Eugenusz Rosołows Komputerowe metody analzy eletromagnetycznych stanów przejścowych Ocyna Wydawncza Poltechn Wrocławsej Wrocław 9
Opnodawcy Jan IŻYKOWSKI Paweł SOWA Opracowane redacyjne Mara IZBIKA Koreta Agnesza ŚIEPURO Projet oład Zoa Darusz GODEWSY Sład omputerowy Eugenusz ROSOŁOWSKI Wszele prawa zastrzeżone. Żadna część nnejszej sąż, zarówno w całośc, ja we ragmentach, ne może być reproduowana w sposób eletronczny, otograczny nny bez zgody wydawcy właśccela praw autorsch. opyrght by Ocyna Wydawncza Poltechn Wrocławsej, Wrocław 9 OFIYNA WYDAWNIZA POITEHNIKI WROŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspańsego 7, 5-37 Wrocław http://www.ocyna.pwr.wroc.pl e-mal: ocwyd@pwr.wroc.pl ISBN 978-83-7493-487-9 Druarna Ocyny Wydawnczej Poltechn Wrocławsej. Zam. nr 944/9.
SPIS TREŚI OD AUTORA... 7. DYSKRETNE INIOWE MODEE SIEI EEKTRYZNEJ..... Wprowadzene..... Dysretna reprezentacja równań różnczowych... 3... Wybrane algorytmy... 3... Doładność stablność rozwązana... 5.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego... 8.3.. Rezystancja... 8.3.. Inducyjność... 8.3.3. Pojemność... 9.3.4. Gałęze złożone....3.5. Źródła sterowane... 3.3.6. na długa... 4.3.7. Właścwośc częstotlwoścowe model cyrowych... 3.4. Metoda potencjałów węzłowych... 34.4.. Tworzene równań... 34.4.. Rozwązywane równań potencjałów węzłowych... 4.4.3. Algorytm symulacj... 45.4.4. Oreślane warunów początowych... 48.5. Stablność model cyrowych... 53.5.. Numeryczne oscylacje podczas symulacj stanu przejścowego... 53.5.. Tłumene oscylacj za pomocą dodatowej rezystancj... 55.5.3. Tłumene oscylacj przez zmanę metody całowana... 59.5.4. Metoda dopasowana transmtancj... 65 Zadana... 7. MODEE EEMENTÓW NIEINIOWYH I ZAEŻNYH OD ZASU.. 75.. Metody rozwązywana równań nelnowych... 75... Metoda teracj prostej... 76... Metoda Newtona... 78..3. Metoda secznych... 8..4. Metoda Atena... 8..5. Metoda Newtona Raphsona... 83.. Modele elementów nelnowych obwodu eletrycznego... 84... Rezystancja... 85... Inducyjność... 88..3. Pojemność... 96
4.3. Model sec nelnowej zależnej od czasu... 97.3.. Obwód z elementam nelnowym zależnym od czasu... 97.3.. Metoda ompensacj....3.3. Metoda odcnowo-lnowej aprosymacj charaterysty nelnowej... 7 Zadana... 8 3. METODA ZMIENNYH STANU... 3.. Wprowadzene... 3.. Formułowane równań stanu... 4 3.3. Rozwązywane równań stanu... 7 3.3.. Ułady lnowe... 7 3.3.. Ułady nelnowe... 9 3.4. Podsumowane... Zadana... 3 4. MODE INII EEKTROENERGETYZNEJ... 5 4.. na jednoazowa... 5 4... Parametry ln... 5 4... Uwzględnene zależnośc parametrów od częstotlwośc... 7 4.. na weloazowa... 45 4... Model o parametrach suponych... 45 4... Model o parametrach rozłożonych... 53 Zadana... 69 5. MODE TRANSFORMATORA... 7 5.. Wprowadzene... 7 5.. Transormator jednoazowy... 7 5... Schemat zastępczy... 7 5... Model transormatora dwuuzwojenowego... 75 5..3. Model transormatora trójuzwojenowego... 8 5..4. Model autotransormatora... 84 5..5. Modele obwodu magnetycznego... 84 5.3. Transormator trójazowy... 93 5.3.. Transormator dwuuzwojenowy... 93 5.3.. Transormator welouzwojenowy... 3 5.3.3. Transormatory z uzwojenem Z... Zadana... 3 6. MODEOWANIE WIRUJĄYH MASZYN EEKTRYZNYH... 5 6.. Maszyna synchronczna... 5 6... Model w sładowych dq... 6 6... Model w sładowych azowych... 39 6.. Maszyna nducyjna... 4 6... Uwag ogólne... 4 6... Model matematyczny... 43 6..3. Model eletromechanczny... 48 6..4. Modele cyrowe... 53 6..5. Model wetorowy... 54
5 6.3. Maszyna unwersalna... 63 Zadana... 63 UWAGI KOŃOWE... 65 DODATEK A. ATP EMTP: STRUKTURA PROGRAMU... 69 A.. Wprowadzene... 69 A.. Strutura paetu ATP EMTP... 7 A... Edytor danych wejścowych... 7 A... Strutura programu ATP EMTP... 7 A..3. Procesor wynów symulacj... 75 DODATEK B. PRZYGOTOWANIE DANYH... 77 B.. Wprowadzene... 77 B.. Edytor testowy... 78 B... Strutura plu danych wejścowych... 78 B... Nagłówe zboru danych... 8 B..3. Dane o modelach uładu sterowana... 84 B..4. Dane o gałęzach modelu sec... 85 B..5. Dane o wyłącznach... 89 B..6. Dane o źródłach... 9 B.3. Edytor graczny ATPDraw... 9 DODATEK. PRZYKŁADY... 93.. Tworzene modułów danych... 93... Strutura modułu... 93... Tworzene modułów w trybe wsadowym... 96..3. Tworzene modułów w edytorze gracznym ATPDraw... 3..4. Zastosowane modułów w edytorze gracznym ATPDraw... 34.. Transormator trójazowy do symulacj zwarć wewnętrznych... 39.3. Model analogowego ltru odcnającego... 35.4. Model zabezpeczena różncowego transormatora... 3.4.. Wprowadzene... 3.4.. Zabezpeczene różncowe transormatora... 3.4.3. Model przeaźna różncowego... 35.4.4. Badane zabezpeczena... 33.5. Analza rozruchu slna nducyjnego... 336.5.. Wprowadzene... 336.5.. Model matematyczny slna nducyjnego... 337.5.3. Analza rozruchu slna... 34.5.4. Analza rozruchu zmany obcążena slna... 343.6. Modelowane generatora nducyjnego dwustronne zaslanego... 345.6.. Wprowadzene... 345.6.. Strutura eletrown watrowej... 346.6.3. Model matematyczny generatora z uładem sterującym... 347.6.4. Model ATP EMTP... 355.6.5. Warun początowe... 357.6.6. Wyn symulacj... 358
6.6.7. Podsumowane... 36.7. Symulacyjna analza zwarć łuowych w ln eletroenergetycznej... 36.7.. Wprowadzene... 36.7.. Model matematyczny łuu zwarcowego... 36.7.3. Model ATP EMTP... 366.7.4. Wyn symulacj... 367.7.5. Podsumowane... 368.8. Statyczna ompensacja mocy bernej... 369.8.. Wprowadzene... 369.8.. Statyczny ompensator mocy bernej... 37 ITERATURA... 375 SKOROWIDZ... 383
OD AUTORA Modelowane omputerowe zrobło w ostatnch latach zawrotną arerę. Złożyło sę na to wele czynnów, wśród tórych stotną rolę odgrywają, z jednej strony, gwałtowny rozwój technolog omputerowych, a z drugej cągle nezaspoojona potrzeba lepszego zrozumena otaczającego nas śwata. Włączene techn omputerowych do modelowana symulacj zjaws dynamcznych pozwala na bardzo elastyczne podglądane, często nedostępnych w nny sposób zależnośc. Jest to welce pomocne taże w technce zarówno do analzy zjaws, ja do weryacj pomysłów onstrucyjnych. Zachowane systemów dynamcznych może być śledzone poprzez analzę ch opsów (model matematycznych. W lasycznym podejścu, model matematyczny zjawsa jest zazwyczaj ormułowany w odnesenu do czasu cągłego (model cągły. W przypadu omputerowej symulacj, cągły model należy zamenć na model dysretny. Ta transormacja ne jest jednoznaczna, gdyż różnczowane lub całowane może być w różny sposób przedstawane w modelu dysretnym. Wybór oreślonej metody numerycznej w stotny sposób wpływa na właścwośc modelu cyrowego. Należy pamętać, że właścwośc cyrowego modelu oreślonego zjawsa w ogólnym przypadu różną sę od właścwośc jego modelu cągłego. Zasadncza różnca jest wdoczna w dzedzne częstotlwośc: wdmo sygnału dysretnego powtarza sę z oresem zależnym od wybranego rou modelowana. Jego cągły w czase orygnał może być zatem w marę werne reprezentowany przez numeryczną replę w ogranczonym przedzale częstotlwośc. Ponadto, porzucene gładej, na ogół, przestrzen czasu cągłego na rzecz, z natury chropowatej, dzedzny czasu dysretnego sprawa, że naslają sę problemy zwązane z uzysanem stablnego rozwązana. Pojawające sę w tach przypadach nenaturalne oscylacje w wynach symulacj stanów dynamcznych stanową znany problem. Do tego dochodzą taże neuchronne błędy zaorągleń arytmetycznych, wynające z ogranczonej długośc słowa w omputerach cyrowych. Na szczęśce, ten ostatn problem został w znacznej merze usunęty we współczesnych omputerach. Analzując wymenone trudnośc łączące sę z zastosowanem omputerów do symulacj procesów dynamcznych można zapytać, ja jest sens stosowana tach rozwązań w pratyce. Gwałtowny wzrost zanteresowana omputerowym technam symulacj jest dowodem na to, że z pewnoścą wsazane trudnośc można poonać.
