MATEMATYKA DLA I ROKU GEOLOGII

MATEMATYKA DLA I ROKU GEOLOGII PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Spis treści Literatura. Pojęcia wstępne.. Elementy logiki.. Zbiory liczb i działania na liczbach 3.3. Iloczyn kartezjański 5. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej 6.. Funkcje. Pojęcia wstępne 6.. Funkcje elementarne 8.3. Funkcje złożone i odwrotne.4. Funkcje cyklometryczne 3.5. Ciągi 3.6. Liczba e 6 3. Elementy rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 7 3.. Granica funkcji 7 3.. Pochodna funkcji 0 3.3. Ekstrema lokalne i globalne 3 3.4. Inne zastosowania pochodnej 5 4. Elementy teorii całki Riemanna funkcji jednej zmiennej 5 4.. Miara Jordana 5 4.. Całka Riemanna 7 4.3. Metody obliczania całki Riemanna 8 4.4. Zastosowania całki Riemanna 30 5. Elementy algebry liniowej 33 5.. Macierze. Działania na macierzach 33 5.. Wyznaczniki. Macierze odwrotne 34 5.3. Układy równań liniowych 35 Literatura [ H. Arodź K. Rościszewski Algebra i geometria analityczna w zadaniach Znak Kraków 005. [ G. M. Fichtenholtz Rachunek różniczkowy i całkowy PWN Warszawa 995. [3 P. Kajetanowicz J. Wierzejewski Algebra z geometrią analityczną PWN Warszawa 008. [4 R. Leitner Zarys matematyki wyższej dla studentów WNT Warszawa 997. [5 R. Leitner W. Matuszewski Z. Rojek Zadania z matematyki wyższej WNT Warszawa 99. [6 F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy Państwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 978. [7 W. Krysicki L. Włodarski Analiza Matematyczna w zadaniach PWN Warszawa 978. Date: 8 stycznia 03.

.. Elementy logiki.. Pojęcia wstępne Definicja... Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź orzekającą której można przypisać (w ramach danej nauki) jedną z dwóch ocen: ocenę prawdy (oznaczaną cyfrą ) lub ocenę fałszu (oznaczaną cyfrą 0). Przykład... () 7 jest liczbą pierwszą jest w arytmetyce zdaniem prawdziwym. () 7 jest liczbą parzystą jest w arytmetyce zdaniem fałszywym. (3) 7 jest liczbą szczęśliwą nie jest w arytmetyce zdaniem. Uwaga..3. Logika nie ustala wartości logicznych poszczególnych zdań (czyni to odpowiednia nauka) ale ustala wartość logiczną zdań złożonych na podstawie wartości logicznych zdań składowych. Zadanie..4. Ocenić w ramach matematyki wartość logiczną zdania () jest liczbą pierwszą. () 36 jest kwadratem liczby naturalnej. (3) Każdy trójkąt równoramienny jest prostokątny. (4) Istnieje równoramienny trójkąt prostokątny. (5) Romb jest figurą brzydką. (6) Podziel 6 przez 3! (7) Kwadrat każdej liczby ujemnej jest dodatni. (8) Istnieje liczba ujemna której kwadrat jest dodatni. (9) Czy kwadrat jest prostokątem? Definicja..5. Zdanie nieprawda że p nazywamy zaprzeczeniem (negacją) zdania p i zapisujemy p. Negację charakteryzuje poniższa tabela p p 0 0 Dwa zdania p oraz p nazywamy sprzecznymi. Uwaga..6. Bezpośrednio z definicji wynikają następujące prawa logiki () Prawo sprzeczności: z dwóch zdań p oraz p co najmniej jedno jest fałszywe; () Prawo wyłączonego środka (Tertium non datur): z dwóch zdań p oraz p co najmniej jedno jest prawdziwe; (3) Prawo podwójnego zaprzeczenia: zdania p oraz ( p) mają tę samą wartość logiczną. Zadanie..7. Czy zdania kąt prosty jest mniejszy od 90 oraz kąt prosty jest większy od 90 są sprzeczne? Definicja..8. () Zdanie p i q nazywamy koniunkcją (iloczynem logicznym) zdań p i q i zapisujemy p q. () Zdanie p lub q nazywamy alternatywą (sumą logiczną) zdań p i q i zapisujemy p q. Koniunkcję i alternatywę charakteryzuje poniższa tabela p q p q p q 0 0 0 0 0 0 0 0 Uwaga..9. Bezpośrednio z definicji wynikają następujące prawa logiki () Pierwsze prawo de Morgana : zaprzeczenie koniunkcji dwóch zdań jest równoważne alternatywie zaprzeczeń tych zdań; () Drugie prawo de Morgana: zaprzeczenie alternatywy dwóch zdań jest równoważne koniunkcji zaprzeczeń tych zdań. logik. Augustus De Morgan (ur. 7 czerwca 806 w Maduraju zm. 8 marca 87 w Londynie) angielski matematyk i

Definicja..0. Zdanie jeśli p to q nazywamy implikacją (wynikaniem) o poprzedniku p i następniku q i zapisujemy p q. Implikację charakteryzuje poniższa tabela p q p q 0 0 0 0 0 Uwaga... Bezpośrednio z definicji wynikają następujące prawa logiki () Reguła odrywania: jeśli prawdziwe są wynikanie p q oraz zdanie p to prawdziwe jest zdanie q; () Prawo przechodności implikacji: Jeśli prawdziwe są implikacje p q oraz q r to prawdziwa jest implikacja p r. Zadanie... Ocenić w ramach matematyki wartość logiczną zdania () Nieprawda że jeśli ( ) = ( ) to =. () Jeśli sin(π/6) = / to sin(π/) = /4. (3) Jeśli sin(π/3) = to sin(π/6) = /. (4) Jeśli > to >. (5) Jeśli > to <. Definicja..3. Zdanie p wtedy i tylko wtedy gdy q nazywamy równoważnością i zapisujemy p q. Równoważność charakteryzuje poniższa tabela p q p q 0 0 0 0 0 0 Definicja..4. Zwrot dla każdego nazywamy kwantyfiakatorem dużym i oznaczamy (łac. affirmo=utwierdzam). Zwrot istnieje takie że nazywamy kwantyfiakatorem małym i oznaczamy (łac. eisteo=istnieję). Zadanie..5. Ocenić w ramach matematyki wartość logiczną zdania () R = 0. () R = 0. (3) R y R ( + y) = + y + y. (4) R y R < y. (5) R y R < y. (6) R y R = y. (7) R =. (8) R =. (9) <0 =. (0) <0 =... Zbiory liczb i działania na liczbach. Definicja... Będziemy stosować następujące oznaczenia N := {... } liczby naturalne; Z := { 0... } liczby całkowite; Q := { p q : p q Z q 0} liczby wymierne; R liczby rzeczywiste. Formalna definicja wykracza poza materiał tego kursu. Pierwsze aksjomatyczne definicje R pojawiły się w XIX wieku (Méray (869) Cantor 3 (87) Dedekind 4 (87)). Dla dowolnego zbioru A R niech A + := { A : 0}. Hugues Charles Robert Méray (ur. listopada 835 w Chalon-sur-Saône Saône-et-Loire zm. lutego 9 w Dijon) matematyk francuski. 3 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 845 w Sankt Petersburgu zm. 6 stycznia 98 w sanatorium w Halle) matematyk niemiecki. 4 Julius Wilhelm Richard Dedekind (ur. 6 października 83 w Brunszwiku zm. lutego 96) matematyk niemiecki. 3

