FIZYKA 2 wykład 12 Janusz Andrzejewski
Światło Falowa natura Dyfrakcja Interferencja Załamanie i odbicie Korpuskuralna natura Teoria promieniowania ciała doskonale czarnego Zjawisko fotoelekryczne Zjawisko Comptona opisy światła: falowy i korpuskularny są uzupełniające się potrzeba obu tych opisów do pełnego modelu światła, ale do określenia konkretnego zjawiska wystarczy tylko jeden z tych modeli dlatego mówimy o dualizmie korpuskularno-falowym światła Janusz Andrzejewski 2
Fale materii -hipoteza de Broglie a Światło ma dwoistą naturę, w jednych sytuacjach zachowuje się jak fala, w innych jak cząstka. Jeżeli natura jest symetryczna, dwoistość ta powinna dotyczyć także materii. Elektrony i protony, o których zwykle myślimy jak o cząstkach, mogą w pewnych sytuacjach zachowywać się jak fale. p = h λ Pęd fotonu W 1924 r. Louis de Broglie w swojej pracy doktorskiej przypisał elektronom o pędzie p długość fali λ Przykład: pyłek unoszony przez wiatr λ = elektron o energii K=1000eV λ = h p h 6 27 p λ = 34,63 10 J s = 6 0.1 10 kg 1m / s h 11 p = h 2mK = 4 10 = 6.6 10 m Janusz Andrzejewski 3 m Louis de Broglie
Doświadczenie Clintona Davissonai Lestera Germera Dyfrakcja elektronów obserwowana przy odbiciu od kryształów niklu (1927) Znając kąt θ przy którym obserwuje się pierwsze maksimum można określić stałą Plancka D = d sinθ D = λ h p h = d sinθ = pd sinθ Doświadczenie to pozwoliło określić wartość stałej Plancka z dokładnością do 1%. Janusz Andrzejewski 4
Doświadczenie z dwoma szczelinami Stwierdzenie Bohra: Natura lubi symetrie Janusz Andrzejewski 5
Mechanika kwantowa Dział mechaniki zajmujący się ruchem mikrocząstek, których stan opisany jest funkcją falową będącą rozwiązaniem równania Schroedingera Janusz Andrzejewski 6
Janusz Andrzejewski 7
Krótka kronika powstania mechaniki kwantowej 1923 IX - Falowa natura elektronów (De Broglie) 1924 I - Teoria promieniowania Bohra, Kramersa i Slatera 1924 VII - Kwantowa statystyka (Bose i Einstein) 1925 I -Zasada Pauliego 1925 VII - Mechanika macierzowa Heisenberga 1925 X -Spin elektronu (Goudsmit, Uhlenbeck) 1925 XI - Praca Borna, Heisenberga i Jordana(Dreimännerarbeit) 1925 XI - Mechanika kwantowa Diraca 1926 I - Atom wodoru z mechaniki macierzowej (Pauli, Dirac) 1926 I - Mechanika falowa Schrödingera 1926 II - Statystyka kwantowa (Fermi) 1926 VI Born- probabilistyczna interpretacja funkcji falowej 1926 VIII - Statystyka kwantowa (Dirac) 1927 III - Zasada nieoznaczoności Heisenberga 1927 III - Dyfrakcja elektronów (Davisson i Germer) 1928 I - Kwantowa teoria elektronu Diraca Janusz Andrzejewski 8
Janusz Andrzejewski 9
Była już prawie trzecia w nocy, gdy miałem przed sobą końcowy wynik rachunków... Miałem uczucie, że patrzę poprzez powierzchnię zjawisk atomowych na leżące głębiej pod nią podłoże o zadziwiającej wewnętrznej urodzie... Byłem tak podniecony, że nie mogłem myśleć o śnie. Wyszedłem więc z domu o rozpoczynającym się już świtaniu i poszedłem na północny cypel wyżyny, gdzie samotna, wystająca w morze iglica skalna wciąż budziła we mnie ochotę do prób wspinaczkowych. Udało mi się wspiąć na nią bez większych trudności i na jej szczycie doczekałem do wschodu słońca....tak krytyczny zwykle Wolfgang Pauli, któremu opowiedziałem o swoich wynikach, zachęcił mnie do dalszej pracy w tym kierunku Wspomnienia Wernera Heisenberga o dniu 15 czerwca 1925 r. Janusz Andrzejewski 10
Eksperyment z pociskami Intensywność po przejściu przez dwie szczeliny jest sumą intensywności po przejściu przez każdą szczelinę z osobna. Janusz Andrzejewski 11