8 Od autora W sążce przedstawono metody zmerzające do omputerowej symulacj stanów przejścowych w secach eletrycznych. Zagadnene to stało sę atualne z chwlą pojawena sę łatwo dostępnych dostateczne zaawansowanych omputerów w połowe lat 6. ubegłego weu. Dzałana w tym erunu zostały wymuszone przez oneczność analzowana szybozmennych procesów przejścowych zwązanych z różnym załócenam w złożonych secach eletroenergetycznych. Gromadzene normacj na temat przebegu tach załóceń w naturalnym obece jest droge nezmerne utrudnone ze względu na losowy charater zachodzących zdarzeń. Sprawny warygodny symulator dawał nadzeję na postęp w tej dzedzne. Klasyczna praca z zaresu cyrowych metod modelowana stanów przejścowych w secach eletrycznych z obetam reprezentowanym za pomocą model o parametrach suponych rozłożonych, autorstwa pro. H. Dommela, została opublowana w 969 r. [9]. Utworzona przez nego grupa badawcza, złożona ze specjalstów z zaresu eletroenergety, metod numerycznych techn omputerowych, stworzyła podwalny pod dobrze znany paet programowy ElectroMagnetc Transents Program (EMTP [3]. Na podstawe sormułowanych wówczas metod powstało wele różnych wersj programu. Węszość z nch, to obecne proesjonalne programy omercyjne z rozbudowanym nterejsem użytowna, co ułatwa ch obsługę oraz analzę uzysanych wynów. Na baze tego podejśca powstały równeż symulatory pracujące w czase rzeczywstym, tóre pozwalają analzować zjawsa eletromagnetyczne w sec, odtwarzając je w tempe zachodzącego procesu zycznego wymagają one jedna zastosowana specjalstycznego, drogego sprzętu omputerowego. Materał sąż jest podzelony na dwe częśc. W perwszej z nch znajduje sę omówene podstawowych metod, tóre mają zastosowane w modelowanu elementów obwodów eletrycznych, oraz omówene sposobów modelowane podstawowych elementów trójazowej sec eletroenergetycznej: ln, transormatorów oraz wrujących maszyn eletrycznych. Drugą część stanową Dodat, gdze zameszczono podstawowe normacje na temat strutury obsług programu w wersj ATP EMTP oraz wele przyładów pratycznego wyorzystana tego programu. Program ten jest wcąż rozbudowywany przez mędzynarodową społeczność specjalstów, tórzy są zorganzowan w Regonalne Grupy Użytownów. Jest to w pełn proesjonalny program, tórego lcencję można otrzymać za symbolczną, drobną opłatę. Dzę temu jest on szczególne rozpowszechnony w środowsu aademcm, chocaż jest taże stosowany w proesjonalnym zarese. Przyłady zameszczone w Dodatu mają na celu pogłęboną lustrację materału prezentowanego w perwszej częśc sąż. Pełną one taże uncję pratycznego przewodna w zarese posługwana sę programem, zwłaszcza przy tworzenu własnych model. Realzacja tego ostatnego zadana wymagała zameszczena zaawansowanych model samych obetów, ja równeż model odpowednch uładów automaty. Analza tych przyładów wymaga needy od zytelna posadana
Od autora 9 bardzej zaawansowanej wedzy w zarese omawanych zagadneń. Mam jedna nadzeję, że zyteln ne będze sę tym zrażał tego typu programy są w ońcu przeznaczone dla proesjonalstów. Każdy ma szansę nm zostać po poonanu wstępnych trudnośc. Doonany przeze mne wybór bazy programowej w postac paetu ATP EMTP aworyzuje użytownów tego właśne programu. Mam jedna nadzeję, że równeż zwolenncy nnych wersj programu z rodzny EMTP znajdą w tej sążce wele pożytecznych normacj. Wadomo bowem, że węszość dostępnego obecne oprogramowana do analzy omawanych tu zagadneń ma wspólną bazę, a ody danych wejścowych do symulacj różną sę w newelm stopnu. Pomocny tu może być wyaz stron nternetowych podstawowych producentów ważnejszych grup użytownów tego oprogramowana, tóry zameścłem w ońcowej częśc spsu lteratury. Ksążę tę psałem przede wszystm z myślą o moch studentach dotorantach z erunów: eletrotechna oraz automatya robotya. Mam nadzeję, że publacja ta będze taże pomocna dla szeroego grona specjalstów zajmujących sę projetowanem esploatacją urządzeń automaty pomarów w eletrotechnce. Uzupełnenem sąż są programy omputerowe z numerycznym oblczenam zwązanym z wybranym przyładam z głównego testu w węszośc są to procedury napsane w programe MATAB [85] oraz programy do wszystch przyładów zameszczonych w Dodatu. Te ostatne zostały opracowane w programe ATP- -EMTP z edytorem gracznym ATPDraw w wersj 5.5 [8, 3, 4]. Są one dostępne na strone nternetowej: http://www.rose.pwr.wroc.pl/przylady_d/. Mam nadzeję, że ten dodatowy materał będze dobrym wprowadzenem do poruszanych zagadneń zachęc zytelnów do samodzelnego dosonalena umejętnośc w tym zarese. Materał zawarty w tej sążce ulega szybemu starzenu, co jest zwązane z powstawanem nowych pomysłów w zarese metod numerycznych, rozwojem techn programowana omputerowego, a w onsewencj nowych wersj omawanych tu programów do symulacj omputerowej. Zwłaszcza w tym ostatnm zarese zmany mają szybe tempo. Sądzę jedna, że nawet po lu latach zameszczony tu materał będze można z pożytem wyorzystać. Będę wdzęczny za wszele uwag dotyczące proponowanego w tej sążce materału. Można je przesyłać na mój adres e-malowy: eugenusz.rosolows@pwr.wroc.pl. Na zaończene mam przyjemność podzęować recenzentom: pro. Janow Iżyowsemu z Poltechn Wrocławsej oraz pro. Pawłow Sowe z Poltechn Śląsej za życzlwość ważne uwag merytoryczne. Mam taże dług wdzęcznośc w stosunu do welu osób z zespołu redacyjnego Ocyny Wydawnczej PWr, tórych pomoc cenne podpowedz doprowadzły tę pracę do ostatecznego ształtu. Wrocław, wrzeseń 9 Autor
