POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH DYNAMIKA OBRABIAREK

POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA INSTYTUT TECHNOLOGII MECHANICZNEJ ZAKŁAD UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH DYNAMIKA OBRABIAREK Pomar przestrzeego ruchu bryły sztywej Opracował: Mrosław Pajor Władysław Lsewsk

Metoda dośwadczalego poszukwaa słabych ogw w układze korpusowym obrabark ze względu a wbrostablość, która jest tematem jedego z laboratorów dyamk obrabarek, podporządkowaa jest modelow tego układu utworzoemu ze sztywych elemetów skończoych (SES). Jedym z podstawowych kroków tej metody jest pomar przestrzeego ruchu drgającego brył sztywych (SESów) tworzących model. Istote dla wbrostablośc układu O-PS (obrabarka proces skrawaa) przemeszczea arzędza względem przedmotu obrabaego są wykem zarówo traslacyjych jak rotacyjych przemeszczeń (odkształceń) welu elemetów korpusowych obrabark. Iloścowe ch ustalee możlwe jest po wyzaczeu wszystkch składowych wektora, u N-PO =u N - u PO ruchu brył tworzących umowe połączee arzędze przedmot obrabay (N-PO) w wybraym układze współrzędych {X 1N-PO,X 2N-PO,X 3N-PO }. Rys.1 Ustawee czujków pomarowych a bryle sztywej o r e: A) rozmeszczee w układze 2-2-2, b) rozmeszczee w układze 3-2-1.

Pomar przestrzeego ruchu brył umożlwający określee poszczególych składowych (współrzędych) wymaga użyca zestawu przyajmej sześcu czujków sejsmczych odpowedo rozstawoych a bryle, tz. tak, by ch położee umożlwało pomar wszystkch składowych ruchu bryły trzech składowych przemeszczeń traslacyjych trzech składowych przemeszczeń rotacyjych. Możlwe są róże wersje ch rozmeszczeą - p. w układze 2-2- 2 lub 3-2-1 (rys. 1).Współrzęde puktów mocowaa czujków A, B, C powy przy tym spełać waruek ~ V L : 3 L R { A,B,C} L (1) który ozacza, że e steje taka prosta L, a której leżą wszystke trzy pukty pomarowe (A, B, C) Wymagaa dotyczące puktów mocowaa czujków podczas pomarów (zależość (1)) są bardzo łatwe do spełea. Celowe jest jedak możlwe wyraźe różcowae położeń puktów mocowaa, by rejestrowae przebeg przemeszczeń także wyraźe różły sę mędzy sobą. Zarejestroway przy użycu czujków sejsmczych ruch drgający bryły określoy jest w układze bezwzględym. Z puktu wdzea metody poszukwaa słabego ogwa waże są względe drgaa arzędza przedmotu obrabaego oraz względe drgaa mędzy SESam tworzącym model badawczy. Aby a podstawe zmerzoych drgań bezwzględych wyzaczyć drgaa względe koecza jest odpoweda trasformacja drgań bezwzględych. Zagadee to będze szerzej przedstawoe w dalszej częśc skryptu. Drgaa elemetu wykoującego ruch obrotowy, p. wrzecoa moża zmerzyć wykorzystując pęć dukcyjych czujków bezdotykowych, oraz czujk drgań skrętych (rys.2.). Z zasady dzałaa czujków bezdotykowych wyka ż merzą oe drgaa rozważaego elemetu względem bazy, do której są przytwerdzoe. W przypadku obrabark jako bazę moża wykorzystać y jej elemet, będący w bezpośredm sąsedztwe wrującej częśc podlegającej pomarom. Pozwala to stote uproścć kostrukcję specjalego oprzyrządowaa służącego do mocowaa czujków. Oczywśce elemet bazowy mus być wówczas także włączoy do pomarów. Bezwzględe drgaa u r elemetu wrującego wyzaczyć moża korzystając z zależośc u r = F e u e + u r (2) u r wektor kolumowy zmerzoych względych drgań elemetu wrującego, u e wektor kolumowy zmerzoych bezwzględych drgań elemetu bazowego o r e, F e macerz trasformacj z układu bazowego do układu bryły wrującej.

