(13) Fourierovy řady

(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22

O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx dx = 0, sin nx sin mx dx = 2π 0 2π 0 cos mx dx = 0, m, n 1, cos nx cos mx dx = { 0, n m π, n = m. Animace Zdroj : https://en.wikipedia.org/wiki/fourier series Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 2 / 22

Def: Trigonometrický polynom Definice Funkce k Řada n=0 a n cos nx + b n sin nx se nazývá trigonometrický polynom. n=0 a n cos nx + b n sin nx se nazývá trigonometrická řada. Příklad f (x) = sin x + 2 sin(2x) + 3 sin(3x), g(x) = cos(2x) 1 2 sin(3x) Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 3 / 22

Trigonometrická řada - příklad Otázka Které z následujících řad jsou trigonometrické? A 1 + cos + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x + B sin x + sin(x + 1) + sin(x + 2) cos 2x sin 2x cos 3x sin 3x 2 + sin x 4 2 + 8 + 3 + D 1 2 1 3 sin x + 1 4 sin 2x 1 5 sin 3x + C cos x Zdroj:https://www.cusd80.com/cms/lib/AZ01001175/Centricity/Domain/6373/The%20Book.pdf C, D Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 4 / 22

Aproximace trigonometrickými polynomy Příklad f (x) = x na ( π, π), periodicky rozšířeno Zdroj : https://en.wikipedia.org/wiki/fourier series Animace Zdroj : https://en.wikipedia.org/wiki/fourier series Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 5 / 22

Def: Fourierovy koeficienty, Fourierova řada Definice Necht f : R R je 2π-periodická funkce taková, že π f (x) dx <. π Čísla a n = 1 π b n = 1 π π π π π f (x) cos nx dx, n N 0, f (x) sin nx dx, n N, se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f. Řadu S f = F f = a 0 2 + a n cos nx + b n sin nx n=1 nazýváme Fourierovou řadou funkce f. Píšeme F f f. Poznámka Lze integrovat přes libovolný interval délky 2π, třeba (0, 2π). F f f, nikoli F f = f! Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 6 / 22

2L-periodické funkce Definice Necht f má periodu 2L. Pak Fourierovy koeficienty funkce f jsou definovány jako a n = 1 L b n = 1 L L L L L Fourierova řada pak je definována jako a 0 2 + a n cos n=1 f (x) cos πnx/l dx, n N 0, f (x) sin πnx/l dx, n N. ( nxπ ) + b n sin L ( nxπ ). L Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 7 / 22

Otázka Na obrázku jsou první tři aproximace Fourierovy řady. Ke které funkci patří? (Pro všechny funkce platí f (x + 2) = f (x).) { 0, 1 < x < 0 A f (x) = 1, 0 < x < 1. { 1, 1 < x < 0 B f (x) = 1, 0 < x < 1. { 1 + x, 1 < x < 0 C f (x) = 1, 0 < x < 1. D f (x) = x, 1 < x < 1 http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/hugheshallett/0470089156/conceptests/ch10.pdf A Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 8 / 22

Otázka Na obrázku jsou první tři aproximace Fourierovy řady. Ke které funkci patří? (Pro všechny funkce platí f (x + 2π) = f (x).) { 3, π < x < 0 A f (x) = 3, 0 < x < π. { π + x, π < x < 0 B f (x) = π x, 0 < x < π. C f (x) = 3(x/π) 3, D f (x) = x, π < x < π π < x < π http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/hugheshallett/0470089156/conceptests/ch10.pdf A Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 9 / 22

Konvergence Fourierovy řady Věta (O konvergenci Fourierovy řady) Necht f je 2π-periodická, 2π 0 f <, necht existují f +(x), f (x) <. Pak F f (x) = f (x+) + f (x ). 2 Zdroj : http://math.feld.cvut.cz/mt/txte/3/txc3ea3f.htm Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 10 / 22

2L-periodické funkce - konvergence Příklad Zdroj : http://math.feld.cvut.cz/mt/txte/3/txc3ea3f.htm Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 11 / 22

Konvergence Fourierovy řady - vlastnosti Poznámka Existuje f taková, že F f (x) diverguje pro x R. Existuje spojitá f taková, že F f (x) diverguje na nespočetné a husté podmnožině R. Je-li f monotónní na ( π, π) (ne nutně spojitá), pak F f konverguje na R a f (x+) + f (x ) F f =. 2 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 12 / 22

Sinové a kosinové řady Definice Je-li b n = 0, n N, pak řadu nazveme kosinovou řadou. Je-li a n = 0, n N 0, pak řadu nazveme sinovou řadou. a 0 2 + a n cos nx n=1 a n sin nx n=1 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 13 / 22

Sinové a kosinové řady Otázka Je pravda, že Fourierova řada sudé funkce obsahuje pouze kosiny? ANO Otázka Najděte 2π-periodickou funkci, jejíž Fourierova řada neobsahuje 1 siny 2 kosiny Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 14 / 22

Sudé a liché funkce Příklad Dokreslete funkci na π-periodickou, 2π-periodickou lichou a 2π-periodickou sudou: Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 15 / 22

Sudé a liché funkce Příklad π-periodická Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 16 / 22

Sudé a liché funkce Příklad 2π-periodická sudá Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 17 / 22

Sudé a liché funkce Příklad 2π-periodická lichá Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 18 / 22

Sinová a kosinová řada Příklad Najděte kosinovou řadu sudého pokračování e x na (0, π). Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 19 / 22

Sinová a kosinová řada Příklad Najděte kosinovou řadu sudého pokračování e x na (0, π). F e x = eπ 1 π + 2 π n=1 e π ( 1) n 1 n 2 + 1 cos(nx) Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 20 / 22

Parsevalova rovnost Věta (Parsevalova rovnost) Necht f je definována na [ π, π] a π π f 2 (x) dx konverguje. Pak 1 π f 2 (x) dx = a2 0 π π 2 + a 2 n + b 2 n. n=1 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 21 / 22

Parsevalova rovnost - příklad Příklad Necht f (x) = x 2 na ( π, π). F f = π2 3 + 4 ( 1) n n=1 cos nx. Určete součet n 2 řady n=1 1. n 4 π 4 90 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 22 / 22