Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
0. Funkcje trygonometryczne 0.. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym b c a α sin α = b c cos α = a c tg α = b a ctg α = a b 0.. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta y O r (x,y) x sin α = y r cos α = x r tg α = y x x 0 ctg α = x y y 0 0.. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej własności f(x) = sin x Dziedzina: R; Zbiór wartości: [, ]; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja jest nieparzysta, gdyż sin( x) = sin x. y f(x)= cosx 0 x - f(x) = cos x Dziedzina: R; Zbiór wartości: [, ]; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja jest parzysta, gdyż cos( x) = cos x. f(x) = tg x Dziedzina: R \ { π + kπ}, gdzie k Z; Zbiór wartości: R; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja jest nieparzysta, gdyż tg( x) = tg x. 50
y 0 x f(x)= ctgx f(x) = ctg x Dziedzina: R \ {kπ}, gdzie k Z; Zbiór wartości: R; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja jest nieparzysta, gdyż ctg( x) = ctg x. 0.4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kata tg x = sin x cos x jeśli cos x 0 cos x ctg x = sin x jeśli sin x 0 tg x ctg x = sin x + cos x = jedynka trygonometryczna 0.5. Funkcje podwojonego kąta sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x = sin x = cos x tg x = tg x tg, gdy cos x 0 cos x 0 x ctg x = ctg x, gdy sin x 0 sin x 0 ctg x 0.6. Wartości funkcji trygonometrycznych kątów z pierwszej ćwiartki π α 0 6 sin α 0 cos α tg α 0 ctg α nie istnieje π 4 π π 0 0 0.7. Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach α (0, π ) ( π, π) (π, π) ( π, π) sin α + + cos α + + tg α + + ctg α + + 5
0.8. Wzory redukcyjne I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka π α α π + α π α π + α π α π + α π α sin α cos α cos α sin α sin α cos α cos α sin α cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α 0.9. Suma funkcji trygonometrycznych sin x + sin y = sin x + y cos x + cos y = cos x + y cos x y cos x y sin x sin y = cos x + y cos x cos y = sin x + y sin x y sin x y tg x + tg y = ctg x + ctg y = sin(x + y), gdy cos x cos y 0 cos x cos y sin(x + y), gdy sin x sin y 0 sin x sin y Na podstawie powyższych wzorów i wykorzystując własności funkcji, można zapisać wzory na różnice funkcji trygonometrycznych. 0.0. Funkcje trygonometryczne sumy kątów sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x sin y + sin x cos y tg(x + y) = ctg(x + y) = tg x + tg y, gdy cos x cos y 0, cos(x + y) 0 tg x tg y ctg x ctg y, gdy sin x sin y 0, sin(x + y) 0 ctg x + ctg y Na podstawie powyższych wzorów i wykorzystując własności funkcji, można zapisać wzory na funkcje trygonometryczne różnicy kątów. 0.. Równania trygonometryczne Z własności funkcji trygonometrycznych wynikają następujące równoważności: sin x = sin α x = α + kπ x = π α + kπ, k Z cos x = cos α x = α + kπ x = α + kπ, k Z tg x = tg α x = α + kπ, k Z ctg x = ctg α x = α + kπ, k Z Powyższe równoważności są pomocne w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych. 5
0.. Przykładowe zadania. Obliczyć: sin 9 6 π. sin 9 6 π = sin(4π + 5 6 π) (ze wzoru sin(kπ + α) = sin α) = sin 5 6 π = sin(π 6π) (ze wzorów redukcyjnych) = sin 6 π = Odpowiedź:.. Obliczyć: cos 5 π. cos 5 π = cos(0π + 5 π) (ze wzoru cos(kπ + α) = cos α) = cos 5 π = cos(π π) (ze wzorów redukcyjnych) = cos π = Odpowiedź:.. Obliczyć: tg( 75 π). tg( 75 75 π) = tg π (funkcja tangens jest nieparzysta) = tg(90π + 5 π) (ze wzoru tg(kπ +α) = tg α) = tg 5 π = tg(π π) (ze wzorów redukcyjnych) = tg π = Odpowiedź:. 4. Obliczyć: ctg 7 4 π. ctg 67 4 π = ctg(5π + 7 4 π) (ze wzoru ctg(kπ + α) = ctg α) = ctg 7 4 π = ctg(π 4π) (ze wzorów redukcyjnych) = ctg 4 π = Odpowiedź:. 5. Sprawdzić tożsamość tg x sin x = tg x sin x. Tożsamość ta ma sens dla x π + kπ L = sin x cos x sin x = sin x sin x cos x cos x = sin x( cos x) cos x = sin x tg x = P 6. Sprawdzić tożsamość +tg x tg x = cos x. Tożsamość ta ma sens dla x π + kπ x π 4 + k π L = tg x +tg x tg x = tg x+ tg x tg x 7. Rozwiązać równanie sin x =. = tg x +tg x sin x cos = x + sin x cos x = sin π, zatem sin x = sin π x = π + kπ x = π π π + kπ = π + kπ, k Z Odpowiedź: x = π + kπ x = π + kπ, k Z. = cos x sin x cos x cos x+sin x cos x = cos x sin x = cos x = P 5