Rys.2 Schemat ustawea czujków bezdotykowych czujków drgań skrętych do pomaru drgań elemetu wrującego Aby rówae (2) mało ses wszystke przemeszczea wy być merzoe rówocześe. Ozacza to koeczość zastosowaa układu umożlwającego pomar jedocześe dwuastoma czujkam (elemet bazowy - 6 czujków sejsmczych, elemet wrujący - 5 czujków bezdotykowych oraz 1 czujk drgań skrętych). Do rówoczesego pomaru drgań wszystkch p wyróżoych w obrabarce brył ależy węc zastosować zestaw pomarowy zawerający mmum 6p czujków drgań (zazwyczaj klkadzesąt sztuk). Możlwa jest zasadcza modyfkacja metody pomarowej, pozwalająca a prowadzee badań etapowo, mejszym zestawem aparaturowym. Polega oa a uezależeu sę od czasu, dzęk wyzaczau uormowaych przemeszczeń w dzedze częstotlwośc. Fakt erówoczesego pomaru drgań e może jedak aruszać wzajemej relacj (ampltudowych fazowych) występujących mędzy poszczególym sygałam. Potrzeby jest wobec tego, za każdym razem, sygał wążący ze sobą pomary przeprowadzoe w różym czase; wyk pomarów będą odoszoe do tego sygału pełącego rolę sygału ormującego. Rolę takego sygału może przyjąć dowoly sygał skoreloway z merzoym przemeszczeam. Wyłaa sę węc potrzeba wprowadzea dodatkowego czujka pozostającego ezmee w jedym pukce badaej obrabark podczas, gdy e czujk będą przeoszoe a koleje bryły. Wyzaczając stosuek trasformat Fourera, sygału merzoego przez -ty czujk do sygału odesea z czujka dodatkowego, otrzymuje sę uormowae przemeszczee zespoloe w (jω) określające ruch puktu bryły, w którym ów -ty czujk zamocowao q( jω ) w ( jω ) = (3) q ( jω ) 0

q (jω) trasformata Fourera sygału merzoego przez -ty czujk, q 0 (jω) trasformata Fourera sygału odesea merzoego przez czujk dodatkowy, ω częstość merzoych drgań odpowadająca częstośc drgań samowzbudych, będących wykem utraty stablośc przez badaą obrabarkę. Isteje zatem możlwość prowadzea pomarów oddzele dla każdej bryły sztywej złożea otrzymaych wyków dopero w końcowym etape ch opracowaa. W omawaej metodze pomarów kotrolowae w kolejych próbach wszystkch czyków oddzaływujących a przebeg procesu obróbk e jest sprawą prostą. Jedak zmay tych czyków e wpływają a relacje ampltudowo fazowe mędzy drgaam poszczególych brył w warukach utraty stablośc. Drgaa te są bowem wykem ujawaa sę zawsze tej samej postac drgań. W metodze poszukwaa słabych ogw e jest wymagaa całkowta powtarzalość wartośc wszystkch parametrów drgań występujących po utrace stablośc. Ne są bowem waże bezwzględe wartośc ampltud drgań ale powtarzalość wzajemych relacj ampltud fazy sygałów drgań poszczególych brył obrabark. W te sposób udzał względy ruchów poszczególych brył w drgaach arzędze - przedmot pozostaje zawsze te sam wyk każdej próby wskazuje a te sam elemet obrabark jako a słabe ogwo. Jak uprzedo wspomao, metoda dośwadczalego wyzaczaa postac drgań jest podporządkowaa przyjętemu modelow badawczemu. Jej dokładość jest ścśle zależa od dokładośc z jaką te model odwzorowuje rzeczywsty obekt baday. Jedym z wyróżków dokładośc odwzorowaa jest podzał rzeczywstej obrabark a sztywe elemety skończoe. Podzał obrabark a elemety sztywe czyoy apror może prowadzć do błędów. Naturaly podzał w płaszczyzach styku elemetów zespołów obrabark, jak wspomao uprzedo, może okazać sę ewystarczający do tego, by poprawe opsać jej właścwośc dyamcze. W ramach badań dośwadczalych ależało węc prowadzć aalzy merzoych sygałów pozwalające a beżącą kotrolę zasadośc założea o sztywośc bryły. Wstępe przyjęty model badawczy może w wyku takego postępowaa ulec weryfkacj. Bryły, które wykazują zaczą podatość postacową, porówywalą ze stykową, dzęk wykom aalzy wy być podzeloe dodatkowo w sposób umowy wykający z tejże aalzy. W badaach dośwadczalych może pojawć sę także błąd gruby. Może o wykać z mylego zapsu w protokołach pomarowych formacj o keruku lub zwroce czujka, błędego odczytu lub zaotowaa wzmocea toru pomarowego tp. Komputerowy program wyzaczaa współrzędych uogóloych ruchu bryły sztywej