. DYSKRETNE INIOWE MODEE SIEI EEKTRYZNEJ.. Wprowadzene elem analzy obwodu eletrycznego mogą być różne szczegółowe zagadnena, ja rozpływ prądów w stane ustalonym, symulacja stanu dynamcznego, oreślene charaterysty częstotlwoścowych w wybranych puntach sec nne. W przypadu badana stanów przejścowych, dynama sec jest oreślana za pomocą uładu równań algebraczno-różnczowych, odzwercedlających zwąz pomędzy prądam napęcam w poszczególnych elementach sec oraz stan równowag całego uładu (zgodne z prawam Krchhoa. Reprezentacja rzeczywstej sec eletrycznej za pomocą schematu zastępczego pocąga za sobą znane needy stotne uproszczena. Najczęścej załada sę, że rozmary geometryczne poszczególnych ragmentów sec są do pomnęca, co sprawa, że somplowane zależnośc wynające z teor pola eletromagnetycznego w uładze przestrzennym reduują sę do znanych zwązów różnczowych w elementach o parametrach suponych. Jeśl dodatowo przyjąć, że rozpatrywany jest lnowy zares pracy tych elementów, to mamy do czynena z obwodem eletrycznym lnowym o parametrach suponych. Needy, spośród trzech wymarów przestrzennych przewodna, trudno jest zrezygnować z jego długośc decyduje o tym czas przejśca al eletromagnetycznej mędzy obu ońcam przewodna. Wówczas odpowedn ops zjaws zapewna model o parametrach rozłożonych. W tym rozdzale rozpatrywane są sec jednoazowe z elementam lnowym o parametrach suponych oraz rozłożonych. W lasycznej teor obwodów zwąz zachodzące mędzy prądem napęcem w oddzelnych elementach sec są przedstawane za pomocą uncj cągłych w czase. Jeśl analza obwodu ma być prowadzona za pomocą omputera, to należy zapewnć możlwość numerycznego rozwązana zagadnena. Możlwe są dwa przecwstawne podejśca do tego problemu: przeształcene cągłych w czase zależnośc różnczowych dla poszczególnych elementów sec w odpowedne zależnośc dysretne, a następne ormowane na ch podstawe równań sec ch rozwązywane z uwzględnenem równań obwodowych (metoda modelowana cyrowego;
. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej ormowane cągłych równań obwodu eletrycznego ch rozwązywane za pomocą metod numerycznych (metoda zmennych stanu. W tym rozdzale prezentowane jest perwsze z tych podejść. Poneważ poszczególne elementy obwodu eletrycznego są tu zastępowane odpowednm modelam dysretnym, węc można w tym przypadu mówć o dysretnej teor obwodów [3]. Przejśce od czasu cągłego do dysretnego powoduje znane onsewencje w dzedzne częstotlwośc (charaterystya częstotlwoścowa uładu staje sę oresowa, ja równeż może rodzć problemy w zarese stablnośc numerycznej. Tworzene cyrowych model elementów obwodu eletrycznego jest bezpośredno zwązane ze znanym matematycznym modelam tych elementów, odnoszącym sę do czasu cągłego. W przypadu elementów o parametrach suponych, modele te są wyrażone za pomocą równań różnczowych zwyczajnych. Problematyę tę rozpoczynamy od rótego wprowadzena do zagadneń numerycznego rozwązywana tach właśne równań. Prezentowane tu metody są bezpośredno zwązane z algorytmam tworzena cyrowych model elementów obwodu eletrycznego. Do west numerycznego rozwązywana równań różnczowych w bardzej ogólnym sense powrócmy jeszcze w rozdz. 3. W przypadu ln długch, model matematyczny stanu przejścowego jest oreślony za pomocą równań różnczowych cząstowych. Stosowane powszechne modele dysretne tych obetów wywodzą sę z metody charaterysty rozwązywana równań ln bezstratnej. Prowadz to do bardzo eetywnego numeryczne algorytmu, w tórym można łatwo uwzględnć taże rezystancję ln oraz eet nasórowośc, tóry objawa sę w postac zależnośc parametrów od częstotlwośc. Bardzej szczegółowa analza model ln eletroenergetycznej jest ontynuowana w rozdz. 4. Zastąpene cągłych model elementów sec przez ch modele dysretne (dysretne w czase powoduje, że zmena sę sposób reprezentacj dynam sec: w oddzelnych roach symulacj analzowany system jest tratowany ja seć prądu stałego, natomast jej dynama zostaje odwzorowana dzę stosownej zmane warunów początowych w olejnych roach symulacj omputerowej. W tach warunach uzysane eetywnych algorytmów numerycznych wymaga uważnego podejśca do ormowana równań sec. Problem ten jest analzowany w olejnych częścach rozdzału. W ostatnej częśc rozdzału rozważane są zagadnena zwązane z błędam numerycznych algorytmów modelowana sec, tóre mogą prowadzć do neontrolowanych oscylacj w trace oblczeń. Omówone zostały źródła tych oscylacj oraz podstawowe sposoby ch lwdacj. Wnos płynące z tej analzy mogą meć zastosowane do poprawnego projetowana dysretnych model rozważanych elementów, a taże złożonych sec eletrycznych.
.. Dysretna reprezentacja równań różnczowych 3.. Dysretna reprezentacja równań różnczowych... Wybrane algorytmy W systemach dynamcznych o parametrach suponych (dotyczy to taże dużej częśc obwodów eletrycznych, spotyamy sę z równanam różnczowym o następującej orme: dy( t ( y, t (. dt gdze: t czas; y, uncje (zmenne reprezentujące różne welośc zyczne. Zmenna y może być oreślona w wynu całowana równana (.: t y( t y( ( y, d (. W algorytmach numerycznego wyznaczana rozwązana (. poszuuje sę wartośc przyblżonych y( y( t dla dysretnych wartośc zmennej nezależnej t, =,,.... Można wówczas zagadnene (. zapsać w następującej orme: t y( t y( y( ( y, d (.3 zęsto sę przyjmuje, że przedzał całowana ma stałą długość T wówczas: t = t + T, =,,...,. Różne metody numerycznego rozwązywana równań różnczowych (. wywodzą sę z odpowednch sposobów aprosymacj cał w (.3. Są to metody jednoroowe oraz metody weloroowe [, 4]. W perwszym przypadu cała ta jest oreślana na podstawe normacj o wartośc uncj (y, t w przedzale (t, t, natomast w metodach weloroowych nterpolacja uncj (y, t odbywa sę taże z wyorzystanem normacj z wcześnejszych etapów oblczeń, to znaczy w puntach t m, t m+,..., t, t (m lczba uwzględnanych poprzednch roów. W algorytmach modelowana cyrowego stosowane są zazwyczaj proste jednoroowe metody całowana równań różnczowych. Ważnejsze z nch są prezentowane dalej. Problem numerycznego wyznaczana cał w (.3 jest poazany na rys... Pole oreślone przez uncję (y, t w przedzale (t, t może być aprosymowane prostoątem o boach równych T oraz (y, t. Równane (.3 przyjmuje wówczas następującą postać: t
4. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej ( y( T y(, t y (.4 Zależność ta jest znana jao jawna (estrapolacyjna metoda prostoątów (Eulera. Jeśl sę pole prostoąta oreśl na podstawe beżącej wartośc uncj (y, t, to odpowedn algorytm przyjme następującą ormę: t y ( y( T y(, (.5 (y,t 3 (y(t (y(t t 4 t 3 t t t t Rys... ałowane numeryczne: jawna metoda Eulera, nejawna metoda Eulera, 3 metoda trapezów Formuła (.5 jest znana jao nejawna (nterpolacyjna metoda prostoątów (Eulera. Łatwo zauważyć (rys.., że błędy wynające ze stosowana obu powyższych algorytmów mają przecwne zna. Doładność oszacowana cał można zatem poprawć przez uśrednene obu wynów. Prowadz to do znanej metody trapezów: T y ( y( y(, t y(, t (.6 Uwzględnając (., zależnośc (.4 (.6 można taże zapsać, odpowedno, w następującej orme: dy( t y( y( T (.7 dt t t Oreślena: metoda jawna oraz metoda nejawna są zwązane z możlwoścą bezpośrednego oreślena poszuwanej zmennej. W metodze nejawnej zmenna wyznaczana w -tym rou występuje po obu stronach równana (ja y( w (.5.
