaczo na wykresie funkcji y = sin. y Wykres funkcji sin 3 3 sin w okresie [0,] {}}{ 0 3 3 Wszystkie rozwi azanie dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu funkcji sinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = k, lub k = + k = (k + ), dla parzystych i dla nieparzystych k. To znaczy, że wszystkie rozwi azania s a wielokrotności a liczby, k = k, k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (ii). G lównymi pierwiastkami równania s a liczby sin =, lub sin = lub sin =. =, lub = 3. Wszystkie rozwi azanie dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu funkcji sinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k, lub k = 3 + + k dla parzystych i dla nieparzystych k. To znaczy, że wszystkie rozwi azania s a nastȩpuj acej postaci: k = + k, k = 0, ±, ±,...; Przyk lad.4 Znajdź wszystkie rozwi azania równania (i) cos = 0, (ii) cos =. Rozwi azanie (i). G lównymi pierwiastami tego równania, to znaczy zerami funkcji cosinus w jej okresie od 0 do 360 o lub w mierze lukowej w zakresie od 0 α s a rozwi azania =, lub = 3.

5 To rozwi anie jest zaznaczone na wykresie funkcji y = cos. y Wykres funkcji cos 3 3 cos w przedziale [0,] {}}{ 0 3 3 Wszystkie rozwi azanie dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu funkcji cosinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k, lub k = 3 + k, To znaczy, że wszystkie rozwi azania s a nastȩpuj acej postaci: k = (k + ), k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (ii). G lównymi pierwiastkami równania cos =, lub cos = lub cos =. s a liczby = 0, lub =. Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielikrotność okresu funkcji cosinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = k, lub k = + k = (k + ), To znaczy, że wszystkie rozwi azania dla parzystych i nieparzystych k, s a nastȩpuj acej postaci: k = k, k = 0, ±, ±,...; Zauważmy, że sinus i cosinus k atów α k = k lub α k = (k + ) możemy napisać w nastȩpujȩj postaci potȩgi minus jedynki: sin(k + ) = ( )k, cos k = ( ) k, k = 0, ±, ±,... : Przyk lad.5 Znajdź wszystkie rozwi azania równania (i) tg = 0, (ii) tg =. (iii) ctg = 0, (iv) ctg =.

6 Rozwi azanie (i). Ponieważ okresem funkcji tangens jest liczab, to g lównym pierwiastkiem równania tg = 0, jest = 0. Wtedy również sin = 0. y W ykres f unkcji tg dla (, ) { tg }} { 4 0 4 Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastka g lównego wielokrotność okresu funkcji tangens. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = k, k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (ii). W zakresie okresu funkcji tangens od do pierwiastki g lówne równania s a dwa tg =, lub tg =, tg =. = 4, = 4. Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastka g lównego wielokrotność okresu funkcji tangens. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k, k = + k, k = 0, ±, ±,...; lub zapisane w postaci jednego wzoru k = (k + ), k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (iii). W zakresie okresu funkcji cotangens od 0 do, pierwiastkiem g lównym równania ctg = 0,

7 jest liczba =. W ykres f unkcji ctg w przedziale (0, ) y 4 ctg w dla (0,) {}}{ 0 3 4 4 Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastka g lównego wielokrotność okresu funkcji cotangens. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k = (k + ), k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (iv). G lównymi pierwiastkami równania s a liczby ctg =, lub ctg =, ctg =. = 4, = 3 4. Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielikrotność okresu funkcji cosinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = 4 + k = (4k + ) 4, lub k = 3 4 + k = (4k + 3) 4 dla k = 0, ±, ±,...;

8 Niżej w tablicy podane s a wartości funkcji trygonometrycznych k atów wybranych. α sin α cos α tgα ctgα α = 0 0 0 α = 3 3 6 3 3 α = 4 α = 3 3 3 3 3 α = 0 0 α = 3 4 α = 0 0 α = 5 4 α = 3 0 0 α = 7 4 α = 0 0 Przyk lad.6 Znajdź wszystkie rozwi azania równania sin cos = 0. Rozwi azanie. W pierszej kolejności zauważmy, że dziedzin a D = R wyrażenia trygonometrycznego w równaniu jest ziór R wszystkich liczb rzeczywisych. Z tablicy odczytujemy pierwiastki równania w przedziale 0 okresu ω = funkcji sinus i cosinus sin = cos. Zatem widzimy, że sinus równy jest cosinus dla k atów = 4 oraz = 5 4, które leż a w pierwszej lub trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego. Wszystkie rozwi azania dostajemy dodaj ac okres ω = do tych rozwi azanń k = 4 + k, lub k = 5 4 + k k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie tego równania znajdziemy innym sposobem rozak ladaj ac wyrażenie trygonometryczne na czynniki. Mianowicie, lew a stronȩ równiania zapiszmy w postaci sin sin( ) = 0. Stosuj ac wzór na różnicȩ sinusów, otrzymamy iloczn sin sin( ) = sin ( ) = cos 4 sin( 4 ) = sin( ) = 0. 4 cos( ) +

