Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter
2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět jak dále, postupně si odkrývejte řešení.
- vždy 6 příkladů po 0 bodech: Neurčitý integrál, integrace racionální funkce. 2 Určitý integrál, substituční metoda, metoda per partes. 3 Aplikace určitého integrálu. 4 Funkce více proměnných, definiční obor, extrémy, tečná rovina. 5 Diferenciální rovnice. řádu. 6 Lineární diferenciální rovnice 2. (3.) řádu.. Hodnocení: Celkem lze získat 6 0 = 60 bodů.
vzorové písemky č. Vypočtěte integrál 2x+4 2 Vypočtěte integrál e (x+)(x 2 +2x+2) dx x +ln x dx. 3 Vypočtěte obsah rotační plochy, která vznikne rotací křivky 2 (ex + e x ) od x = 2 do x 2 = 2 kolem osy x.
vzorové písemky č. - pokračování 4 Určete a načrtněte definiční obor funkce f (x, y) = ln (x y) + 4 x 2 y 2. 5 Řešte diferenciální rovnici y + xy = x. 6 Řešte diferenciální rovnici 4y 8y + 3y = 4e x 2.
Příklad - výpočet Krok : Máme integrovat racionální funkci 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2). Stupeň čitatele je m = a stupeň jmenovatele je n = 3. Funkce je ryze lomená. Krok 2: Zjistíme, zda kvadratický trojčlen nemá reálné kořeny.
Příklad - výpočet Krok : Máme integrovat racionální funkci 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2). Stupeň čitatele je m = a stupeň jmenovatele je n = 3. Funkce je ryze lomená. Krok 2: Zjistíme, zda kvadratický trojčlen nemá reálné kořeny. D = 2 2 4 2 = 4 < 0 Nejsou reálné kořeny. Krok 3: Rozložíme racionální funkci na součet parciálních zlomků
Příklad - výpočet Krok : Máme integrovat racionální funkci 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2). Stupeň čitatele je m = a stupeň jmenovatele je n = 3. Funkce je ryze lomená. Krok 2: Zjistíme, zda kvadratický trojčlen nemá reálné kořeny. D = 2 2 4 2 = 4 < 0 Nejsou reálné kořeny. Krok 3: Rozložíme racionální funkci na součet parciálních zlomků 2x + 4 (x + )(x 2 + 2x + 2) = A B(2x + 2) + x + (x 2 + 2x + 2) + C (x 2 + 2x + 2)
Příklad - výpočet Krok 4: Nalezneme konstanty A, B, C
Příklad - výpočet Krok 4: Nalezneme konstanty A, B, C 2x + 4 = A(x 2 + 2x + 2) + B(2x + 2)(x + ) + C(x + )
Příklad - výpočet Krok 4: Nalezneme konstanty A, B, C 2x + 4 = A(x 2 + 2x + 2) + B(2x + 2)(x + ) + C(x + ) Krok 5: Dosadíme kořen x = 2( ) + 4 = A( + 2( ) + 2) + B 0 + C 0 2 = A
Příklad - výpočet Krok 6: Polynom ve jmenovateli nemá další reálné kořeny. Principiálně lze dosadit za x nějaká vhodná čísla. Jinou možností je porovnat koeficienty u stejných mocnim polynomů na levé a pravé straně v rovnici z kroku 4.
Příklad - výpočet Krok 6: Polynom ve jmenovateli nemá další reálné kořeny. Principiálně lze dosadit za x nějaká vhodná čísla. Jinou možností je porovnat koeficienty u stejných mocnim polynomů na levé a pravé straně v rovnici z kroku 4. koef. u x 2 : 0 = A + 2B koef. u x 0 : 4 = 2A + 2B + C Krok 7: Jelikož A = 2, snadno vypočteme B a C:
Příklad - výpočet Krok 6: Polynom ve jmenovateli nemá další reálné kořeny. Principiálně lze dosadit za x nějaká vhodná čísla. Jinou možností je porovnat koeficienty u stejných mocnim polynomů na levé a pravé straně v rovnici z kroku 4. koef. u x 2 : 0 = A + 2B koef. u x 0 : 4 = 2A + 2B + C Krok 7: Jelikož A = 2, snadno vypočteme B a C: B = C = 2
Příklad - výpočet Krok 8: Daná racionální funce se rozloží na součet tří zlomků a tedy máme počítat 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2) dx = ( 2 x+ + (2x+2) (x 2 +2x+2) + 2 (x 2 +2x+2) )dx První dva integrály jsou snadné, v čitateli je derivace jmenovatele.