Uwaga... Pomiędzy powyższymi zbiorami zachodzą naturalne inkluzje Ponadto np. Z + = {0... }. N Z Q R. Definicja..3. Zbiory liczb oznaczamy wielkimi literami np. A B C; poszczególne liczby zbioru nazywamy jego elementami. Jeśli a jest elementem zbioru A piszemy Jeśli a nie jest elementem zbioru A piszemy a A. a / A. Zbiór nie posiadający żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy. Dla dowolnych zbiorów A B definiujemy ich sumę iloczyn lub część wspólną oraz różnicę A B := { : A lub B} A B := { : A i B} A \ B := { : A i / B}. Definicja..4. Dla dowolnych a b R a < b definujemy przedziały domknięty [a b := { R : a b} otwarty (a b) := { R : a < < b} jednostronnie otwarte (a b := { R : a < b} [a b) := { R : a < b} nieograniczone (a ) := { R : a < } ( b) := { R : < b} i ( ) := R. Przykład..5. Niech A = (0 B = [ ). Wtedy A B = [ A B = (0 ) i A \ B = {}. Zadanie..6. Wyznaczyć A B A B A \ B i B \ A jeśli () A = R B = R () A = Q B = (3) A = Z B = [0 (4) A = ( ) B = { } (5) A = {0} B = (0 ). (6) A = [ 4) B = ( 6. Definicja..7. Dla dowolnej liczby R określamy jej wartość bezwzględną jako { gdy 0 := gdy < 0. Definicja..8. Dla liczb rzeczywistych określamy następujące działania () dodawanie a + b () odejmowanie a b (3) mnożenie a b lub ab (4) dzielenie a : b lub a b przy czym b 0 (5) potęgę a n gdzie liczbę a > 0 nazywamy podstawą a liczbę n N wykładnikiem potęgi określamy wzorami a := a a n+ := a n a n N. Ponadto a 0 := a n := a n n N. Dla każdej liczby a > 0 i każdej liczby n N istnieje dokładnie jedna liczba b > 0 taka że b n = a. Oznaczamy ją przez n a lub a /n i nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n z liczby a. Zwyczajowo piszemy a := a. Dowodzi się że w obrębie liczb rzeczywistych dobrze zdefiniowane jest potęgowanie (.) a a R a > 0. 4

Jeśli Q to potęgę (.) określamy następująco a l/m := ( m a) l a 0 := a l/m := ( m a) l. Odnotujmy że a > 0 dla dowolnych a R a > 0. Ponadto dla dowolnych a b y R a b > 0 zachodzą związki (a) a a y = a +y (b) a a = a y y (c) (a ) y = a y (d) a = a (e) (ab) = a b (f) (a/b) = a /b. (6) Dowodzi się że równanie a = b dla dowolnych a b > 0 a ma dokładnie jedno rozwiązanie względem które oznaczamy przez log a b i nazywamy logarytmem liczby b o podstawie a. Zwyczajowo piszemy log b := log 0 b. Dla dowolnych a b c > 0 c zachodzą związki (a) log c (ab) = log c a + log c b (b) log c (a/b) = log c a log c b (c) log c (a b ) = b log c a (d) log a b = log c b log c a a. Przykład..9. Dla a > 0 a mamy log a a = log a a = log a = 0 log 8 = 3 log 4 =. Twierdzenie..0. Niech a b c R. Wtedy () jeśli a > b to a + c > b + c; () jeśli a > b i c 0 to ac bc; (3) jeśli a > b > 0 i c 0 to a c b c ; (4) a b a ± b a + b ab = a b i a/b = a / b o ile b 0. Zadanie... () Rozwiązać równania i nierówności (a) = 5 (b) < 9 (c) 3 5. () Obliczyć log 4 log 7 3 log 39 log 9 7 log 5 5 log 8 4. (3) Zapisać 5 log 5 3 + 7 log 7 9 w postaci ułamka zwykłego. (4) Obliczyć log abc jeśli log a = log b = 3 log c = 6..3. Iloczyn kartezjański. Definicja.3.. Parą uporządkowaną (a b) nazywamy zbiór {{a} {a b}}. Uwaga.3.. Zauważmy że oznaczenia ograniczonego przedziału otwartego i pary uporządkowanej są identyczne. Zawsze z kontekstu będzie wynikało co mamy na myśli pisząc (a b) jeśli a b R. Zadanie.3.3. Wykazać że dla par uporządkowanych zachodzi równość (a b) = (c d) wtedy i tylko wtedy gdy a = c i b = d. W szczególności ( ) ( ). Definicja.3.4. Iloczynem kartezjańskim niepustych zbiorów A B nazywamy zbiór Piszemy A := A A. Przykład.3.5. Zbiór nazywamy płaszczyzną. Zadanie.3.6. Wyznaczyć zbiory A B jeśli () A = [0 B = [ 4 () A = {0 } B = R (3) A = B = Z A B := {(a b) : a A b B}. R = {( y) : y R} 5

y.0.5.0 0.5 Rysunek. Wykres funkcji g() = 4. (4) A = R B = R + (5) A = R B = {0} (6) A = R + B = [... Funkcje. Pojęcia wstępne.. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej Definicja... Niech X R będzie dowolnym zbiorem niepustym. Funkcją f określoną na zbiorze X o wartościach rzeczywistych (piszemy f : X R) nazywamy przyporządkowanie które każdej liczbie X przypisuje dokładnie jedną liczbę y R (piszemy f() = y lub f y). Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f a elementy dziedziny nazywamy argumentami funkcji f. Dla dowolnego zbioru A X zbiór f(a) := {y R : A : f() = y} nazywamy obrazem zbioru A przez funkcję f. Zbiór f(x) nazywamy obrazem funkcji f (lub zbiorem wartości funkcji f) a jego elementy nazywamy wartościami funkcji f. Wykresem funkcji f : X R nazywamy zbiór Γ(f) := {( y) R : X y = f()}. Definicja... Funkcję f : X R nazywamy różnowartościową jeśli dla dowolnych argumentów X mamy f( ) f( ). Uwaga..3. Funkcja f : X R jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych arumentów X zachodzi implikacja f( ) = f( ) =. Przykład..4. Funkcja f() = R nie jest różnowartościowa bo f( ) = f(). Jej wykresem jest parabola. Funkcja f() = > 0 jest różnowartościowa. Jej wykresem jest prawe ramię paraboli. Uwaga..5. Jeśli funkcję określamy wzorem nie podając jej dziedziny to zakładamy że dziedziną jest zbiór tych argumentów dla których wzór ma sens. Przykład..6. Dziedziną funkcji f() = 4 jest przedział [. Jej wykresem jest górny półokrąg o środku w punkcie (0 0) i promieniu (Rys. ). Uwaga..7. Niech f : X R będzie dowolną funkcją. () Funkcja f jest różnowartościowa jeśli każda prosta pozioma przecina wykres Γ(f) funkcji f w co najwyżej jednym punkcie. () Obrazem funkcji f jest zbiór tych punktów c R dla których prosta pozioma o równaniu y = c przecina wykres Γ(f) w co najmniej jednym punkcie Przykład..8. Funkcja g() = 4 nie jest różnowartościowa a jej zbiorem wartości jest przedział [0. Zadanie..9. Dla poniższych funkcji wyznaczyć dziedzinę zbiór wartości narysować ich wykres oraz sprawdzić czy są różnowartościowe. 6

gdy > 0 () f() = sgn() := 0 gdy = 0 gdy < 0 () g() = := ma{n Z : n } (3) h() = (4) i() = ( + )/( + ) (5) j() = (6) k() = /. (7) l() = (8) m() = /. Definicja..0 (Funkcje monotoniczne). Niech I X. Funkcję f : X R nazywamy rosnącą (lub niemalejącą) w zbiorze I jeśli zachodzi implikacja X < f( ) f( ); malejącą (lub nierosnącą) w zbiorze I jeśli zachodzi implikacja X < f( ) f( ). Funkcje takie nazywamy monotonicznymi w zbiorze I. Funkcję f : X R nazywamy silnie (lub ściśle) rosnącą w zbiorze I jeśli zachodzi implikacja X < f( ) < f( ); silnie (lub ściśle) malejącą w zbiorze I jeśli zachodzi implikacja X < f( ) > f( ). Funkcje takie nazywamy silnie (lub ściśle) monotonicznymi w zbiorze I. Przykład... Funkcja f() = 4 jest silnie rosnąca w przedziale [ 0 silnie malejąca w przedziale [0 a więc w każdym z tych przedziałów jest silnie monotoniczna natomiast w przedziale [ nie jest monotoniczna. Definicja... Jeśli przedział P będący dziedziną funkcji f daje się podzielić na skończoną ilość przedziałów w których funkcja jest monotoniczna to daną funkcję nazywamy przedziałami monotoniczną w przedziale P. Przykład..3. Funkcja f() = 4 jest przedziałami monotoniczna w przedziale [. Uwaga..4. Funkcja stała jest zarazem rosnąca i malejąca. Zadanie..5. Sprawdzić monotoniczność funkcji z Zadania..9. Definicja..6. Funkcję f : X R określoną w takim zbiorze X że X dla dowolnej liczby X nazywamy parzystą jeśli f( ) = f() X; nieparzystą jeśli f( ) = f() X. Przykład..7. Funkcja f() = jest parzysta (Rys. ) ale nie jest nieparzysta natomiast funkcja f() = 3 jest nieparzysta ale nie jest parzysta (Rys. 3). Jedyną funkcją jednocześnie parzystą i nieparzystą jest funkcja zerowa (h() = 0 X). Zadanie..8. () Sprawdzić parzystość i nieparzystość funkcji z Zadania..9. () Wykazać że każdą funkcję f : R R można zapisać jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej. Definicja..9. Funkcję f : X R nazywamy okresową gdy istnieje stała c 0 taka że + c X dla dowolnej liczby X przy czym f( + c) = f(). Liczbę c nazywamy okresem danej funkcji. Przykład..0. Funkcja f() = jest funkcją okresową o okresie. Definicja... Dla danych funkcji f : X R g : X R określamy ich () sumę f + g : X R (f + g)() := f() + g() 7