.. Dysretna reprezentacja równań różnczowych 5 d y( t y( y( T (.8 dt t t T dy( t y( y( dt t dy( t dt t tt (.9 Należy zauważyć, że metody jednoroowe można stosować do rozwązywana uładów równań różnczowych z wyorzystanem tylo warunów początowych (algorytm samostartujący. Przyładem metody weloroowej jest algorytm Geara drugego rzędu: 4y( y( T ( y(, t / 3 y( (. Metody Geara należą do grupy tzw. metod sztywnych (ang. st methods, co oznacza, że są stablne w przypadu, gdy w złożonym systeme występują stałe czasowe o bardzo różnących sę wartoścach [4]. W celu oblczena wartośc uncj y ( w perwszym rou symulacj ( na podstawe (., należy znać ne tylo wartość początową y (, ale równeż wartość pośredną y (. To sprawa, że metody weloroowe ne są samostartujące do rozpoczęca oblczeń stosuje sę zazwyczaj algorytm jednoroowy [4].... Doładność stablność rozwązana Do analzy doładnośc stablnośc rozwązana równana różnczowego metodą numeryczną można posłużyć sę wzorcowym równanem, tórego rozwązane analtyczne jest znane. Wybera sę tu zazwyczaj równane o postac [4]: dy( t y( t (. dt Doładne rozwązane dane jest zależnoścą: y t ( t y e (. gdze: y y( warune początowy,. Stosując w odnesenu do (. algorytmy (.4 (.6, otrzymamy: y( ( T y( jawna metoda Eulera, (.3 y( y( nejawna metoda Eulera, (.4 ( T
6. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej ( T y( y( metoda trapezów. (.5 ( T Aby ocenć błędy pojawające sę podczas jednego rou całowana (błędów loalnych, można porównać te welośc z wynem doładnym, tóry w tym przypadu oreślony jest następująco: y T d( y( e (.6 Błąd loalny oreśla sę jao różncę: ( yd( y( (.7 tórą łatwo wyznaczyć dla onretnych algorytmów. Na przyład dla jawnej metody Eulera równane (.7 przyjmuje następującą postać: T T ( y( e ( T y( y( e T (.8 Po zapsanu uncj wyładnczej w postac szeregu Taylora otrzymujemy następujące oszacowane błędu: 3 3 ( ( T T... p y O( T O( T (.9 6 gdze: p jest rzędem metody (w danym przypadu p. Błąd globalny jest odchyłą mędzy rozwązanem doładnym uzysanym w wynu stosowana oreślonej ormuły przyblżonej, tóra merzona jest w pewnym przedzale czasowym, zaczynając od perwszego rou. W rozważanym przypadu rozwązane doładne jest oreślone zależnoścą: T ydg( y e (. natomast rezultaty algorytmów numerycznych są następujące: y( ( T y jawna metoda Eulera, (. y y( ( T nejawna metoda Eulera, (. ( T y( y ( T metoda trapezów. (.3 Wdać, że w przypadu jawnej metody Eulera, ogranczoną odpowedź uzysuje sę dla T, a węc w celu zapewnena stablnośc rozwązana (nezależne od
.. Dysretna reprezentacja równań różnczowych 7 wartośc błędu loalnego należy wybrać ro całowana zgodne z warunem: T /. W pozostałych dwóch algorytmach stablność numeryczna metody jest zachowana nezależne od wyboru długośc rou całowana. Ilustracja przebegu omówonych błędów jest poazana na rys... Przyjęto: oraz y (rys.a, T, 98 s (rys.b. Wdać, że przy założonych warunach błąd globalny jawnej metody Eulera wyazuje słabo tłumone oscylacje o dużej ampltudze, co wsazuje, że algorytm jest bls grancy stablnośc. Pozostałe dwe metody, nawet przy dużym rou całowana, dają stablne rezultaty (chocaż z dużym błędem loalnym. Powyższą analzę można równeż powtórzyć dla uładów równań różnczowych. Zaps salarny należy wówczas odpowedno zastąpć zapsem wetorowym. W podobny sposób można oreślć doładność warun stablnośc nnych metod całowana numerycznego [, 4, 4]. Przy wyborze odpowednej metody należy uwzględnć at, że zazwyczaj algorytmy doładnejsze (wyższych rzędów wyazują gorsze warun stablnośc, co wymaga stosowana rótszych roów całowana w przypadu dużych wymuszeń. Stosując natomast metody nższych rzędów (a węc mnej somplowane oblczenowo, można zapewnć wymaganą doładność wyberając odpowedno rót ro całowana. a b G 3 4 3 T, s 3 5 5 4 8 6 Rys... Przebeg błędów a loalnych oraz b globalnych: metoda trapezów, nejawna oraz 3 jawna metoda Eulera Dobrym rozwązanem tego dylematu jest stosowane zmodyowanych algorytmów o zmennym rou całowana [7, 4], jedna wówczas znaczne wzrasta stopeń złożonośc algorytmu. W pratycznych zastosowanach metod całowana numerycznego do symulacj zjaws eletromagnetycznych w secach (ja w przypadu EMTP stosuje sę dość proste metody (Eulera lub trapezów ze stałym roem całowana [8, 9, 8]. 3
8. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego.3.. Rezystancja Rezystancja lnowa R, jao element obwodu eletrycznego, jest reprezentowana w modelu matematycznym przez stały współczynn, oreślający zależność mędzy napęcem prądem. Odpowedne relacje pozostają nezmenne równeż dla czasu dysretnego: ( u( Gu( (.4 R.3.. Inducyjność ągły model nducyjnośc jest oreślony znaną zależnoścą: d ( t u( t (.5 dt Po prostym przeształcenu uzysuje sę lasyczną postać równana różnczowego: d ( t/ dt u( t /. Model cyrowy można otrzymać stosując ogólny schemat numerycznego rozwązana tego równana (.3: t ( t u( d ( t u( d (.6 t Poszczególne modele cyrowe nducyjnośc uzysuje sę przez zastosowane różnych metod całowana w (.6. Na przyład stosując nejawną metodę prostoątów otrzymuje sę ( t T : T ( ( u( (.7 z warunem początowym: (. Zauważmy, że parametr T / ma wymar przewodnośc, zatem: ( Gu( (, t t T G (.8 Zastosowane metody trapezów do (.6 prowadz do następującego zwązu:
