Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji Tadeusz Trzaskalik
5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Niepełna informacja Stan natur Macierz wpłat Podejmowanie deczji w warunkach rzka Podejmowanie deczji w warunkach niepewności Reguła maksmalizacji oczekiwanej korzści Decdent z awersją do rzka Decdent ze skłonnością do rzka Użteczność Funkcja użteczności Reguła maksmalizacji oczekiwanej użteczności Deczje jednoetapowe Deczje wieloetapowe Drzewo deczjne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Reguł deczjne w warunkach niepewności Regułą ma-min, min-ma, ma-ma Współcznnik ostrożności Reguła minimalnego żalu Teoria gier Gra dwuosobowa o sumie zero Strategia Strategia optmalna Strategia zdominowana Strategia dominująca Punkt siodłow Strategia mieszana T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Przkład 5. Cena hurtowa: 8 gr/szt, Cena sprzedaż:, zł/szt, Liczba gazet w paczce: szt, Dzień słab : popt 5 szt, częstotliwość 6% Dzień przeciętn : popt szt, częstotliwość % Dzień dobr : popt 5 szt, częstotliwość % Deczja Zsk gazeciarza prz popcie wnoszącm: n=5 n= n=5 = = -9 = - 6 = -7-8 7 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Reguła maksmalizacji oczekiwanej korzści Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnch stanów natur obliczam oczekiwane korzści dla poszczególnch deczji. Deczją rekomendowaną jest ta, dla której oczekiwana korzść jest maksmalna. EK(=) =,6 +, +, = EK(=) = ( 9),6 +, +, = 5, EK(=) = ( ),6 +, + 6, = 7,8 EK(=) = ( 7),6 + ( 8), + 7, =,6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Jednoetapowe drzewo deczjne Węzeł deczjn = EK( = ) = = EK( = ) = 5, Węzł losowe = EK( = ) = 7,8 = EK( = ) =,6 a b c d n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 6 9 6 7 8 7
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje jednoetapowe (/) Jednoetapowe drzewo deczjne (c.d.) = EK( = ) = n = (, ) n = 5 (,6 ) 9 = EK( = ) = 5, = EK( = ) = 7,8 = EK( = ) =,6 a b c n = lub n = 5 (,7 ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) n = 5 (,6 ) n = (, ) n = 5 (, ) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 7 6 7 8 7
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Przkład 5. Kapitał gazeciarza na początku pierwszego dnia = 75 Deczje dopuszczalne Strategia - Strategia optmalna - Dzień pierwsz Dzień drugi (75) = (87) = (66) = (99) = (75) = (87) = (66) = (99) = (99) = funkcja przporządkowująca każdemu węzłowi deczjnemu pewną deczję przporządkowuje każdemu stanowi deczję optmalną z punktu widzenia przjętej reguł deczjnej T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Zadanie dwuetapowe Etap Etap EK( (87)=) = 99 EK( (87)=) = 78,6 +,7 =, EK( (66)=) = 78 EK( (66)=) = 57,6 + 9,7 = 8, EK( (99)=) = EK( (99)=) = 9,6 +,7 =, EK( (99)=) = 58,6 +, + 5, = 6,8 EK( (75)=) =, EK( (75)=) = 8,,6 +,,7 = 5,8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Dwuetapowe drzewo deczjne = EK( (75)=) =, Kapitał = 75 = EK( (75)=) = 5,8 a n = 5 lub n = lub n =5 () n = 5 (,6) n = lub n = 5 (,7) = EK( (87)=) = 99 Kapitał = 87 n = 5 lub n = lub n = 5 () = EK( (87)=) =, n = lub n = 5 (,7) = EK( (66)=) = 78 Kapitał = 66 b n = 5 (,6) n = 5 lub n = lub n = 5 () = EK( (66)=) = 8, n = lub n = 5 (,7) c = EK( (99)=) = n = 5 (,6) n = 5 lub n = lub n = 5 () = EK( (99)=) =, n = lub n = 5 (,7) Kapitał = 99 = EK( (99)=) = 6,8 n = (,) e T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem d n = 5 (,6) n = 5 (,6) n = 5 (,) 99 78 78 57 9 9 58 5
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej korzści deczje wieloetapowe (/) Strategia optmalna Etap Węzeł deczjn Deczja optmalna = = = = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Funkcja użteczności prz awersji do rzka u ) = ( Deczja = = = =,, < Wartości funkcji użteczności u prz popcie wnoszącm: n = 5 n = n = 5,6,6,6 8, 8,99 8,99 68, 7, 6 5,9, 6,8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Zastosowanie reguł maksmalizacji oczekiwanej użteczności Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnch stanów natur obliczam oczekiwane użteczności dla poszczególnch deczji. Deczją rekomendowaną jest ta, dla której oczekiwana użteczność jest maksmalna. Eu (=) =,6,6 +,6, +,6, =,6 Eu (=) = ( 8,),6 + 8,99, + 8,99, =,5 Eu (=) = ( 68,),6 + 7,, + 6, = 8, Eu (=) = ( 5,9),6 + (,), + 6,8, =,8 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Funkcja użteczności prz skłonności do rzka u (, ) = Deczja, < Wartości funkcji użteczności u prz popcie