Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 2 Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego
Kinematyka punktu materialnego Kinematyka: zajmuje się matematycznym opisem ruchów układów mechanicznych bez uwzględniania działających sił i bezwładności ciał. (bez wnikania co było przyczyną ruchu) Ruch opisujemy geometrycznie, w kategoriach przestrzeni i czasu, pomijając czynniki, które ruch spowodowały Przyczyny ruchu (pojęcia siły, bezwładności itp.) należą do dynamiki Dynamika: opis ruchu związanego z siłami działającymi na ciała oraz z ich bezwładnością Podsumowując: W ramach kinematyki ruch jest opisywany geometrycznie w kategoriach przestrzeni i czasu; Przyczyny ruchu nie są przy tym dyskutowane T. Lesiak Mechanika klasyczna 2
Kinematyka punktu materialnego Punkt materialny (PM): ciało fizyczne obdarzone masą, którego rozmiary liniowe są na tyle małe, że w opisie matematycznym związanych z nim zjawisk rozmiary te można pominąć pomijamy rozciągłość przestrzenną ciała; jego jedyną cechą masa. Pojęcie punktu materialnego stanowi pewną idealizację (jak ogromna ilość pojęć fiz.) Dla kinematyki ważny jest przypadek gdy rozmiary układu są znacznie mniejsze od pokonywanych przez niego odległości Przykład 1: Ziemia widziana ze Słońca Przykład 2: Ziemia obserwowana z Księżyca Ruch: zmiana położenia ciała odbywająca się w czasie; zmiana ta jest rejestrowana przez obserwatora (odbywa się względem pewnego układu odniesienia) Układ odniesienia (jak wyżej): punkt lub zbiór punktów w przestrzeni, względem którego(-ych) określa się położenie i/lub zmianę położenia (ruch) wybranego ciała (ciał). Przestrzeń (jak wyżej): sztywna scena na której dzieją się zdarzenia fizyczne T. Lesiak Mechanika klasyczna 3
Położenie punktu materialnego Wektor położenia (promień wodzący) opisuje położenie punktu materialnego w danej chwili czasu t w danym układzie odniesienia; jego początek w punkcie O; jego składowe są funkcjami czasu zawiera pełną informację o lokalizacji punktu materialnego w danej chwili Wybór UO ma kluczowe znaczenie dla opisu położenia PM: KNM07VD1.mpg T. Lesiak Mechanika klasyczna 4
Przemieszczenie, tor ruchu i droga Przemieszczenie PM: Zmiana jego położenia w pewnym przedziale czasu Wektor o wartości równej najmniejszej odległości między punktami A i B (na rysunku) symbol (delta) oznacza zmianę danej wielkości - zmiana wielkości x może być zarówno dodatnia jak i ujemna Tor ruchu (trajektoria) zbiór punktów (krzywa w przestrzeni), w których punkt materialny był zlokalizowany w kolejnych chwilach czasu Droga długość odcinka toru odpowiadająca ruchowi ciała (zakreślonego przez wektor wodzący) od chwili t 1 do chwili t 2 Hodograf krzywa zakreślana przez końce wektora zależnego od czasu (tu wektora położenia) Hodograf wektora położenia (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/ProjKinematics/ProjKinematics.html Różnica między drogą a przemieszczeniem (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/DisplaceDistance/DisplaceDistance.html T. Lesiak Mechanika klasyczna 5
Prędkość średnia i chwilowa Prędkość wielkość wektorowa określająca jak szybko zmienia się w czasie położenie punktu materialnego = zmiana położenia ciała w jednostce czasu Rozważmy PM poruszający się ze stałą prędkością (dla uproszczenia problem jednowymiarowy ruch wzdłuż osi x) v= x x 0 t t 0 x x 0 = v(t t 0 ) x(t) = x 0 + v(t t 0 ) ~v = const; j~vj = v Prędkość średnia iloraz przemieszczenia (wektor) przez odcinek czasu, w którym ono nastąpiło Prędkość chwilowa punktu materialnego w punkcie A w chwili t graniczna wartość prędkości średniej dla przedziału czasu zmierzającego do zera Odpowiada nachyleniu krzywej x(t) w danym punkcie T. Lesiak Mechanika klasyczna 6