9 Sk ad pierwiastki g lówne w przedziale [0, ] okresu funkcji sinus 4 = 0, lub 4 = Dodaj a okres ω = funkcji sinus, otrzymamy wszystkie rozwi azania k = 4 + k, lub k = 4 + (k ), k = 0, ±, ±,...; Przyk lad.7 Znajdź wszystkie rozwi azania równania tg + ctg =. Rozwi azanie. Z tablicy wartości funkcji tangens i cotangens, widzimy, że suma tangensa i cotangensa k ata jest równa, jeżli tg = i ctg = dla = 4 lub = 5. Wszystkie rozwi azania otrzymamy dodaj ac do g lównych 4 pierwiastków wielokrotność ich okresu. To znaczy k = 4 + k, lub k = 5 4 + k, k = 0, ± ±,...; Te same rozwi azania otrzymamy innym sposobem. Mianowicie, napiszmy to równanie w postaci ekwiwalȩtnej sin cos + cos sin =. Zauważmy, że dziedzin a wyrażenia trygonometrycznego w tym równaniu jest zbiór D = { R : sin 0, i cos 0} = { R : k, i k, } dla ca lkowitych liczb k = 0, ±, ±,...; Przekszta lcamy to równanie korzystaj ac z jedynki trygonometrycznej i z sinusa podwojonego k ata sin cos + cos sin = cos + sin = sin cos Sk ad wynika równanie sin cos = sin cos =, lub sin =. Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych pamiȩtamy, że sin = dla pierwiastka = lub = 5 w kole trygonometrycznym. Dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu ω = funkcji sin otrzymamy 4 4 wszystkie rozwi azania tego równania. k = 4 + k, lub k = 5 4 + k k = 0, ±, ±,...; Zauważmy, że powyżesze pierwiastki równania s a takie same jak w pierszym sposobie rozwi azania i należ a do dziedziny równania.

30 Przyk lad.8 Rozwi aż równanie sin 3sin + = 0. Rozwi azanie. Tej postaci równia rozwi azujemy przez podstawienie nowej niewiadomej t = sin, żeby otrzymać równanie kwadratowe t 3t + = 0. Wyóżnik tego r ownania = ( 3) 4 =. Zatem rozwi azania t = 3 4 =, t = 3 + 4 =. Wracaj ac do niewiadomej, znajdujemy wszystkie rozwi azania sin =, k = 6 + k, lub sin =, dla ca lkowitych k = 0, ±, ±...; k = + k, Zadanie.8 Rozwi aż równanie cos + cos = 0. Jednym ze skutecznych sposobów rozwi azywania równań trygonometrycznych jest rozk lad na czynniki wyrażenia trygonometrycznego. Niżej podajemy przyk lad takiego sposobu. Przyk lad.9 Rozwi aż równanie cos + 3cos 3 + cos 5 = 0. Rozwi azanie. Zastosujmy wzór do nawiasu na suma cosinusów (cos + cos 5) + cos 3 = cos + 5 cos + cos 3 = cos 3 cos( ) + cos 3 = cos3(cos + ) = 0. Zatem, wyrażenie trygonometryczne roz lożyliśmy na dwa czynniki, które przyrównujemy do zera cos 3 = 0, i cos + = 0, cos. Rozwi azuj ac powyżesze proste równania, otrzymamy nastȩpuj ace serie rozwi azań: Gdy cos 3 = 0,