wnoszącm: n = 5 n = n = 5 =,,, = 57,6 57,6 = 6, 9,6 9,6 = 85,, 6,9 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach rzka 5... Maksmalizacja oczekiwanej użteczności (/) Zastosowanie reguł maksmalizacji oczekiwanej użteczności Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnch stanów natur obliczam oczekiwane użteczności dla poszczególnch deczji. Deczją rekomendowaną jest ta, dla której oczekiwana użteczność jest maksmalna. Eu (=) =,,6 +,, +,, =, Eu (=) = ( ),6 + 57,6, + 57,6, =,8 Eu (=) = ( 6,),6 + 9,6, + 9,6, = 5,6 Eu (=) = ( 85,),6 + (,), + 6,9, = 7,6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Przkład 5. Rodzaj upraw Warunki pogodowe Susze Normalne Deszcze 8 7 9 8 6 5 9 Jaką deczję powinien podjąć rolnik nie znając prawdopodobieństw wstąpienia możliwch stanów natur? T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 6
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Reguła ma-min Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji minimalną korzść, którą możem uzskać biorąc pod uwagę możliwość realizacji kolejnch stanów natur. Wbieram tę deczję, dla której minimalna korzść jest największa. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze 8 7 9 8 6 5 9 min ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 7 8 7 8 6 9
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Reguła min-ma. Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji maksmalną stratę, którą możem ponieść biorąc pod uwagę możliwość realizacji kolejnch stanów natur. Wbieram tę deczję, dla której maksmalna strata jest najmniejsza T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguł min-ma, ma-min i ma-ma (/) Reguła ma-ma Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji maksmalną korzść, którą możem uzskać biorąc pod uwagę możliwość realizacji kolejnch stanów natur. Wbieram tę deczję, dla której maksmalna korzść jest największa. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze 8 7 9 8 6 5 9 ma ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Współcznnik ostrożności a i - minimalna wpłata dla deczji i, A i - maksmalna wpłata dla deczji i, H i (γ) = a i γ + A i ( - γ) γ [, ] - współcznnik ostrożności Wartość charakterzuje skrajną awersję do rzka, wartość skrajną skłonność do rzka. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Reguła Hurwicza Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji o numerze i wartości: a i, A i oraz H i (γ). Wbieram tę deczję, dla której wartość H i (γ) jest największa. Rodzaj upraw Warunki pogodowe Susze Normalne Deszcze 8 7 9 8 6 5 9 min 8 7 8 6 9 ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem H i (γ-=,5) 9,5 8,5 9,5 ma
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Funkcja H H (γ) = 8 γ + ( γ) H (γ) H (γ) = 8 γ + (γ) 8 O γ T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (/5) Funkcja H H 5 H (γ) = 8 γ + ( γ) H (γ) = 7 γ + ( γ) H (γ) = 8 γ + ( γ) H (γ) = 6 γ + ( γ) H 5 (γ) = 9 γ + ( γ) H(γ) O γ T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Współcznnik ostrożności (5/5) Rozwiązanie w zależności od wartości współcznnika ostrożności H(γ) = ma { H (γ), H (γ), H (γ), H (γ), H 5 (γ) } H (γ) = 8 γ + (γ) A H 5 (γ) = 9 γ + (γ) B H (γ) = 8 γ + (γ) C H (γ) = 7α + (γ) H (γ) = 6 γ + (γ) O γ T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguła braku dostatecznej racji (/) Reguła Laplace a Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdej deczji oczekiwaną korzść, przjmując, że realizacje kolejnch stanów natur są równie prawdopodobne. Wbieram tę deczję, dla której oczekiwana korzść jest największa. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze 8 7 9 8 6 5 9 Oczekiwana korzść / 8/ / 7/ 9/ ma ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguła minimalnego żalu (/) Macierz żalu Pozwala na określenie utraconch korzści, związanch z podjęciem deczji, która okazała się nietrafna w kontekście zrealizowanego stanu natur. w * j - maksmalna wartość w j-tej kolumnie macierz wpłat, w ij - korzści dla deczji =i oraz j-tego stanu natur, z ij - element macierz żalu: z ij = w * j w ij W 8 = 9 7 8 6 9 w * j Z = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 6 5 6
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5... Reguła minimalnego żalu (/) Reguła Savage a Wkorzstując kolejne wiersze macierz wpłat znajdujem dla każdego stanu natur wartości maksmalnch korzści w * j i tworzm macierz żalu Z. Dla kolejnch deczji znajdujem maksmalne wartości macierz Z. Wbieram deczję, która minimalizuje największą możliwą stratę. Rodzaj Warunki pogodowe upraw Susze Normalne Deszcze 5 6 5 Maksmaln żal min min T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 7 5 6