4 y 3 Rysunek. Wykres funkcji f() =..0 y 0.5.0 0.5 0.5.0 0.5.0 Rysunek 3. Wykres funkcji f() = 3. () różnicę f g : X R (f g)() := f() g() (3) iloczyn fg : X R (fg)() := f()g() (4) iloraz f/g : X R (f/g)() := f()/g() gdzie X = { X : g() 0}... Funkcje elementarne. Definicja... Funkcję postaci (.) f() = a n n + a n n + + a + a 0 R gdzie a n... a 0 R a n 0 n Z + nazywamy wielomianami. Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu (.). Przykład... () Każdy wielomian stopnia zerowego f() = a 0 lub pierwszego f() = a + a 0 nosi nazwę funkcji liniowej. Jego wykres jest linią prostą. () Wielomian stopnia drugiego f() = a + a + a 0 nosi nazwę funkcji kwadratowej lub trójmianu kwadratowego. Jego wykres jest parabolą (Rys. ) o wierzchołku ( a /a /4a ) gdzie wyrażenie := a 4a a 0 nazywane jest wyróżnikiem danej funkcji kwadratowej. Ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od znaku. Jeśli < 0 to dana funkcja nie ma miejsc zerowych. Mówimy wtedy że trójmian kwadratowy jest nierozkładalny. Jeśli = 0 to dana funkcja ma jedno podwójne miejsce zerowe 0 := a /a. Mamy wtedy rozkład y = a ( 0 ). Jeśli > 0 to dana funkcja ma dwa miejsca zerowe := ( a )/a := ( a + )/a. Mamy wtedy rozkład y = a ( )( ). (3) Każdy wielomian rozkłada się na czynniki będące wielomianami pierwszego stopnia bądź nierozkładalnymi trójmianami kwadratowymi np. f() = 3 + = ( + )( + ) g() = 4 + = ( + + )( + ). Wykres funkcji f() = 3 przedstawia Rysunek 3. Zadanie..3. () Rozwiązać równania i nierówności (a) 7 > 8 (b) + < 8

y 3 3 3 3 y 5 4 3 4 4 Rysunek 4. Wykresy funkcji f() = i g() =. (c) 4 + 5 6 > 0 (d) 5 = (e) 4 + 4 3 8 + 9 = 0 (f) (g) 5 4 + 3 0 (h) 3 < + +. () W jakich przedziałach funkcja f() = ( + )( )( 3) jest (a) dodatnia (b) większa od 6? Definicja..4. Funkcję f() = w () w () R \ { R : w () 0} gdzie w w są wielomianami nazywamy funkcją wymierną. Przykład..5. Funkcjami wymiernymi są np. Wykresem funkcji f() = lewej). Zadanie..6. Rozwiązać równania i nierówności () + 5 (5+) = 74 49 () 3 + = 6 ( + ) 3 (3) = (4) + > + 4 (5) 5+6 < 0 3 (6) <. + f() = g() = + 4. jest hiperbola o asymptotach na osiach współrzędnych (Rysunek 4 po Definicja..7. Miara łukowa kąta jest to miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu. Jednostką tak zapisanego kąta jest radian ( rad). Z definicji wynika że wymiarem radiana jest jedność. Uwaga..8. Miara łukowa kąta mającego α stopni wyraża się wzorem = π 80 α. W szczególności α 0 30 45 60 90 80 70 360 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π Definicja..9. Niech P = ( p y p ) będzie punktem okręgu o środku w punkcie (0 0) i promieniu. Jeśli jest miarą łukową kąta skierowanego pomiędzy dodatnią półosią a promieniem przechodzącym przez punkt P to sin := y p cos := p R. 9.

y.0 0.5 0.5.0 3 4 5 6 Rysunek 5. Wykres funkcji sin i cos (linia przerywana). Funkcje sin (odp. cos) nazywamy sinusem (odp. kosinusem). Uwaga..0. () Dziedziną funkcji sin i cos jest zbiór R zaś ich zbiorem wartości przedział [. () Funkcje sin i cos są okresowe ich okresem podstawowym jest liczba π (Rysunek 5) czyli sin( + π) = sin cos( + π) = cos. (3) Funkcja sin jest nieparzysta tj. sin( ) = sin natomiast funkcja cos jest parzysta tj. cos( ) = cos. (4) Funkcje sin i cos rozpatrywane w dowolnym przedziale ograniczonym są przedziałami monotoniczne. (5) Zachodzą wzory (a) sin + cos = (b) sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y (c) cos( ± y) = cos cos y sin sin y. Zadanie... Rozwiązać równania i nierówności () sin = sin () cos = + cos (3) 4 cos 3 (4) sin > cos. Definicja... Funkcję tg := sin { R : cos 0} cos nazywamy tangensem zaś funkcję ctg := cos { R : sin 0} sin nazywamy kotangensem. Uwaga..3. () Funkcja tg określona jest w przedziałach (k )π < < (k + )π k Z zaś funkcja ctg określona jest w przedziałach kπ < < (k + )π k Z. () Ich zbiorem wartości jest zbiór R. (3) Funkcje tg i ctg są okresowe. Ich okresem podstawowym jest liczba π (Rysunek 6) tj. (4) Funkcje tg i ctg są nieparzyste tj. (5) Zachodzi związek tg( + π) = tg ctg( + π) = ctg. tg( ) = tg ctg( ) = ctg. tg = ctg π + kπ k Z. Zadanie..4. Rozwiązać równania i nierówności () tg = 3 () ctg = tg (3) tg( ). Definicja..5. Funkcje sin cos tg i ctg nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. 0

y y 6 6 4 4 4 6 8 4 6 8 4 4 6 6 Rysunek 6. Wykresy funkcji tg i ctg. 8 y 6 4 3 3 Rysunek 7. Wykres funkcji f() =. Definicja..6. Niech a > 0 a. Funkcję (.3) a R nazywamy funkcją wykładniczą. Uwaga..7. () a > 0 R. () Gdy a > funkcja (.3) jest silnie rosnąca bo dla > mamy a > a. (3) Gdy a < funkcja (.3) jest silnie malejąca bo dla > mamy a < a. Przykład..8. Wykres funkcji f() = przedstawia rysunek 7. Zadanie..9. Rozwiązać równania i nierówności () 3+5 4 > 0 () 3 < ( 3) (3) ( ) 4 ( 7 ) 9 8 3 (4) ( 6 + 9) +3 < (5) 4 + 6 = 0 (6) 8 + 8 7 = 0 (7) >. Definicja..0. Niech a > 0 i a. Funkcję (.4) log a > 0 nazywamy funkcją logarytmiczną. Uwaga... () Gdy a > funkcja (.4) jest silnie rosnąca bo dla > mamy log a > log a. () Gdy a < funkcja (.4) jest silnie malejąca bo dla > mamy log a < log a. Przykład... Wykres funkcji f() = log przedstawia rysunek 8. Zadanie..3. Rozwiązać równania i nierówności () ( ) log + ( 5 > 5 ) log 3 4 +3 () log log 5 > 0

y 3 4 5 3 (3) log ( log 8 3 ) 0 (4) log +3 > (5) log(log ) + log(log ) = (6) log 5 5 5 4 = log 5 (7) log ( + 4) + log ( + ) 6..3. Funkcje złożone i odwrotne. Rysunek 8. Wykres funkcji f() = log. Definicja.3. (Funkcja złożona). Niech X Y R będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Niech będą dane funkcje (.5) f : X R g : Y R takie że f(x) Y. Funkcję (.6) (g f)() := g(f()) X nazywamy funkcją złożoną z funkcji (.5). Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną a g funkcją zewnętrzną złożenia (.6). Przykład.3.. () h() = 4 jest funkcją złożoną z funkcji g(y) = y i f() = 4. () h() = a 3 jest funkcją złożoną z funkcji g(y) = a y i f() = 3. (3) h() = log(a + b + c) jest funkcją złożoną określoną w zbiorze { R : a + b + c > 0}. Zadanie.3.3. () W jakich przedziałach jest określona funkcja (a) f() = 3 4 (b) f() = log sin? () Wyznaczyć f f f g g f i g g oraz dziedziny tych funkcji jeśli (a) f() = sin g() = (b) f() = g() = (c) f() = log 3 g() = tg (d) f() = 3 g() = +. (3) Zapisać jako złożenie dwóch lub więcej funkcji następujące funkcje złożone (a) f() = log + sin + (b) f() = sin (c) f() = sin ( ) (d) f() = 33 + (e) f() = log 3 (cos( 3)). Definicja.3.4 (Funkcja odwrotna). Niech funkcja (.7) f : X R będzie funkcją różnowartościową. Funkcję (.8) g : f(x) R nazywamy odwrotną względem funkcji (.7) jeśli i oznaczamy f := g. (g f)() = X (f g)(y) = y y f(x).