3 to rozwi azanie 3 = + k, k = + 6 + k, k = 0, ±, ±,...; 3 3 = 3 + k, k = + k, k = 0, ±, ±,...; 3 oraz gdy cos 3 =, to rozwi azanie 3 = 3 + k, k = 9 + k, k = 0, ±, ±,...; 3 3 = 5 3 + k, k = 5 9 + k, k = 0, ±, ±,...; 3 Przyk lad.0 Rozwi aż równanie sin + sin 3 = 0. Rozwi azanie. Oznaczmy przez t = sin. Wtedy dostajemy równanie kwadratowe dla niewiadomej t t + t 3 = 0, którego rozwi azanie jest t = 3 i t =. Ponieważ sin, dlatego t = 3 należy udrzucić. Pozostaje wartość t =. Dla tej wartości sin =, gdy k = + k, k = 0, ±, ±,...; Zadanie.9 Rozwi aż równanie 3 tg ( 3)tg 3 = 0. Zadanie.0 Rozwi aż równanie sin sin4 + sin7 = 0. Zadanie. Rozwi aż równanie cos 5cos + = 0..6 Nierówności trygonometryczne Podobnie jak równania trygonometryczne, rozwi azujemy nierówności trygonometrtczne korzystaj ac z wzorów redukcyjnych, wzorów sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych. Przyk lad. Rozwi aż nierównówność w przedziala [0, ]. (i) sin, (ii) cos.

3 Rozwi azanie (i). Funkcja sinus osi aga wartość sin = dla k ata = w 6 pierwszej ćwiartce, lub dla k ata = 5 w drugiej ćwiartce. Zatem nierówność 6 jest prawdziwa przedziale [0, ] dla 0 6, lub 5 6. Zobaczmy to rozwi azanie na wykresie funkcji sinus. W przedziale [0,] nierownosci sin jest prawdziwa dla [0, ] y lub [ 5,] 6 6 3 sin sin {}}{{}}{ 7 5 0 3 6 6 6 Zauważmy, że rozwi azaniem nierȯwności sin na ca lej osi liczb rzeczywistych s a te punkty R, ktȯre należ a do odcinkȯw [a k, b k ] = [ 6 + k, 5 6 + k], gdy k = 0, ±, ±, ± 3...; gdzie a k = 6 + k, b k = 5 6 + k. Podobnie znajdujemy rozwi azanie nierȯwności przeciwnej sin W przedziale [0,] nierownosc sin y jest prawdziwa dla [, 5 ] 6 6 3 5 6 3 7 6 0 6 5 6 3 6 7 6 4 3 5 3 7 Rozwi azaniem nierȯwności sin, na ca lej osi liczb rzeczywistych, s a odcinki [a k, b k ] = [ 6 + k, 5 + k], k = 0, ±, ±, ± 3...; (.7) 6 o pocz atku w punkcie a k = + k i koṅcu w punkcie b 6 k = 5 + k. 7 6 Przyk lad. Podaj przedzia ly w ktȯrych nierȯwność sin jest prawdziwa, gdy k =,, 0,, 7 Tutaj indeks k C = {0, ±, ±, ±3,... :} przebiega ca ly zbiȯr liczb ca lkowitych.

33 Rozwi azanie. Z określenia (.8) przedzia lȯw [a k, b k ] znajdujemy gdy k = 0, a 0 = 0, b 0 = 6, [a 0, b 0 ] = [0, 6 ] gdy k =, a = 3 6, b = 7 6, [a, b ] = [ 3 6, 7 6 ] gdy k =, a = 5 6, b = 9 6, [a, b ] = [ 5 6, 9 6 ] Podobnie znajdujemy przedzia ly [a, b ] i [a, b ] dla ujemnych wartości wskaźnika k =, gdy k =, a = 7 6, b = 6, [a, b ] = [ 7 6, 6 ] gdy k =, a = 3 6, b = 7 6, [a, b ] = [ 9 6, 5 6 ] Zauważmy, że rozwi azaniem nierȯwności sin < s a te punkty R na osi liczb rzeczywistych, ktȯre nie należ a do żadnego z odcinkȯw gdy k = 0, ±, ±, ± 3...; / [a k, b k ] = [ 6 + k, 5 6 + k], Zadanie. Podaj wykres funkcji y = sin w przedziale [ 4, 4]. Zaznacz na wykresie przedzia ly argumentu [ 4, 4] w ktȯrych funkcja (i) sin, (ii) sin < Rozwi azanie (ii). Funkcja cosinus osi aga wartość cos = dla k ata = w pierwszej ćwiartce, lub dla k ata = 5 w czwartej ćwiartce. Zatem nierówność jest prawdziwa przedziale [0, ] dla 0, lub 5. Nieżej, na wykresie funkcji y = cos zosta ly zaznaczone wszystkie rozwi azania nierȯwności cos

34 W przedziale [0,] nierownosc cos y jest prawdziwa dla [, 5 ], 3 7 5 0 5 7 3 Rozwi azaniem nierȯwności cos, na ca lej osi liczb rzeczywistych, s a odcinki [a k, b k ] = [ + k, 5 + k], k = 0, ±, ±, ± 3...; (.8) o pocz atku w punkcie a k = + k i koṅcu w punkcie b k = 5 + k. 8 Przyk lad.3 Podaj przedzia ly w ktȯrych nierȯwność cos gdy k =,, 0,, jest prawdziwa, Rozwi azanie. Z określenia (.8) przedzia lȯw [a k, b k ] znajdujemy gdy k = 0, a 0 =, b 0 = 5, [a 0, b 0 ] = [, 5 ] gdy k =, a = 7, b =, [a, b ] = [ 7, ] gdy k =, a = 3, b = 7 6, [a, b ] = [ 3, 7 ] Podobnie znajdujemy przedzia ly [a, b ] i [a, b ] dla ujemnych wartości wskaźnika k =, gdy k =, a = 5, b =, [a, b ] = [ 5, ] gdy k =, a =, b = 7, [a, b ] = [, 7 ] Zauważmy, że rozwi azaniem nierȯwności cos > s a te punkty R na osi liczb rzeczywistych, ktȯre nie należ a do żadnego z odcinkȯw / [a k, b k ] = [ + k, 5 + k], gdy k = 0, ±, ±, ± 3...; Zadanie.3 Podaj wykres funkcji cos dla argumentu [ 4, 4]. Zaznacz na wykresie przedzia ly w ktȯrych prawdziwa jest nierȯwność (i) cos, (ii) cos > 8 Tutaj indeks k C = {0, ±, ±, ±3,... :} przebiega ca ly zbiȯr liczb ca lkowitych.

35 Jak wiemy, funkcja tanges jest określona dla argumentu (k + ), k = 0, ±, ±,...; rȯżnego od nieparzystej wielokrotności k ata prostego. y W ykres f unkcji tg dla (, ) { tg }} { 4 0 4 Funkcja tangens jest rosn aca i okresowa o okresie ω =. To znaczy dla wiȩkszych wartości argumentu warotości funkcji tanges s a wiȩksze, piszemy dla argumentȯw < wartości tg < tg i okresowa tg = tg( + ) dla kazdego k, k = 0, ±, ±,...; Niżej na wykresie zaznaczone s a wartości argumentu funkcji tangens dla ktȯrych wartości tg s a wiȩksze lub rȯwne jeden, to znaczy spe lniona jest nierȯwność tg. y tg {}}{ tg {}}{ tg {}}{ tg {}}{ 3 4 0 4 3 4 3 5 Przyk lad.4. (i) Znajdź rozwi azanie nierȯwności tg

36 w przedziale otwartym (, ). (ii) Znajdź wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności tg, dla (k ), k = 0, ±, ±, ±3,... : Rozwi azanie(i). Funkcja y = tg jest rosn aca w przedziale (, ). Wartość jeden funkcja tangens osi aga w punkcie = 4, toznaczy, że tg 4 =. Zatem nierȯwność tg jest oprawdziwa w przedziale (, ) dla ( 4, ). Roozwi azanie (ii). Z wykresu funkcji y = tg widzimy, że w przedziale (, ) tg < dla (, 4 ). Wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności tg < latwo odczytamy z wykresu. Mianowicie wartość funkcji tangens jest mniejsza od jeden tg < dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu należ acych do przedzia lȯw ( + k, 4 + k), dla k = 0, pm, ±,...; Zadanie.4 Rozwi aż nierȯwność (i) tg 3, (ii) tg < 3 dla wszystkich rzeczywistych wartosci (k + ), k = 0, ±, ±,...; Jak wiemy, funkcja cotanges jest określona dla argumentu k, k = 0, ±, ±,...; rȯżnego od wielokrotności k ata pȯ lpe lnego. y Wykres funkcji y = ctg w przedziale (0, ) ( 4,) 3 4 4 0 3 5 4 4 4 Funkcja cotangens jest malej aca i okresowa o okresie ω =. To znaczy dla wiȩkszych wartości argumentu warotości funkcji cotanges s a mniejsze, piszemy