Prędkość średnia i chwilowa KNA02VD1.mpg KNM03VD1.mpg - (pierwsza) pochodna czasowa wektora położenia względem czasu patrz poniżej Wektor prędkości (oraz wektor ) jest zawsze styczny do kierunku toru T. Lesiak Mechanika klasyczna 7
Dygresja o pochodnych funkcji Nachylenie wykresu (slope) określa stosunek zmiany wielkości fizycznej przedstawionej na osi pionowej w stosunku do zmiany wielkości fizycznej przedstawionej na osi poziomej. Na ogół jest to wielkość wymiarowa (chyba że wymiar wielkości na obu osiach jest taki sam) pochodna miara tempa zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentu iloraz różnicowy T. Lesiak Mechanika klasyczna 8
Prędkość a szybkość Prędkość jest wielkością wektorową, określającą jak szybko zmienia się w czasie położenie punktu materialnego Szybkość jest wielkością skalarną wartością wektora prędkości Wielkości względne i absolutne Prędkość (i szybkość) stanowią przykład wielkości względnych zależnych od wyboru układu odniesienia KNM07VD3.mpg Wielkości bezwzględne (absolutne) nie zależą od wyboru UO T. Lesiak Mechanika klasyczna 9
Przyspieszenie średnie i chwilowe Przyśpieszenie wielkość wektorowa określająca jak szybko zmienia się w czasie prędkość PM (tempo zmiany tempa zmiany położenia) KNA03VD2.mpg Przyspieszenie średnie: zmiana prędkości podzielona przez przedział czasu w którym miała ona miejsce Przyspieszenie chwilowe: granica wektora przyspieszenia średniego dla przypadku gdy zmierza do zera - druga pochodna czasowa wektora położenia względem czasu patrz poniżej T. Lesiak Mechanika klasyczna 10
Niektóre, ważne rodzaje ruchu Ruch jednostajny gdy wartość wektora prędkości jest stała w czasie Ruch jednostajny prostoliniowy gdy wektor prędkości jest stały w czasie Ruch jednostajnie przyspieszony wartość wektora przyspieszenia jest stała w czasie Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy wektor przyspieszenia jest stały w czasie T. Lesiak Mechanika klasyczna 11
Diagramy ruchu: graficzne relacje między położeniem, prędkością a przyspieszeniem Graficzne relacje r, v, a (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/ConstantAccel/ConstantAccel.html Znany jest rozkład położenia względem czasu ( położenie vs czas ) (a) rozkład prędkość vs czas (b) można znaleźć przez pomiar nachylenia wykresu położenie vs czas w każdej chwili czasu rozkład przyspieszenie vs czas (c) można znaleźć przez pomiar nachylenia wykresu prędkość vs czas w każdej chwili czasu Czy takie nagłe zmiany przyspieszenia są fizyczne (zdarzają się w realnym świecie)? T. Lesiak Mechanika klasyczna 12
W kinematyce przydaje się też całkowanie... Prędkość = pochodna położenia po czasie Znając zależność położenia od czasu można, wykonując różniczkowanie znaleźć zależność v(t). Całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania Znając zależność prędkości od czasu można, całkując, wyznaczyć x(t) Całkowanie (animacja) http://www.upscale.utoronto.ca/ GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Integrals/Integrals.html Całkowanie jest graficznie równoważne znajdowaniu pola powierzchni pod daną krzywą Podzielmy przedział czasu (t i,t f ) na wiele małych odcinków, każdy o długości t n Z definicji średniej prędkości wynika iż: Przemieszczenie x n stanowi powierzchnię małego, zacieniowanego prostokąta Całkowite przemieszczenie w przedziale (t i,t j ) = suma powierzchni wszystkich takich infinitezymalnych prostokątów T. Lesiak Mechanika klasyczna 13
Podsumowanie relacji między położeniem, prędkością i przyspieszeniem Tempo zmian Tempo zmian Położenie Prędkość Przyspieszenie Pochodna Pochodna Całka Całka T. Lesiak Mechanika klasyczna 14