Uwaga.3.5. Funkcją odwrotną względem funkcji (.8) jest funkcja (.7). Twierdzenie.3.6. Każda funkcja f silnie rosnąca (lub silnie malejąca) w przedziale I jest różnowartościowa. W szczególności ma funkcję odwrotną określoną na zbiorze f(i). Przykład.3.7. () Funkcja f() = n dla n N jest silnie rosnąca w przedziale [0 ) i przybiera wszystkie wartości nieujemne; funkcją względem niej odwrotną jest f () = n dla 0. () Gdy n jest nieparzyste funkcja f() = n jest silnie rosnąca w przedziale ( ) i przybiera wszystkie wartości rzeczywiste (zob. Rysunek 3); funkcja do niej odwrotna to { n gdy 0 f () = n. gdy < 0 (3) Funkcja f() = a gdzie a > jest silnie rosnąca i dodatnia w R i przybiera wszystkie wartości dodatnie; funkcją odwrotną jest f () = log a > 0. Uwaga.3.8. Niech f będzie funkcją posiadającą funkcję odwrotną. Jeśli dziedziny obu tych funkcji umieścimy w prostokątnym układzie współrzędnych na jednej osi (np. osi ) to wykresy Γ(f) i Γ(f ) będą wzajemnie symetryczne w symetrii względem prostej y =..4. Funkcje cyklometryczne. Funkcje trygonometryczne (.9) sin cos tg ctg są silnie monotoniczne odpowiednio w przedziałach [ π ( π [0 π π ) π (0 π) przy czym funkcje sin i tg są silnie rosnące a cos i ctg silnie malejące. Wobec tego istnieją funkcje względem nich odwrotne. Definicja.4.. Funkcje odwrotne względem funkcji (.9) nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub (kołowymi) i oznaczamy je odpowiednio (.0) arc sin arc cos arc tg arc ctg. Wartości dwóch pierwszych funkcji (.9) wypełniają przedział [ a dwóch ostatnich przedział ( + ) zatem funkcje cyklometryczne (.0) są określone odpowiednio na przedziałach [ [ ( + ) ( + ). Wykresy funkcji kołowych podaje Rysunek 9. Uwaga.4.. Między funkcjami cyklometrycznymi zachodzą następujące związki () arc sin + arc cos = π () arc tg + arc ctg = π (3) arc ctg = arc tg > 0 (4) arc ctg = π + arc tg < 0..5. Ciągi. Definicja.5.. () Ciąg jest to funkcja f : N R. Wartość f(n) dla argumentu n nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez a n zaś sam ciąg przez (a n ) lub (a n ) n= lub (a n ) n N. () Liczbę S n := a + + a n nazywamy sumą n początkowych wyrazów ciągu liczbowego (a n ). Przykład.5.. () Ciąg ( n ) n= nazywamy ciągiem harmonicznym. () Ciąg (n) n= nazywamy ciągiem naturalnym. (3) Ciąg (( ) n ) n= jest przykładem ciągu naprzemiennego. (4) Ciąg (a + (n )d) n= a d R nazywamy ciągiem arytmetycznym o różnicy d. (5) Ciąg (aq n ) n= a q R nazywamy ciągiem geometrycznym o ilorazie q. (6) Ciąg (a n ) n= określony rekurencyjnie a = 0 a = a n = a n + a n n 3 3

y y.5 3.0.0.5 Out[5= 0.5.0 0.5 0.5.0.0.5 0.5.0.0 0.5.5.0 0.5 0.5.0 y.0 0.5 6 4 0.5 4 6.0 y 4.5 4.0 3.5 3.0.5 6 4 4 6 Rysunek 9. Wykresy funkcji odpowiednio arc sin arc cos arc tg i arc ctg. nazywamy ciągiem Fibonacciego 5. Ciąg ten pojawia się w wielu modelach przyrodniczych np. w drzewie pszczół. Rozważmy rodowód samca pszczoły. Każdy samiec (znany także jako truteń) jest spłodzony bezpłciowo z samicy (znanej również jako królowa). Jednak każda samica ma dwoje rodziców samca i samicę. Truteń ma jednego dziadka i jedną babcię jednego pradziadka i dwie prababcie. Ma dwóch prapradziadków i trzy praprababcie. W ogólności łatwo sprawdzić przez indukcję że ma dokładnie a n+ pra n -dziadków i a n+3 pra n -babć. Twierdzenie.5.3. Niech (a n ) będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy d. Wtedy S n = a + (n )d n n N. Twierdzenie.5.4. Niech (a n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Wtedy { na gdy q = S n = q a n n N. q gdy q 5 Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 75 r. zm. 50 r.) włoski matematyk. Znany jako: Leonardo Fibonacci Filius Bonacci (syn Bonacciego) Leonardo Pisano (z Pizy). 4

Definicja.5.5 (Granica ciągu). Mówimy że ciąg (a n ) ma granicę g R jeśli ε>0 n0 N n>n0 a n g < ε (wyrazy a n ze wzrostem wskaźnika n zbliżają się do liczby g) co zapisujemy a n g gdyn lub lim n a n = g. Czasem dla wygody piszemy a n g lub lim a n = g. Przykład.5.6. () lim n n = 0. () lim n ( n ) =. (3) Ciągi ( n) n= i (( ) n ) n= nie mają granicy. Definicja.5.7 (Granica niewłaściwa ciągu). Mówimy że ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą + (odp. ) jeśli M>0 n0 N n>n0 a n > M (odp. M>0 n0 N n>n0 a n < M) (wyrazy a n ze wzrostem wskaźnika n zbliżają się do + (odp. ) g) co zapisujemy a n ± gdyn lub lim n a n = ±. Czasem dla wygody piszemy a n ± lub lim a n = ±. Przykład.5.8. () lim n n = +. () lim n (n n ) =. (3) Ciąg (( n) n ) n= nie ma granicy (nawet niewłaściwej). Twierdzenie.5.9. Jeśli a n a i b n b to () (a n + b n ) a + bo ile a + b () (a n b n ) a b o ile a b (3) (a n b n ) ab o ile ab 0 (4) (a n /b n ) a/b o ile a/b / i b 0 b n 0 dla n N. Przykład.5.0. () Ponieważ c c i n 0 więc c n c 0 = 0. Podobnie n n = n n 0 0 = 0. Ogólnie 0 dla k N. n k () 5 + 3 n n 5 + 0 0 = 5. (3) n 7 3n+ n 7 3 bo 3n+ = 7/n 3+/n oraz 7 n i 3 + n 3. (4) 3n3 n+4 5n 3 n 3 5 bo 3n3 n+4 5n 3 n = 3 /n +4/n 3 5 /n oraz licznik dąży do 3 a mianownik do 5. Zadanie.5.. Obliczyć granice ciągów () lim n 4n 3 6 5n () lim n n 3 4n 6n+3n n 3 (3) lim n (n ) (4n )(3n+) n (4) lim n 3 n 0 (5) lim n ( n 3 3n+ ) ( (6) lim n+3) n n+ n 0 (7) lim n 3 5n 0n (8) lim n 3n+5 (9) lim +n +4n n 3 n (0) lim n n 8n+0 () lim n n 3 n 3 + () lim n 4n +7n n (3) lim n n + n n (4) lim n 3n + n 5 n 3 (5) lim n 3 n 3 + 4n n (6) lim n 3 3 n 3 + 5n 7 5 0 bo