37 dla argumentȯw < wartości ctg > ctg i okresowa ctg = ctg( + ) dla kazdego k, k = 0, ±, ±,...; Przyk lad.5. (i) Znajdź rozwi azanie nierȯwności ctg w przedziale otwartym (0, ). (ii) Znajdź wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności ctg, dla k, k = 0, ±, ±, ±3,... : Rozwi azanie (i). Funkcja y = ctg jest malej aca w przedziale (0, ). Watość ctg = osi aga dla = 4. Zatem ctg dla (0, 4 ). Rozwi azanie (ii) Z wykresu funkcji okresowej cotangens o okresie ω = znajdujemy wszystkie przedzia ly (k, 4 + k), dla k = 0, ±, ±,...; w ktȯrych nierȯwnść ctg jest prawdziwa. Zadanie.5. (i) Znajdź rozwi azanie nierȯwności ctg 3 w przedziale otwartym (0, ). (ii) Znajdź wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności ctg 3, dla k, k = 0, ±, ±, ±3,... :.7 Twierdzenie sinusów Twierdzenie. W dowolnym trójk acie stosunek d lugości boków do sinusów k atów leż acych na przeciw boków jest sta ly i równy średnicy okrȩgu opisanego na tym trój acie. To znaczy a sinα = b sinβ = c sinγ = R

38 C γ b a A α c } {{ } R β B Okr ag opisany na trȯjk acie Dowód. Rozpatrujemy okr ag opisany na trójk acie ABC o promieniu R. Z wierzcho lka A prowadzimy średnicȩ okrcȩgu do przeciȩcia z okrȩgiem w punkcie D. Zauważmy, że kr aty wpisane ABC = β i ADC = δ w okr ag s a oparte na tym samym luku AC. Zatem s a równe β = δ. Trójk at ADC jest prosty, gdyż k at BCA opraty na średnicy jest prosty. Z tego prostok atnego trȯjk ata ADC, znajdujemy sinus k ata δ. Mianowicie, dla 0 δ < sinδ = AC AD = c R, lub c sin δ = R, c sinγ = R, γ = δ Dla δ = γ = twierdzenie jest również prawdziwe, gdż sinγ =, i c = R. Natomiast, dla γ > k at δ = γ i wtedy sinδ = sinγ W tym przypadku twierdzenie jest również prawdziwe. Pozosta le wzory a sinα = b sinβ = R, dowodzimy podobnie. Twierdzenia sinusów w po l aczeniu z twierdzeniem cosinusów stosujemy w prost do wyznaczania boków i k atów trójk ata, na podstawie nastȩpuj acych dawanych. dwóch boków i k ata naprzeci w jednego z nich,. boku i dwóch k atów przyleg lych do tego boku, Przyk lad.6 Oblicz boki i k aty trójk ata ABC, maj ac d lugości dwóch boków AB = c = 4 i BC = a = k at α = leż acy na przeciw boku [BC]. 6

39 Rozwi azanie. Zaznaczamy dane i niewiadome boki i k aty na rysunku C b =? γ =? a = 4 A α = β =? c = Trójk at ABC B Z twierdzenia sinusów obliczamy promień R okrȩgu opisanego na trójk acie a sinα = R, sin 6 = R, = R, R =. Nastȩpnie też twierdzenia sinusów obliczamy sinus k ata γ leż acego naprzeciw boku AB = c = c sinγ = R, Sk ad znajdujemy k at γ = 6 sinγ = c R = 4 = i k at β z sumy k atów w trójk acie α + β + γ =, β = α γ = 6 6 =. Pozosta ly bok AC = b obliczamy z twierdzenia sinusów b sinβ = R, b = R sinβ = sin =..8 Twierdzenie cosinusów Podobnie jak twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów stosujemy do obliczanie boków i k atów dowolnych trójk atów. W dowolnym trójk acie ABC C b γ h a A α c D β B Fig. 5.5. Trójk at ABC