powe umożlwać sprawdzee, czy e ma podejrzea, ż któreś z merzoych przemeszczeń może być obarczoe błędem grubym. W przypadku pojawea sę takego podejrzea program komputerowy powe odrzucć epewy pomar. Stadardowy sposób wyzaczaa współrzędych uogóloych ruchu bryły sztywej a podstawe pomarów sprowadza sę do odpowedego rozmeszczea a bryle sześcu czujków rozwązaa zadaa odwrotego do zadaa trasformacj przemeszczeń do dowolego puktu a bryle. Procedury elmacj błędów grubych oraz sprawdzaa założeń o sztywośc bryły, wymuszają zmaę lczby czujków użytych do pomarów. W prezetowaej metodze kotrol sztywośc bryły, ajmejsza możlwa lczba czujków stalowaych a jedej bryle powa wyosć 15 szt. Sposób ch rozmeszczea pokazuje rys.3. Rys.3 Schemat rozmeszczea 15 czujków a bryle sztywej Zarówo lczba czujków jak sposób ch rozmeszczea podyktowae są wymogem, by ewetualy podzał, bryły a mejsze możlwy był w oparcu o stejące czujk a e zmuszał do powtórzea eksperymetu. Po wykoau pomarów w każdym pukce, w którym zamocowao czujk wyzacza sę charakterystykę częstotlwocową (wzór 3). Jeśl a poszczególych zespołach obrabark ustawa sę 15 czujków, to daym do wyzaczea współrzędych uogóloych bryły sztywej jest zbór tychże pętastu charakterystyk: w(1 : { w ( jω ),w ( jω ), K,w ( j )} ) = (4) 1 2 ω

Rys. 4 Ops geometr położea czujka a bryle w (jω) - charakterystyka częstotlwoścowa wyzaczoa w -tym pukce bryły traktowaej jak sztywa, - lczba czujków wykorzystywaych do estymacj ruchu bryły sztywej; ( = 15). Zwązek wyzaczoych charakterystyk z charakterystykam odpowadającym współrzędym uogóloym opsuje zależość: X w0 = w (5) X(1:, 1:6) - macerz zawerająca formację o geometr rozmeszczea czujków a bryle; jest oa tworzoa a podstawe macerzy trasformacj F odpowadających poszczególym czujkom, w 0 (l:6) - macerz charakterystyk odpowadających współrzędym uogóloym; w 0 (l:6)=col{w 01 (jω), w 02 (jω),..., w 06 (jω)} Macerz X buduje sę z daych geometryczych opsujących położee czujków w przyjętym układze współrzędych (rys. 4). W sposób jedozaczy położee czujka moża opsać przez: - trzy współrzęde (,s, ) s określające pukt pracy czujka (środek masy w 1 2 s3 przypadku czujków sejsmczych pukt styku końcówk czujka z merzoą bryłą przy czujkach dotykowych), - dwa kąty (α, β ) określające keruek os pomarowej czujka. (rys. 4). Macerz X tworzy sę a podstawe powyższych daych w astępujący sposób:

z1, z2, z3 X(,4) X(,5) X(,6) X( 1, X(,2) X(,3) = s 2 3 1 = s = s ) = = = z3 z1 z2 z1 z2 z3 s 3 1 2 s s z2 z2 z1 - współrzęde wersora os -tego czujka; z1 z2 = cosα = sα z3 = cos β s β s β (6) (7) węc: W rówau (5) szukaą jest macerz w 0. Po odpowedm przekształceu otrzymuje sę w 0 T 1 T ( X X ) X w = (8) Tak wyzaczoe elemety macerzy w 0 są estymatam charakterystyk odpowadających współrzędym uogóloym ruchu badaej bryły modelowaej SES-em. Otrzymae zostały a podstawe daych z wszystkch 15-tu czujków. Rówae (8) jest rówaem zespoloym. Praktycze oblczea wykouje sę kolejo dla częśc rzeczywstej urojoej: Re( w Im( w T 1 T ( X X ) X Re( ) ) = (9) 0 w T 1 T ( X X ) X Im( ) ) = (10) 0 w Poadto zarówo w jak w 0 są często weloelemetowym tablcam w fukcj ω. Dla wszystkch wartośc ω (odpowadających częstotlwoścom drgań samowzbudych) wykouje sę węc oblczea zgode z zależoścam (9) (10). Jeśl bryła jest sztywa do pomarów e wkradł sę błąd gruby, to wyk oblczeń jest dokłady odwrota trasformacja charakterystyk w 0 do puktów mocowaa czujków powa wykazać zgodość wylczoych z prowadzoym do oblczeń = 0 przy czym: = Xw 0 w (11) Nezerowe wartośc elemetów macerzy ozaczają pojawee sę w oblczeach błędów, które ależy przeaalzować ewetuale wyelmować. Elemety macerzy są

także lczbam zespoloym. Do aalzy przyjmuje sę geometryczą sumę ch rzeczywstej urojoej 2 ( Re ) ( Im ) 2 = + (12) - umer czujka (kaału pomarowego). Po wyzaczeu estymat w 0 tablcy odchyłek przyjmuje sę hpotezę o steu w daych błędu grubego. Błęde wyzaczoa charakterystyka z k-tego czujka powa różć sę od wylczoej a podstawe estymat. Wyraz tablcy o umerze odpowadającym temu czujkow osąge ajwększą wartość. Wśród elemetów tej tablcy ależy węc zaleźć ajwększy (w sese bezwzględym). Następe w rówaach (9) (11) wykreśla sę wersz, którego umer odpowada umerow maksymalego elemetu macerzy powtóre wykouje oblczea. Rozpoczęce oblczeń od podejrzea o błąd gruby mus doprowadzć w efekce do potwerdzea lub odrzucea tej hpotezy. Możlwe jest bowem, że w zależoścach wstępych a w pomarach e popełoo żadego błędu, albo też założee o sztywośc elemetu obrabark zamodelowaego jako SES jest zbyt daleko dącym uproszczeem. Przy opracowywau wyków badań dośwadczalych e są zae rozwązaa dokłade. Ne moża węc wprost rozstrzygąć czy wyk badań są poprawe. W tej sytuacj jako kryterum ocey jakośc wyków badań przyjmuje sę (a tym etape) średą procetową zmaę uormowaych współrzędych uogóloych. Po skreśleu czujka podejrzaego o błąd gruby ależy kotyuować oblczea klkakrote skreślając kolejo czujk wskazae a podstawe tablcy. Przy pętastu czujkach ustawoych a bryle, teoretycze moża skreślć awet dzewęć. Za każdym razem wyzaczoe zostają estymaty uormowaych współrzędych uogóloych. Jedocześe od chwl wykoaa oblczeń z jedym skreśloym czujkem wyzacza sę średą procetową zmaę uormowaych współrzędych ogóloych: z r 6 r r 1 1 w0 w0 = 100% (13) r 1 6 w = 1 0 z r - średa procetowa zmaa uormowaych współrzędych uogóloych, r - wskaźk mówący o lczbe skreśloych czujków, - umer uormowaej współrzędej uogóloej, r w 0 - estymata -tej uormowaej współrzędej uogóloej wyzaczoa po skreśleu r czujków,

r 1 w 0 - estymata -tej uormowaej współrzędej uogóloej wyzaczoa po skreśleu r-1 czujków. Wykoae takch oblczeń w klku teracjach pozwala oceć stablość wyzczoych uormowaych współrzędych uogóloych. Jeśl kolejo wyzaczaa macerz w 0 e zmea sę (lub zmea sę ewele) ależy sądzć, że dae z pomarów są poprawe. Gdy stablzują sę wartośc wyrazów macerzy w 0 po drugej lub trzecej teracj moża uważać, że charakterystyk wyzaczoe w wyku pomarów z uwzględeem skreśloych czujków (jede lub dwa) były obarczoe błędam grubym. Dopero brak stablzacj wyków oblczeń mmo skreślea klku czujków, lub tedecja do skreślaa kolejych czujków z tego samego puktu pomarowego a bryle, może wskazywać a esztywość bryły. Hpoteza taka wa być jedakże dodatkowo sprawdzoa potwerdzoa lub odrzucoa. Poeważ podejrzee o zbyt gruby podzał obrabark a SES-y jest już ostatm etapem oblczeń, odrzucee go mus prowadzć do powtórzea badań lub zlberalzowaa wymagań co do dopuszczalych błędów. Samo stwerdzee braku wystarczającej sztywośc bryły modelowaej SES-em e rozwązuje w sposób zadowalający rozważego zadaa. Wykem oblczeń mus być także formacja o tym w jakej płaszczyźe ów dodatkowy podzał jest wymagay jake wartośc przyjmują uormowae współrzęde uogóloe SES-ów powstałych w wyku tego podzału. Jest to węc astępe zadae, którego sposób rozwązaa zostae przedstawoe w dalszej częśc. Podejrzee o esztywość bryły wyka już z opsaego wyżej etapu oblczeń. W obecym etape przyjmuje sę, że stote tak jest. Na wstępe dokouje sę węc podzału aalzowaej bryły a trzy możlwe sposoby (rys.5) wykouje oblczea "akceptujące" take podzały. Oczywśce skreśloe wcześej czujk w trakce aalzowaa czy e wkradł sę do badań błąd gruby, obece wy być poowe włączoe do oblczeń. Każda z płaszczyz dzelących bryłę a dwe częśc przechodz przez jede z puktów mocowaa czujków. Perwsze trzy pukty mocowaa czujków śwadome zostały tak wybrae by swym położeem określały położee hpotetyczych płaszczyz podzału. Zgode z rysukam 4 5 pukt r 1 wyzacza a bryle położee płaszczyzy podzału Π 1 w keruku os X 1. Pukty r 2 3 odpowedo położee płaszczyzy Π 2 w keruku os X 2 Π 3 w keruku os X 3. W pukce przecęca sę wszystkch płaszczyz defuje sę owy układ współrzędych (0 p X p1 X p2 X p3 ). W tym układze wyzaczae są współrzęde uogóloe ruchu brył powstałych w wyku podzału.