5.. Podejmowanie deczji w warunkach niepewności 5..5. Porównanie wników uzskanch prz zastosowaniu różnch reguł deczjnch (/) Zestawienie reguł Reguła deczjna Ma-min Rekomendowana deczja 5 Ma-ma Hurwicza Laplace a, Savage a, 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
ach niepełnej informacji S spędzić po jednm dniu w mieście A i mieście B S spędzić obdwa dni w A S spędzić obdwa dni w B. 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie dominujące i zdominowane (/) Przkład 5. 5. Podejmowanie deczji w warunka T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9 = 5 W = 5 W = 5 W Macierze wpłat Macierze wpłat
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie dominujące i zdominowane (/) Eliminacja strategii zdominowanch Dominacja strategii Strategia dominująca W = 5 = Strategia zdominowana Strategia niezdominowana W = W W = [ ] W = [ ] 5 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Punkt siodłow (/) Definicja w I * - w II * - Jeżeli wpłata gracza I otrzmana prz wkorzstaniu strategii S I (i*) wbranej prz pomoc reguł ma-min. wpłata gracza II otrzmana prz wkorzstaniu strategii S II (j*) wbranej prz pomoc reguł min-ma. w I * = w II * racjonalne oczekiwania Gracza I spotkają się z racjonalnmi oczekiwaniami Gracza II (S I (i*), S II (j*) ) - punkt siodłow O ile istnieje punkt siodłow, jest on rozwiązaniem optmalnm gr. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Punkt siodłow (/) Przkład 5.5 Gracz I Gracz II S II S II S II S II S II 5 S I 8 5 S I S I S I S I 5 ma 9 5 7 6 7 5 5 9 9 8 5 9 min min 5 5 9 5 5 ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Przkład 5.6 Człowiek Kogut Robak min Człowiek Kogut Robak ma T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Definicje Wektor wierszow = [,,, m ] taki, że i + + + m = nazwam strategią mieszaną gracza I. Wektor kolumnow = [,,, n ] taki, że j + + + n = nazwam strategią mieszaną gracza II. oraz oraz Strategia czsta jest szczególnm przpadkiem strategii mieszanej, w której ustaloną strategię wbieram z prawdopodobieństwem. w I (, ) w II (, ) oczekiwana wpłata Gracza I, o ile będzie on stosował strategię, a Gracz II strategię. oczekiwana wpłata Gracza II, o ile będzie on stosował strategię, a Gracz I strategię. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Oczekiwana wpłata gracza I Gracz I stosuje strategię * = [ *, *, * ] Gracz II stosuje strategię = [,, ] Strategia S I [ + + () ] * Strategia S I Strategia S I S S S I I I [() + + ] * [ + () + ] * czli - w I ( *, ) = ( ) * + ( + ) * + ( ) * - - T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (/7) Oczekiwana wpłata gracza II Gracz I stosuje strategię = [,, ] Gracz II stosuje strategię * = [ *, *, * ] Strategia S II [ + () + ] * Strategia S II Strategia S II [ + + () ] * [() + + ] * czli S II - w II (, * ) = ( + ) * + ( ) * + ( + ) * S II - S - T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 6 II
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (5/7) Przpadek ogóln m liczba strategii Gracza I n liczba strategii Gracza II w w I ( * W, ) = = m i= w w... wm ( w w w w... m + w... w... w...... T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 7 w n n... mn +... + w n n * II (, ) = ( w + w +... + wmm ) j= n ) * i * j
5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (6/7) Podstawowe twierdzenia Twierdzenie Dla dowolnej strategii Gracza I oraz Gracza II zachodzi związek: Twierdzenie w I (, ) w II (, ) Istnieje para strategii optmalnch * oraz * taka, że: Twierdzenie w I ( *, * ) = w II ( *, * ) Wartość v oraz strategie optmalne * oraz * wznaczam przez rozwiązanie następującch zadań programowania liniowego, sformułowanch dla poszczególnch gracz: Gracz I v ma W v = Gracz II v min W v = T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 8
ach niepełnej informacji,, ma = + + + Gracz I,, min = + + + Gracz II 5.. Gr dwuosobowe o sumie zero 5... Strategie mieszane (7/7) Wznaczenie optmalnch strategii mieszanch 5. Podejmowanie deczji w warunka T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 9,,,,,, ma = + + +,, min = + + + Rozwiązanie optmalne,,,, * * * * = = = =,,,, * * * * = = = =
Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacjnch z komputerem 5. Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji