Ryzyko inwestycji nansowych

Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ryzyko inwestycji nansowych (semestr letni 2015/16)

1 Koncepcje i rodzaje ryzyka 1.1 Dwie koncepcje ryzyka 1. Negatywna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie; mo zliwość straty, szkody, nieosi ¾agni ¾ecia zamierzonego celu dzia ania. 2. Neutralna koncepcja ryzyka - ryzyko jako zagro zenie, ale jednocześnie szansa; mo zliwość uzyskania efektu ró zni ¾acego si ¾e od zamierzonego celu (efekt ten mo ze być gorszy lub lepszy od oczekiwanego).

1.2 Rodzaje ryzyka 1. Ryzyko rynkowe - wynika ze zmian cen na rynkach nansowych i towarowych (koncepcja neutralna). 2. Ryzyko kredytowe - wynika z mo zliwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osob ¾e lub instytucj ¾e, której udzielono kredytu. 3. Ryzyko operacyjne - ryzyko straty wynikaj ¾acej z nieprawid owo dzia aj ¾acych procesów wewn ¾etrznych, ludzi i systemów informatycznych (koncepcja negatywna). 4. Ryzyko p ynności - ryzyko nieoczekiwanego spadku p ynności nansowej podmiotu gospodarczego (p ynność oznacza zdolność podmiotu do regulowania zobowi ¾azań w terminie) (koncepcja neutralna lub negatywna).

5. Ryzyko prawne - ryzyko uchwalenia nowych aktów prawnych maj ¾acych wp yw na sytuacj ¾e danego podmiotu gospodarczego (koncepcja neutralna). 6. Ryzyko biznesu - ryzyko spowodowane zmianami warunków ekonomicznych prowadzenia dzia alności gospodarczej przez podmiot (koncepcja neutralna lub negatywna). 7. Ryzyko wydarzeń - ryzyko wyst ¾apienia wydarzeń losowych maj ¾acych wp yw na sytuacj ¾e podmiotu gospodarczego (np. powódź, po zar, napad na bank) (koncepcja negatywna).

1.3 Podzia ryzyka rynkowego 1. Ryzyko kursu walutowego 2. Ryzyko stopy procentowej 3. Ryzyko cen akcji 4. Ryzyko cen towarów (tak ze nieruchomości)

1.4 Podzia ryzyka kredytowego 1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez drug ¾a stron ¾e p atności wynikaj ¾acych z kontraktu (koncepcja negatywna). 2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - mo zliwość zmiany wiarygodności kredytowej drugiej strony (koncepcja neutralna).

2 De nicja papieru wartościowego Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument nansowy) potwierdzaj ¾acy jedn ¾a z trzech sytuacji: nabycie prawa do wspó w asności rmy, udzielenie kredytu rz ¾adowi, rmie lub instytucji, uzyskanie prawa do otrzymania w przysz ości pewnej wartości (najcz ¾eściej w postaci innego papieru wartościowego).

3 Rodzaje papierów wartościowych 3.1 Akcje Akcja (stock, share) jest to dokument świadcz ¾acy o udziale jego w aściciela w kapitale spó ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia: prawo do dywidend, prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy, prawo do udzia u w maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

Akcje dziel ¾a si ¾e na zwyk e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo ze dotyczyć: g osu na zebraniach akcjonariuszy, pierwszeństwa w wyp acaniu dywidendy, pierwszeństwa w podziale maj ¾atku spó ki w przypadku jej likwidacji.

3.2 Obligacje Obligacja (bond) jest to papier wartościowy potwierdzaj ¾acy nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieni ¾edzy określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek. Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery wartościowe danego emitenta w przysz ości i na z góry określonych warunkach. Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na okres do wykupu: krótkoterminowe (1-5 lat),

średnioterminowe (5-12 lat), d ugoterminowe (powy zej 12 lat). Podzia obligacji ze wzgl ¾edu na oprocentowanie: o sta ym oprocentowaniu, o zmiennym oprocentowaniu (mo ze być ustalane na pocz ¾atku lub na końcu okresu oprocentowania), zerokuponowe (bezodsetkowe) brak odsetek jest rekompensowany sprzeda z ¾a obligacji po cenie ni zszej od wartości nominalnej.

4 Stopa zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawow ¾a miar ¾a określaj ¾ac ¾a efektywność inwestycji. Określamy j ¾a wzorem gdzie: K p R := K k ; (1) K p K p > 0 kapita pocz ¾atkowy (zainwestowany na pocz ¾atku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop ¾e zysku R podaje si ¾e zwykle w procentach.

Przekszta caj ¾ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (2) Stwierdzenie 1. Dany jest skończony ciag ¾ inwestycji nansowych w przedzia ach czasowych [t i 1 ; t i ], i = 1; ::; n, gdzie t 0 < t 1 < ::: < t n. Za ó zmy, ze kapita końcowy dla poprzedniego okresu jest kapita em poczatkowym ¾ dla nastepnego ¾ okresu. Je zeli R i jest stopa¾ zysku dla okresu [t i 1 ; t i ], to stopa zysku dla okresu [t 0 ; t n ] wynosi R = ny i=1 (1 + R i ) 1: (3)

Dowód. Oznaczmy przez K i kapita posiadany w momencie t i, i = 0; 1; :::; n. Zgodnie z (2) Zatem K i = K i 1 (1 + R i ), i = 1; :::; n: K 1 = K 0 (1 + R 1 ); K 2 = K 1 (1 + R 2 ) = K 0 (1 + R 1 )(1 + R 2 ); ::: K n = K 0 n Y i=1 (1 + R i ): (4) Poniewa z K n jest kapita em końcowym dla ca ego procesu inwestycji, wi ¾ec musi spe niać warunek (2), czyli Porównuj ¾ac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3). K n = K 0 (1 + R): (5)

Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 za ó zmy dodatkowo, ze 1 + R i > 0. Liczb ¾e v uut Y n R := n (1 + R i ) 1 (6) i=1 nazywamy średni ¾a geometryczn ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji n- okresowej o stopach zysku R i, i = 1; :::; n. Sens liczby R jest nast ¾epuj ¾acy: jest ona taka, ze inwestycja n-okresowa o równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynosz ¾acych R, daje stop ¾e zysku R określon ¾a wzorem (3). Istotnie, stosuj ¾ac Stwierdzenie 1 do powy zszej sytuacji, otrzymamy R = ny i=1 (1 + R) 1 = (1 + R) n 1 = ny i=1 (1 + R i ) 1:

Stwierdzenie 2. Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + R i > 0 zachodzi nierówno sć R 1 n nx i=1 R i ; (7) tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznej stóp zysku z poszczególnych okresów. Zadanie 1. Udowodnić Stwierdzenie 2.

5 Zasada obliczania procentu sk adanego Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta a stopa procentowa, a odsetki s ¾a kapitalizowane po up ywie ka zdego roku: gdzie: K n = K 0 (1 + R) n ; (8) R stopa procentowa (b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku dla ka zdego roku), K 0 kapita pocz ¾atkowy, K n kapita po n latach (wartość przysz a sumy K 0 po n latach).