5 3 (7) lim n n 4 9 n +7 8 (8) lim n n 7 n+ (9) lim n (n 3 3n + 0n 0) n (0) lim n n () lim n n 3n 5 n () lim n ( n). Twierdzenie.5.. Niech (a n ) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Wtedy ciąg (S n ) ma granicę S wtedy i tylko wtedy gdy q <. W takim przypadku nazywamy sumą nieskończoną ciągu (a n ). S = a q Przykład.5.3. Obliczyć sumę + + 4 +.... Jest to suma nieskończona S ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym a = i ilorazie q =. Zatem S = =. Zadanie.5.4. Obliczyć sumę () + 3 9 + 7... () 4 3 + 9 4 7 6 +.....6. Liczba e. Liczba e pojawia się w naturalny sposób w wielu matematycznych modelach opisujących zjawiska ekonomiczne fizyczne czy chemiczne podczas gdy liczba π jest niezbędna w geometrii tak podstawowych zbiorów jak koło. Liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach aniżeli bardziej znana liczba π. W starożytności nie znano jej pojawiła się dopiero w XVI wieku za sprawą Napiera 6 który ułożył tablice logarytmów bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy bowiem wymyślono aby zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat cudowna własność logarytmów dzięki której z pomocą tablic lub dwóch linijek z logarytmiczną skalą można było dodawać zamiast mnożyć ułatwiała astronomom życie. Dziś w epoce komputerów zastosowanie logarytmów do monożenia ma mniejsze znaczenie praktyczne. Dowodzi się że Twierdzenie.6.. Ciąg (( + n )n ) n= jest zbieżny. Definicja.6.. ( e := lim + n. n n) e jest liczbą niewymierną i niealgebraiczną. W 873 roku Hermite 7 pokazał że e jest przestępna. W przybliżeniu e.78 8 88 459 045 35 360 87... Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera oznaczenie e wprowadził w 736 roku Euler 8 który badał różne liczby i oznaczał je literami alfabetu. Na tę liczbą wypadło akurat e. Liczbę e można otrzymać także jako wynik sumy szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych e = n=0 n! = + + + 6 + 4 + 0 +... Im większe weźmiemy n tym dokładniejsze przybliżenie otrzymamy. Wzór ten bardzo szybko daje dobre przybliżenia dla n = 0 otrzymujemy dokładną wartość liczby e do piątej cyfry po przecinku. 6 John Napier Lord of Merchiston (ur. 550 zm. 4 kwietnia 67) szkocki właściciel ziemski antypapista matematyk odkrywca logarytmów. W 64 rozpowszechnił podany przez swego znajomego Josta Burgiego sposób budowy tablic umożliwiających mnożenie liczb za pomocą dodawania innych liczb odpowiednio z danymi powiązanych czyli czegoś co jest bardzo pokrewne dzisiejszym logarytmom. Właściwe logarytmy dziesiętne zostały wprowadzone przez Henry ego Briggsa. Logarytmy Napiera powiązane były ze zwykłymi logarytmami naturalnymi wzorem Nap() = 6 8 957 0 ln. Oprócz tablic logarytmów Napier zajmował się też układaniem tablic funkcji trygonometrycznych. Zapoczątkował współczesną notację ułamków (tzw. kropka dziesiętna). 7 Charles Hermite (ur. 4 grudnia 8 zm. 4 stycznia 90) matematyk francuski. 8 Leonhard Euler (ur. 5 kwietnia 707 w Bazylei zm. 8 września 783 w Petersburgu) szwajcarski matematyk i fizyk. 6

y 4 3.5.0 0.5 0.5.0.5 Rysunek 0. Wykres funkcji f() = + +. Przykład.6.3. () Liczbę Napiera można spotkać w bankowości. Inwestując pewną sumę pieniędzy w banku na p% po roku zwiększamy jej wartość i tak dla zainwestowanej złotówki mamy (+p/00) złotych. Po n latach wzrasta do (+p/00) n złotych. Mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam ogromną stopę procentową sto procent. Zainwestowaliśmy więc wszystkie nasze oszczędności oznaczmy je przez. Po roku będziemy bogatsi podwoimy nasz wkład otrzymamy. Jest jednak możliwość otrzymania swoich odsetek w dowolnym czasie i ponownego ich zainwestowania. Jeśli odbierzemy odsetki po sześciu miesiącach i ponownie je zainwestujemy to po roku otrzymamy (+/) = 5. Odbierając odsetki kwartalnie jeszcze bardziej zwiększamy nasz zysk po roku mielibyśmy ( + /4) 4 = 44. Miesięczne pobieranie odsetek i ponowne inwestowanie wzbogaca nas jeszcze bardziej: ( + /) = 5996. Potem codziennie znowu więcej co minutę sekundę jeszcze więcej. Można nabrać podejrzeń że zmniejszając odpowienio okres pomiędzy kapitalizacjami odsetek możemy stać się dowolnie bogaci. Nic z tego nasze procenty składane mogą się mnożyć ale przy końcu tj. w przypadku gdy okresy pomiędzy kapitalizacjami zbiegają do zera (tzw. kapitalizacja ciągła) otrzymamy dokładnie wartość liczby e czyli około 78. () Funkcję wykładniczą e można odnaleźć w przyrodzie i w społeczeństwie gdzie odwzorowuje np. rozwój rośliny rozwój danej populacji. Ogólnie jeśli stopień rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju ze współczynnikiem proporcjonalności to mamy do czynienia z funkcją wykładniczą o podstawie e. Definicja.6.4. ln := log e nazywamy logarytmem naturalnym. 3. Elementy rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 3.. Granica funkcji. Niech funkcja f : D R będzie określona przynajmniej z jednej strony punktu 0 R. W samym punkcie 0 funkcja może być określona lub nie. Definicja 3... Funkcja f ma w punkcie 0 granicę g co zapisujemy jeśli lim f() = g 0 ε>0 δ>0 D 0 < 0 < δ f() g < ε (wartości funkcji f() zbliżają się do g gdy wartości zbliżają się do 0 ). Przykład 3... () Funkcja f() = 3 określona). Istotnie zauważmy że f() = ( )( + + ) ma w punkcie granicę 3 (choć nie jest w tym punkcie = + + więc jeśli to f() = + + + + = 3 (Rysunek 0). () Funkcja sin nie ma granicy w 0 (Rysunek ) bo jeśli n = nπ to n 0 gdy n ale sin n = sin nπ nie ma granicy bo { sin nπ = 0 dla n parzystych ± dla n nieparzystych. 7

.0 y 0.5.0 0.5 0.5.0 0.5.0 Rysunek. Wykres funkcji f() = sin. y.0 0.5 3 3 0.5.0 Rysunek. Wykres funkcji f() =. 4 y 3 3 3 Rysunek 3. Wykres funkcji f() = /. Definicja 3..3 (Granica jednostronna). Funkcja f : D R ma w punkcie 0 granicę prawostronną g co zapisujemy lim f() = g + 0 jeśli ε>0 δ>0 D 0 < 0 < δ f() g < ε (wartości funkcji f() zbliżają się do g gdy wartości zbliżają się do 0 z prawej strony). Analogicznie określamy granicę lewostronną lim f(). 0 Uwaga 3..4. Funkcja f określona po obu stronach punktu 0 ma w punkcie 0 granicę wtedy i tylko wtedy gdy obie granice jednostronne w punkcie 0 istnieją i są równe. Przykład 3..5. () Funkcja f() = określona z obu stron punktu 0 ma w 0 granice jednostronne ale nie ma granicy (Rysunek ) bo lim 0 = lim 0 + =. () Funkcja g() = / określona z obu stron punktu 0 ma w 0 granicę lewostronną ale nie ma granicy prawostronnej (Rysunek 3) bo lim 0 / = 0 8 lim / =. 0 +

