Wykład 2. POLE ELEKTROMEGNETYCZNE: Ładunek elektryczny Ładunki elektryczne: -dodatnie i ujemne - skwantowane, czyli że mają pewną najmniejszą wartość, której nie można już dalej podzielić. Nie można ładunków stworzyć, ani zniszczyć w tym sensie, że sumaryczny ładunek w dowolnym procesie pozostaje stały. Gdy atom nie jest zjonizowany, to jego sumaryczny ładunek wynosi zero. Atomy zjonizowane z nadwyżką ładunku ujemnego nazywamy anionami, a z niedoborem ładunku ujemnego (z nadwyżką ładunku dodatniego) nazywamy kationami.
Elektryzacja ciał - przenoszenie ładunku z jednego z nich do drugiego - przez pocieranie - przebudowa elektrycznej warstwy podwójnej znajdującej się na powierzchni każdego z tych ciał. - przez indukcję jak to pokazane na rysunkach poniżej. Tutaj elektryzacji podlegają metalowe kule (białe) osadzone na izolatorze (czarny pręt). W układzie SI jednostką ładunku jest 1 kulomb (1 C). Jest to ładunek przenoszony przez prąd o natężeniu 1 ampera w czasie 1 sekundy 1 C = 1 A s.
Wszystkie realnie istniejące ładunki są wielokrotnością ładunku e. ładunek elementarny e = 1.6 10-19 C Ładunek statyczny, zgromadzony np. na grzebieniu przez pocieranie, jest rzędu 10-6 C (mikrokulomb, ok. 10 13 elektronów). Ładunek elektronu wynosi 1.602 10-19 C. zasada zachowanie ładunku: Wypadkowy ładunek elektryczny w układzie zamkniętym jest stały
Prawo Coulomba Prawo Coulomba (1736-1806) - prawo opisujące siłę oddziaływania między punktowymi ładunkami elektrycznymi Q i q znajdującymi się w odległości R i pozostającymi w spoczynku względem siebie. Każde dwa ładunki punktowe q 1 i q 2 oddziaływają wzajemnie siłą wprost proporcjonalną do iloczynu tych ładunków, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. gdzie stała. Współczynnik ε 0 = 8.854 10-12 C 2 /(Nm 2 ) - przenikalność elektryczna próżni. W układzie SI
W ośrodku: ośrodek próżnia powietrze parafina szkło woda ε r 1 1.0006 2 10 81 Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, siłę wypadkową, analogicznie jak w przypadku siły grawitacyjnej Wzór Coulomba automatycznie wyraża fakt, że ładunki jednoimienne odpychają się, a różnoimienne przyciągają się do siebie.
Aby potwierdzić swoje prawo eksperymentalnie, Coulomb dzielił ładunek zgromadzony na kuli przewodzącej przez przenoszenie jego połowy na taką samą kulę. Otrzymał 1/2, 1/4,... ładunku pierwotnego. Stosując do pomiaru sił oddziaływania między ładunkami wagę skręceń Kierunek siły Coulomba pokrywa się z kierunkiem prostej łączącej oba ładunki punktowe. Równanie Coulomba stosuje się jedynie do przypadku ładunków punktowych. Gdy rozkład ładunków jest przestrzenny, wtedy należy przeprowadzić odpowiednie sumowanie lub całkowanie. Poza tym, że prawo Coulomba dotyczy tylko ładunków punktowych, to opisuje siłę działającą między nimi tylko wtedy, gdy ładunki znajdują się w spoczynku względem siebie.
Pole elektryczne (natężenie pola) E w określonym punkcie definiujemy jako wielkość równą stosunkowi siły F działającej na dodatni ładunek próbny q do wartości tego ładunku: Zgodnie z definicją natężenia pola E, ruch cząstek naładowanych w tym polu odbywa się pod działaniem siły F = qe. Przyjęto konwencję, że ładunek próbny jest dodatni więc kierunek wektora E jest taki sam jak kierunek siły działającej na ładunek dodatni. Jeżeli pole elektryczne jest wytworzone przez ładunek punktowy Q to zgodnie z prawem Coulomba siła działająca na ładunek próbny q umieszczony w odległości r od tego ładunku wynosi gdzie jest wektorem jednostkowym zgodnym z kierunkiem siły pomiędzy Q i q.
Addytywność pól. Pole E jest addytywne wektorowo co oznacza, że wypadkowe pole elektryczne jest sumą wektorową pól E 1, E 2, E 3... pochodzących od indywidualnych ładunków : Dla n ładunków punktowych pole elektryczne jest równe sumie wektorowej pól elektrycznych od poszczególnych ładunków Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić graficznie za pomocą tzw. linii sił (linii pola).