W przypadku, gdy odsetki s ¾a dodawane do kapita u m razy w ci ¾agu roku (przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast ¾epuj ¾acy wzór na wartość przysz ¾a sumy K 0 po n latach: K n = K 0 1 + R m mn : (9) Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale zności od cz ¾estości kapitalizacji odsetek: kwartalna: K n = K 0 1 + R 4 4n miesi ¾eczna: K n = K 0 1 + R 12 12n dzienna: K n = K 0 1 + R 365 365n

ci ¾ag a: K n = K 0 lim 1 + R m!1 m 2 mn! 3 m=r Rn = K 0 lim 4 1 + 1 5 m!1 m=r = K 0 lim 1 + 1 x Rn = K x!1 0 e x Rn ; (10) gdzie e 2; 7183 podstawa logarytmu naturalnego. Uwaga: wzrost cz ¾estości kapitalizacji odsetek ma niewielki wp yw na wzrost wartości przysz ej kapita u.

6 Zasada dyskonta Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta caj ¾ac wzór (8), otrzymujemy K 0 = K n (1 + R) n; (11) gdzie K 0 nazywamy wartości ¾a bie z ¾ac ¾a sumy pieni ¾edzy K n uzyskiwanej w przysz ości (inaczej: wartości ¾a zdyskontowan ¾a na okres bie z ¾acy). Stop ¾e procentow ¾a R nazywamy tu stop ¾a dyskontow ¾a. Interpretacja: wartość bie z ¾aca K 0 wskazuje, jak ¾a sum ¾e nale zy zainwestować na n lat, przy za o zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji odsetek, aby otrzymać sum ¾e równ ¾a K n.

Zadanie 2. Za ó zmy, ze roczna stopa procentowa jest sta a w czasie i jest liczb ¾a dodatni ¾a. Niech P (K; n) oznacza wartość w momencie 0 kwoty K uzyskiwanej na koniec n-tego roku, zaś F (K; n) oznacza wartość na koniec n-tego roku kwoty K uzyskiwanej w momencie 0. Wiedz ¾ac, ze P (1; n) + P (1; 2n) = 1, obliczyć F (1; 2n). Zadanie 3. Niech M j oznacza wartość odsetek za rok j = 1; 2; :::; n generowanych przez kapita K przy kapitalizacji rocznej i rocznej stopie procentowej równej R > 0. Wykazać, ze nx j=1 M j = K [(1 + R) n 1] :

7 Efektywna stopa procentowa W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ci ¾agu roku) nale zy powi ¾ekszyć stop ¾e procentow ¾a R wyst ¾epuj ¾ac ¾a w (9) do wartości zwanej efektywn ¾a stop ¾a procentow ¾a, oznaczanej R ef. Zatem efektywna stopa procentowa spe nia równanie K 0 (1 + R ef ) n = K 0 1 + m R mn : St ¾ad wynika, ze R ef = 1 + R m m 1: (12)

8 Określanie wartości papierów wartościowych Za ó zmy najpierw, ze inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok. Oznaczmy: P wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita (pocz ¾atkowy) zainwestowany w zakup. C wp ywy gotówkowe z tytu u posiadania papieru wartościowego (zak adamy dla uproszczenia, ze uzyskiwane s ¾a dok adnie po up ywie roku), R stopa zysku papieru wartościowego.

Ze wzoru (2) wynika, ze C = P (1 + R), czyli P = C 1 + R : (13) Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu u posiadania papieru wartościowego, przy czym stop ¾a dyskontow ¾a jest stopa zysku. Uogólnienie. Rozwa zamy papier wartościowy, z tytu u którego otrzymujemy wp ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniaj ¾ac wzór (13), otrzymujemy gdzie: P = nx i=1 C i (1 + R) i; (14)

P wartość papieru wartościowego, C i dochód z tytu u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym okresie, R stopa dyskontowa, b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku osi ¾aganego w pojedynczym okresie. De nicja. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres bie z ¾acy wp ywów uzyskiwanych z tytu u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku. Sposoby korzystania ze wzoru (14):

1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to mo zna porównać wartość P z cen ¾a rynkow ¾a papieru wartościowego w celu podj ¾ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op acalny, jeśli cena nie przekracza P ). 2. Mo zna przyj ¾ać jako P cen ¾e rynkow ¾a papieru wartościowego i rozwi ¾azać równanie (14) wzgl ¾edem R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybli zonych. Znaj ¾ac R, mo zna podj ¾ać decyzj ¾e o zakupie (np. porównuj ¾ac R ze stop ¾a zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych).

9 Określanie wartości obligacji o sta ym oprocentowaniu Rozwa zmy obligacj ¾e z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M. Za ó zmy, ze odsetki p acone po up ywie ka zdego roku wynosz ¾a C. Zatem oprocentowanie obligacji wynosi C=M. Stosuj ¾ac (14), otrzymujemy wzór na wartość obligacji: gdzie P = nx i=1 C (1 + R) i + M (1 + R) n; (15) P ni=1 C (1+R) i zdyskontowany przychód z odsetek,

M (1+R) n zdyskontowany przychód z wykupu obligacji. W (15) wyst ¾epuj ¾a dwie ró zne stopy procentowe: 1. C=M stopa procentowa określaj ¾aca oprocentowanie odsetek od obligacji (jest sta a i znana w momencie zakupu). 2. R stopa dyskontowa b ¾ed ¾aca jednocześnie stop ¾a zysku obligacji (zwana tak ze stop ¾a rentowności). Wartość R jest zmienna w czasie, gdy z zale zy od ceny rynkowej. W praktyce P jest cen ¾a rynkow ¾a i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R.

10 Określanie wartości akcji zwyk ych Zysk z tytu u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde : 1. z dywidendy p aconej w danym okresie, 2. z przyrostu kapita u w danym okresie (wynikaj ¾acego z przyrostu ceny akcji). Za ó zmy najpierw, ze posiadacz akcji sprzeda j ¾a po up ywie n lat. Wówczas z (14) otrzymujemy P = nx i=1 D i (1 + R) i + P n (1 + R) n; (16)

gdzie P wartość akcji w chwili obecnej, P n wartość akcji po n latach, D i dywidenda wyp acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak adamy, ze jest wyp acana z końcem roku), R stopa zysku akcji, b ¾ed ¾aca stop ¾a dyskontow ¾a, P ni=1 D i (1+R) i zdyskontowany przychód z dywidend, P n (1+R) n zdyskontowany przychód ze sprzeda zy akcji.