8. Rozwiązać równanie cos 5x =. Wprowadźmy zmienną pomocniczą u = 5x. Wówczas otrzymujemy równanie cos u =. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie: u = π + kπ u = π + kπ Zatem x = 5 π + 5 kπ x = 5 π + 5kπ, k Z. Odpowiedź: x = 5 π + 5 kπ x = 5 π + 5kπ, k Z. 9. Rozwiązać równanie tg x =. Przykład kąta, którego tangens wynosi to π. Stąd tg x = tg π, zatem x = π + kπ, k Z Odpowiedź: x = π + kπ, k Z 0. Rozwiązać równanie sin x sin x = 0. Wprowadzamy zmienną pomocniczą sin x = t, t [, ]. t t = 0, = 5, t = / [, ], t =. Rozwiązujemy równanie sin x =. Ponieważ = sin( 6 π), stąd sin x = sin( 6π), czyli x = 6 π + kπ x = π ( 6 π) + kπ = 7 6π + kπ, k Z. Odpowiedź: x = 6 π + kπ, x = 7 6π + kπ, k Z.. Rozwiązać równanie sin 5x + sin x = sin x. Lewą stronę równania przekształcamy ze wzoru na sumę sinusów, a prawa strona wynosi cos x. Stąd sin 5x+x cos 5x x = cos x sin x cos x = cos x cos x( sin x ) = 0 cos x = 0 sin x = Pierwsze równanie: cos x = cos π, stąd x = π + kπ, więc x = 4 π + kπ. Drugie równanie: sin x =. Ponieważ sin 6 π =, więc x = 6 π + kπ x = 5 6π + kπ. Stąd x = 8 π + kπ x = 5 8 π + kπ. Odpowiedź: x = 4 π + kπ x = 8 π + kπ x = 5 8 π + kπ.. Rozwiązać nierówność cos x + < 0 w przedziale [0, π]. 54
cos x < Z wykresu odczytujemy π < x < π 4 π < x < 5 π Odpowiedź: π < x < π 4 π < x < 5 π.. Rozwiązać nierówność cos x sin x + 4 cos x + > 0. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy cos x + cos x + 4 cos x + > 0 4 cos x + 4 cos x + > 0. Wprowadzamy niewiadomą pomocniczą t = cos x, t [, ]. 4t + 4t + > 0. Ponieważ funkcja f(t) = 4t + 4t + ma jedno miejsce zerowe t 0 =, więc nierówność 4t + 4t + > 0 jest spełniona dla wszystkich t [, ], ale różnych od. Wystarczy więc przekonać się, dla jakich x zachodzi cos x =. Ponieważ cos π =, więc rozwiązujemy cos x = cos π. Stąd x = π + kπ x = π + kπ, k Z. Odpowiedź: x π + kπ x = π + kπ, k Z. 0.. Zadania Obliczyć:. sin 4 π. 4. sin 00 6 π. 7. ctg 5 π. 0. ctg 4 π.. ctg 5 π. 5. tg 4 π. 8. sin 7 6 π.. cos 99 π.. cos 7 6 π. 6. ctg 000 π. 9. cos 00 π.. tg 7 4 π. Poniższe kąty wyrazić w mierze łukowej (w radianach):. 05. 4. 5. 5. 80. Poniższe kąty są podane w mierze łukowej. Wyrazić je w mierze stopniowej: 6. 5 π. 7. 4 9 π. 8. 8π. 9. 6,. Obliczyć pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, jeśli: 0. sin α = 7, π < α < π.. cos α = 4, π < α < π.. tg α =, π < α < π.. ctg x = π < α < π. Określić znak liczby: 4. sin 6. 5. cos. 6. tg, 5. 7. ctg, 9. 55
Sprawdzić tożsamość: 8. cos x+cos x sin x sin x = ctg x. 9. ctg x +ctg x tg x = cos x. +tg x 0. ctg x cos x tg x sin x = ctg x. Obliczyć:. ctg x wiedząc, że cos x = 5 i x (0, π ).. cos x wiedząc, że sin x = 5 i x ( π, π). Zbadać, czy wśród podanych funkcji są funkcje parzyste lub nieparzyste:. sin(x ). 4. cos x. 5. cos4 x. 6. tg x. Zbadać, dla jakich wartości parametru a istnieje rozwiązanie równania: 7. sin x = a 4 a. 8. cos x = a a+ a. 9. tg x + tg x + a = 0. 40. sin x + sin x + a = 0. Rozwiązać równanie: 4. ctg x =. 4. tg x =. 4. sin x =. 44. cos 4x =. 45. cos(x + π) =. 46. cos x + 4 cos x =. 47. cos x + = 4 cos x. 48. sin 4x = cos 4 x sin 4 x. 49. cos x = cos x. 50. sin x sin x = sin x. 5. tg x + tg x = tg x. 5. cos x sin x =. Rozwiązać nierówność: 5. tg x > w przedziale [0, π]. 54. sin x < w przedziale [0, π]. 55. sin x + cos x 0. 56. sin x cos x. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji: 57. f(x) = 4 sin x 4 sin x +. 59. f(x) = cos x. 58. f(x) = sin x. Naszkicować wykresy funkcji: 60. f(x) = sin x. 6. f(x) = sin x. 6. f(x) = cos x. 6. f(x) = 4 sin( x) +. 64. f(x) = tg(x 4 π). 66. f(x) = cos x. 67. f(x) = ctg x +. ( ) 68. f(x) = cos 4 x. 69. f(x) = ctg x. 70. f(x) = cos ( x ). 65. f(x) = tg x. 56