Příklad - výpočet Krok 8: Daná racionální funce se rozloží na součet tří zlomků a tedy máme počítat 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2) dx = ( 2 x+ + (2x+2) (x 2 +2x+2) + 2 (x 2 +2x+2) )dx První dva integrály jsou snadné, v čitateli je derivace jmenovatele. Krok 9: 2 x + dx = 2 ln x + + C
Příklad - výpočet Krok 8: Daná racionální funce se rozloží na součet tří zlomků a tedy máme počítat 2x+4 (x+)(x 2 +2x+2) dx = ( 2 x+ + (2x+2) (x 2 +2x+2) + 2 (x 2 +2x+2) )dx První dva integrály jsou snadné, v čitateli je derivace jmenovatele. Krok 9: 2 x + dx = 2 ln x + + C Krok 0: (2x + 2) (x 2 + 2x + 2) dx = ln(x 2 + 2x + 2) + C 2
Příklad - výpočet Krok : Zbývá vypočítat 2 x 2 +2x+2 dx
Příklad - výpočet Krok : Zbývá vypočítat 2 x 2 +2x+2 dx Krok 2: Jelikož je diskriminant kvadratického polynomu ve jmenovateli záporný (viz krok 2.), integrací dostaneme funkci arctg()
Příklad - výpočet Krok : Zbývá vypočítat 2 x 2 +2x+2 dx Krok 2: Jelikož je diskriminant kvadratického polynomu ve jmenovateli záporný (viz krok 2.), integrací dostaneme funkci arctg() 2 x 2 + 2x + 2 dx = 2 = 2 (x + ) 2 + 2 dx = (x + ) 2 + dx = 2arctg(x + ) + C 3
Příklad - výpočet Krok 3: Výsledek bude 2x + 4 (x + )(x 2 + 2x + 2) dx = = 2 ln x + ln(x 2 + 2x + 2) + 2arctg(x + ) + C
Příklad 2 - výpočet Krok : Určitý integrál e x dx budeme řešit substitucí. +ln x
Příklad 2 - výpočet Krok : Určitý integrál e e x + ln x dx = x dx budeme řešit substitucí. +ln x substituce + ln x = u x dx = du = e 2
Příklad 2 - výpočet Krok : Určitý integrál Krok 2: = 2 e e x + ln x dx = x dx budeme řešit substitucí. +ln x substituce + ln x = u x dx = du = e 2 [ ] u 2 2 du = = 2 ( 2 ) = 2 2 2 u 2
Příklad 3 - obsah rotační plochy Křivka y = 2 (ex + e x ) = cosh x je řetězovka. Vytvoří ji řetěz (lano), které je zavěšeno na svých koncích v gravitačním poli. Rotací řetězovky kolem osy x vzniká plocha nazývaná katenoid. Plochu vytvoří např. mýdlová blána natažená mezi dvě souosé kružnice.
Příklad 3 - výpočet Krok : rotační plochy vypočteme ze vztahu b S = 2π a y ( + y 2 )dx
Příklad 3 - výpočet Krok : rotační plochy vypočteme ze vztahu b S = 2π a y ( + y 2 )dx Krok 2: y = 2 (ex + e x ) = 2 (ex e x )
Příklad 3 - výpočet Krok 3: Vypočteme výraz ( + y 2 ) ( + y 2 ) = + 4 (ex e x ) 2 = 4 (4 + e2x 2e x e x + e 2x ) = = 4 (e2x + 2 + e 2x ) = 4 (ex + e x ) 2
Příklad 3 - výpočet Krok 3: Vypočteme výraz ( + y 2 ) ( + y 2 ) = + 4 (ex e x ) 2 = 4 (4 + e2x 2e x e x + e 2x ) = Krok 4: b S = 2π a = 4 (e2x + 2 + e 2x ) = 4 (ex + e x ) 2 2 y ( + y 2 )dx = 2π 2 2 (ex + e x ) 4 (ex + e x ) 2 =
Příklad 3 - výpočet Krok 5: 2 = 2π 2 4 (ex + e x ) 2 dx = π 2 2 2 (e x + e x ) 2 dx =
Příklad 3 - výpočet Krok 5: 2 = 2π 2 4 (ex + e x ) 2 dx = π 2 2 2 Krok 6: Integrovaná funkce je sudá, proto = 2 π 2 2 0 2 (e x + e x ) 2 dx = π 0 (e x + e x ) 2 dx = (e 2x + 2 + e 2x )dx =
Příklad 3 - výpočet Krok 7: [ e 2x = π 2 ] 2 [ e 2x e 4 + 2x = π 2 0 2 + 4 e 4 2 ( 2 + 0 ] 2 ) = = π 2 ( e 4 + 8 e 4)
Příklad 4 - definiční obor funkce dvou proměnných Krok : Určíme podmínky pro jednotlivé části funkce f (x, y) = ln (x y) + 4 x 2 y 2
Příklad 4 - definiční obor funkce dvou proměnných Krok : Určíme podmínky pro jednotlivé části funkce Krok 2: Podmínky ln(x y) 0 2 (x y) > 0 f (x, y) = 3 (4 x 2 y 2 ) 0 ln (x y) + 4 x 2 y 2
