Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14
Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (tzn. wszystko co w ramach danego eksperymentu morze się zdarzyć) zbiór A ( A Ω) - zbiór zdarzeń spełniajacych "pewien" warunek Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne sa jednakowoprawdopodobne i zbiór Ω jest skończony, to P(A) = A Ω, gdzie oznacza ilość elementów danego zbioru, tzn. Ω - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych A - liczba zdarzeń spełniajacych "pewien" warunek (tzw. sprzyjajacych zdarzeniu A) Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 2 / 14
Własności p-stwa Dla dowolnego A Ω 0 P(A) 1. P( ) = 0, P(Ω) = 1. Jeśli A, B Ω takie, że A B, to P(A) P(B). Dla zdarzeń przeciwnych A i A zachodzi P(A) + P(A) = 1. Dla dowolnych A, B Ω zachodzi P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Dla dowolnych A, B Ω takich że A B = zachodzi P(A B) = P(A) + P(B). Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 3 / 14
Przykład 1a Rzucamy kostka do gry. Obl. p-stwo wyrzucenia parzystej liczby oczek. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6 A = {2, 4, 6}, A = 3 P(A) = A Ω = 3 6. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 4 / 14
Przykład 1b Rzucamy kostka do gry. Obl. p-stwo wyrzucenia parzystej liczby oczek lub liczby oczek większej niż 2. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6 A - parzysta liczba oczek A = {2, 4, 6}, A = 3 B - liczba oczek większa niż 2: B = {3, 4, 5, 6}, B = 4 A B = {4, 6}, A B = 2 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 3 6 + 4 6 2 6 = 5 6. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 5 / 14
Elementy kombinatoryki Do wyliczeń prawdopodobieństw potrzebne będa następujace modele losowań: a) losujemy k spośród n obiektów (0 k n), ale interesuje nas wyłacznie skład a nie kolejność (uporzadkowanie) obiektów. ( ) n n! = k k! (n k)!, gdzie symbol silni definujemy następujaco Dodatkowo 0! = 1 ( ) n = n, 1 ( ) n = 1, n n! = 1 2... n ( ) n = 1. 0 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 6 / 14
Przykład 1 Ilość wyborów 3-osobowej delegacji z grupy 20 osób: ( ) 20. 3 Przykład 2 Ilość wyborów 3-osobowej delegacji z grupy 20 osób (15M+5K), ale takiej by był 1 M i 2 K: ( ) ( ) 15 5. 1 2 Przykład 3 Na ile sposobów można wybrać parę do brydża z 5 osób: ( ) 5. 2 Przykład 4 Na ile sposobów można zakreślić 6 liczb spośród 49 możliwych: ( ) 49. 6 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 7 / 14
b) (tzw. losowanie bez zwracania) losujemy k spośród n obiektów (0 k n), ważna jest kolejność obiektów (wylosowanych obiektów nie zwracamy) n (n 1) (n 2)... (n k + 1) = n! (n k)! c) (tzw. losowanie ze zwracaniem) losujemy k spośród n obiektów, ważna jest kolejność obiektów ale wylosowane obiekty za każdym razem zwracamy n n n... n = n k. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 8 / 14
Przykład Mamy 4 kolory (biały, czarny, zielony i czerwony). Na ile sposobów można pokolorować 5 kartek: Pierwsza kartkę możemy pokolorować na 1 z 4 kolorów, 2-ga kartkę również, itd. zatem 4 4 4 4 4 = 4 5 Przykład Mamy 8 kul w różnych kolorach. Ile jest możliwości wyboru 3 kul spośród nich w taki sposób, by kolory się nie powtarzały (tzn. wylosowanej już kuli nie zwracamy) Losujemy pierwsza kulę, potem druga itd. zatem: 8 7 6 =... Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 9 / 14
Przykład Ile jest liczb 4-cyfrowych t.że a) sa one parzyste, b) maja cyfrę setek równa 7. Zauważmy, że ma być to liczba 4-cyfrowa, zatem cyfra tysięcy nie może być 0. a) jest parzysta: ma być parzysta, zatem cyfra jedności może być jedna spośród {0, 2, 4, 6, 8}, pozostałe - dowolne. 9 10 10 5 =... b) cyfra setek jest 7: (pozostałe - dowolne) 9 1 10 10 =... Przykład Na ile sposobów można ustawić 3-tomowa encyklopedię? Ponieważ każdy tom stoi na innej pozycji, mamy model z losowaniem bez zwracania. 3 2 1 = 3! = 6. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 10 / 14
Zadanie 1 Rzucamy 3 kostkami. Znaleźć p-o zdarzeń : a) ani razu nie wypadła liczba nieparzysta b) na przynajmniej 1 kostce wypadła 4. Zadanie 2 Z cyfr 1,2,3,4,5 wyciagamy losowo dwie. Obliczyć p-o zdarzeń: a) za pierwszym razem wyciagnięto liczbę nieparzysta; b) suma wylosowanych liczb wynosi co najmniej 4. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 11 / 14
Definicja Zdarzenia A i B sa niezależne, gdy P(A B) = P(A) P(B). Własność Gdy A i B - niezależne, to P(A B) = P(A) Uwaga P(A B) oznacza p-stwo warunkowe, które rozumiemy jako odpowiedź na pytanie: ile wynosi p-stwo zdarzenia A jeśli wiemy, że zaszło już zdarzenie B. Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 12 / 14
Przykład Z talii 24 kart losujemy 2 karty. Zbadać, czy niezależne sa zdarzenia: A - wylosujemy 2 karty czerwone, B - wylosujemy parę D + K. Ω = 24 23 A = 12 11 B = 4 4 + 4 4 = 32 (bo może być układ "DK" albo "KD"- ważna kolejność). P(A) = 12 11 24 23 = 11 46, P(B) = 4 4 2 24 23 = 4 44, P(A) P(B) = 69 46 69 A B- wyciagniemy czerwone D+K P(A B) = 2 2 + 2 2 24 23 = 1 69. Ponieważ P(A) P(B) P(A B), to zdarzenia A i B nie sa niezależne (tym samym sa zależne). Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 13 / 14
Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 14 / 14