Za ó zmy teraz, ze nabywca akcji b ¾edzie j ¾a zawsze posiada. Wówczas znika ostatni sk adnik po prawej stronie (16), a zamiast skończonej sumy rozwa zamy jej wartość graniczn ¾a (o ile istnieje): P = lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i = 1 X i=1 Wzór (17) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend. D i (1 + R) i: (17) Uwagi. 1) Zbie zność szeregu w (17) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje taka sta a A > 0, ze D i D 1 A i 1, i = 2; 3; ::: oraz < 1. Wówczas lim n!1 nx i=1 D i (1 + R) i lim n!1 D 1 nx i=1 A 1+R A i 1 (1 + R) i = D 1 1X i=1 A i 1 (1 + R) i; gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie (0; 1), a wi ¾ec zbie znym. A 1+R 2

2) We wzorze (17) wyd u zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybli zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje, ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on znaczenia, gdy nieplanuje si ¾e sprzeda zy akcji. Jedynym źród em dochodu z akcji staje si ¾e dywidenda.

11 Określanie wartości przedsi ¾ebiorstwa Wartość przedsi ¾ebiorstwa (np. spó ki, banku, zak adu ubezpieczeń) jest to wartość obecna (bie z ¾aca) przysz ych przep ywów pieni ¾e znych do przedsi ¾ebiorstwa. Wyra za j ¾a wzór podobny do (17): gdzie P = 1X i=1 C i (1 + R) i; (18) P wartość przedsi ¾ebiorstwa, C i przep yw pieni ¾e zny w okresie i, R stopa dyskontowa.

Sumowanie nieskończone wynika z za o zenia, ze przedsi ¾ebiorstwo b ¾edzie funkcjonowa o stale (przez czas nieokreślony). 12 Zale zność stopy zysku od sposobu kapitalizacji Przedstawimy teraz trzy ró zne wzory na stop ¾e zysku z inwestycji trwaj ¾acej n okresów jednostkowych (najcz ¾eściej s ¾a to lata). Ró znice wynikaj ¾a z odmiennych sposobów kapitalizacji odsetek. Uwaga: n nie musi być liczb ¾a naturaln ¾a.

12.1 Prosta stopa zysku Prosta stopa zysku odpowiada kapitalizacji okresowej, tzn. odsetki s ¾a kapitalizowane jeden raz na zakończenie ca ego procesu inwestycji. Sytuacj ¾e t ¾e opisuje szczególny przypadek wzoru (9), gdy m = 1=n: K n = K 0 (1 + nr): (19) Wyznaczaj ¾ac st ¾ad R, otrzymujemy wzór na prost ¾a stop ¾e zysku: R = 1 n K n K 0 1! : (20)

12.2 Efektywna stopa zysku Efektywna stopa zysku odpowiada kapitalizacji rocznej, któr ¾a opisuje wzór (8). St ¾ad otrzymujemy wzór na efektywn ¾a stop ¾e zysku: R = K n K 0! 1=n 1: (21)

12.3 Logarytmiczna stopa zysku Logarytmiczna stopa zysku odpowiada kapitalizacji ci ¾ag ej. stronami wzór (10), otrzymujemy Logarytmuj ¾ac ln K n = ln K 0 + Rn: St ¾ad dostajemy wzór na logarytmiczn ¾a stop ¾e zysku: R = 1 n (ln K n ln K 0 ) = 1 n ln K n K 0 : (22)

13 Przestrzeń probabilistyczna Niech b ¾edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z ¾acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nast ¾epuj ¾ace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 i=1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynika, ze do F nale z ¾a zdarzenia: pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). (zdarzenie

Najmniejsze -cia o zawieraj ¾ace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy - cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowoln ¾a funkcj ¾e P : F! R spe niaj ¾ac ¾a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P 0 1 1[ 1X @ A i A = i=1 i=1 P (A i ): (23)

Przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a nazywamy trójk ¾e (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z ¾a do F, to spe nione s ¾a poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P S ni=1 A i = P ni=1 P (A i ). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A).

W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). W8. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to X!2 P (f!g) = 1: (24) Zadanie 4. Udowodnić w asności W1 W8.

Zadanie 5. Eksperci wskazali na 5 mo zliwych stanów gospodarki w ci ¾agu najbli zszego roku oraz na prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia: stan gospodarki skrót prawdopodobieństwo du zy rozwój DRO 0; 1 niewielki rozwój NRO 0; 25 stagnacja STA 0; 2 niewielka recesja NRE 0; 35 du za recesja DRE 0; 1 Zde niować przestrzeń probabilistyczn ¾a tak, aby zdarzeniami elementarnymi by y stany gospodarki, a ich prawdopodobieństwami liczby wymienione w powy zszej tabeli. Wykazać, ze przestrzeń ta spe nia warunki (A1) (A3). Zde niować zdarzenia: rozwój i brak rozwoju oraz obliczyć ich prawdopodobieństwa.

14 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a. Zmienn ¾a losow ¾a (wektorem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Zadanie 6. Wykazać, ze X jest zmienn ¾a losow ¾a wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienn ¾a losow ¾a.

Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcj ¾e P X : B(R n )! R dan ¾a wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (25) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyj ¾ać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny.

14.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartości ¾a oczekiwan ¾a (lub średni ¾a) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmuj ¾acej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb ¾e EX := X i2i x i P (X = x i ); (26) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Wartości ¾a oczekiwan ¾a wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (27)

14.2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwan ¾a, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartości ¾a oczekiwan ¾a zmiennej losowej X nazywamy liczb ¾e EX := Z XdP: (28) De nicja (28) jest uogólnieniem de nicji (26). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (27) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz ¾edne maj ¾a wartość oczekiwan ¾a.

Ze wzoru (27) i z podstawowych w asności ca ki wynika nast ¾epuj ¾ace twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech X i Y bed ¾ a¾ zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja¾ warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (29)

15 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji 15.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si ¾e dane z pewnej ilości okresów poprzedzaj ¾acych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i P i 1 ; (30) gdzie P i, P i 1 oznaczaj ¾a wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend ¾e wyp acan ¾a w okresie i.

Wzór (30) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita pocz ¾atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako równy P i + D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodz ¾acym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 n nx i=1 albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6). R i (31)

15.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystaj ¾ac z analiz ekspertów dotycz ¾acych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wyst ¾apienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod ¾e t ¾e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwan ¾a stop ¾a zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb ¾e ER := nx i=1 p i R i ; (32) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju.

16 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a. Jeśli E h (X EX) 2i < 1, to t ¾e liczb ¾e nazywamy wariancj ¾a zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E h (X EX) 2i : (33) Wariancj ¾e mo zna inaczej zapisać nast ¾epuj ¾aco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (34) Dowód (34). Var X := E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2XEX + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2.

Ze wzorów (33) i (26) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończon ¾a ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X i2i P (X = x i )(x i EX) 2 : (35) W asności wariancji. Jeśli X jest zmienn ¾a losow ¾a, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1.

Zadanie 7. Udowodnić powy zsze w asności (a) (d), wraz ze zdaniem je poprzedzaj ¾acym. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (36)

17 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja neutralna) Ryzyko inwestycji nansowej oznacza niepewność wyst ¾apienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal ¾e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwi ¾azanego z inwestowaniem w papiery wartościowe s ¾a wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego.