Definicja 3..6 (Funkcja ciągła). Funkcję f określoną w otoczeniu punktu 0 nazywamy ciągłą w punkcie 0 jeśli posiada w nim granicę równą swej wartości w tym punkcie tj. lim f() = f( 0 ). 0 Funkcję nazywamy ciągłą jeśli jest ciągła w każdym punkcie dziedziny. Wykres funkcji ciągłej określonej w przedziale nazywamy krzywą. Przykład 3..7. () Funkcja f() = sgn() jest ciągła w każdym punkcie 0 ale nie jest ciagła w punkcie = 0. () Funkcje elementarne są ciągłe. (3) Suma różnica iloczyn iloraz oraz złożenie funkcji ciągłych są ciągłe. Definicja 3..8 (Granica niewłaściwa). Funkcja f ma w punkcie 0 granicę niewłaściwą co zapisujemy lim f() = 0 jeśli M>0 δ>0 D 0 < 0 < δ f() > M (wartości funkcji f() dążą do gdy wartości zbliżają się do 0 ). Analogicznie określamy granicę niewłaściwą. Jak przy granicach zwykłych można mówić o granicy niewłaściwej prawostronnej lim + f() i lewostronnej lim 0 f(). 0 Jeśli funkcja f() ma w punkcie 0 granicę niewłaściwą to prostą = 0 nazywamy asymptotą pionową danej funkcji. Przykład 3..9. () lim 0 = (Rysunek 4) () lim π/ tg = (Rysunek 6) (3) lim π/ + tg = (Rysunek 6) (4) lim 0 + log = (Rysunek 8). Uwaga 3..0. Aby obliczyć granicę funkcji wymiernej gdy 0 wstawiamy do licznika i mianownika wartość = 0 i jeśli działanie ma sens wynik jest szukaną granicą. Jeśli punkt 0 jest miejscem zerowym licznika i mianownika rozkładamy licznik i mianownik na czynniki i skracamy w ułamku czynnik ( 0 ). Zadanie 3... () Obliczyć granice (a) lim + + 3 (b) lim 4 (c) lim 4 + (d) lim 3 7 3 3 (e) lim + (f) lim 5 3 +5 50 3 (g) lim +5 4 +9+. () Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji (a) f() = (b) f() = (c) f() = + +. Definicja 3.. (Granica w nieskończoności). Mówimy że funkcja f : (a ) R ma granicę g gdy co zapisujemy lim f() = g jeśli ε>0 N>0 >N f() g < ε (wartości funkcji dążą do g gdy wartości rosną do ). Analogicznie określamy lim f() = g. Granica g może być właściwa lub niewłaściwa. Jeśli granica g jest właściwa to mówimy że prosta y = g jest asymptotą poziomą prawostronną (lub lewostronną) funkcji f(). Przykład 3..3. () lim = 0 i lim = 0 (Rysunek 4). () lim = lim ( ) =. 9

y 4 4 4 Rysunek 4. Wykres funkcji f() = 3 +3 i jej asymptota ukośna y =. (3) lim = 0 lim = (Rysunek 7). (4) lim sin nie istnieje bo np. nπ natomiast sin nπ nie ma granicy bo przybiera na przemian wartości 0 i. Uwaga 3..4. Aby obliczyć granicę funkcji wymiernej gdy ± dzielimy licznik i mianownik przez w najwyższej potędze mianownika. Zadanie 3..5. Obliczyć granice () lim 4 3 5+6 7 () lim +7 4 (3) lim 4 3 (4) lim 3 3 ( )(+). Definicja 3..6. Jeśli lim (f() (a + b)) = 0 (odp. lim (f() (a + b)) = 0) to prostą y = a + b nazywamy asymptotą ukośną prawostronną (odp. lewostronną). Uwaga 3..7. Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej (a = 0). Twierdzenie 3..8. Jeśli y = a + b jest asymptotą ukośną dla f to f() a = lim ± b = lim (f() a). ± Funkcja nie ma asymptoty ukośnej jeśli choć jedna z tych granic nie istnieje. Przykład 3..9. () Funkcja f() = 3 +3 ma asymptotę ukośną y = (Rysunek 4) f() bo lim ± = oraz lim ± (f() ) =. () Funkcja f() = 3 3 f() nie ma asymptoty ukośnej bo lim ± = ±. Zadanie 3..0. Wyznaczyć asymptoty funkcji () f() = () f() = + (3) f() = ++. 3.. Pochodna funkcji. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu 0. Weźmy w tym otoczeniu dowolną liczbę 0. Definicja 3... Różnicę 0 nazywamy przyrostem zmiennej różnicę f( ) f( 0 ) nazywamy przyrostem wartości funkcji f a iloraz przyrostów f( ) f( 0 ) (3.) 0 nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami 0 a. Uwaga 3... Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej (3.) y f( 0 ) = f( ) f( 0 ) 0 ( 0 ) przechodzącej przez wykres Γ(f) w punktach A = ( 0 f( 0 )) i B = ( f( )) do dodatniej półosi (Rysunek 5). 0

y 5 0 5 Α B s A C 3 4 Rysunek 5. Wykres siecznej przechodzącej przez punkty A i B i stycznej s. y 3.0.5.0.5.0 0.5 3 3 Rysunek 6. Wykres funkcji f() =. Definicja 3..3. Jeśli iloraz różnicowy (3.) ma granicę gdy przyrost h = 0 zmiennej dąży do zera to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie 0 i oznaczamy (3.3) f f( ) f( 0 ) f( 0 + h) f( 0 ) ( 0 ) = lim = lim. 0 0 h 0 h Funkcja nie ma pochodnej w punkcie 0 jeśli granica (3.3) nie istnieje. Funkcję mającą pochodną w każdym punkcie dziedziny nazywamy różniczkowalną. Twierdzenie 3..4. Fukcja różniczkowalna jest ciągła. Przykład 3..5. () f() =. Mamy f ( + h) h + h () = lim = lim = lim ( + h) = h 0 h h 0 h h 0 zatem funkcja f ma w każdym punkcie pochodną f () =. () f() =. Mamy f ( + h) h () = lim = lim h 0 h h 0 h = zatem funkcja f ma w każdym punkcie pochodną równą f () =. (3) Funkcja f() = nie ma pochodnej w punkcie 0 (Rysunek 6) bo granica ilorazu różnicowego nie istnieje. Istotnie lim h 0 + 0 + h 0 h lim = lim h 0 h h 0 h h h = a lim h 0 h h =. Uwaga 3..6 (Interpretacja geometryczna pochodnej). Gdy h 0 punkt B zbliża się do punktu A (Rysunek 5) a sieczna (3.) obraca się dookoła punktu A. Jej wpółczynnik nachylenia dąży do granicy f ( 0 ) zatem sieczna zbliża się od prostej przechodzącej przez punkt A o równaniu (3.4) y f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ). Prostą (3.4) nazywamy styczną do wykresu funkcji f() w punkcie A. Wynika stąd że pochodna funkcji w punkcie równa jest tangensowi kąta jaki tworzy styczna do wykresu funkcji w danym punkcie z dodatnią półosią.

Zadanie 3..7. Wyznaczyć styczną do paraboli y = w punkcie o współrzędnej =. Twierdzenie 3..8 (Pochodne funkcji elementarnych). Funkcje elementarne są różniczkowalne oraz ( n ) = n n (a ) = a ln (log a ) = ln a (sin ) = cos (cos ) = sin (tg ) = cos (ctg ) = sin (arc sin ) = (arc cos ) = (arc tg ) = + (arc ctg ) = +. Twierdzenie 3..9 (Pochodne sumy różnicy iloczynu i ilorazu). Suma różnica iloczyn i iloraz funkcji różniczkowalnych u i v są różniczkowalne oraz ( u ) (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv u v uv = v v. W przypadku ilorazu zakładamy że v() 0. Przykład 3..0. () Jeśli f() = const to f () = 0. () Jeśli c R to (cu()) = cu (). (3) ( 3 + ) = 3 +. (4) ( 5 3 + 7 4) = 5 4 6 + 7. (5) ( ) = ( ) ( ) = ( ). (6) (sin cos ) = cos sin = cos. Twierdzenie 3.. (Pochodna funkcji złożonej). Niech funkcja f ma pochodną w punkcie a funkcja g ma pochodną w punkcie f(). Wtedy funkcja złożona g f ma pochodną w punkcie wyrażoną wzorem (3.5) (g f) () = g (f())f (). Przykład 3... (3.5) () h() = ( ) 5. Oznaczając f() = otrzymujemy na mocy wzoru h () = 5(f()) 4 = 0( ) 4. () h() = +. Oznaczając f() = + otrzymujemy h () = Zadanie 3..3. Obliczyć pochodne funkcji () f() = 3 6 + 5 () f() = e (3) f() = sin(5 3) (4) f() = ( 3 ) (5) f() = e 4 (6) f() = sin cos (7) f() = ( ) 3 (8) f() = ln( 4) (9) f() = ln(sin ) (0) f() = + () f() = ln a +a () f() = / + /3 (3) f() = (ln ) (4) f() = 4 + 3 (5) f() = ln + a (6) f() = (7) f() = ln(ln ). f() =. +