Linie sił pola: Koncepcja linii sił pola została wprowadzona również przez Michaela Faraday a (1791-1867). Linie sił pola są to wyimaginowane krzywe w przestrzeni, będące w każdym punkcie styczne do wektora E w tym punkcie. - to linie, do których wektor E jest styczny w każdym punkcie. - zaczynają się zawsze na ładunkach dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych. Linie sił rysuje się tak, że liczba linii przez jednostkową powierzchnię jest proporcjonalna do wartości E; gdy linie są blisko siebie to E jest duże, a gdy są odległe od siebie to E jest małe.
Pojedynczy ładunek umieszczony w próżni jest otoczony radialnym układem linii sił.
Linie sił pola elektrycznego dla układu dwóch ładunków różno- i jednoimiennych
Dipol elektryczny: Dipol elektryczny jest sztywnym układem dwóch ładunków punktowych +Q i -Q odległych od siebie o l. Dipol umieszczamy w jednorodnym polu elektrycznym wektor E tworzy kąt θ z linią łączącą oba ładunki, zwaną osią dipola. Siła F 1 = QE jest skierowana w kierunku pola, siła F 2 = - QE w kierunku przeciwnym. Obie te siły tworzą parę sił tworzącą moment siły
Iloczyn Ql ładunku Q i odległości l jest nazywany momentem dipolowym. Wektor momentu dipolowego jest skierowany od ładunku ujemnego do dodatniego (odwrotnie niż to jest dla linii sił pola). Moment siły działający na dipol wyrażamy w postaci iloczynu wektorowego Wartość tego wektora wynosi oczywiście
Jeżeli pole elektryczne nie jest jednorodne, wtedy na dipol działa nie tylko moment skręcający, ale także pewna siła wypadkowa. Powodem tego jest fakt, że oba ładunki dipola znajdują się w polach o nieco odmiennych natężeniach i siły działające na te ładunki nie równoważą się. Niezerowy elektryczny moment dipolowy mają takie molekuły, jak H 2 O, CO,... Molekuły symetryczne, np. O 2, N 2, H 2,... nie mają trwałych momentów dipolowych. Jednostką momentu dipolowego w układzie SI jest C m (kulomb metr). Ponieważ jest to bardzo duża jednostka, to w literaturze stosuje się zwykle jednostkę o nazwie debaj (D), która pochodzi z układu CGS. 1D = 3.338 10-30 C m
Przykłady 1. Dwa ładunki elementarne (równe ładunkom elektronu lub protonu) oddalone od siebie na odległość 1 angstrema tworzą moment dipolowy o wartości p = 1.602 10-19 C 1 10-10 m = 16.02 10-30 C m = 4.8 D. 2. Znaleźć pole elektryczne E wytwarzane przez dipol. Dla uproszczenia znajdziemy to pole w płaszczyźnie prostopadłej do osi dipola i przechodzącej przez jej środek Pola pochodzące od ładunków dodatniego i ujemnego oznaczamy odpowiednio przez E + i E-. Suma wektorowa obu tych pól tworzy pole wypadkowe E = E + + E-.
Ze względu na symetryczne położenie punktu, w którym badamy pole, długości obu wektorów E + i E- są jednakowe: Pionowe składowe pól E + i E- kompensują się, a suma składowych poziomych daje długość E szukanego wektora E: gdzie p = Ql jest momentem dipolowym dipola. Dla r >> l (daleko od osi dipola) wartość pola E wynosi:
Widzimy, że pole wokół dipola zanika ze wzrostem odległości szybciej (jak 1/r 3 ) niż pole wokół pojedynczego ładunku, które zanika jak 1/r 2.
Strumień pola elektrycznego Jeżeli pole elektryczne jest jednorodne i gdy płaszczyzna o powierzchni A jest ustawiona prostopadle do linii tego pola E, to strumień pola elektrycznego Φ E przenikający tę powierzchnię jest równy
Jeżeli teraz ta powierzchnia zostanie odchylona o kąt φ od poprzedniego położenia, to strumień zmieni swoją wartość i będzie wynosił Ponieważ strumień jest wielkością skalarną, to zależność tę dla pola jednorodnego możemy zapisać w postaci iloczynu skalarnego wektora pola E i wektora powierzchni A:
Strumieniem pola E (jednorodnego lub niejednorodnego) przechodzącego przez nieskończenie mały element powierzchni da nazywamy iloczyn skalarny: Strumień pola E przechodzącego przez pewien płat powierzchni A otrzymamy po zastąpieniu sumowania przez całkowanie po całym płacie A
Strumień pola E przechodzącego przez powierzchnię zamkniętą A opisujemy całką (symbol całki z kółeczkiem) Wektor da wybieramy tak aby był skierowany na zewnątrz powierzchni
Wartość strumienia nie zależy zatem od kształtu powierzchni zamkniętej, a zależy jedynie od wartości ładunku zamkniętego wewnątrz tej powierzchni. Strumień pola pochodzącego od dipola elektrycznego znajdującego się wewnątrz dowolnej powierzchni zamkniętej będzie zatem równy zeru (bo suma algebraiczna +Q i -Q wynosi zero) Gdyby ładunki nie były jednakowe, to strumień pola nie mógłby być zerowy. Jeżeli np. ładunek ujemny jest większy od dodatniego, to strumień pola przez powierzchnię zamkniętą jest ujemny
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Prawo Gaussa: strumień pola elektrycznego E przez powierzchnię zamkniętą jest określony tylko przez algebraiczną sumę wszystkich ładunków elektrycznych Q zawartych wewnątrz tej powierzchni. Nie ma znaczenia jak te ładunki są rozmieszczone wewnątrz tej powierzchni. Q algebraiczna suma ładunków znajdujących się wewnątrz powierzchni zamkniętej A, po której przeprowadzamy całkowanie (sumowanie) strumienia ε 0 jest przenikalnością elektryczną próżni. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego jest uogólnionym sformułowaniem zależności między ładunkami a polami elektrycznymi i jest jednym z czterech równań Maxwella opisujących całość zjawisk elektrycznych i magnetycznych.
Zastosowanie prawa Gaussa- wartość pola elektrycznego w określonym punkcie lub obszarze. Kluczową czynnością jest otoczenie odpowiedniego obszaru ładunku stosownie wybraną powierzchnią zamkniętą.
1. Prawo Coulomba a prawo Gaussa >nie można wyprowadzić prawa Gaussa z prawa Coulomba, ale prawo Coulomba otrzymuje sie z prawa Gaussa: a) siła F = qe, działaja na ładunek punktowy q znajdujący się w odległości r od innego ładunku punktowego Q. Aby wyznaczyć F musimy znać tylko E, a to znajdziemy z prawa Gaussa. Ładunek Q umieszczamy w środku sfery o promieniu r, jak na rysunku Pole E pochodzące od ładunku Q ma na powierzchni sfery jednakową wartość i wszędzie na tej powierzchni wektor E jest równoległy do wektora da. Po zastosowaniu prawa Gaussa otrzymamy czyli
Ponieważ wektor E jest skierowany wzdłuż promienia r, to Zgodnie z definicją pola E, siła działająca na ładunek q wynosi Otrzymaliśmy zatem prawo Coulomba z prawa Gaussa:
2. Pole naładowanej sfery przewodzącej o promieniu r (wewnątrz sfery nie ma ładunków): Na podstawie prawa Gaussa: -pole na zewnątrz sfery w odległości R od jej centrum wynosi, czyli Wewnątrz sfery (Q = 0) pole
3. Pole jednorodnie naładowanej kuli dielektrycznej. Całkowity ładunek zawarty w kuli jest Q. Obliczając pole E w odległości x od środka kuli oznaczamy przez q ładunek zawarty w kuli o promieniu x. Z prostej proporcji otrzymujemy. Na podstawie prawa Gaussa szukane pole E wewnątrz kuli wynosi, czyli.
Zatem pole wewnątrz kuli rośnie liniowo wraz ze wzrostem x. Na zewnątrz kuli pole maleje ze wzrostem odległości od środka
4. Pole ładunku liniowego oraz naładowanego cylindra przewodzącego o gęstości liniowej ładunku λ[c/m]: Na odcinku L przewodnika znajduje się ładunek Q = λ L, zatem z prawa Gaussa otrzymujemy Stąd znajdujemy szukane pole.
5. Pole naładowanej nieskończonej płaskiej warstwy Pole jest jednorodne i rozciąga się w obie strony prostopadle do powierzchni płyty (przechodzi tylko przez podstawy walca). Z prawa Gaussa otrzymujemy
6. Pole naładowanej nieskończonej płaskiej płyty przewodzącej Ładunek na płycie przewodzącej jest rozmieszczony na obu jej powierzchniach. Ponieważ mamy dwie warstwy ładunkowe o gęstości ładunku σ każda, to na podstawie wyniku poprzedniego przykładu natężenie pola będzie dwukrotnie wyższe.