Całkowanie przydaje się w kinematyce Przejdźmy teraz do granicy: Przemieszczenie = powierzchnia pod wykresem (v x, t) Granica sumy = całka określona: przykład 1: ruch ze stałą prędkością przykład 2: ruch jednostajnie przyspieszony Przemieszczenie w przedziale czasu (0,t A ) = pole trójkąta: Przemieszczenie w przedziale czasu t = pole prostokąta T. Lesiak Mechanika klasyczna 15
Relacje kinematyczne dla ruchu jednostajnie przyspieszonego Rozważmy ruch wzdłuż osi współrzędnych x ze stałym przyspieszeniem a x Indeks zero odnosi się do wybranej chwili początkowej. Zachodzą następujące relacje: T. Lesiak Mechanika klasyczna 16
Ruch na płaszczyźnie (2D) Przykład ruchu dwuwymiarowego (w płaszczyźnie x-y) Wektor prędkości (jak zwykle) jest styczny do toru Wektor przyspieszenia, nie tworzy żadnego stałego kąta z torem, lecz zmienia się w czasie zależnie od ewolucji czasowej wektora prędkości T. Lesiak Mechanika klasyczna 17
Ruch na płaszczyźnie (2D) Rozważmy specjalny przypadek ruchu na płaszczyźnie ze stałym przyspieszeniem (nie zmienia się ani kierunek ani wartość (składowe) przyspieszenia Wzdłuż osi x wzdłuż osi y Zastosujmy do obu wymiarów niezależnie znane już równania 1D dla ruchu jednostajnie przyspieszonego: T. Lesiak Mechanika klasyczna 18
Przykład ruchu 2D: rzut ukośny Dwuwymiarowy ruch ciała rzuconego pod pewnym kątem 0 do poziomu Ziemi i z wartością prędkości v 0 (pomijamy opór powietrza) Przyspieszenie jest stałe (g) i skierowane w dół Początek układu odniesienia pokrywa się z punktem wylotu PM Warunki początkowe dla składowych prędkości: Składowe wektora prędkości: Wzdłuż osi x Wzdłuż osi y T. Lesiak Mechanika klasyczna 19
Przykład ruchu 2D: rzut ukośny Czas na wyliczenie składowych położenia Eliminując z tych równań czas: Tor punktu materialnego jest parabolą T. Lesiak Mechanika klasyczna 20
Względność położenia Bardzo ważne pytanie: w jaki sposób są ze sobą powiązane obserwacje tych zjawisk dokonywane przez różnych obserwatorów (w różnych układach odniesienia)? Obserwator A wyznacza położenie punktu P jako +5 m (licząc od początku jego układu współrzędnych) Obserwator B wyznacza położenie punktu P jako +10 m (licząc od początku jego układu współrzędnych) Różnica pomiarów wynika z różnych układów odniesienia Między wynikami tych pomiarów istnieje jednoznaczny związek. T. Lesiak Mechanika klasyczna 21
Ogólna transformacja między układami odniesienia Umownie przyjmujemy, że układ U spoczywa, a U 0 porusza się względem niego; na ruch układu U 0 nie nakładamy żadnych ograniczeń Związek między wektorami wodzącymi (położenia) w obu układach: -wektor wodzący poprowadzony z początku układu U do początku układu U 0 Czas biegnie tak samo w obu układach Zmiana położenia obu układów względem siebie = złożenie translacji i obrotu - wektory infinitezymalnego przemieszczenia PM w układzie U (U 0 ) - wektory infinitezymalnej translacji (obrotu) układu U 0 względem U T. Lesiak Mechanika klasyczna 22
Ogólna transformacja między układami odniesienia Transformacja wektora prędkości Prędkość translacyjna Prędkość kątowa Prędkość translacyjna Prędkość unoszenia: Przyspieszenie kątowe Twierdzenie Coriolisa T. Lesiak Mechanika klasyczna 23
Ogólna transformacja między układami odniesienia Dodatkowe przyspieszenie, które trzeba dodać do przyspieszenia PM względem układu U, aby otrzymać przyspieszenie tego PM względem układu U Przyspieszenie translacyjne układu U względem U znika ono gdy punkty początkowe obu układów są względem siebie w spoczynku lub gdy poruszają się one w stosunku do siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym Przyspieszenie kątowe układu U względem U znika ono gdy prędkość kątowa jest stała w czasie; ma taką samą wartość w obu układach odniesienia: Przyspieszenie Coriolisa (patrz następna strona) znika ono dla PM spoczywających w układzie U lub poruszających się równolegle do chwilowej osi obrotu, wyznaczonej w każdej chwili przez kierunek wektora prędkości kątowej Przyspieszenie dośrodkowe jego wektor jest zawsze prostopadły do chwilowej osi obrotu i zawsze jest ku niej skierowany. T. Lesiak Mechanika klasyczna 24