40 o bokach i k atach zaznaczonych na rysunku zachodz a nastȩpuj ace zwi azki pomiȩdzy bokami i k atami (i) a = b + c b ccos α (ii) b = a + c a ccos β (iii) c = a + b a b cos γ Dowód. Udowodnimy pierwsz a z wymienionych wyżej równości. Zauważmy, że w przypadku trójk ata prostok atnego, gdy α = wzór (i) jest prawdziwy, gdyż wtedy stosuje siȩ twierdzenie Pitagorasa. Dla α <. Punkt D, spodek wysokści h dzieli bok [AB] na dwie czȩści AD = b cos α, DB = c b cos α. Stosuj ac twierdzenie Pitagorasa do trójk atów ADC i DBC, otrzymamy Sk ad dostajemy wzór (i), to jest h = b (b cosα) = a (c b cos α) a = b + c b ccos α. Pozosta le wzory (ii) oraz (iii) dowodziemy podobnie. Twierdzenie cosinusów stosujemy najczȩściej, żeby obliczyć trzeci bok gdy dane s a dwa boki i k at pomȩdzy nimi oraz do obliczenia wszystkich k atów gdy znane s a wszystkie boki. Przyk lad.7 W trójk ata ABC, dane s a d lugości dwóch boków AB = c = 3, AC = b = 8 i k at miȩdzy nimi α =, jak na rysunku, oblicz bok a. C γ? b = 5 a? A α = β? c = 3 Fig. 5.6. Trójk at ABC B Rozwi azanie. Z twierdzenia cosinusów obliczamy a = b + c b ccos α = 8 + 3 8 3 = 49, a = 49 = 7.

4 Maj ac boki trójk ata, a, b, c obliczamy cosinus k atów β i γ. cos β = b a c a c cos γ = c a b a b = 8 7 3 7 3 = 3 7 8 7 8 = 7, = 3 4 Wartośćci k atów odczytujemy z tablic lub jako argumenty funkcji cyklicznych..9 Funkcje cykliczne Funkcje cykliczne arcsin α, arccos α, arctan α i arccot α to s a funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w przedzia lach w których funkcje trygonometryczne s a rosn ace lub malej ace (monotoniczne). Na przyk lad, funkcj a odwrotn a do funkcji sin α jest funkcja arcsinα określona w przedziale otwartym dla α (, ) lub ogólnie dla α ( + k, + k), k = 0, ±, ±, ±3,...; Funkcj a odwrotn a do funkcji cos α jest funkcja arccos α określona w przedziale otwartym dla α (0, ) lub ogólnie dla α ( + k, + k), k = 0, ±, ±, ±3,...; Podobnie, funkcje odwrotne do funkcji tgα i ctgα s a funkcje arctgα i arccotα określone w przedzialach otwartych tangens dla α ( + k, + k), k = 0, ±, ±, ±3,...; i cotangens dla α (k, (k + )), k = 0, ±, ±, ±3,...;.9. Arcus sinus Funkcja y = sin jest rosn aca w przedziale [, ]. Zbiorem wartości funkcji sinus jest przedzia l[, ]. Zatem funkcja odwrotna arcsin y do funkcji y = sin istnieje i jest określona w przedziale [, ]. To znaczy dziedzin a funkcji odwrotnej arcsin y do funkcji y = sin jest zbiór wartości funkcji sin. Natomiast zbiorem wartości funkcji arcsin y jest przedzia l[, ]. Niżej na wykresie funkcji arcus sinus zanaczony jest przedzia l określoności

4 i przedzia l wartości. Przedzia l [, ] jest zbiorem określoności funkcji y = arcsin, a zbiȯrem wartości tej funkcji jest przedzia l [, ] y Wykres funkcji y = arcsin dla [,] arcsin = arcsin 0 = 0 0 arcsin( ) = Tabela wartości funkcji y = arcsin dla wybranych wartości argumentu. o radian y = sin = arcsiny 90 o 60 o 3 45 o 4 3 4 30 o 6 6 0 o 0 0 0 30 o 6 6 45 o 0 4 4 60 o 3 3 90 o Zauważmy, że zachodz a nastȩpuj ace tożsamości (i) arcsin(sin), dla (ii) sin(arcsin ) dla Rzeczywiście, niech y = sin, dla [, ]. Wtedy funkcja sin jest rosn aca i funkcja do niej odwrotna = arcsiny istnieje i jest określona dla y [, ]. Podstawiaj ac do lewej strony (i) y = sin, otrzymujemy tożsamość (i). Podobnie, niech y = arcsin dla [, ]. Wtedy funkcja arcsin, jest