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego 9 T ( ( u( u( (.9 co, po uporządowanu, daje następujący algorytm: T ( Gu( ( Gu(, G (.3 Można zauważyć, że w trace oblczana wartośc prądu w olejnym rou ( =,,..., wszyste sładn odnoszące sę do poprzednch roów są zmennym nezależnym. Poneważ w (.3 mają one wymar prądu, węc można je rozpatrywać jao źródła prądowe. W ten sposób algorytm ten przyjmuje następującą ormę: T ( Gu( j(, j ( ( Gu(, G (.3 Na podstawe (.8 (.3 można podać ogólny schemat zastępczy numerycznego modelu nducyjnośc (rys..3. Wartośc przewodnośc G oraz prądu j ( zależą od wybranej metody rozwązywana równana (.5, przez co mów sę o modelach stowarzyszonych odpowednch elementów eletrycznych [4, ]. a b ( (t u( G j( u(t Rys..3. Model cyrowy nducyjnośc: a symbol oraz b schemat zastępczy.3.3. Pojemność Zupełne podobne wyprowadza sę model cyrowy pojemnośc. Wychodząc ze znanej zależnośc pomędzy prądem napęcem: d u( t ( t (.3 dt uzysuje sę równane różnczowe: d u ( t/ dt ( t /. Wyn całowana tego równana można zapsać następująco (.3: t t u( t ( d u( t ( d (.33 t t
. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej Odpowedno stowarzyszone modele cyrowe pojemnośc uzysuje sę za pomocą różnych metod całowana w (.33. Na przyład stosując nejawną metodę prostoątów otrzymuje sę ( t T : T u( u( ( (.34 z warunem początowym: u( u. Podobne ja w (.7, równane to można taże zapsać w postac prądowoprzewodnoścowej ( u( u( (.35 T T Parametr / T ma wymar przewodnośc, a zatem: ( Gu( j(, j ( Gu(, G (.36 T Można zauważyć symetrę mędzy zależnoścam (.8 (.36. W przypadu modelu pojemnośc źródło prądowe zwązane z hstorą procesu ma zna ujemny. Zastosowane metody trapezów do (.33 prowadz do następującego zwązu: T u( u( ( ( (.37 co, po przeształcenu względem prądu, daje następujący algorytm: ( Gu( j(, j ( ( Gu(, G (.38 T Podobne algorytmy można utworzyć dla nnych metod rozwązywana równań różnczowych. Strutura modelu cyrowego pojemnośc jest poazana na rys..4. a b ( (t u( G j(- u(t Rys..4. Model cyrowy pojemnośc: a symbol oraz b schemat zastępczy W tabel. podane są parametry schematów zastępczych cyrowych model nducyjnośc pojemnośc dla netórych metod całowana. Model prądowo-przewodnoścowy (zwany też schematem zastępczym Nortona jest zwązany z przyjętą dalej metodą potencjałów węzłowych rozwązywana równań sec.
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego Tabela.. Algorytmy cyrowych model nducyjnośc pojemnośc Metoda całowana nejawna Eulera (prostoątów trapezów Geara II rzędu Model nducyjnośc Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Ogólny algorytm numeryczny: ( Gu( j( Model pojemnośc Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól. Błąd! Ne można tworzyć obetów przez edycję odów pól..3.4. Gałęze złożone W secach eletrycznych gałęze są najczęścej utworzone z odpowednej ombnacj elementów R,,. W programach do symulacj sec powszechne stosuje sę model gałęz R, tóra odpowada szeregowemu połączenu tych elementów. Zerowe wartośc poszczególnych parametrów tego modelu decydują o atualnej onguracj gałęz. Sposób tworzena zastępczego modelu taej gałęz jest zlustrowany na rys..5. Modele poszczególnych elementów są przedstawone w orme prądowo-przewodnoścowej (rys..5b, ja w powyższej prezentacj, przy czym, dla węszej przejrzystośc, w oznaczenach dodano ndesy, wsazujące na odpowedne elementy gałęz. Reducja schematu z rys..5b do postac ewwalentnej, ja na rys..5c, może być przeprowadzona na podstawe następującego równana napęcowego: u( u ( u ( u ( (.39 R przy czym poszczególne napęca sładowe są oreślone przez odpowedne równana model elementów R,, :
. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej u( G ur( ( G G ( j (, u ( ( j ( R (.4 a b (t ( u R (t R u R ( G R c ( u(t u (t u ( G j ( u( G j( u (t u ( G j ( Rys..5. Modele gałęz R: a schemat modelu cągłego, b modele cyrowe elementów, c schemat zastępczy Po podstawenu (.4 do (.39 uporządowanu otrzymamy równane modelu zastępczego (rys..5c: gdze: dla metody trapezów: G G G T G R G G G G G G 4 RT T, R R ( Gu( j( (.4 G G j( GRG j ( G G j( j( j ( GRG GRG GG G G przy czym: T G R, G, G. R T R,
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego 3 Wdać, że jeśl gałąź jest pozbawona pojemnośc, to do powyższych równań należy wstawć, natomast w celu pomnęca rezystancj lub nducyjnośc należy wsta-wć zerowe wartośc tych parametrów, co jest zgodne z nterpretacją zyczną. Na przy-ład model gałęz R jest oreślony równanem (.4, gdze (dla metody trapezów: T RG G, j( j ( ( Gu( (.4 RT RT RG.3.5. Źródła sterowane Modele netórych elementów eletroncznych, a taże obwodów sterowana, są przedstawone za pomocą schematów zastępczych, w tórych występują źródła sterowane. W ogólnym przypadu można wyróżnć cztery rodzaje tach źródeł (rys..6: sterowane napęcem źródło prądowe o wartośc j = x u x, gdze: u x, napęce występujące na wybranej parze zacsów w obwodze (napęce sterujące, x współczynn proporcjonalnośc (sterowana; sterowane prądem źródło prądowe o wartośc j = x x, gdze x, prąd na wybranej parze zacsów w obwodze (prąd sterujący; 3 sterowane prądem źródło napęcowe o wartośc u = x x ; 4 sterowane napęcem źródło napęcowe o wartośc u = x u x. a b x u x j=u x j= x x c d u= x u x u=u x Rys..6. Schematy zastępcze źródeł sterowanych: a źródło prądowe sterowane napęcem, b źródło prądowe sterowane prądem, c źródło napęcowe sterowane prądem oraz d źródło napęcowe sterowane napęcem Modele źródeł sterowanych są proste, natomast ch uwzględnene w równanach sec może łączyć sę z pewnym trudnoścam. Zależy to od przyjętego sposobu zapsu równań powązań sec: równana gałęzowe lub oczowe [4, 99, 5].
4. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej.3.6. na długa W systemach eletroenergetycznych występują zazwyczaj lne weloazowe, jedna model ln jednoazowej w uładze przewód zema lub przewód przewód (bez uwzględnena udzału zem jest ważnym przypadem, tóry może być rozszerzony na lnę weloazową. Przy rozważanu sposobu opsu zjaws eletromagnetycznych w ln, ze szczególną ostroścą stawany jest problem wyboru modelu matematycznego: model o parametrach suponych, czy rozłożonych? Rozróżnene mędzy tym dwema ategoram model eletrycznych zależy od relacj, jae zachodzą pomędzy trzema parametram rozpatrywanego środowsa: przewodnoścą właścwą, przenalnoścą magnetyczną oraz przenalnoścą eletryczną. W przypadu model elementów obwodu suponego załada sę, że spośród tych trzech welośc tylo jedna jest domnująca, a pozostałe można pomnąć. W ten sposób mamy do czynena z rezystancją (, nducyjnoścą ( lub pojemnoścą (. Ponadto, spełnony jest warune stacjonarnośc lub quas-stacjonarnośc pola eletromagnetycznego, co oznacza, że w ażdym punce rozpatrywanego elementu parametry zmennego w czase pola różną sę w pomjalne małym zarese. W przypadu elementów obwodu eletrycznego, z uwag na warun quasstacjonarnośc pola [95], jedyne długość przewodna jest stotna. W charaterze grancznej wartośc przyjmuje sę taą długość przewodna, na tórej odłada sę ¼ długośc al eletromagnetycznej zwązanej z analzowanym zjawsem. Jeśl zatem rozpatrywany jest przebeg harmonczny o częstotlwośc, to granczną długość przewodna, tóry może być przedstawony w postac modelu o parametrach suponych, można oszacować następująco [98]: c lgr (.43 4 4 gdze: c prędość śwatła w próżn, c / długość rozpatrywanej al eletromagnetycznej. Jeśl zachodz zwąze l<<l gr, to eet zwązany z długoścą przewodna można pomnąć. W przecwnym raze (l l gr w równanach modelu danego elementu należy uwzględnć wzajemny wpływ pola magnetycznego eletrycznego. Na przyład jeśl w ln eletroenergetycznej analzowane są przebeg zwarcowe o częstotlwośc do. harmoncznej ( = Hz, to granczna długość tej ln może być oszacowana jao l gr = c/(4 = 3, 5 /(4 = 75 m. W przypadu badana zjaws występujących podczas rozchodzena sę al eletromagnetycznej wywołanej uderzenem poruna, należy rozpatrywać znaczne węsze częstotlwośc już lu-
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego 5 metrowe odcn ln mogą wymagać zastosowana modelu o parametrach rozłożonych. Podobne jest w przypadu obwodów teleomunacyjnych. Przy wyprowadzanu równań modelu ln długej można sorzystać ze schematu zastępczego ragmentu ln, reprezentowanego czwórnem, ja na rys..7. Umowna długość tego odcna wynos x. Załada sę, że odcne x jest na tyle mały, że w odnesenu do nego można stosować zależnośc właścwe dla obwodu suponego. Blans napęć w oczu prądów w węźle prowadz do następujących zależnośc: ( x, t u( x, t R' x ( x, t ' x u( x x, t t u( x x, t ( x, t G' x u( x x, t ' x ( x x, t t (.44 gdze: R', ', G', ' oznaczają, odpowedno, jednostową (w odnesenu do jednost długośc rezystancję, nducyjność, przewodność pojemność ln. (x,t R'x 'x (x+x,t u(x,t G'x 'x u(x+x,t x x+x Rys..7. Schemat odcna ln długej Po podzelenu obu równań (.44 przez x przejścu do grancy ( x otrzymamy znane równana: u( x, t ( x, t R'( x, t ' x t (.45 ( x, t u( x, t G'u( x, t ' x t Przy założenu, że lna jest jednorodna (parametry wzdłuż ln ne zmenają sę, można te równana rozdzelć względem prądu napęca. Różnczując równana (.45 względem odległośc x otrzymamy ( u u( x, t, ( x, t : u u R'G'u R'' ' x t xt
6. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej W ostatnm sładnu można uwzględnć wyn różnczowana drugego równana (.45 względem czasu, w wynu czego, po uproszczenu, uzysuje sę: u R'G'u x u t u t R'' G'' '' (.46 Analogczne przeształcena drugego równana w (.45 prowadzą do następującej zależnośc dla prądu: R'G' R'' G'' '' (.47 x t t Są to hperbolczne (dla '' równana różnczowe cząstowe drugego rzędu, znane jao równana telegraczne [66, ]. a na bezstratna Bardzo ważnym przypadem jest założene, że R' oraz G', co prowadz do równań ln długej bezstratnej: u u x v t x v t (.48 przy czym: v. '' Ogólne rozwązane równań typu (.48 zostało podane przez d Alemberta [5, 66]. W przypadu spełnena warunów brzegowych: u( x, t u( x, t ( t, ( t x x x rozwązane równana napęcowego ma następującą postać: v t x/ v u( x, t ( t x / v ( t x / v ( d (.49 tx/ v Zbory puntów ( t x / v const. oraz ( t x / v const., zwane charaterystyam powyższego równana, wyznaczają trajetore al reprezentowanych przez uncję ( x, t (rys..8. W ln bezstratnej ale te ne podlegają tłumenu, natomast zmenają azę. haraterysty odpowadają argumentom uncj ( x, t o stałej aze. Jeśl grance ln oznaczyć przez x (począte x (onec, to ala poruszająca sę od początu ln po czase t p osągne punt x p (rys..8, przy czym zwęszają-
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego 7 cej sę odległośc towarzyszy narastane czasu ta, że zależność ( t x / v = constans jest zachowana. Podobny zwąze można prześledzć dla przypadu al poruszającej sę w przecwnym erunu. Przedstawona tu reprezentacja w lteraturze nos nazwę metody charaterysty [9, 37]. Warun brzegowe tego procesu można wyrazć za pomocą napęca prądu na początu ln u ( t, ( t. Uwzględnając perwsze równane w (.45 (lna bez strat, R', otrzymamy: u(, t (, t d ( t ( t u(, t u( t, ( t ' ' x t dt Podstawene tych zależnośc do (.49 daje następujące równane: gdze: t x/ v u( x, t u ( t x / v u( t x / v Z d ( t (.5 tx/ v ' Z mpedancja alowa ln. ' t t+x/v=const. t x/v=const. t p x x p x x Rys..8. haraterysty równań ln bezstratnej Równane (.5 dla ońca ln ( x l, l długość ln, przybera następującą postać: u( t u ( t u( t Z ( t ( t (.5 gdze: l / v czas propagacj al wzdłuż ln. Powtórzene powyższego wywodu dla równana prądowego w (.48 daje podobny zwąze dla prądu na ońcu ln: t Z ( t ( t u ( t u ( t ( (.5
8. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej przy czym przyjęto, że prąd ten ma zna przecwny do prądu ( t (rys..9. Odejmując stronam równana (.5 (.5, po uporządowanu otrzymujemy model ln długej bezstratnej: gdze G. Z ( t G u( t G u( t ( t (.53 u u x Rys..9. Oznaczene zmennych w modelu ln Przyjęce warunów brzegowych dla dwóch puntów zwązanych z ońcam ln daje w onsewencj rozwązane tylo dla tych mejsc, bez możlwośc śledzena przebegu procesu wewnątrz ln. Jeśl jedna lna jest ragmentem złożonej sec, to można ogranczyć sę tylo do welośc występujących na jej grancach, bez potrzeby odtwarzana zjaws dla dowolnej wartośc zmennej x. W tam przypadu, w równanach charaterysty występują tylo dwe wartośc zmennej x: x = (począte ln oraz x = l (onec ln. Ja wdać, to założene prowadz do bardzo prostych równań dysretnego modelu ln długej bezstratnej. Podejśce to jest znane jao metoda Bergerona [37, 5]. Równane (.53 przedstawa model cągły ln długej bez strat, oreślający zależność pomędzy prądam napęcam na obu jej ońcach. Model dysretny otrzymamy po uwzględnenu oreślonej długośc rou modelowana T. zas przejśca al eletromagnetycznej wzdłuż ln wyraz sę wówczas lczbą m roów modelowana: l m (.54 T vt a równane (.53 przyjme postać dysretną: G u ( G u ( m ( (.55 ( m Analogczną zależność można napsać dla prądu na początu ln. Ostateczne, dysretny model ln bez strat jest oreślony następującym równanam:
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego 9 ( ( ( ( ( ( m j u G m j u G (.56 gdze: ( ( ( ( ( ( m m u G m j m m u G m j (.57 przy czym: m. Przy mnej restrycyjnym wyprowadzenu powyższego modelu załada sę, że równana (.48 opsują proces rozchodzena sę dwóch al wzdłuż ln, tóre mają przecwne erun. Napęce w dowolnym punce ln można wówczas przedstawć w postac sumy tych al: ( (, ( vt x u vt x u t x u b a (.58 z tórych ( vt x u a ma erune dodatn, a ( vt x u b erune ujemny, zgodne z przyjętym zwrotem os x. Podobne równane otrzymuje sę taże dla prądów po podstawenu (.58 do (.48 wyonanu nezbędnych przeształceń: ( (, ( vt x u vt x u Z t x b a (.59 Jeśl ala a u pojawa sę w momence t na początu ln (ndes na rys..9, to osąga ona onec ln (ndes w chwl t, co prowadz do równośc (lna bezstratna: ( ( vt l u t v u a a (.6 Welość a u może być wyrażona w postac ogólnej przez wyelmnowane z równań (.58 (.59 welośc b u. Po dodanu obu stron tych równań wyonanu nezbędnych przeształceń otrzymuje sę:, (, ( ( t x Z t x u vt x u a (.6 Równane to dla obu ońców ln może być zapsane następująco: ( ( ( ( ( ( t Z t u vt l u t Z t u t v u a a (.6 (zna mnus w drugm równanu wyna z przyjętego erunu prądu na ońcu ln.
3. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej Po podstawenu (.6 do (.6 otrzymamy: ( t u( t Z Z u( t ( t (.63 co jest równoważne zależnośc (.53. Schemat zastępczy ln zgodny z modelem (.56 jest poazany na rys... ( ( u ( j ( m G G u ( j ( m Rys... Schemat zastępczy dysretnego modelu ln długej Należy zauważyć, że schematy zastępcze umeszczone na obu ońcach ln mają taą samą struturę ja modele nnych elementów lnowych. Do oreślana źródeł prądowych j ( m, j( m można wyorzystać odpowedne pamęc w rejestrach przesuwnych o długośc m omóre. b Uwzględnene rezystancj ln Przy rozbudowe przedstawonego powyżej modelu ln długej dąży sę do zachowana jego orzystnych cech wynających z prostoty oblczeń. W przypadu uwzględnena eetu tłumena, zwązanego z obecnoścą rezystancj, można wyorzystać at, że udzał rezystancj w mpedancj podłużnej ln jest newel, zatem wprowadzane uproszczena ne pownny w dużym stopnu wpływać na werność odtworzena analzowanego procesu. W mejsce rozłożonej wzdłuż ln rezystancj można przyjąć model w postac dwóch rezystancj o parametrach suponych, umeszczonych na obu ońcach ln (rys..a. W tam przypadu równana (.56 (.57 odnoszą sę do węzłów,, przy czym: gdze R lr'. R u' ( u( ( R u' ( u( ( (.64
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego 3 Uwzględnene powyższych zależnośc w (.56 (.57 zmena jedyne wartość przewodnośc G oraz sposób oblczana hstor procesu: j ( m G j ( m G u ( m h u ( m h ( m ( m (.65 gdze: G, Z R / h Z Z R. R a ( R/ ' ' R/ ( u ( u' ( u' ( u ( b ( R/4 R/4 R/4 R/4 ( u ( R/ u ( Rys... Uwzględnene rezystancj w modelu ln długej Doładnejsze odwzorowane rozłożonej rezystancj daje dwurotne zastosowane przedstawonego modelu. Dzę temu, supone rezystancje o wartośc jednej czwartej całej rezystancj ln zostają umeszczone na ońcach w środu ln (rys..b. Po napsanu równań modelu (.56 (.65 dla obu połówe rozpatrywanej ln wszyste parametry odnoszące sę do środowego węzła można wyelmnować [3]. Uzysuje sę w ten sposób następujące równana: ( G ( G u ( h u ( h a a j ( m h j ( m h b j ( m b j ( m (.66 gdze: R ha Z G, hb G oraz 4 G. Z R / 4 W ogólnym przypadu równana modelu ln mają zatem następującą postać:
3. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej ( G ( u( h G u( h a b h h b a j( m j( m (.67 przy czym macerze G ={G }, h ={h } są oreślane w zależnośc od przyjętego sposobu reprezentacj suponej rezystancj (lub jej pomnęca. na jest bardzo ważnym elementem ze względu na odtworzene zjaws eletromagnetycznych w systeme eletroenergetycznym podczas stanów przejścowych. Do problemu modelowana ln weloazowych powrócmy w rozdz. 4..3.7. Właścwośc częstotlwoścowe model cyrowych Stosowane metod numerycznych w modelowanu cyrowym łączy sę z zamaną czasu cągłego na czas dysretny. Powstaje zatem pytane, ja długość rou modelowana wpływa na doładność odtworzena analzowanego procesu w modelu cyrowym. Dobrym narzędzem analzy jest w tym przypadu badane stanu ustalonego dla wybranej częstotlwośc wymuszeń w sec (analza częstotlwoścowa. W stane ustalonym cągły model nducyjnośc jest oreślony następującym zwązem: I π j j YU Ye Ue (.68 gdze: Y = /; podreślena oznaczają, że odpowedne welośc są zespolone (są to ampltudy zespolone. Jest oczywste, że admtancja Y jest uncją częstotlwośc. Jeśl w (.68 uwzględn sę czas (odpowedne welośc zespolone reprezentują wówczas obracające sę wetory, to otrzymamy następującą ogólną zależność: π jt π jt I ( j, t Y ( j U ( j, t YUe Ie (.69. Rozpatrzmy teraz cyrowy model nducyjnośc stowarzyszony z metodą trapezów (.3. W celu porównana go z przedstawonym modelem cągłym załóżmy, że wymuszene napęcowe w obu przypadach jest jednaowe. Dla sładowej rzeczywstej otrzymamy zatem: r ( Gur ( jr ( (.7 T gdze: G, jr ( r ( Gur (, u r ( U cos( T ; przesunęce o jedną próbę oznacza zmanę ąta o wartość T. jt przy czym U (j, t Ue U cost jsnt
.3. Modele cyrowe lnowych elementów obwodu eletrycznego 33 Podobne równane można napsać równeż dla sładowej urojonej. Tworząc z obu tych sładowych odpowedne welośc zespolone otrzymamy: I d ( GU GU d d ( I ( I d d ( GU ( e ( d jt jt GU d ( e gdze ndes d wsazuje na postać dysretną. Po uporządowanu uzysujemy wyrażene o struturze, ja (.69: gdze po uproszczenu: Y d I e G e jt d ( jt U ( Y U d d d ( (.7 (.7 T T T Y (.73 T T j T jtg tg tg Można zauważyć, że admtancja modelu dysretnego stotne różn sę od admtancj modelu cągłego. Współczynn proporcjonalnośc jest uncją częstotlwośc. Przebeg tej uncj dla zman pulsacj od zera do wartośc = / T jest poazany na rys... Wdać, że jest to wartość granczna, przy tórej admtancja zastępcza modelu dysretnego nducyjnośc jest równa zero. Y d Y,9,8,7,6,5,4,3,,,,,3,4,5 T π Rys... haraterystya częstotlwoścowa admtancj modelu cyrowego nducyjnośc
34. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej W teor uładów dysretnych, punt ten znany jest jao częstotlwość Nyqusta (Shannona zwązany jest z twerdzenem o próbowanu [6]. Wyna z nego, że sygnał o częstotlwośc pownen być próbowany przynajmnej dwa razy w orese, aby można było poprawne odtworzyć o nm normację. Z przebegu charaterysty na rys.. wdać równeż, że w marę wzrostu częstotlwośc (w stosunu do założonego rou modelowana T relacje mędzy admtancją modelu dysretnego cągłego pogarszają sę: admtancja modelu nducyjnośc staje sę relatywne mnejsza. W podobny sposób można analzować właścwośc częstotlwoścowe modelu pojemnośc. Łatwo poazać, że w tym przypadu admtancja (przewodność modelu wzrasta ze wzrostem względnej częstotlwośc. Krzywa z rys.. odnos sę tym razem do lorazu mpedancj modelu dysretnego cągłego. Wypływa stąd wnose, że w celu zapewnena poprawnego odwzorowana w modelu cyrowym stanów dynamcznych (tóre charateryzują sę występowanem sładowych o wysoch częstotlwoścach należy przyjmować odpowedno mały ro modelowana: T (.74 gdze: mx granczna częstotlwość w spodzewanym wdme sygnałów prądowych lub napęcowych. mx.4. Metoda potencjałów węzłowych Metoda potencjałów węzłowych jest bardzo często stosowana do ormułowana równań secowych ze względu na łatwość ch tworzena na podstawe danych parametrów gałęz oraz znane szybe algorytmy rozwązywana tych równań. Ponżej przedstawona jest podstawowa metoda węzłowa, tórej zastosowane jest ogranczone do sec o gałęzach prądowo-przewodnoścowych, w tórych mogą taże występować sterowane napęcem źródła prądu. Jej rozszerzene na gałęze napęcowe sterowane prądem źródła prądowe jest znane pod nazwą zmodyowanej metody potencjałów węzłowych. Metoda zmodyowana ma zastosowane do symulacj stanów przejścowych w obwodach eletroncznych ne będze tu omawana [95, 5]..4.. Tworzene równań Schemat zastępczy gałęz aceptowalnej w metodze potencjałów węzłowych jest poazana na rys..3. Model tej gałęz jest oreślony następującym równanem: a G u G u j G ( u u G ( u u j (.75 a a ba b a a l ba m n a