17.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj ¾e papieru wartościowego de niujemy nast ¾epuj ¾aco: V := nx i=1 p i (R i ER) 2 ; (37) gdzie R i stopa zysku wyst ¾epuj ¾aca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (32). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osi ¾agni ¾ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsz ¾a mo zliw ¾a do osi ¾agni ¾ecia wartości ¾a jest 0. Wyst ¾epuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuj ¾a si ¾e jednakow ¾a stop ¾a zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu.

17.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si ¾e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b ¾edzie si ¾e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst ¾epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj ¾e dotychczasowych stóp zysku oblicza si ¾e wed ug wzoru V := 1 n nx i=1 (R i R) 2 ; (38) gdzie n liczba okresów, z których pochodz ¾a dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (31). Poniewa z nie s ¾a określone prawdopodobieństwa wyst ¾apienia poszczególnych stóp zysku R i, przyjmuje si ¾e, ze s ¾a one jednakowe i wynosz ¾a 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (32), a zatem (38) jest szczególnym przypadkiem (37), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m.

W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si ¾e wyra zenie ^V := 1 n 1 nx i=1 (R i R) 2 : (39) Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym ¾ wariancji, co jest wyjaśnione dok adniej w moich materia ach z analizy portfelowej (dost ¾epnych na stronie internetowej). W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V.

18 Ryzyko papieru wartościowego (koncepcja negatywna) Jeśli ryzyko rozwa zane jest w kategoriach zagro zenia, to pod uwag ¾e bierze si ¾e tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zysku. Wówczas zamiast wariancji rozwa za si ¾e semiwariancj ¾e stopy zysku określon ¾a nast ¾epuj ¾aco: gdzie d i := SV := nx i=1 ( Ri ER; gdy R i ER < 0; 0; gdy R i ER 0: p i d 2 i ; (40) (41)

Odpowiednikiem odchylenia standardowego jest semiodchylenie standardowe stopy zysku: s := p SV : (42)

19 Wp yw zmiany kursu walutowego na stop ¾e zysku Ryzyko kursu walutowego wyst ¾epuje wtedy, gdy podmiot ma aktywa lub zobowi ¾azania wyra zone w walucie obcej. Rozwa zamy ogóln ¾a sytuacj ¾e, gdy w czasie mo ze si ¾e zmieniać zarówno wartość kapita u (aktywów, zobowi ¾azań) w walucie obcej, jak i kurs tej waluty. Interesuje nas wp yw obu tych zmian na wartość kapita u wyra zon ¾a w walucie krajowej. Dla uproszczenia b ¾edziemy rozwa zać euro i z ote. B ¾edziemy korzystać z ogólnego wzoru (2) na kapita końcowy przy inwestycji jednookresowej. Wprowadźmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: K p;e kapita pocz ¾atkowy wyra zony w euro, K p;z kapita pocz ¾atkowy wyra zony w z otych,

K k;e kapita końcowy wyra zony w euro, K k;z kapita końcowy wyra zony w z otych, c p kurs euro (tj. wartość 1 euro wyra zona w z otych) w momencie pocz ¾atkowym, c k kurs euro w momencie końcowym, R e procentowa zmiana wartości kapita u wyra zonego w euro (stopa zysku), R z procentowa zmiana wartości kapita u wyra zonego w z otych (stopa zysku), R c procentowa zmiana kursu euro.

Stwierdzenie 3. Przy powy zszych za o zeniach stopa zysku w z otych wyra za sie¾ wzorem R z = R e + R c + R e R c : (43) Dowód. Z (2) i z de nicji kursu walutowego wynikaj ¾a nast ¾epuj ¾ace zale zności: K k;z = K p;z (1 + R z ); (44) K k;e = K p;e (1 + R e ); (45) K p;z = K p;e c p ; (46) K k;z = K k;e c k : (47) Ponadto z de nicji R c mamy c k = c p (1 + R c ): (48)

Stosuj ¾ac kolejno wzory (44), (47), (45), (48) i (46), otrzymujemy K p;z (1 + R z ) = K k;z = K k;e c k = K p;e (1 + R e )c p (1 + R c ) Dziel ¾ac (49) stronami przez K p;z, dostajemy = K p;z (1 + R e )(1 + R c ): (49) 1 + R z = (1 + R e )(1 + R c ) = 1 + R e + R c + R e R c ; sk ¾ad wynika (43).

20 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (50) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie.

Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa¾ niezale zne i maja¾ warto sć oczekiwana, ¾ to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n i=1 X i i zachodzi równo sć E 0 1 ny ny @ X i A = i=1 i=1 EX i : (51) Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y przyjmuj ¾acych skończenie wiele wartości. Za ó zmy, ze X() = fx i g i2i, Y () = fy j g j2j, gdzie I, J skończone zbiory indeksów. Poniewa z zbiory jednoelementowe fx i g i fy j g s ¾a borelowskie, wi ¾ec z (50) otrzymujemy P (X = x i ; Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) (i 2 I, j 2 J).

St ¾ad na podstawie (26) X j2j = X X i2i j2j 0 E(XY ) = X i2i = x i y j P (X = x i ; Y = y j ) x i y j P (X = x i )P (Y = y j ) @ X i2i x i P (X = x i ) 1 0 1 A @ X y j P (Y = y j ) A = EX EY. j2j

Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć Var 0 1 nx @ X i A = i=1 nx i=1 Var X i : (52) Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystaj ¾ac kolejno ze wzorów (34), (29), (51) i ponownie z (34), otrzymujemy Var(X + Y ) = E h (X + Y ) 2i [E (X + Y )] 2 = E X 2 + 2XY + Y 2 [EX + EY ] 2 = E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 ) (EX) 2 2EX EY (EY ) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 + E(Y 2 ) (EY ) 2 = Var X + Var Y.

21 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancj ¾a ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj ¾acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb ¾e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (53) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy Cov(X; Y ) = E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ] = E(XY ) 2EX EY + E(EX EY ) = E(XY ) EX EY; (54) gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze wartość oczekiwana zmiennej losowej o sta ej wartości jest równa tej sta ej.

Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystaj ¾ac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast ¾epuj ¾ac ¾a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (55) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwi ¾azane s ¾a zale zności ¾a liniow ¾a, tzn. istniej ¾a takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (56) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb ¾e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (57)

Z nierówności (55) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności mi ¾edzy zmiennymi X i Y. Uwaga. Z Twierdzenia 2 i z równości (54) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y s ¾a niezale zne i maj ¾a wartość oczekiwan ¾a, to s ¾a nieskorelowane. Podać przyk ad zmiennych losowych X, Y zale znych i niesko- Zadanie 8. relowanych. Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuj ¾a skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane s ¾a skończone ci ¾agi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ci ¾ag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze nx i=1 p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (58)

Wówczas, korzystaj ¾ac z wzoru (26) na wartość oczekiwan ¾a, mo zemy zapisać wzór (53) w postaci Cov(X; Y ) = nx i=1 p i (x i EX) (y i EY ) : (59) 22 Korelacja papierów wartościowych Rozwa zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y s ¾a odpowiednio stopy zysku R A i R B akcji A i B. Niech A i B oznaczaj ¾a odpowiednio odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za o zenie ich dodatniości jest na ogó spe nione.