y.5 A.0 0.5 B 0.5.0.5.0.5 3.0 Rysunek 7. Maksimum lokalne w punkcie A i minimum lokalne w punkcie B. y 3 3 4 Rysunek 8. Wykres funkcji f() = 3 3. 3.3. Ekstrema lokalne i globalne. Jednym z zastosowań pochodnej jest wyznaczanie przebiegu zmienności funkcji. Twierdzenie 3.3. (Monotoniczność funkcji). Funkcja o pochodnej w danym przedziale równej zero jest w tym przedziale stała; nieujemnej (przy czym liczba punktów w którch pochodna może się zerować jest co najwyżej skończona) jest w tym przedziale silnie rosnąca; niedodatniej (przy czym liczba punktów w którch pochodna może się zerować jest co najwyżej skończona) jest w tym przedziale silnie malejąca. Przykład 3.3.. f() = 3 3 f () = 3 6 = 3( ). Mamy tu f > 0 gdy < 0 lub > natomiast f < 0 gdy 0 < <. Funkcja f() = 3 3 jest więc silnie rosnąca w przedziałach < < 0 i < < silnie malejąca w przedziale 0 < < (Rysunek 8). Zadanie 3.3.3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji () f() = (3 ) () f() = (3) f() = 4 4 + 3 (4) f() = e. Definicja 3.3.4 (Ekstrema lokalne). Mówimy że funkcja f określona w otoczeniu punktu 0 ma w punkcie 0 maksimum lokalne jeśli istnieje takie otoczenie U punktu 0 że f( 0 ) f() dla dowolnego punktu U; właściwe (silne) maksimum lokalne jeśli istnieje takie otoczenie U punktu 0 że f( 0 ) > f() dla dowolnego punktu U; minimum lokalne jeśli istnieje takie otoczenie U punktu 0 że f( 0 ) f() dla dowolnego punktu U; właściwe (silne) minimum lokalne jeśli istnieje takie otoczenie U punktu 0 że f( 0 ) < f() dla dowolnego punktu U. Maksimum i minimum lokalne właściwe lub nie nazywamy krótko ekstremum lokalnym. 3

Twierdzenie 3.3.5 (Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Jeśli funkcja różniczkowalna f ma ekstremum lokalne w punkcie 0 to (3.6) f ( 0 ) = 0. Uwaga 3.3.6. Warunek (3.6) nie jest wystarczający. Istotnie funkcja f() = 3 jest różniczkowalna bo f () = 3. Ponadto f (0) = 0 ale funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie 0 (Rysunek 3). Twierdzenie 3.3.7 (Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego). Jeśli funkcja różniczkowalna f spełnia warunek (3.6) oraz pochodna f jest dodatnia z jednej strony i ujemna z drugiej strony punktu 0 to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie 0. Charakter ekstremum określa Twierdzenie 3.3.. Przykład 3.3.8. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f() = 3 3. Ponieważ f () = 3 6 = 3( ) a ekstrema lokalne mogą być w punktach w których f () = 0 więc = 0 lub =. Ze znaku pochodnej (Przykład 3.3.) wnioskujemy że w punkcie = 0 funkcja ma maksimum lokalne a w punkcie = minimum lokalne (Rysunek 8). Zadanie 3.3.9. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji () f() = e () f() = e 4 (3) f() = 4 4 3 3 (4) f() = 4 (5) f() = 5 3 (6) f() = 3 ln (7) f() = 3 4 8 3 8 + (8) f() = ( ) e + /. Uwaga 3.3.0. Maksimum lokalne nie musi być największą wartością funkcji w danym przedziale. Podobnie minimum lokalne nie musi być najmniejszą wartością. Istotnie wystarczy rozpatrzyć funkcję f() = 3 3 w przedziale < < 3 (Rysunek 8). Dowodzi się że funkcja ciągła przyjmuje w przedziale domkniętm wartość największą i najmniejszą. Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość ciągłej funkcji f w domkniętym przedziale [a b stosujemy następujący algorytm. () Notujemy rozwiązania równania f () = 0 leżące wewnątrz przedziału [a b. () Obliczamy wartość funkcji f w punkach a b i wszystkich wynotowanych wcześniej punktach. (3) Wybieramy te punkty w których wartość funkcji f jest największa i najmniejsza. Zadanie 3.3.. () Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f() = 3 3 w przedziale [ 3 (b) f() = 00 w przedziale [6 8 (c) f() = e w przedziale [ 3 (d) f() = sin w przedziale [ π/ π/ (e) f() = ln w przedziale [ e 8/3 (f) f() = e w przedziale [ /. () Na rogach kwadratowego arkusza blachy o boku 36 cm wyciąć takie kwadraty aby po zgięciu blachy otrzymać pudełko o największej objętości. (3) Zaprojektować namiot w kształcie stożka o powierzchni bocznej równej 0 m tak aby miał największą objetość. (4) Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o maksymalnej objętości jeśli chcemy do jej produkcji zużyć 50 cm blachy? (5) należy sporządzić skrzynkę prostopadłościenną z pokrywką. Objętość skrzynki ma wynosić 7 cm 3 długości krawędzi podstawy mają być w stosunku :. Jakiej długości powinny być krawędzie aby powierzchnia całkowita skrzynki była najmniejsza? (6) Na jakiej wysokości nad blatem okrągłego stołu o średnicy 50 cm należy zawiesić żarówkę aby brzeg blatu był najlepiej oświetlony? (7) Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości? (8) Który z punktów paraboli y = 6 leży najbliżej prostej y + 5 = 0? (9) Znaleźć pole największego prostokąta wpisanego w elipsę a 4 + y b = a b > 0.

(0) Dane są liczby a a... a n. Znaleźć taką wartość aby suma była najmniejsza. 3.4. Inne zastosowania pochodnej. ( a ) + ( a ) + + ( a n ) Uwaga 3.4.. Celem zbadania przebiegu zmienności funkcji należy () podać dziedzinę i ewentualne miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią y () obliczyć granice na końcach przedziałów określoności (3) wyznaczyć ewentualne asymptoty (4) obliczyć pochodną wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności (5) wykonać wykres (ewentualnie uprzednio zebrać wyniki z poprzednich punktów w tabelę). Zadanie 3.4.. Zbadać przebieg zmienności funkcji () f() = 3 + 6 () f() = ( 4) 3 (3) f() = 3 + (4) f() = 3+4 5 (5) f() = (+) (6) f() = + (7) f() = ++ (8) f() = + (9) f() = + (0) f() = 3 ( ) () f() = + () f() = + (3) f() = cos (4) f() = ln (5) f() = ln (6) f() = +ln (7) f() = ln( + e ) (8) f() = e (9) f() = e (0) f() = e () f() = e () f() = e tg. 4. Elementy teorii całki Riemanna funkcji jednej zmiennej 4.. Miara Jordana. Zaczniemy od sformalizowania pojęć takich jak długość i pole. Na początku wprowadzimy pewne pomocnicze pojęcia. Definicja 4.. (Kresy dolny i górny). Niech E R będzie dowolnym zbiorem. Liczbę p nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E jeśli p dla każdej liczby E ograniczeniem górnym zbioru E jeśli p dla każdej liczby E. Zbiór E nazywamy ograniczonym z dołu gdy istnieje ograniczenie dolne zbioru E ograniczonym z góry gdy istnieje ograniczenie górne zbioru E. Niech E będzie zbiorem ograniczonym z dołu. Dowodzi się że zbiór ograniczeń dolnych zbioru E ma liczbę największą; liczbę tę nazywamy kresem dolnym (lub infimum) zbioru E i oznaczamy inf E. Podobnie zbiór wszystkich ograniczeń górnych ograniczonego z góry zbioru E ma liczbę najmniejszą; liczbę tę nazywamy kresem górnym (lub supremum) zbioru E i oznaczamy sup E. Jeśli zbiór E nie jest ograniczony z dołu mówimy że ma on kres dolny niewłaściwy inf E = a jeśli nie jest ograniczony z góry mówimy że ma on kres górny niewłaściwy sup E =. 5