Eksperyment z elektronami Intensywność po przejściu przez dwie szczeliny niejest sumą intensywności po przejściu przez każdą szczelinę z osobna. Występują efekty interferencyjne, więc elektrony zachowują się jak fala! Janusz Andrzejewski 12
Eksperyment z elektronami i detektorami Gdy elektrony są podglądane przez detektory, intensywność po przejściu przez dwie szczeliny jest innaniż gdy elektrony nie są podglądane! Janusz Andrzejewski 13
Funkcja falowa Formalizm matematyczny za pomocą którego usuwa się te paradoksy, przypisuje każdej cząstce materialnej funkcję falowąψ(x,y,z,t)będącą funkcją współrzędnych i czasu Funkcja falowa jest na ogół funkcją zespoloną Znajdując rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym można określić prawdopodobieństwo, że elektron padnie w określonym miejscu ekranu Kwadrat amplitudy funkcji falowej jest proporcjonalny do gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w danym elemencie obszaru Janusz Andrzejewski 14
Własności funkcji falowej Prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu w objętości dv=dxdydz wynosi 2 2 2 * gdzie PdV = Ψ dxdydz Ψ warunek unormowania funkcji falowej = Ψ = Ψ Ψ Ψ dv = 1 -wówczas Ψ 2 jest równe gęstości prawdopodobieństwa znalezienia elektronu zasada superpozycji : jeżeli zdarzenie może przebiegać w kilku wzajemnie wykluczających się sposobach to funkcja falowa takiego zdarzenia przedstawia sumę funkcji falowych każdego ze sposobów Ψ=Ψ 1 + Ψ 2 funkcja falowa powinna być ograniczona Ψ < funkcja falowa Ψ nie stanowi bezpośrednio obserwowanej wielkości. Fale klasyczne i fale odpowiadające cząstkom podlegają równaniom matematycznym tego samego typu. Lecz w przypadku klasycznym amplituda fali jest bezpośrednio obserwowana, a dla funkcji falowej Ψ nie. V 2 Janusz Andrzejewski 15
Max Born interpretacja funkcji falowej Ψ(x,t) 2 dx opisuje prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale <x, x+dx> w chwili t. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w całym obszarze Ta interpretacja funkcji ψ daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie. Janusz Andrzejewski 16
Z hipotezy de Brogikie a Postać funkcji falowej p h 2π h = h / λ = = hk gdzie : h = k 2π λ 2π 0 = Funkcja falowa cząstki o pędzie p o poruszającej się wzdłuż osi x, odpowiada równaniu fali o długości λ o i wektorze falowym k 2π λ Ψ = 2 2 2 Acos( k0x ωt) Ψ = A cos ( k0x ωt) Rzeczywista postać funkcji falowej jest niewłaściwa bo istniałyby punkty, gdzie nie można cząstki zaobserwować. Lepsza zespolona Ψ = 2 ( Aexp[ i( k x ωt)] )( Aexp[ i( k x ωt ) A 2 0 x ωt)] Ψ = 0 0 )] A exp[ i( k = Pokazaliśmy, że jeżeli pęd cząstki posiada określoną wartość, to cząstkę można znaleźć z jednakowym prawdopodobieństwem w dowolnym punkcie przestrzeni. Inaczej mówiąc, jeżeli pęd cząstki jest dokładnie znany, to nic nie wiemy o jej miejscu położenia Janusz Andrzejewski 17
Zasada nieoznaczoności Heisenberga Pewnych wielkości fizycznych nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością. Iloczyn niepewności pomiaru dwóch takich wielkości jest niemniejszy od stałej Plancka dzielonej przez 2π. p x x h / 2 p y y h / 2 p z z h / 2 E t h / 2 Δx, Δy, Δz nieokreśloność pomiaru położenia (odchylenie standardowe położenia) Δp x itp. nieokreśloność pomiaru pędu (odchylenie standardowe pędu), ΔE nieokreśloność pomiaru energii Δt nieokreśloność pomiaru czasu Ważne jest by podkreślić, że Δxitd. nie są niepewnościamipomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metody pomiarowych, ale rozrzutami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru lub istoty samej mechaniki kwantowej (interpretacja kopenhaska). Janusz Andrzejewski 18