W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru (59), otrzymujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a de nicj ¾e: Kowariancj ¾a akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb ¾e gdzie: Cov(R A ; R B ) := nx i=1 p i RA;i ER A RB;i ER B ; (60) R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji.

Wspó czynnikiem korelacji akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb ¾e gdzie: A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 p i RA;i ER A RB;i ER B = q Pni=1 p i (R A;i ER A ) 2q P (61) ni=1 p i (R B;i ER B ) 2; R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wyst ¾apienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji.

Jeśli korelacj ¾e określa si ¾e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku (R A;i ; R B;i ), i = 1; :::; n, to wzory określaj ¾ace kowariancj ¾e i wspó czynnik korelacji przyjmuj ¾a postać Cov(R A ; R B ) := 1 n nx i=1 RA;i ~R A RB;i ~R B ; (62) gdzie ~R A, ~R B średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości R A;i, R B;i (i = 1; :::; n), A;B : = Cov(R A; R B ) A B P ni=1 RA;i ~R A RB;i ~R B = q Pni=1 (R A;i ~R A ) 2q P (63) ni=1 (R B;i ~R B ) 2: W przypadku ma ej liczby danych, wspó czynnik 1=n wyst ¾epuj ¾acy w (62) i (niejawnie) w (63) mo ze być zast ¾apiony przez 1=(n 1), podobnie jak przy obliczaniu wariancji akcji.

Mówimy, ze akcje (inwestycje nansowe) A i B s ¾a (a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0, (b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0, (c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0, (d) doskonale (dok adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1, (e) doskonale (dok adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1. Uwaga. Wspó czynnik korelacji jest miar ¾a zale zności liniowej (por. wzór (56)), tj. miar ¾a skupiania si ¾e punktów (R A;i ; R B;i ) (w uk adzie wspó rz ¾ednych na p aszczyźnie) wokó linii prostej.

Zadanie 9. Dane s ¾a dwie akcje A i B o oczekiwanych stopach zysku odpowiednio ER A = 10% i ER B = 18% oraz odchyleniach standardowych odpowiednio A = 15% i B = 30%. Wspó czynnik korelacji akcji A i B wynosi 0,1. Wyznaczyć udzia y u dla A oraz 1 u dla B, które de niuj ¾a portfel z o zony z A i B o najmniejszym mo zliwym odchyleniu standardowym. Ile wynosi wartość tego odchylenia standardowego? Jaka jest oczekiwana stopa zysku z tego portfela? 23 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj ¾e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (52)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego.

Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja¾ wariancje, ¾ to istnieje te z wariancja sumy P n i=1 X i i zachodzi równo sć Var 0 1 nx nx @ X i A = i=1 i=1 Var X i + 2 X 1i<jn Cov(X i ; X j ): (64) Zadanie 10. Udowodnić Twierdzenie 4. Wskazówka: skorzystać kolejno z (34), (29), ponownie z (34) oraz z (54). Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maj ¾ a wariancj ¾ e i s ¾ a parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (52).

24 Portfel wielu akcji Oznaczmy: m liczba rm, których akcje s ¾a w portfelu (ponumerowanych od 1 do m), n j ilość j-tych akcji znajduj ¾acych si ¾e w portfelu. Zak adamy, ze n j (j = 1; :::; m) s ¾a liczbami nieujemnymi. Aby portfel by niepusty, trzeba za o zyć, ze n j > 0 dla pewnego j. Liczby n j wyznaczaj ¾a sk ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk ad procentowy (wartościowy) portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j-tych akcji w portfelu do ¾acznej wartości wszystkich akcji znajduj ¾acych si ¾e w tym portfelu.

W celu wyznaczenia sk adu procentowego oznaczmy: p j cena rynkowa j-tej akcji (p j > 0). Wówczas udzia procentowy (w sensie wartości) j-tej akcji w portfelu określa liczba u j := n jp j P mi=1 n i p i, j = 1; :::; m: (65) Uwaga. atwo sprawdzić, ze u j 0; j = 1; :::; m; mx j=1 u j = 1 (66) (tzw. równanie bud zetowe).

Zbiór P m := 8 < : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : u i 0, i = 1; :::; m, mx j=1 u j = 1 (67) nazywamy zbiorem portfeli m-sk adnikowych. Wspó rz ¾edna u j wektora u oznacza udzia j-tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór P m jest sympleksem m-wymiarowym o wierzcho kach (0; ::; 0; 1 i ; 0; :::; 0), i = 1; :::; m, gdzie 1 i oznacza jedynk¾e na i-tym miejscu. Zadanie 11. Wykazać, ze zbiór P m jest wypuk y, tzn. wraz z dowolnymi dwoma punktami zawiera odcinek je ¾acz ¾acy. Dla dowolnego portfela u 2 P m przyjmujemy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia: 9 = ; R j stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartościowe,

R = (R 1 ; :::; R m ) wektor (losowy) stóp zysku, = ( 1 ; :::; m ) wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), K p kapita pocz ¾atkowy inwestora, K p;j := u j K p wartościowe, cz ¾eść kapita u pocz ¾atkowego zainwestowana w j-te papiery K k kapita końcowy inwestora, K k;j kapita końcowy w j-tych papierach wartościowych. Ze wzoru (2) otrzymujemy K k;j = K p;j (1 + R j ), j = 1; :::; m.

Stop ¾e zysku portfela u de niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienn ¾a losow ¾a o wartościach rzeczywistych: K p R(u) := K k : (68) K p W dalszym ci ¾agu symbolem hx; yi b ¾edziemy oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni R m : hx; yi := mx i=1 x i y i dla x = (x 1 ; :::; x m ), y = (y 1 ; :::; y m ): (69) Stwierdzenie 4. Zachodzi równo sć R(u) = hu; Ri : (70)

Dowód. P mj=1 K k;j P mj=1 K p;j R(u) = K k K p = P K mj=1 p K p;j P mj=1 P K p;j (1 + R j ) mj=1 P K mj=1 p;j K p;j R j = P mj=1 = K p;j = K p P m j=1 u j R j K p P mj=1 u j = mx j=1 u j R j = hu; Ri. P mj=1 K p;j Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem ER(u) = E 0 @ mx j=1 u j R j 1 A = mx j=1 u j j = hu; i : (71)

Zadanie 12. Odwzorowaniem Markowitza nazywamy odwzorowanie M : P m! R + R określone wzorem M(u) := ((u); ER(u)): (72) Zbiorem mo zliwości nazywamy zbiór wartości odwzorowania M: M(P m ) = f((u); ER(u)) : u 2 P m g: (73) Pokazać na przyk adzie, ze zbiór mo zliwości mo ze nie być zbiorem wypuk ym w R 2.

25 Macierz kowariancji wektora losowego Niech X :! R m b ¾edzie wektorem losowym. Jeśli istniej ¾a wariancje Var X j, j = 1; :::; m, to macierz C := [c ij ] m i;j=1, gdzie c ij = Cov(X i ; X j ); (74) nazywamy macierz ¾a kowariancji wektora losowego X = (X 1 ; :::; X m ). Istnienie kowariancji Cov(X i ; X j ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyj ¾etego za o zenia i ze wzoru (55).

Stwierdzenie 5. Macierz kowariancji ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) jest symetryczna, tzn. c ij = c ji dla dowolnej pary (i; j), (b) jest dodatnio określona, tzn. ucu T = mx i;j=1 u i u j c ij 0 dla ka zdego u 2 R m : (75) Dowód. (a) wynika ze wzoru (53).

(b) Rozwa zmy zmienn ¾a losow ¾a Y := P m i=1 u i X i. Jeśli EX i = i (i = 1; :::; m), to EY = P m i=1 u i i oraz 0 Var Y = E h (Y EY ) 2i = E 20 6 mx 4@ i=1 u i (X i i ) 1 A23 7 5 = E 2 mx 4 i;j=1 u i u j (X i i )(X j j ) = mx i;j=1 3 5 = mx i;j=1 u i u j E h (X i i )(X j j ) i u i u j Cov(X i ; X j ) = ucu T. (76)

Stosuj ¾ac cz ¾eść (b) powy zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej wzorem (70) (gdzie u 2 R m + ), otrzymujemy Wniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 P m jest dana wzorem Var R(u) = ucu T ; (77) gdzie C jest macierza¾ kowariancji wektora stóp zysku R = (R 1 ; :::; R m ). Zadanie 13. Dane s ¾a trzy akcje, których stopy zysku s ¾a równe odpowiednio R 1, R 2 i R 3. Macierz kowariancji wektora stóp zysku R jest nast ¾epuj ¾aca: 2 6 4 2 1 0 1 2 1 0 1 2 Znaleźć portfel o minimalnej wariancji stopy zysku (czyli o minimalnym ryzyku). 3 7 5

Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe q (u) = Var R(u): (78) Mówimy, ze macierz C jest ściśle dodatnio określona, je zeli ucu T > 0 dla ka zdego u 2 R m nf0g: (79) Stwierdzenie 6. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾ a takie liczby u 1 ; :::; u m nie wszystkie równe zeru, ze zmienna losowa P m i=1 u i X i jest sta a z prawdopodobieństwem jeden.

Dowód. Zaprzeczenie warunku (79) oznacza, ze istnieje taki wektor u 6= 0, ze ucu T = 0. Na mocy (76) jest to równowa zne warunkowi E 20 6 mx 4@ 1 A23 mx 7 u i X i u i i 5 = 0: (80) i=1 i=1 Wiadomo, ze wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek (80) oznacza, ze P m i=1 u i X i jest z prawdopodobieństwem 1 równa sta ej P m i=1 u i i. Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych X i zale zy (z prawdopodobieństwem jeden) w sposób liniowy od pozosta ych zmiennych losowych.

Dowód. Na mocy Stwierdzenia 6 macierz C nie jest dodatnio określona, 9u 6= 0, P m i=1 u i X i = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewn ¾a sta ¾a. Wybieraj ¾ac spośród liczb u i jedn ¾a ró zn ¾a od zera (oznaczmy j ¾a u s ), otrzymamy równowa zny warunek (tak ze z prawdopodobieństwem 1) X s = 1 u s 0 1 @ X u i X i + A. i6=s Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela u 2 P m sytuacja opisana w powy zszym wniosku oznacza, ze jeden z papierów wartościowych znajduj ¾acych si ¾e w portfelu mo zna usun ¾ać, zast ¾epuj ¾ac go kombinacj ¾a pozosta ych papierów wartościowych.

26 Inny wzór na wariancj ¾e portfela Rozwa zamy portfel m papierów wartościowych. Niech i := p Var R i oznacza odchylenie standardowe i-tego papieru (i = 1; :::; m). Dotychczas wspó czynnik korelacji i-tego i j-tego papieru by określony tylko wtedy, gdy oba odchylenia standardowe by y ró zne od zera. Obecnie przyjmujemy ij := gdzie c ij = Cov(R i ; R j ). 8 < : c ij i j gdy i 6= 0 6= j ; 0 w przeciwnym przypadku. (81) Stwierdzenie 7. Dla dowolnego portfela u 2 P m Var R(u) = mx i=1 2 m 1 i u2 i + 2 X i=1 mx j=i+1 ij i j u i u j : (82)

Dowód. Korzystaj ¾ac z wzorów (77), (75) oraz z symetrii macierzy kowariancji, otrzymujemy Var R(u) = mx i;j=1 u i u j c ij = mx i=1 c ii u 2 m 1 i + 2 X i=1 mx j=i+1 u i u j c ij : (83) Dla i 6= j mamy ma podstawie (81) i (55) c ij = ij i j, natomiast dla i = j mamy c ii = Cov(R i ; R i ) = E h (R i i ) 2i = Var R i = 2 i : Podstawiaj ¾ac te równości do (83), otrzymujemy (82).

27 Ryzyko inwestowania w obligacje Ryzyko inwestowania w obligacje jest na ogó mniejsze ni z ryzyko inwestowania w akcje, ale mimo to nie nale zy go zaniedbywać. Ryzyko to pochodzi z kilku źróde i dlatego mo zemy mówić o kilku rodzajach ryzyka, które teraz kolejno omówimy. 27.1 Ryzyko niedotrzymania warunków Ryzyko niedotrzymania warunków (inaczej: ryzyko kredytowe) wyst ¾epuje wtedy, gdy emitent obligacji nie dotrzymuje warunków umowy, tzn. nie wyp aca odsetek lub nie wykupuje obligacji w terminie. Przyczyn ¾a mo ze być np. upad ość rmy. Jest to szczególny przypadek ryzyka kredytowego, które b ¾edzie omawiane w dalszej cz ¾eści wyk adu.

27.2 Ryzyko stopy procentowej Ryzyko stopy procentowej (inaczej: ryzyko zmiany ceny, ryzyko okresu posiadania lub ryzyko rynkowe) wyst ¾epuje wtedy, gdy posiadacz obligacji zamierza j ¾a sprzedać przed terminem wykupu. Cena typowej obligacji zmienia si ¾e przeciwnie do zmian stóp procentowych (rynkowych). Kiedy stopy te rosn ¾a, to cena obligacji spada i na odwrót. Jeśli inwestor jest zmuszony sprzedać obligacj ¾e przed dat ¾a wykupu, wzrost stóp spowoduje strat ¾e kapita ow ¾a, gdy z sprzeda on obligacje po cenie ni zszej od ceny nabycia. Wra zliwość ceny obligacji na zmiany stóp rynkowych zale zy od okresu do wykupu (im d u zszy, tym wi ¾eksza wra zliwość) i oprocentowania (im wy zsze, tym mniejsza wra zliwość).

