WYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14

WYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14

OPISY LAGRANGE A I EULERA. PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE PŁYNU. Elementem płynu nazywamy indywidualną i x 3, nieskończenie małą porcę płynu. Każdy element płynu ma przypisane identyfikuące go położenie traectory of a fluid element t>0 (t) w wyróżnione początkowe chwili czasu (z reguły można przyąć, ze chwilą tą est t = 0). Położenie początkowe oznaczamy dale t=0 0 x(t, symbolem ξ. Położenie elementu płynu w bieżące chwili czasy t 0 określone est wektorem x. Ruchem płynu nazywamy zatem odwzorowanie obszaru 0 zamowanego przez płyn w chwili początkowe w obszar () t, który zamue ten sam płyn w chwili bieżące t 0. Możemy zatem napisać związek x x( t, ξ ), w szczególności ξ x( 0, ξ ). x 1, x 2, 2/14

Jeśli ustalimy ξ ξ, wówczas przyporządkowanie x x( t, ξ ) opisue pewną linię w E 3. Linię tę nazywamy traektorią elementu płynu (identyfikowanego przez położenie początkowe ξ ). Obszar () t będący obrazem obszaru 0 w dowolne chwili t 0 nazywamy obszarem płynnym lub obszarem materialnym. UWAGA: 1. Przez każdy punkt w obszarze zaętym przez płyn przechodzi edna i tylko edna traektoria. Wyątek stanowią punkty stagnaci, czyli punkty w których prędkość płynu est równa zeru. 2. Odwzorowanie obszaru początkowego w obszary płynne w późnieszych chwilach czasu ma własność grupową, a mianowicie: Jeżeli x1 x( t, ξ ) i 2 ( t, ) x x ξ, to x x( t,ξ) x [,x( t, ξ) ] x (,x ) 2 1 3/14

Dowolny ruch płynu można opisywać w ramach podeścia Lagrange a lub podeścia Eulera. Opis Lagrange a: każdy element płynu est ednoznacznie identyfikowany przez wektor ξ, t. swoą lokalizacę w chwili początkowe t = 0. Wszystkie charakterystyki kinematyczne ruchu płynu są opisane funkcami czasy i współrzędnych wektora ξ, t. wielkości skalarnych ξ 1, ξ 2 and ξ 3, zwanych współrzędnymi Lagrange a. Wektor prędkości płynu (elementu płynu) zdefiniowany est wzorem x( t t, ξ) x( t, ξ) x V ( t, ξ): lim ( t, ξ ) (ξ zafiksowane) t0 t t Przyspieszenie płynu (elementu płynu) est zdefiniowane wzorem 2 V ( t t, ξ) V ( t, ξ) V x a( t, ξ): lim ( t, ξ) 2 ( t, ξ ) t0 t t t 4/14

Opis Eulera: prędkość, przyspieszenie, a także inne wielkości kinematyczne i dynamiczne charakteryzuące ruch płynu opisane są ako pola fizyczne, czyli funkce (o wartościach skalarnych, wektorowych lub tensorowych) czasu t i położenia x [ x1, x2, x3]. Pole (wektorowe) prędkości płynu υ υ( t, x ) ( w każdym punkcie obszaru zaętego przez płyn zdefiniowany est na ogół zmienny w czasie wektor prędkości) Relaca pomiędzy opisami Lagrange a i Eulera: prędkość elementu płynu w chwili t est taka ak wartość pola prędkości w teże chwili i w punkcie aktualnym zamowanym przez ten element. Euler Lagrange: V ( t, ξ) υ[ t, x( t, ξ )] Lagrange to Euler: υ( t, x) V[ t, ξ( t, x ) ] transformaca odwrotna Wyprowadzeniem eulerowskie formuły na pole przyspieszeń zamiemy się niebawem PRZEPŁYW USTALONY (STACJONARNY): pole prędkości nie zależy (awnie) od czasu t. υ υ( x), tυ 0 5/14

