Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda. 5 + 3 = 8. prawda.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda. 5 + 3 = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda. 5 + 3 = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda. 5 + 3 = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda. 5 + 3 = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne. Czy masz ochot na kaw? To nie jest zdanie logiczne.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda. 5 + 3 = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne. Czy masz ochot na kaw? To nie jest zdanie logiczne. Przyporz dkowanie zdaniu logicznemu warto±ci logicznej nazywamy warto±ciowaniem.

Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Warszawa jest stolic Polski. prawda. 5 + 3 = 8. prawda. 5 1 = 2. faªsz. Ksi»yc jest gwiazd. faªsz. Chyba pojad do Wenezueli. To nie jest zdanie logiczne. Czy masz ochot na kaw? To nie jest zdanie logiczne. Przyporz dkowanie zdaniu logicznemu warto±ci logicznej nazywamy warto±ciowaniem. Zadania logiczne oznacza b dziemy maªymi literami alfabetu, najcz ±ciej p, q, r i nazywa je b dziemy zmiennymi zdaniowymi.

Spójnik logiczny. Zªo»onym zdaniem logicznym nazywamy zdanie logiczne, które zawiera spójnik logiczny. Spójnikami logicznymi s : negacja, oznaczamy. ( p ) czytamy: nieprawda,»e p. alternatywa, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p lub q. koniunkcja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p i q. implikacja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: Je»elip, to q. równowa»no±, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p wtedy i tylko wtedy, gdy q.

Spójnik logiczny. Zªo»onym zdaniem logicznym nazywamy zdanie logiczne, które zawiera spójnik logiczny. Spójnikami logicznymi s : negacja, oznaczamy. ( p ) czytamy: nieprawda,»e p. alternatywa, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p lub q. koniunkcja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p i q. implikacja, oznaczamy. ( p q ) czytamy: Je»elip, to q. równowa»no±, oznaczamy. ( p q ) czytamy: p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Warto± logiczn zdania zawieraj cego spójnik logiczny prezentuj poni»sze tabele: p ~ p 0 1 1 0 p q p q p q p q p q 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Tautologie. Formuª rachunku zda«nazywamy wyra»enie utworzone przy pomocy zmiennych zdaniowych oraz spójników logicznych, a tak»e je±li to konieczne z nawiasów.

Tautologie. Formuª rachunku zda«nazywamy wyra»enie utworzone przy pomocy zmiennych zdaniowych oraz spójników logicznych, a tak»e je±li to konieczne z nawiasów. Tautologi nazywamy tak formuª rachunku zda«, która zawsze przyjmuje warto± logiczn równ 1.

Tautologie. Formuª rachunku zda«nazywamy wyra»enie utworzone przy pomocy zmiennych zdaniowych oraz spójników logicznych, a tak»e je±li to konieczne z nawiasów. Tautologi nazywamy tak formuª rachunku zda«, która zawsze przyjmuje warto± logiczn równ 1. Zadanie. Udowodni,»e poni»sze formuªy zdaniowe s tautologiami. Prawa przemienno±ci: Rozdzielno± koniunkcji wzgl dem (p q) (q p) alternatywy: (p q) (q p) (p (q r)) ((p q) (p r). (p q) (q p). Rozdzielno± alternatywy wzgl dem Prawa ª czno±ci: koniunkcji: ((p q) r) (p (q r)) (p (q r)) ((p q) (p r))). ((p q) r) (p (q r)) Prawa de'morgana: ((p q) r) (p (q r)). ( (p q)) (( p) ( q)) Prawo podwójnego przeczenia ( (p q)) ( p q). ( ( p)) p. Prawo zaprzeczenia implikacji: Prawo wyª czonego ±rodka: (p q) (p ( q)). ( p) p.

Tautologie. Rozwi zanie dla (p (q r)) ((p q) (p r))). p q r q r p ( q r) p q p r ( p q) ( p r) ( p ( q r)) (( p q) ( p r)) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x

Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x Symbole oraz nazywamy kwantykatorami ograniczonymi i czytamy ϕ(x) ϕ(x) odpowiednio: "dla ka»dego x maj cego wªasno± ϕ(x)..." oraz "istnieje x maj ce wªasno± ϕ(x) takie,»e..."

Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x Symbole oraz nazywamy kwantykatorami ograniczonymi i czytamy ϕ(x) ϕ(x) odpowiednio: "dla ka»dego x maj cego wªasno± ϕ(x)..." oraz "istnieje x maj ce wªasno± ϕ(x) takie,»e..." Przykªady: (x 7) 2 0 czytamy: dla ka»dej liczby rzeczywistej x, (x 7) 2 0. x R

Kwantykatory. Kwantykatory s to symbole matematyczne odpowiadaj ce zwrotom: "dla ka»dego x" oraz "istnieje x". Oznacza si je odpowiednio: oraz. x x Symbole oraz nazywamy kwantykatorami ograniczonymi i czytamy ϕ(x) ϕ(x) odpowiednio: "dla ka»dego x maj cego wªasno± ϕ(x)..." oraz "istnieje x maj ce wªasno± ϕ(x) takie,»e..." Przykªady: (x 7) 2 0 czytamy: dla ka»dej liczby rzeczywistej x, (x 7) 2 0. x R 125 = n 5 czytamy: istnieje liczba naturalna n taka,»e 125 = n 5. n N

Iloczyn kartezja«ski. Denicja Przyjmujemy,»e dane s dwa zbiory X, Y oraz x X i y Y. Par uporz dkowan elementów x i y (na pierwszym miejscu x na drugim miejscu y) oznaczamy (x, y). Iloczynem kartezja«skim zbiorów X oraz Y nazywamy zbiór: XxY = {(x, y) : x X y Y }.

Iloczyn kartezja«ski. Denicja Przyjmujemy,»e dane s dwa zbiory X, Y oraz x X i y Y. Par uporz dkowan elementów x i y (na pierwszym miejscu x na drugim miejscu y) oznaczamy (x, y). Iloczynem kartezja«skim zbiorów X oraz Y nazywamy zbiór: XxY = {(x, y) : x X y Y }. Przykªady. y y 4 y < 0,1 > x < 2,4) 4 < 2,4 > x < 2,4 > 2 2 1 x 2 4 x

Relacje. Denicja Ka»dy podzbiór ϱ XxX nazywamy relacj w zbiorze X. Zapis xϱy oznacza,»e (x, y) ϱ.

Relacje. Denicja Ka»dy podzbiór ϱ XxX nazywamy relacj w zbiorze X. Zapis xϱy oznacza,»e (x, y) ϱ. Denicja Relacj w zbiorze X nazywamy: zwrotn xϱx. x X symetryczn xϱy yϱx. przechodni x,y X ((xϱy yϱz) xϱz). x,y,z X Relacj, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamy relacj równowa»no±ci.

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia.

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x)

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1)

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3 3 y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3 Relacja jest zwrotna, bo x x = 0 3 x R 3 y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3 Relacja jest zwrotna, bo jest symetryczna, bo x,y R x R x x = 0 3 x y = y x 3 y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x

Relacje. Przyklad. Wykre±li w zbiorze RxR relacj : ϱ = {(x, y) : x y 3} i zbada czy jest ona zwrotna, symetryczna, przechodnia. x y 3 3 x y 3 +( x) x 3 y x + 3 ( 1) x + 3 y x 3 x 3 y x + 3 Relacja jest zwrotna, bo jest symetryczna, bo x,y R x R x x = 0 3 x y = y x nie jest przechodnia bo na przykªad: 4 3 3 3 0, 25 3, ale 4 0, 25 > 3 3 y 3 < 2,4 > x < 2,4 > 3 x

Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli.

Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y 5 6 7 8 9 5 0 0 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 0 0 0 8 0 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.)

Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y 5 6 7 8 9 5 0 0 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 0 0 0 8 0 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5).

Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y 5 6 7 8 9 5 0 0 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 0 0 0 8 0 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5). W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest zwrotna, gdy na gªównej przek tnej wyst puj tylko jedynki.

Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y 5 6 7 8 9 5 0 0 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 0 0 0 8 0 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5). W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest zwrotna, gdy na gªównej przek tnej wyst puj tylko jedynki. Relacja nie jest symetryczna. 5ϱ8 ale (8ϱ5) W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest symetryczna, gdy tabela jest symetryczna wzgl dem gªównej przek tnej.

Relacje. W przypadku gdy zbiór X jest zbiorem zªo»onym ze sko«czonej liczby elementów wygodnie jest opisa relacj przy pomocy tabeli. Przyklad.Dana jest relacja w zbiorze X = {5, 6, 7, 8, 9}. x y 5 6 7 8 9 5 0 0 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 0 0 0 8 0 0 0 0 1 9 1 0 0 1 0 Sprawdzi czy relacja jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia. (1 na skrzy»owaniu elementów x i y oznacza xϕy, w przeciwnym razie wstawiono 0.) Relacja nie jest zwrotna bo (5ϱ5). W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest zwrotna, gdy na gªównej przek tnej wyst puj tylko jedynki. Relacja nie jest symetryczna. 5ϱ8 ale (8ϱ5) W przypdaku relacji opisanej przy pomocy tabeli relacja jest symetryczna, gdy tabela jest symetryczna wzgl dem gªównej przek tnej. Relacja nie jest przechodnia, bo na przykªad 8ϕ9 9ϕ5 ale (8ϕ5).