27.3 Ryzyko reinwestowania Stopa zysku z obligacji R (patrz wzór (15)) obliczana jest przy za o zeniu, ze otrzymane odsetki s ¾a reinwestowane przy stopie procentowej równej R. Dodatkowy dochód z reinwestycji odsetek zale zy zarówno od poziomu stóp procentowych, jak i obranej przez inwestora strategii. Zmienność stopy reinwestycji powodowana uktuacjami rynkowych stóp procentowych zwana jest w aśnie ryzykiem reinwestowania. Ryzyko jest tym wy zsze, im d u zszy jest okres posiadania obligacji.

27.4 Ryzyko przedterminowego wykupu Ten rodzaj ryzyka wyst ¾epuje w przypadku obligacji z opcj ¾a wykupu na z ¾adanie, które daj ¾a emitentowi prawo z ¾adania wykupu przed ustalonym terminem. Emitent wykupuje obligacje z regu y wtedy, gdy spadn ¾a stopy procentowe (bo b ¾edzie móg po zyczyć taniej pieni ¾adze gdzie indziej), wi ¾ec inwestor nara za si ¾e na ryzyko reinwestycji, czyli b ¾edzie musia uzyskane pieni ¾adze zainwestować przy ni zszych stopach.

27.5 Ryzyko in acji W przypadku wzrostu stopy in acji wartość posiadanej obligacji mo ze znacznie spaść. Takie ryzyko istnieje przy obligacjach o sta ym oprocentowaniu eliminuje je indeksowanie (dostosowanie) obligacji do in acji b ¾adź rynkowych stóp procentowych, które rosn ¾a wraz z podwy zszaniem si ¾e in acji. 27.6 Ryzyko kursu walutowego Ryzyko to wyst ¾epuje w przypadku obligacji nominowanych w walutach obcych. Odsetki i kapita otrzymane z takich obligacji s ¾a obarczone du z ¾a niepewności ¾a, gdy z ich wartość zale zy od kursu walutowego, obowi ¾azuj ¾acego w momencie dokonywania p atności.

27.7 Ryzyko p ynności Ryzyko p ynności określa stopień trudności, z jak ¾a mo zemy sprzedać posiadane obligacje bez utraty wartości w stosunku do bie z ¾acej ceny rynkowej. Podstawow ¾a miar ¾a tego ryzyka jest rozpi ¾etość (spread) mi ¾edzy oferowanymi na rynku cenami kupna i sprzeda zy papierów wartościowych. Im wi ¾eksza rozpi ¾etość, tym wi ¾eksze ryzyko p ynności. Ryzyko p ynności nie wyst ¾epuje w przypadku inwestorów, którzy trzymaj ¾a obligacje do momentu wykupu.

27.8 Ryzyko zmienności Ryzyko zmienności oznacza stopień, w jakim zmiana zakresu wahań stóp procentowych mo ze mieć niekorzystny wp yw na cen ¾e obligacji. Dotyczy to g ównie obligacji z wbudowanymi opcjami dodatkowymi (im wy zsza oczekiwana zmienność stóp, tym wi ¾eksza wartość tych opcji). W przypadku obligacji z opcj ¾a wykupu na z ¾adanie, wzrost zmienności skutkuje spadkiem ceny obligacji, gdy z powoduje on wzrost wartości prawa do wykupu, które zosta o przekazane emitentowi przez inwestora.

28 Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuant ¾a zmiennej losowej X :! R nazywamy funkcj ¾e F : R! [0; 1] określon ¾a wzorem F (t) := P (X t): (84) Stwierdzenie 8. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: (a) F jest niemalejaca. ¾ (b) F jest prawostronnie ciag a. ¾ (c) lim t! 1 F (t) = 0, lim t!+1 F (t) = 1.

Zadanie 14. Udowodnić Stwierdzenie 8. Stwierdzenie 9. Je zeli funkcja F : R! [0; 1] spe nia warunki (a) (c) Stwierdzenia 8, to jest dystrybuanta¾ pewnej zmiennej losowej; jej rozk ad jest wyznaczony jednoznacznie. Zadanie 15. Udowodnić Stwierdzenie 9. Stwierdzenie 10. ka zdego t 2 R, Je zeli F jest dystrybuanta¾ zmiennej losowej X, to dla P (X < t) = F (t ) := lim s!t F (s): (85)

Dowód. Istnienie granicy lewostronnej F (t ) wynika z monotoniczności funkcji F. Korzystaj ¾ac ze znanej w asności, ze prawdopodobieństwo sumy wst ¾epuj ¾acego ci ¾agu zdarzeń jest równe granicy ich prawdopodobieństw, otrzymujemy P (X < t) = P 0 @ 1[ n=1 = lim n!1 F t X t 1 n 1 n 1 A = lim n!1 P X t = F (t ): (86) Niech X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a n-wymiarow ¾a (wektorem losowym). Rozk ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest zde niowany ogólnie wzorem (25). Rozk ad ten nazywamy rozk adem ¾acznym wektora losowego X. Gdy znamy rozk ad ¾aczny, to znamy tak ze rozk ad ka zdej wspó rz ¾ednej: 1 n P (X j 2 B) = P (X 1 2 R; :::; X j 1 2 R; X j 2 B; X j+1 2 R; :::; X n 2 R): (87)

Rozk ady (87) nazywamy rozk adami brzegowymi wektora losowego X. Dystrybuant ¾a wektora losowego X nazywamy funkcj ¾e F : R n! [0; 1] określon ¾a wzorem F (t 1 ; :::; t n ) := P (X 1 t 1 ; :::; X n t n ): (88) Dystrybuantami brzegowymi F 1 ; :::; F n nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X 1 ; :::; X n.

29 Kwantyle Niech X :! R b ¾edzie zmienn ¾a losow ¾a i niech 2 (0; 1). Liczb ¾e q 2 R nazywamy -kwantylem zmiennej losowej X je zeli P (X < q) P (X q): (89) Przy pomocy dystrybuanty F zmiennej losowej X warunek (89) mo zna zapisać nast ¾epuj ¾aco: F (q ) F (q): (90)

Dolnym i górnym -kwantylem zmiennej losowej X nazywamy odpowiednio liczby q (X) i q + (X) określone wzorami: q (X) := inf fx 2 R : P (X x) g = sup fx 2 R : P (X x) < g ; (91) q + (X) := inf fx 2 R : P (X x) > g = sup fx 2 R : P (X x) g : (92) W dalszym ci ¾agu b ¾edziemy pomijać (X) przy symbolach kwantyli, jeśli nie b ¾edzie w ¾atpliwości, o jak ¾a zmienn ¾a losow ¾a chodzi. Uwaga. Drugie równości we wzorach (91) i (92) wynikaj ¾a z faktu, ze oba rozwa zane zbiory s ¾a niepuste i w sumie daj ¾a zbiór R.