TRAJEKTORIE ELEMENTÓW PŁYNU Lagrange: x( t, ξ) V ( t, ξ ) (ξ zafiksowane). t Całkuemy względem czasu x( t, ξ) ξ V (, ξ ) d. Otrzymaliśmy bezpośrednią całkową formułę opisuącą traektorię elementu płynu. Całka może być obliczona numerycznie standardowymi metodami (np. metodą trapezów). Euler: aby wyznaczyć traektorię trzeba rozwiązać różniczkowe zagadnienie początkowe t 0 d dt x υ[ t, x( t)] x() 0 ξ d dt x ( t, x, x, x ), 1, 2, 3. 1 2 3 x () 0 W celu otrzymania rozwiązania, posłużymy się na ogół metodami numerycznymi (np. zastosuemy metodę Rungego-Kuty) 6/14

LINIE PRĄDU Linia prądu: to taka linia, że w każdym e punkcie (chwilowy) wektor pola prędkości est do nie styczny. Morał: W przepływie nieustalonym układ linii prądu zależy od czasu! Warunek styczności może być zapisany następuąco d x1 dx2 dx3 ( t, x, x, x ) ( t, x, x, x ) ( t, x, x, x ) 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 Powyższe równości implikuą krawędziowy opis 2-parametryczne rodziny linii w 3D, a mianowicie F F ( t, x, x, x, C, C ) 0 ( t, x, x, x, C, C ) 0 1 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 Czas t traktowany est tu ako (zafiksowany) parametr. 7/14

Praktyczna metoda wyznaczenia linii prądu polega na obliczeniu traektorii fikcynych cząstek (markerów) poruszaących się z zamrożonym w czasie polu prędkości. Ruch markerów opisuą rozwiązania następuącego zagadnienia początkowego d d x( ) υ[ t, x( )] x( 0) x gdzie czas fizyczny t est zafiksowany, a zmienna τ to pseudo-czas. Z powyższego wynika wniosek: traektorie elementów płynu i linie prądu są tymi samymi liniami wtedy i tylko wtedy, gdy pole prędkości nie zależy awnie od czasu, t. gdy przepływ est ustalony (staconarny). 0 8/14

PRZYKŁADY (1) Dwuwymiarowy przepływ ustalony υ( x, x ) x e x e [ x, x ] 1 2 2 1 1 2 2 1 Linie prądu: dx x dx 2 2 2 x1 dx1 x2 dx2 0 x1 x2 R, R 0. x 1 2 2 1 Otrzymaliśmy układ koncentrycznych okręgów. Traektorie: d dt x x, d x x 1 2 dt 2 1 x ( 0) R, x ( 0) 0 1 2 Rozwiązaniem est para funkci x ( t) Rcos( t), x ( t) Rsin( t) 1 2 która stanowi parametryczny opis rodziny koncentrycznych okręgów 2 2 2 x x R, R 0. 1 2 9/14

traectory (2) przepływ niestaconarny υ( t, x, x ) ( x t) e x e [ x t, x ] Linie prądu: 1 2 2 1 1 2 2 1 d x1 d x2 2 2 2 2 2 x1 d x1 ( x2 t) d x2 0 x1 ( x2 t) C t R, C t. x t x 2 1 Ponownie rodzina koncentrycznych okręgów, ale ich układ porusza się wzdłuż osi 0x 2 (w dół) ze stałą prędkością równą 1 (obrazek). x 2 t=0 x 1 instantaneous streamlines t>0 Traektorie: Rozwiązanie d dt x x t, d x x 1 2 dt 2 1 x ( 0) x, x ( 0) x 1 10 2 20 x1( t) ( x10 1)cos( t) x20 sin( t) 1 x ( t) ( x 1)sin( t) x cos( t) t 2 10 20 Niech x 10 = -1 i x 20 = 0. Wtedy x 1 (t) = -1 i x 2 (t) = -t, czyli element płynu porusza się z prędkością równą -1 wzdłuż pionowe linii x 1 = -1 W ruchu niestaconarnym kształt traektorii może być zupełnie inny niż linii prądu! 10/14