Zasada nieoznaczoności -przykład -określić dokładność wyznaczenia prędkości elektronu poruszającego się z prędkością 1000 m/s przy zastosowaniu światła o długości 550nm -określić dokładność wyznaczenia pędu piłki bejsbolowej o masie 45g i prędkości 60m/s przy zastosowaniu światła o długości 550nm Janusz Andrzejewski 19
Pomiar Janusz Andrzejewski 20
Inny przykład Janusz Andrzejewski 21
Równanie Schrödingera Zakładamy, że każda obserwowana własność reprezentowana jest przez operator. Takie własności mierzalne zwane są obserwablami. Operatory działają na funkcje, które reprezentują stany układu i są nazywane funkcjami stanu (funkcjami falowymi). ih Ψ tt = Hˆ Ψ Równanie to opisuje ewolucję funkcji falowej w przestrzeni i czasie Dla cząstki opisywanej przez N współrzędnych ogólna postać operatora Hamiltona ma postać: Hˆ N = i= 1 2 pˆ i + V ( x 2m 1, x p operator pędu V(x) - potencjał pola, w którym cząstka się znajduje 2 2 h r K xn) = + V ( x) 2m Janusz Andrzejewski 22
Przedstawienie Schrödingera Janusz Andrzejewski 23
Stacjonarne równanie Schrödingera W sytuacjach stacjonarnych tzn. gdy potencjał nie zmienia się w czasie, zmienne przestrzenne i czas można rozseparować i zapisać funkcję falową w postaci: Ψ ( ) iet / h x, y, z, t = Ψ( x, y, z) e Wówczas równanie Schrödingera można zapisać jako: Hˆ Ψ( x, y, z) = EΨ( x, y, z) STACJONARNE RÓNANIE SCHRÖDINGERA Hˆ 2 pˆ r = + V ( x) Jest operatorem tzw. Hamiltonianem, a E energią układu 2m Stacjonarne równanie Schrödingera jest równaniem w którym musimy znaleźć funkcję falową oraz energie jest to tzw. Równaniem na wartości własne (tutaj energie) oraz wektory własne (tutaj funkcje falowe) Janusz Andrzejewski 24
Równanie Schrödingeraniezależne od 2 h 2m czasu 2 d ψ ( x) + V ( x) ψ ( x) = 2 dx Eψ ( x) Ogólna teoria mechaniki kwantowej jest już kompletna... Poznane zostały całkowicie podstawowe prawa fizyczne konieczne dla matematycznej teorii dużej części fizyki i całej chemii i trudność przedstawia tylko to, że dokładne stosowanie tych praw prowadzi do równań o wiele za bardzo skomplikowanych, by się dały rozwiązać. Paul Dirac(1929) Koniec fizyki, jaką znamy, nastąpi za sześć miesięcy Max Born (po publikacji przez Diraca relatywistycznego równania elektronu) Janusz Andrzejewski 25
Równanie Schrodingeradla nieskończonej jamy potencjału Warunki brzegowe: Janusz Andrzejewski 26
Rozwiązania Elektron zamknięty w studni o rozmiarach typowych dla atomu 10 10 m. W tym przypadku E n = (37.2n 2 ) ev Janusz Andrzejewski 27
Wnioski: Janusz Andrzejewski 28
Elektron w skończonej studni potencjału Janusz Andrzejewski 29
Kwantowy oscylator harmoniczny 1 U ( x) = kx 2 2 ω = k m 1 E n = n + ωh n = 0,1,2,... 2 Wniosek: najniższa możliwa energia wynosi E = 1 0 ωh 2 Janusz Andrzejewski 30
Efekt tunelowy -przenikanie cząstki przez barierę potencjału Janusz Andrzejewski 31
Przykłady efektu tunelowego Dioda tunelowa (efekt tunelowy w złączu p-n) Nagroda Nobla 1973r Esaki-tunelowanie w półprzewodnikach np. diody tunelowe Giaever- tunelowanie w nadprzewodnikach Josephson złącze Josephsona, szybki przełącznik kwantowy Skaningowy Skaningowy Mikroskop Tunelowy Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r Janusz Andrzejewski 32
Rozmiary: - 2000x mniej od średnicy włosa - 30x mniej od długości fali światła Kropki kwantowe Janusz Andrzejewski 33
Zastosowania kropek kwantowych Janusz Andrzejewski 34