Zadanie 16. Wykazać, ze dla ustalonej liczby 2 (0; 1), zbiór wszystkich - kwantyli zmiennej losowej X jest przedzia em domkni ¾etym [q ; q + ]. Przedzia ten sk ada si ¾e z jednego punktu dla wszystkich liczb poza zbiorem co najwy zej przeliczalnym. Zadanie 17. Wykazać, ze równość q = q + zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy P (X x) = dla co najwy zej jednej wartości x. W przypadku, gdy q < q +, mamy fx : P (X x) = g = ( [q ; q + ); gdy P (X = q + ) > 0; [q ; q + ]; gdy P (X = q + ) = 0: (93)

30 Transformata dystrybuantowa i jej w asności Niech (; F; P ) b ¾edzie przestrzeni ¾a probabilistyczn ¾a, X :! R zmienn ¾a losow ¾a o dystrybuancie F, zaś V :! (0; 1) zmienn ¾a losow ¾a o rozk adzie jednostajnym (V s U(0; 1)), niezale zn ¾a od X. De niujemy zmody kowan ¾a dystrybuant ¾e ^F : R 2! R wzorem ^F (x; ) := P (X < x) + P (X = x): (94) De niujemy tak ze (uogólnion ¾a) transformat ¾e dystrybuantow ¾a U :! R, b ¾ed ¾ac ¾a now ¾a zmienn ¾a losow ¾a, nast ¾epuj ¾aco: U := ^F (X; V ): (95) Zadanie 18. Wykazać, ze jeśli dystrybuanta F jest ci ¾ag a, to ^F (x; ) F (x) oraz U = F (X) s U(0; 1).

Uwaga. Ta ostatnia w asność zachodzi te z w ogólnym przypadku dla zmiennej losowej U określonej wzorem (95). Stwierdzenie 11. U = F (X ) + V (F (X) F (X )): (96) Dowód. Korzystaj ¾ac z (95) i (94), a nast ¾epnie z (85), otrzymujemy dla dowolnego! 2, U(!) = ^F (X(!); V (!)) = P (X < X(!)) + V (!)P (X = X(!)) = F (X(!) ) + V (!)[P (X X(!)) P (X < X(!))] = F (X(!) ) + V (!)[F (X(!)) F (X(!) )]: Uogólniona¾ funkcje¾ odwrotna¾ do dystrybuanty F de niujemy nast ¾epuj ¾aco: F (u) := inf fx 2 R : F (x) ug ; u 2 (0; 1): (97)

Dla 2 (0; 1) niech q (X) oznacza dolny -kwantyl zmiennej losowej X, tzn. q (X) := sup fx : P (X x) < g : (98) Stwierdzenie 12. Je zeli P (X = q (X)) = 0, to P (X q (X)) =. Dowód. Z za o zenia i z (85) mamy 0 = P (X = q (X)) = P (X q (X)) P (X < q (X)) = F (q (X)) F (q (X) ); (99) zatem dystrybuanta F jest lewostronnie ci ¾ag a w punkcie q (X). Z wzorów (84) i (98) wynika, ze q (X) = sup fx : F (x) < g : (100)

St ¾ad dla dowolnego t > q (X) mamy F (t), a zatem, na podstawie Stwierdzenia 8(b), F (q (X)) = F (q (X)+) : (101) Ponadto z de nicji kresu górnego i ze Stwierdzenia 8(a) wynika, ze F (s) < dla dowolnego s < q (X). St ¾ad i z lewostronnej ci ¾ag ości F w punkcie q (X) wynika, ze F (q (X)), co w po ¾aczeniu z (101) daje tez ¾e Stwierdzenia 12. Twierdzenie 5. Niech U bedzie ¾ transformata¾ dystrybuantowa¾ okre slona¾ wzorem (95). Wówczas (a) U s U(0; 1), (b) X = F (U) z prawdopodobieństwem 1.

31 Kopu y i twierdzenie Sklara De nicja. Funkcj ¾e C : [0; 1] n! [0; 1] nazywamy kopu ¾a, je zeli jest ona dystrybuant ¾a pewnego wektora losowego U = (U 1 ; :::; U n ) :! [0; 1] n takiego, ze zmienne losowe U i (i = 1; :::; n) maj ¾a rozk ad jednostajny. Kopu a spe nia zatem warunek C(u 1 ; :::; u n ) = P (U 1 u 1 ; :::; U n u n ): (102)

Stwierdzenie 13. Funkcja C : [0; 1] n! [0; 1] jest kopu ¾ a wtedy i tylko wtedy, gdy posiada nastepuj ¾ ace ¾ w asno sci: 1) C(u 1 ; :::; u n ) jest niemalejaca ¾ wzgledem ¾ ka zdej zmiennej u i ; 2) C(1; :::; 1; u i ; 1; :::; 1) = u i dla wszystkich i 2 f1; :::; ng, u i 2 [0; 1]; 3) Dla wszystkich (a 1 ; :::; a n ); (b 1 ; :::; b n ) 2 [0; 1] n takich, ze a i b i (i = 1; :::; n), zachodzi nierówno sć 2X i 1 =1 2X i n =1 gdzie u j;1 = a j, u j;2 = b j dla j 2 f1; :::; ng. ( 1) i 1+:::+i n C(u 1;i1 ; :::; u n;in ) 0; (103) Zadanie 19. Dla n = 2 udowodnić, ze ka zda kopu a spe nia warunki 1) 3) Stwierdzenia 13.

Warunek (103) dla n = 2 mo zna zapisać w postaci C(b 1 ; b 2 ) C(b 1 ; a 2 ) C(a 1 ; b 2 ) + C(a 1 ; a 2 ) 0: (104) Warunek ten oznacza, ze prawdopodobieństwo P (U i 2 [a i ; b i ], i = 1; 2) jest zawsze nieujemne, tzn. kopu a nie mo ze przypisywać ujemnej wartości prawdopodobieństwa zdarzeniu, ze wartości wektora losowego U le z ¾a w danym prostok ¾acie o bokach równoleg ych do osi wspó rz ¾ednych. Istotnie, mamy P (a 1 U 1 b 1 ; a 2 U 2 b 2 ) = P (U 1 b 1 ; U 2 b 2 ) P (U 1 b 1 ; U 2 a 2 ) P (U 1 a 1 ; U 2 b 2 ) + P (U 1 a 1 ; U 2 a 2 ) = C(b 1 ; b 2 ) C(b 1 ; a 2 ) C(a 1 ; b 2 ) + C(a 1 ; a 2 ); przy czym z ci ¾ag ości dystrybuanty rozk adu jednostajnego wynika, ze mo zemy wsz ¾edzie pisać nierówności.