POCHODNA SUBSTANCJALNA (MATERIALNA) Niech f f ( t, x ) f ( t, x1, x2, x3) będzie dostatecznie regularnym polem skalarnym. Z punktu widzenia obserwatora poruszaącego się z elementem płynu, zmienność wielkości opisane polem f opisana est następuąca funkcą czasu F( t): f [ t, x( t, ξ )] Pochodną substancalną pola f, oznaczaną dale symbolem Df, nazywamy tempo Dt zmian tego pola z punktu widzenia obserwatora poruszaącego się z płynem, czyli wzdłuż traektorii. Mamy zatem D f df f f x f x 1 2 [ t, x( t, ξ)]: ( t) [ t, x( t, )] [ t, x( t, )] ( t, ξ) [ t, x( t, )] ( t, ξ) Dt dt t x t x t 1 2 f x f f f f 3 [ t, x( t, )] ( t, ξ) [ t, ( t, )] 1 2 3 x x t t x x x 3 1 2 3 x gdzie wykorzystaliśmy równości ( t, ξ) [ t, x( t, ξ )], 1, 2, 3. t 11/14

Ponieważ w powyższe formule argumenty wyrażeń po obu stronach znaku równości są identyczne, możemy napisać równość pomiędzy funkcami, a mianowicie Df Dt f υ f, t pochodna lokalna pochodna konwekcyna W notaci indeksowe (z użyciem konwenci sumacyne) D f f f Dt t x Pierwszy ze składników nazywamy pochodną lokalną. Mierzy ona tempo zmian wielkości f zachodzących w wyniku awne zależności te wielkości od czasu. Jeśli f f ( x ) f ( x1, x2, x3), to pole f est staconarne i pochodna lokalna f / t znika tożsamościowo. Drugi składnik nazywamy pochodną konwekcyną pola f. Jest ona na ogół różna od zera, nawet eśli pole est staconarne. Mierzy ona tempo zmian pola f wynikaących z ruchu obserwatora. Pochodna ta znika ta m.in. wówczas, gdy wartość pola f nie zależy od miesca, czyli pole f est ednorodne. 12/14

POLE PRZYSPIESZEŃ OPIS EULERA Z definici, przyspieszeniem płynu est tempo zmian prędkości elementu płynu, podczas ego ruchu wzdłuż ego indywidulane traektorii. Wynika z tego, że w celu wyznaczenia pola przyspieszeń płynu należy obliczyć pochodną substancalną (materialną) pola prędkości. Mamy zatem Dυ Di i i υ υ a( t, x) ei e i Dt Dt t x t x Pole przyspieszeń est oczywiście polem wektorowym. W popularnym w mechanice płynów zapisie postać tego pola est następuąca a( t, x ) Dυ υ ( υ) υalokalne akonwekcyne Dt t W nawiasie występuącym w drugim składniku wzoru (zwanym przyspieszeniem konwekcynym) poawił się formalny iloczyn skalarny wektora prędkości i operatora różniczkowego postaci [,, ] (tzw. nabla). x x x 1 2 3 13/14

Alternatywną (ale równoważną) postacią wzoru na przyspieszenie est postać Lamba- Gromeki υ 2 a( t, x) ( 1 2 ) ω t gdzie υ to wartość (długość) wektora prędkości, a pole wektorowe rotaca pola prędkości zwana wirowością. Rachunkowy dowód tożsamości pozostawiamy studentowi ako ćwiczenie. 2 ( ) ( 1 ) ω υ υ υ 2 υ ω υ to Z podane formuły dla pola przyspieszenia płynu wynika, że kartezańskie składowe tego pola można obliczyć ze wzoru D (, ) i a i i t x Dt t i x ( sumowanie po!) 14/14