Příklad 4 -. podmínka Grafické vyjádření: Krok 3: ln(x y) 0 (x y) y x
Příklad 4-2. podmínka Grafické vyjádření: Krok 4: (x y) > 0 x > y
Příklad 4-3. podmínka Grafické vyjádření: Krok 5: (4 x 2 y 2 ) 0 x 2 + y 2 4
Příklad 4 - souhrn Krok 6: D f = { [x, y] R 2 : y x, x > y, x 2 + y 2 4 } Grafické vyjádření:
Řešte diferenciální rovnici. řádu y + xy = x Krok : Určíme typ rovnice
Řešte diferenciální rovnici. řádu y + xy = x Krok : Určíme typ rovnice Jedná se o lineární diferenciální rovnici. řádu Krok 2: Řešíme rovnici bez pravé strany y + xy = 0
Řešte diferenciální rovnici. řádu y + xy = x Krok : Určíme typ rovnice Jedná se o lineární diferenciální rovnici. řádu Krok 2: Řešíme rovnici bez pravé strany y + xy = 0 y = xy dy y y y = x = xdx ln y = x 2 2 + C
Příklad 5 - výpočet y 0 = e x2 2 +C = e x2 2 e C = Ce x2 2
Příklad 5 - výpočet y 0 = e x2 2 +C = e x2 2 e C = Ce x2 2 Krok 3: Použijeme metodu variace konstant y = C(x)e x2 2
Příklad 5 - výpočet y 0 = e x2 2 +C = e x2 2 e C = Ce x2 2 Krok 3: Použijeme metodu variace konstant y = C(x)e x2 2 y = C (x)e x2 2 + C(x)e x2 2 ( x) Krok 4: Dosadíme do zadané rovnice
Příklad 5 - výpočet C (x)e x2 2 + C(x)e x2 2 ( x) + xc(x)e x2 2 ( x) = x Krok 5: Integrujeme C (x)e x2 2 = x C (x) = xe x2 2
Příklad 5 - výpočet C(x) = = xe x2 2 dx substituce x 2 2 = t xdx = dt = e t dt = e t + K = e x2 2 + K Krok 6: Dosadíme za C(x) (v kroku 3):
Příklad 5 - výpočet C(x) = = xe x2 2 dx substituce x 2 2 = t xdx = dt = e t dt = e t + K = e x2 2 + K Krok 6: Dosadíme za C(x) (v kroku 3): ( ) y = C(x)e x2 2 = e x2 2 + K e x2 2 = + Ke x2 2
Příklad 6 - diferenciální rovnice 2. řádu Řešte diferenciální rovnici 2. řádu 4y 8y + 3y = 4e x 2 Krok : Řešíme rovnici bez pravé strany 4y 8y + 3y = 0
Příklad 6 - diferenciální rovnice 2. řádu Řešte diferenciální rovnici 2. řádu 4y 8y + 3y = 4e x 2 Krok : Řešíme rovnici bez pravé strany 4y 8y + 3y = 0 Krok 2: Řešíme charakteristickou rovnici 4r 2 8r + 3 = 0
Příklad 6 - výpočet r,2 = 8 ± 64 48 8 = { 3 2 2 Krok 3: rovnice bez pravé strany bude mít tvar
Příklad 6 - výpočet r,2 = 8 ± 64 48 8 = { 3 2 2 Krok 3: rovnice bez pravé strany bude mít tvar y 0 = C e 3 2 x + C 2 e 2 x
Příklad 6 - výpočet Krok 4: Partikulární řešení pro pravou stranu f (x) = 4e x 2 bude mít tvar
Příklad 6 - výpočet Krok 4: Partikulární řešení pro pravou stranu f (x) = 4e x 2 bude mít tvar Y = Axe x 2 Krok 5: Vypočteme Y, Y a dosadíme do zadané rovnice
Příklad 6 - výpočet Krok 4: Partikulární řešení pro pravou stranu f (x) = 4e x 2 bude mít tvar Y = Axe x 2 Krok 5: Vypočteme Y, Y a dosadíme do zadané rovnice Y = Ae x 2 + 2 Axe x 2 Y = 2 Ae x 2 + 2 Ae x 2 + 4 Axe x 2
Příklad 6 - výpočet ( 4 2 ) ( ) 2 Ae x 2 + 4 Axe x 2 8 Ae x 2 + 2 Axe x 2 + 3Axe x x 2 = 4e 2 Krok 7: Vypočteme konstantu A
Příklad 6 - výpočet ( 4 2 ) ( ) 2 Ae x 2 + 4 Axe x 2 8 Ae x 2 + 2 Axe x 2 + 3Axe x x 2 = 4e 2 Krok 7: Vypočteme konstantu A 4A + Ax 8A 4Ax + 3Ax = 4 4A = 4 A =
Příklad 6 - výpočet Krok 8: Prtikulární řešení má tedy tvar Y = xe x 2 Krok 9: celé rovnice bude
Příklad 6 - výpočet Krok 8: Prtikulární řešení má tedy tvar Y = xe x 2 Krok 9: celé rovnice bude y = y 0 + Y y = C e 3 2 x + C 2 e 2 x xe x 2
2 ln x + ln(x 2 + 2x + 2) + 2arctg(x + ) + C 2 2 2 2 ( e 4 + 8 e 4) 3 π 2 4 y x, x > y, x 2 + y 2 4 5 + Ke x2 2 6 C e 3 2 x + C 2 e 2 x xe x 2