43 rosn ace i funkcja do niej odwrotna = siny istnieje i jest określona dla y [, ]. Podstawiaj ac y = arcsin do równości = siny, otrzymujemy tożsamość (ii)..9. Arcus cosinus Funkcja y = cos jest malej aca w przedziale [0, ]. Zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedzia l, ]. Zatem funkcja odwrotna arccos y do funkcji y = cos istnieje i jest określona w przedziale [, ]. To znaczy dziedzin a funkcji odwrotnej arccos y do funkcji y = cos jest zbiór wartości funkcji cos. Natomiast zbiorem wartości funkcji arccos y jest przedzia l [0, ]. Niżej na wykresie funkcji y = arccos zanaczone s a przedzia l określoności i przedzia l wartości. Przedzia l [, ] jest zbiorem określoności funkcji y = arccos, a zbiȯrem wartości tej funkcji jest przedzia l [0, ] y arccos( ) = Wykresfunkcja y = arccos dla [,] arccos 0 = 0 arccos = 0 Tabela wartości funkcj y = arccos dla wybranych wartości argumentu. o radian y = cos = arccos y 0 0 0 30 o 3 6 6 45 o 4 4 60 o 3 3 90 o 0 35 o 3 3 3 4 4 50 o 5 3 5 6 6 80 o -

44 Zachodzi prosty zawi azek pomiȩdzy arcus sinus i arcus cosinus arcsin + arccos =, lub arccos = arcsin. (.9) Rzeczywiście, zauważamy, że prawdziwa jest nierȯwność 0 arcsin. Z nierȯwnośći i z rȯwność cos( arcsin. arccos ) = sin(arcsin) wynika tożsamość (.9)..9.3 Arcus tangens Funkcja tangens y = tg jest okresowa o okresie ω = i określona dla argumentu rȯżnego od nieparzystej wielokrotnoći k ata prostego. (k + ), k = 0, ±, ±,...; Przedzia lem wartości funkcji tangens jest zbiór liczb rzeczywistych R = (, ). Funkcja y = tg jest rosn aca od do w przedziale otwartym Dlatego istnieje funkcja odwrotna (, ). = arctg y, do funkcji y = tg w przedziale otwartym (, ). Bez zmiany w lasności funkcji arcus tangens możemy zamienić zmienne, y miejscami, pisz ac y = arctan. Wartości funkcji arcus tangens należ a do przedzia lu (, ), to znaczy prawdziwa jest nierȯwność < arctg <, < <. Rozpatrzmy jeszcze raz wykres funkcji tangens. Zauważmy, że wykres funkcji arcus tangens odwrotnej do funkcji tangens otrzymamy przez obrȯt wykresu

45 funckcji tangens w kierunku przeciwnym do ruch wskazȯwek zegara patrz ac na wykres z odwrotnej strony. y W ykres f unkcji tg dla (, ) tg {}}{ 4 0 4 Niżej na wykresie zaznaczony jest zakres wartości funkcji y = arctg dla argumentu (, ). W ykres f unkcji arctg dla (, ) y L 4 arctg = 4 0 4 L Funkcja arctag ma dwie asymptoty L i L rownolegle do osi.9.4 Arcus cotangens Funkcja y = cot jest malej aca w przedziale otwartym (0, ) i jej zbiorem wartości s a wszystkie liczby rzeczywiste < y <. Zatem funkcja odwrotna = arccot y istnieje i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych < y <. Natomiast jej zbior wartości zmienia siȩ w zakresie od 0 do, to znaczy 0 < arccot y <, < y <. Podobnie jak w przypadku funkcji arcu tanges, bez zmiany w lasności funkcji arcus cotangens, zamieniamy zmienne, y miejscami, pisz ac y = arccotg, dla < <

46 Rozpatrzmy jeszcze raz wykres funkcji cotangens. Zauważmy, że wykres funkcji arcus cotangens odwrotnej do funkcji cotangens otrzymamy przez obrȯt wykresu funckcji cotangens w kierunku przeciwnym do ruch wskazȯwek zegara patrz ac na wykres z odwrotnej strony. y Wykres funkcji y = ctg w przedziale (0, ) ( 4,) 5 4 4 0 3 4 4 3 3 7 4 4 Z wykresu funkcji cotangens tworzymy wykres funkcji odwrotnej arcus cotangens Wykres funkcji arcctg y = arccotg, y dla < < L 4 arccotg = 4 0 Funkcja arcctg ma dwie asymptoty L to jest os i L rownolegla do osi Zachodzi nastȩpuj acy zawi azek pomiȩdzy arcus tangens i arcus cotangens, pis ac L arctg + arccot =, lub arcot = arctg. (.0) Rzeczywiście, zauważamy, że k at 0 arctg,