Ogólna transformacja między układami odniesienia Ważna uwaga: PM spoczywający w układzie U ma w ogólnym przypadku w układzie U przyspieszenie różne od zera. Stosując wzór Coriolisa dla Przyspieszenie unoszenia Siła Coriolisa (SC) Pierwszy przykład sił bezwładności (pseudosił) działających na ciało w nie inercjalnym układzie odniesienia ( w tym przypadku Ziemi) Z V 2 x v SC jest proporcjonalna do prędkości rotacji układu (dla Ziemi stała) P SC działa wyłącznie na ciała poruszające się względem powierzchni Ziemi Kierunek SC jest prostopadły do kierunku prędkości powoduje ona odchylenie kierunku toru ciała swobodnego od linii prostej X Y T. Lesiak Mechanika klasyczna 25
Siła Coriolisa Siła Coriolisa: Powoduje zakrzywienie toru ciała w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (obrotu) układu odniesienia Obserwator zewnętrzny poza Ziemią w układzie inercjalnym nie rejestruje siły Coriolisa Ex.1; dziecko na karuzeli wyrzuca piłkę w dowolnym kierunku; Karuzela wiruje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara Dziecko zobaczy, iż tor lotu piłki odchyli się w prawo Dla osoby stojącej obok karuzeli tor pozostaje linią prostą Wygląda na to, iż w obracającym się układzie (karuzeli) działa jakaś nowa siła (Coriolisa) Ex.2; ruch kulki po wirującej tarczy: Obserwator zewnętrzny kulka porusza się ruchem prostoliniowym Obserwator w środku wirującej tarczy kulka porusza się po łuku (tor zakrzywiony i to w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu układu) T. Lesiak Mechanika klasyczna 26
Siła Coriolisa Ex.3; zakrzywienie toru lotu samolotu lecącego z bieguna ku równikowi Siła Coriolisa: powoduje zakrzywienie toru ciała w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (obrotu) układu odniesienia Ziemia obraca się z zachodu na wschód siła Coriolisa powoduje zakrzywienie toru ciał poruszających się ku równikowi w kierunku zachodnim na obu półkulach oraz w kierunku wschodnim dla ciał poruszających się ku biegunom (ku osi obrotu) T. Lesiak Mechanika klasyczna 27
Siła Coriolisa SC dla obiektów poruszających się poziomo względem powierzchni Ziemi osiąga największą wartość na biegunach (wektory prędkości kątowej rotacji oraz prędkości ciała są prostopadłe) oraz znika na równiku (powyższe wektory równoległe) Siła Coriolisa na półkuli północnej odchyla wiatry wiejące ku równikowi w prawo, co w rezultacie nadaje masom powietrza ruch wirowy o orientacji przeciwnej do kierunku ruchu wskazówek zegara (lewoskrętnej). Na półkuli południowej SC wymusza cyklony o cyrkulacji prawoskrętnej Ex.4. Niemieckie rakiety V2, lecące na Londyn (300km) z prędkością 1400 km/h SC powodowała ich odchylenie o około 3,7 km na zachód Ex 5 wahadło Foucaulta (wykład V) T. Lesiak Mechanika klasyczna 28
Zasada bezwładności Galileusza (ZBG) Wcześniej (XIV w) Wilhelm Ockham, potem Galileusz; to jednocześnie pierwszy postulat (prawo) Newtona a) Istnieje wyróżniona klasa ruchów punktów materialnych, zwanych ruchami swobodnymi b) Istnieją układy odniesienia, zwane inercjalnymi, względem których ruchy swobodne odbywają się bez przyspieszeń Ad a) w taki sposób poruszają się wszystkie te ciała, które są doskonale izolowane od jakichkolwiek wpływów zewnętrznych tzn. nie podlegają żadnym oddziaływaniom pochodzącym od innych ciał pewna idealizacja; w praktyce siły makroskopowe maleją ze wzrostem odległości ciał ruchy swobodne można zrealizować gdy inne ciała są nieskończenie odległe Ad b) postulat istnienia układów odniesienia, względem których ruchy swobodne odbywają się jednostajnie i po liniach prostych Postulat istnienia pewnej klasy układów odniesienia wyróżnionych fizycznie (bez ZBG wszystkie układy byłyby całkowicie równoważne) T. Lesiak Mechanika klasyczna 29