Przykład 4... () Zbiór N jest ograniczony z dołu np. jest jego ograniczeniem dolnym ale nie jest ograniczony z góry. Ponadto inf N = sup N =. () Zbiór E = ( 4 jest ograniczony z dołu i z góry. Ponadto inf E = sup E = 4. Zadanie 4..3. Zbadać ograniczenia zbiorów i wyznaczyć ich kresy () A = { R : > 0} () B = {/n : n N} (3) C = {q Q + : < q < 3}. Definicja 4..4. Niech n { }. n-wymiarową kostką lub krótko kostką (domkniętą) nazywamy dowolny zbiór postaci P := [a b [a n b n R n a j < b j k =... n. W -wymiarową kostkę nazywamy przedziałem zaś -wymiarową kostkę nazywamy prostokątem. Wnętrzem kostki P nazywamy zbiór Objętością kostki P nazywamy liczbę int P := (a b ) (a n b n ). P := (b a )... (b n a n ). W przypadku n = objętość kostki P nazywamy długością przedziału P a w przypadku n = objętość kostki P nazywamy polem prostokąta P. Średnicą kostki P nazywamy liczbę diam P := (b a ) + + (b n a n ). W przypadku n = średnicą kostki P jest długość przedziału P a w przypadku n = średnicą kostki P jest długość przekątnej prostokąta P. Podziałem kostki P nazywamy dowolną skończoną rodzinę kostek π = {P... P m } taką że P = P P m oraz wnętrza kostek int P j j =... m są zbiorami parami rozłącznymi. Średnicą podziału π = {P... P m } nazywamy liczbę diam π := ma{diam P... diam P m }. Niech (π k ) k= będzie ciągiem podziałów kostki P. Powiemy że jest to normalny ciąg podziałów jeśli lim k diam π k = 0. Definicja 4..5. Zbiór E R n nazywamy ograniczonym jeśli istnieje kostka P taka że E P. Definicja 4..6 (Miara Jordana). Niech E R n będzie zbiorem ograniczonym. Rozważmy kostkę P taką że E P. Dla podziału π = {P... P m } kostki P definiujemy s π := P j S π := P j j:p j E j:p j E gdzie przyjmujemy s π := 0 jeśli w podziale π nie ma kostek P j zawartych w zbiorze E. Liczbę s E := sup{s πk : (π k ) k=dowolny normalny ciąg podziałów kostki P } nazywamy miarą wewnętrzną zbioru E zaś liczbę S E := inf{s πk : (π k ) k=dowolny normalny ciąg podziałów kostki P } nazywamy miarą zewnętrzną zbioru E. Oczywiście s E S E. Jeśli s E = S E to zbiór E nazywamy n-mierzalnym w sensie Jordana 9 a liczbę E := s E = S E nazywamy n-wymiarową miarą Jordana. -wymiarową miarę Jordana nazywamy liniową miarą Jordana lub długością zaś -wymiarową miarę Jordana nazywamy powierzchniową miarą Jordana lub polem. Uwaga 4..7. () Dowodzi się że tak określona miara nie zależy od wyboru kostki P. 9 Marie Ennemond Camille Jordan (ur. 5 I 838 w Lyonie zm. I 9 w Paryżu) matematyk francuski. 6

() Dla figur takich jak trójkąt wielobok koło itd. powierzchniowa miara Jordana pokrywa się z intuicyjnym pojęciem pola np. dla koła K o promieniu r > 0 mamy K = πr. (3) Istnieją zbiory niemierzalne w sensie Jordana np. dla E = [0 n Q n mamy s E = 0 < = S E. (4) Miara Jordana zbioru równa się zeru wtedy i tylko wtedy gdy jego miara zewnętrzna równa się zeru tj. gdy dla dowolnej liczby ε > 0 dany zbiór można pokryć skończoną liczbą kostek o łącznej objętości mniejszej niż ε. W szczególności (a) każdy skończony zbiór na prostej jest -mierzalny w sensie Jordana i ma liniową miarę Jordana równą zero (b) każdy podzbiór prostej jest -mierzalny w sensie Jordana i ma powierzchniową miarę Jordana równą zero. 4.. Całka Riemanna. Definicja 4... Niech P = [a b R będzie dowolnym przedziałem i niech f : P R będzie funkcją ograniczoną. Dla dowolnego podziału π = {P... P m } przedziału P wybierzmy dowolny zbiór punktów j P j j =... m i utwórzmy sumę pośrednią (4.7) σ π := f( ) P + f( ) P + + f( m ) P m. Jeśli ciąg sum posrednich (σ πk ) k= odpowiadający dowolnemu normalnemu ciągowi podziałów (π k) k= jest zbieżny i to zawsze do tej samej granicy bez względu na dobór ciągu (π k ) k= i punktów pośrednich j to granicę tę nazywamy całką Riemanna 0 funkcji f w przedziale P i oznaczamy b (4.8) f lub f() d. P Jeśli całka (4.8) istnieje to funkcję f nazywamy całkowalną w sensie Riemanna lub krótko całkowalną i piszemy f R(P ). Przykład 4... Niech f() = c dla [a b gdzie c jest stałą. W myśl (4.7) jest σ π = c P + c P + + c P m = c( P + P + + P m ) = c(b a) dla każdego podziału π = {P... P m } przedziału [a b więc całka (4.8) istnieje i b Uwaga 4..3. Funkcja ciągła jest całkowalna. a a c d = c(b a). Twierdzenie 4..4. Jeśli f g R(P ) to f ± g R(P ) i fg R(P ) przy czym (f ± g) d = f ± g i gdy A jest dowolną stałą to funkcja Af R(P ) oraz Af = A P P Twierdzenie 4..5 (Interpretacja geometryczna całki Riemanna). Jeżeli f R([a b) oraz f() 0 [a b to zbiór D = {( y) R : a b 0 y f()} jest mierzalny powierzchniowo w sensie Jordana (Rysunek 9) i D = b a P P f. f() d. Twierdzenie 4..6. Jeżeli f R([a b) i jeżeli a < c < b to b a f() d = c a f() d + b c P f() d. 0 Georg Friedrich Bernhard Riemann (ur. 7 IX 86 zm. 0 VII 866) matematyk niemiecki. 7

y..0 0.8 0.6 0.4 0. a 0.5.0.5.0.5 b Rysunek 9. Interpretacja geometryczna całki Riemanna dla funkcji nieujemnej. 4.3. Metody obliczania całki Riemanna. W praktyce obliczanie całki Riemanna wprost z definicji jest dość niewygodne. Najczęściej korzysta się z jednowymiarowej wersji twierdzenia Stokesa zwanej podstawowym twierdzeniem rachunku całkowego. Aby je poznać wprowadzimy pewne nowe pojęcia. Definicja 4.3. (Funkcja pierwotna). Niech P będzie dowolnym przedziałem i niech f : P R będzie dowolną funkcją. Każdą różniczkowalną funkcję F : P R spełniającą równość (4.9) F () = f() P nazywamy funkcją pierwotną (lub całką nieoznaczoną albo krótko całką) funkcji f i oznaczamy (4.0) f() d = F (). Operację wyznaczania całki nazywamy całkowaniem. Przykład 4.3.. () cos d = sin () d = 3 3 (3) d =. Uwaga 4.3.3. () Jeśli F jest funkcją pierwotną dla f to jest też nią F + C gdzie C R jest dowolną stałą. Całkowanie nie jest więc działaniem jednoznacznym. Znając jednak jedną całkę F otrzymamy wszystkie inne przez dodanie do niej dowolnej stałej C zwanej stałą całkowania f() d = F () + C. Funkcje F F + 3 F itp. nazywamy całkami szczególnymi a całkę F + C całką ogólną funkcji f. () Wprost z definicji wynika że ( f () d = f() + C f() d) = f() dlatego całkowanie może być postrzegane jako działanie odwrotne do różniczkowania (z niejednoznacznością spowodowaną pojawieniem się stałej całkowania). Twierdzenie 4.3.4 (Całki funkcji elementarnych). Funkcje elementarne są całkowalne i zachodzą wzory a d = a+ + C dla a sin d = cos + C a + d = ln + C cos d = sin + C e d = e + C cos d = tg + C a d = a ln a + C sin d = ctg + C. Sir George Gabriel Stokes st Baronet (ur. 3 VIII 89 w Skreen zm. II 903 w Cambridge) irlandzki matematyk i fizyk. 8