47 gdyż k at arctg. Zatem mamy tożsamość cot( arctg) = arctg Sk ad wynika tożsamość (.0)..0 Zadania.0. Funkcje periodyczne Zadanie.6 Oblicz okres funkcji Zadanie.7 Podaj wykres funkcji Zadanie.8 Oblicz okres funkcji Zadanie.9 Podaj wykres funkcji Zadanie.0 Oblicz okres funkcji Zadanie. Podaj wykres funkcji (i) sin (ii) cos (i) sin, 4 4 4 (ii) cos 4, 0 8. (i) sin (ii) cos (i) sin, 3 3 (ii) cos, 0 3. (i) tg 4 (ii) ctg 4 (i) tg, 4 (ii) ctg 4, 0 4.

48 Zadanie. Funkcja E[] ca lość z ma najwiȩksz a wartość E[] nie wiȩksz a od 9 Sprawdź, że okres funkcji okresowej czȩść u lamkowa z liczby, jest rȯwny ω =. Oblicz okres i podaj wykresy funkcji f() = E[]. (i) f() = E[3], (ii) g() = E[ 4 ].0. Tożsamość trygonometryczna Zadanie.3 Sprawdź tożsamowść sin 4 cos 4 = cos < <. Zadanie.4 Sprawdź tożsamowść ( + tg )cos = k, k = 0, ±, ±,...; Zadanie.5 Sprawdź tożsamowść Zadanie.6 Wykaż, ze + tg + ctg = tg k, k = 0, ±, ±,...; sin(α + β) + sin(α + β) = sinα cosβ dla każdej rzeczyczywistej wrtości k atȯw α i β..0.3 Rȯwnania trygonometryczne Zadanie.7 Rozwi aż rȯwnanie (i) sin = 0, (ii) cos = 0. Zadanie.8 Rozwi aż rȯwnanie (i) tg = 0, (ii) ctg = 0. Zadanie.9 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.30 Rozwi aż rȯwnanie 9 E[] Entier of (i) sin + cos = 0, (ii) sin = cos. (i) tg ctg = 0 (ii) tg = sin.

49.0.4 Nierȯwności trygonometryczne Zadanie.3 Rozwi aż nierȯwność (i) sin 6 < (ii) cos > Zadanie.3 Rozwi aż nierȯwność (i) tg 4 Zadanie.33 Rozwi aż nierȯwność (ii) ctg 4 (i) sin cos 0 (ii) sin + cos Zadanie.34 Rozwi aż nierȯwność tg ctg > 0.0.5 Twierdzenie sinusȯw Zadanie.35 Oblicz boki i k aty trȯjk ata ABC maj ac d lugość dwȯch bokȯw AB = 6, AC = 8 i kat ABC = 60 o Zadanie.36 Oblicz boki trȯjk ata ABC maj ac d lugość boku BC = 5 i k aty CAB = 30 o, ABC = 60 o.0.6 Twierdzenie cosinusȯw Zadanie.37 Oblicz boki i k aty trȯjk ata ABC maj ac d lugość dwȯch bokȯw AB = 6, AC = 8 i kat CAB = 60 o Zadanie.38 Oblicz boki trȯjk ata ABC maj ac d lugość bokȯw i k at ABC = 30 o. AB = 9, BC =.0.7 Funkcje cykliczne Zadanie.39 Oblicza wartość wyrażenia arcsin + arcsin

50 Zadanie.40 Oblicza wartość wyrażenia arccos + arcscos Zadanie.4 Oblicza wartość wyrażenia Zadanie.4 Podaj wykres funkcji dla argumentu [, ]. Zadanie.43 Podaj wykres funkcji dla argumentu [, ]. Zadanie.44 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.45 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.46 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.47 Rozwi aż rȯwnanie arctg + arctg f() = sin(arcsin ) f() = cos(arcsin ) arcsin arccos = 0 arcsin arccos = arctg arcctg = 0 3arctg arcctg =