Zasada bezwładności Galileusza (ZBG) Dwa ważne twierdzenia: 1. Dowolny układ odniesienia U, który porusza się względem inercjalnego układu U ruchem postępowym ze stałą prędkością, jest także inercjalnym układem odniesienia 2. Jeśli dane są dwa inercjalne układy odniesienia U i U, to układy te poruszają się względem siebie ruchem postępowym ze stałą prędkością Wniosek: Jeśli potrafimy wskazać jeden inercjalny układ odniesienia mamy ich dowolnie wiele Trudność: W rzeczywistości nie potrafimy wskazać ani jednego w pełni inercjalnego układu odniesienia. Na szczęście można podać przykłady takich układów odniesienia, które mogą pełnić rolę układów inercjalnych w stosunku do określonych zjawisk Założenie: Zawsze jesteśmy w stanie wskazać taki układ odniesienia, który dla aktualnie rozważanych zjawisk można uważać za układ inercjalny W praktyce inercjalny jest układ, w którym środek masy Układu Słonecznego porusza się ruchem jednostajnym i który ma ustaloną orientację osi względem gwiazd stałych T. Lesiak Mechanika klasyczna 30
Transformacje Galileusza (TG) W mechanice klasycznej wiążą one położenia dowolnego punktu P w dwóch układach inercjalnych U (wektor wodzący P: ) oraz U wektor wodzący P: ) Dla dwóch układów inercjalnych zachodzi: Z formuły na prędkość unoszenia (strona 24) Całkując to wyrażenie po czasie w przedziale (t 0,t) T. Lesiak Mechanika klasyczna 31
Transformacje Galileusza (TG) W mechanice klasycznej wiążą one położenia dowolnego punktu P w dwóch układach inercjalnych U (wektor wodzący P: ) oraz U 0 wektor wodzący P: ) Podstawmy do wzoru (str. 23): Zakładając, że w chwili t 0 początki układów U i U 0 pokrywają się: Transformacja Galileusza (TG) TG rozpisana na składowe: Czas płynie tak samo w obu układach Galileuszowskie prawo dodawania prędkości: T. Lesiak Mechanika klasyczna 32
Transformacje Galileusza (TG) Transformacje te często nazywa się szczególnymi transformacjami Galileusza Tworzą one grupę (zgodnie z naszą definicją): jeśli np. U i U 1 są inercjalne to wystarczy stwierdzić że układ U 2 porusza się ze stałą prędkością względem U 1 aby poruszał się on także ze stałą prędkością względem U Grupę ogólnych transformacji Galileusza otrzymuje się przez dołączenie grupy obrotów w przestrzeni 3D (R(3)) Układy inercjalne (transformacje Galileusza) dwie klasy wielkości fizycznych: absolutne i względne Absolutne: nie zależą od wyboru INERCJALNEGO układu odniesienia Przykłady: czas, przyspieszenie, odległość przestrzenna dwóch punktów Względne: zależą od wyboru inercjalnego układu odniesienia Przykłady: położenie, prędkość T. Lesiak Mechanika klasyczna 33
Podsumowanie: podstawowe założenia mechaniki klasycznej Przestrzeń jest trójwymiarowa i euklidesowa, a czas jednorodny i absolutny Przestrzeń i czas są ciągłe Zasada względności Galileusza: Istnieje uprzywilejowana klasa ruchów zwana inercjalnymi, w których wszystkie prawa przyrody są takie same. Każdy układ odniesienia poruszający się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem układu inercjalnego jest również układem inercjalnym Zasada Przyczynowości Newtona: początkowy stan układu określa jednoznacznie jego ewolucję w czasie Oddziaływania fizyczne są natychmiastowe (przenoszą się w przestrzeni z nieskończoną prędkością) T. Lesiak Mechanika klasyczna 34
Backup T. Lesiak Mechanika klasyczna 35