Rys. 5 Zasada podzału bryły sztywej Podzał każdą z płaszczyz sprowadza sę do rozdzelea macerzy trasformacj X oraz w (zależośc (9) (10)) a dwe częśc. Kryterum podzału płaszczyą Π 1 jest wartość współrzędej s 1 w puktach mocowaa czujków. Do bryły perwszej X 1 w 1 ależą czujk, przy których: atomast do drugej X 2 w 2 - czujk, przy których: s1 s 1p (14) s1 s 1p (15) Wyka stąd, że do obu brył zalczoe są czujk, których współrzęde mocowaa spełają waruek: s 1 = s 1p (16) Tak pomyślay rozkład czujków oraz płaszczyz podzału pozwala spełć waruek mmum trzech puktów pomarowych a jedej bryle (połowe) e leżących a jedej prostej przy pętastu czujkach w ogóle uczestczących w pomarach przy wymagau, by dodatkowy podzał brył możlwy był bez powtarzaa badań. W efekce podzału płaszczyzą Π 1 powstają dwa układy rówań: X = (17) 1w 01 w1 X = (18) 2w02 w 2 Rozwązae obu tych układów daje współrzęde uogóloe dwóch brył powstałych w wyku podzału rozważaą płaszczyzą. Są to współrzęde opsae w układze (0 p X p1 X p2 X p3 ).

W aalogczy sposób wprowadza sę podzały dwema pozostałym płaszczyzam. Przy podzale płaszczyzą Π 2 kryterum przyależośc puktów pomarowych do owo utworzoych brył jest wartość współrzędej s 1. Tak węc: s 2 s 2 p pukt pomarowy leży a bryle perwszej, s 2 s 2 p pukt pomarowy leży a bryle drugej. Przy podzale płaszczyzą Π 3 : s pukt pomarowy leży a bryle perwszej, 3 s 3 p s pukt pomarowy leży a bryle drugej. 3 s 3 p By wybrać ajbardzej trafy podzał bryły z trzech zapropoowaych, ależy dla każdego z ch przetrasformować wyzaczoe z rówań (17) (18) estymaty uormowaych współrzędych uogóloych do puktów, w których ustawoo czujk wylczyć różce (zależośc aalogcze do (12) 1 2 przyjęto sumę wszystkch wyrazów macerzy :. Tym razem jako marę poprawośc podzału S( Π L ) = ( 1 + 2 ) = 1 - lczba czujków zajdujących sę a każdej z powstałych w wyku podzału brył, (19) Π L - umer płaszczyzy Π dzelącej badaą bryłę Π 1, Π 2, Π 3 Suma ta mów o jakośc globalego dopasowaa (we wszystkch merzoych puktach) dwóch utworzoych brył do wyków pomarów. Najlepszy podzał (spośród trzech wprowadzoych) to te przy którym suma S( Π ) jest ajmejsza. L Uzupełeem oblczeń w celu potwerdzea poprawośc przyjętego podzału jest poowe uruchomee teracyjego procesu oblczeowego ze skreślaem czujków, jak w hpoteze o błędach grubych. Na obu utworzoych bryłach umeszczoych jest praktycze po 9 czujków (trzy wspóle). Moża węc skreślć z każdej z ch awet dwa (stosując kryterum maksymalego wyrazu w tablcy 1 2 ) po wylczeu macerzy ˆw 01 oraz ˆw 02, oceać stablość oblczeń. Uzyskae małych różc w kolejych teracjach potwerdza słuszość zapropoowaego podzału.

Przebeg ćwczea : Dla wskazaego przez prowadzącego elemetu korpusowego obrabark dokoać pomaru jego ruchu. Na podstawe uzyskaych wyków przeprowadzć trasformację wyzaczyć sześć współrzędych uogóloych ruchu bryły sztywej. Sprawdzć założee o sztywośc bryły.