.4. Metoda potencjałów węzłowych 35 gdze u b jest napęcem sterującym źródłem prądowym o współczynnu sterowana G ba, tóre znajduje sę w nnej gałęz sec. Należy zauważyć, że źródło prądowe j a może odnosć sę do prądu zwązanego z hstorą w schemace zastępczym modelu gałęz lub być nezależnym źródłem prądowym. Załóżmy, że w rozpatrywanej sec znajduje sę n g gałęz oraz n w węzłów, przy czym jeden z węzłów został wybrany jao węzeł odnesena. Równana o postac (.75 zapsane dla wszystch n g gałęz sec można wyrazć w następującym zapse macerzowym: T g G ga u jg (.76 gdze: G gn g n g jest macerzą przewodnośc gałęzowych zawerającą przewodnośc poszczególnych gałęz G a (na przeątnej oraz ewentualne przewodnośc źródeł sterowanych G (poza przeątną macerzy; nwng ba A = {a j } jest macerzą ncydencj, tórej elementy przyjmują następujące wartośc: a j jeśl gałąź j ma połączene z węzłem oraz jest serowana od tego węzła, a j jeśl erune gałęz jest przecwny, a j jeśl gałąź j ne ma połączena z węzłem ; u jest wetorem potencjałów w n w nezależnych węzłach sec (wetorem różncy napęć pomędzy poszczególnym węzłam węzłem odnesena; j g jest wetorem gałęzowych źródeł prądowych. u a a G l j a G ba u b Rys..3. Schemat zastępczy gałęz do tworzena równań potencjałów węzłowych Pomnożene równana (.75 przez macerz ncydencj A przeształca prądy gałęzowe w prądy węzłowe. Jest oczywste, że suma prądów gałęzowych w węźle jest równa zero (perwsze prawo Krchhoa:
36. Dysretne lnowe modele sec eletrycznej A (.77 g oraz (na podstawe prawej strony (.75: Gu (.78 T gdze: G ng n AG g ga jest macerzą przewodnośc węzłowych, n w Ajg jest wetorem prądów węzłowych (elementy wetora są brane ze znaem dodatnm, jeśl odpowedne źródło jest serowane do węzła. Ze względu na dencję macerzy A, poszczególne elementy wetora są utworzone z sumy prądów gałęz serowanych do danego węzła. Równane (.78 jest znane jao równane potencjałów węzłowych. Przy zadanej macerzy G oraz znanych wymuszenach prądowych, reprezentowanych przez wetor, rozwązane tego równana dostarcza normacj o napęcach u pomędzy węzłam nezależnym węzłem odnesena. W celu ułatwena oblczeń, w przypadu symulacj stanów dynamcznych sec, równane (.78 jest w różny sposób modyowane. Dwe tae modyacje są szczególne ważne w secach eletroenergetycznych: uwzględnene źródeł napęcowych połączonych z węzłem odnesena; ułatwene ontynuowana oblczeń w przypadu zmany parametrów wybranych gałęz. Jeśl w gałęz występuje nezależne źródło napęcowe połączone szeregowo z mpedancją, to należy je przeształcć na źródło prądowe (zgodne z twerdzenem Nortona. W modelach sec eletroenergetycznych, w charaterze węzła odnesena jest najczęścej wyberana zema. W tam przypadu wszyste źródła napęca połączone z zemą jednoznaczne oreślają napęca w węzłach na ońcach tych gałęz, a zatem węzły te ne są już nezależne. Możlwe jest wówczas następujące postępowane: [9, 5]: Wyberamy zbór A węzłów sec (poza węzłem odnesena, w tórych napęca ne są oreślone. Węzły, w tórych napęca są znane, utworzą zbór B. Jest oczywste, że suma obu zborów tworzy zbór wszystch nezależnych węzłów sec: n n n. w A B Wetor napęć węzłowych u w (.78 można przedstawć następująco: u A u (.79 u B przy czym poszuwany jest tylo wetor u A. Uwzględnając powyższe, równane (.78 można zapsać w następującej postac:
.4. Metoda potencjałów węzłowych 37 G AA G AB u A A (.8 G BA G BB u B B gdze: G AA jest macerzą przewodnośc tej częśc sec, w tórej ne ma węzłów granczących z gałęzam z napęcam źródłowym, G BB zawera przewodnośc własne wzajemne węzłów o znanych napęcach, natomast G AB oraz G BA przedstawają macerze przewodnośc wzajemnych obu tych zborów węzłów; wetor prądów węzłowych jest podzelony podobne, ja wetor napęć. Neznany wetor potencjałów węzłowych u A można wyznaczyć z równana: G AA u A G u (.8 A natomast wetor prądów węzłowych zboru B może być oreślony na podstawe dolnego równana w (.8: B BA A AB BB B G u G u (.8 Elementy wetora B są sumą prądów źródłowych dopływających do odpowednch węzłów zboru B, z uwzględnenem gałęz utworzonych przez źródła napęcowe. Drugą stotną sprawą w odnesenu do symulacj sec dynamcznych jest możlwość łatwej zmany onguracj sec bez potrzeby ażdorazowego oblczana macerzy parametrów G. Problem ten występuje na przyład przy zmane położena wyłącznów. Wyłączn może być reprezentowany za pomocą gałęz przewodnoścowej, tórej wartość G wyl zależy od położena wyłączna: Gwyl Fmax wyłączn zamnęty, G wyl wyłączn otwarty; F max bardzo duża lczba rzeczywsta. Zatem, przy zmane pozycj wyłącznów strutura równana potencjałów węzłowych ne zmena sę, natomast zmane ulegają jedyne wartośc netórych elementów macerzy G. Wygodne jest w tym celu umeszczać węzły przylegające do gałęz z wyłącznam w dolnej częśc macerzy G [9, 4]. Podany dalej przyład lustruje sposób tworzena równań potencjałów węzłowych w przypadu występowana w sec różnych, omówonych powyżej elementów, a taże ln długej. Przyład.. Parametry systemu: na: ' R =,88 /m, B Utworzyć równane macerzowe potencjałów węzłowych dla sec poazanej na rys..4. Przedstawa on ragment sec 4 V dla sładowej zgodnej. E s = 33 V, Z s =,5 + j, Z = 47 + j8, Z = 45 + j. ' =,87 mh/m, ' =,3 nf/m, długość l =8 m.