7. Pole między przeciwnie naładowanymi równoległymi płytami przewodzącymi Jako powierzchnię Gaussa wybieramy prostopadłościan z jedną podstawą zanurzoną wewnątrz płyty metalowej gdzie nie ma ani ładunku ani pola E. Pole przenika tylko te podstawę prostopadłościanu, która znajduje się w przestrzeni między płytami.. Z prawa Gaussa otrzymujemy Na zewnątrz płyt pole jest równe zeru.
Energia potencjalna U ładunku w polu E i potencjał V pola E możliwe jest zdefiniowanie energii potencjalnej U ładunku w polu elektrycznym. Rozważmy pole elektryczne między dwiema równoległymi płytami, na których znajdują się ładunki o jednakowej wartości, ale o przeciwnych znakach. Rozmiary płyt są duże w porównaniu z odległością między nimi, a zatem na przeważającym obszarze pole między nimi może być traktowane jako jednorodne. Mały dodatni ładunek punktowy +q ma największą energię potencjalną U wtedy, gdy znajduje się w punkcie na powierzchni elektrody dodatniej, jak na rysunku. (w tym punkcie ładunek +q ma najwyższą zdolność do wykonania pracy w czasie swojego powrotu do elektrody ujemnej).
Tę energię potencjalną U musimy ładunkowi nadać wykonując pracę W przeniesienia tego ładunku od elektrody ujemnej do dodatniej. Pracę wykonujemy pokonując siłę odpychania elektrostatycznego F = qe. Na odcinku dl wykonamy pracę dw równą czyli Praca przeniesienia ładunku +q między obiema elektrodami, czyli energia potencjalna U tego ładunku na dodatniej elektrodzie, wynosi
Ponieważ pole elektryczne jest polem potencjalnym, to praca przeniesienia ładunku z punktu a do punktu b nie zależy od kształtu drogi ładunku między tymi punktami Poprzednio zdefiniowaliśmy natężenie pola elektrycznego jako siłę działającą na ładunek jednostkowy. W podobny sposób definiujemy potencjał elektryczny V albo po prostu potencjał, jako stosunek energii potencjalnej, jaką ma w polu elektrycznym ładunek q, do wartości tego ładunku.
Jeżeli, zatem, dowolny ładunek q ma w jakimś punkcie pola energię potencjalną U, to potencjał pola V w tym punkcie wynosi W ogólnym przypadku kiedy pole E nie jest jednorodne powinniśmy napisać związek ogólny Teraz natężenie pola E -spadek potencjału dv na odcinku dl: w ogólnym przypadku pola niejednorodnego przyrosty du i dv wynoszą Różnicę potencjałów V ab między punktami a i b
gradient funkcji skalarnej (w tym przypadku potencjału V) jest wielkością wektorową E. Składowe tego wektora są wyrażone przez pochodne cząstkowe (spadki wzdłuż x, y i z) Jeżeli pole E jest stałe i jednorodne to wtedy gradient potencjału jest również stały i teraz bardzo prostą i wygodną regułą określania różnicy potencjału V (napięcia) w tym polu jest relacja, która wynika bezpośrednio ze związku między E i gradientem potencjału gdzie odległość l jest liczona wzdłuż pola. Regule tej podlega zmiana napięcia pokazywanego przez woltomierz jeżeli będziemy płynnie zmieniali położenie jego końcówek stykających się z drutem oporowym
przez który płynie prąd. Napięcie określone według tej reguły nosi nazwę napięcia krokowego.
Przykład - rozkład potencjału, na płaszczyźnie xy, wokół dipola elektrycznego. Kolorem czerwonym zaznaczono wybrane linie łączące punkty o jednakowym potencjale - linie ekwipotencjalne (każda krzywa odpowiada innej stałej wartości potencjału). Na podstawie wielkości zmiany potencjału, przypadającej na jednostkę długości w danym kierunku możemy określić natężenie pola elektrycznego E w tym kierunku. Możemy więc przy pomocy obliczania pochodnych cząstkowych z wielkości skalarnej (potencjału V) otrzymać składowe wielkości wektorowej (pola E) w dowolnym punkcie przestrzeni: Im większa (mniejsza) zmiana potencjału na jednostkę długości tym większe (mniejsze) pole elektryczne w danym kierunku. Znak minus odzwierciedla fakt, że wektor E jest skierowany w stronę malejącego potencjału.
Jeżeli dowolny izolowany przedmiot metalowy (przewodnik) naładujemy ładunkiem Q to ten przewodnik uzyska pewien potencjał elektryczny V (różnicę potencjału między przewodnikiem a Ziemią). O tym jak duży będzie to potencjał przy ustalonym Q decyduje pojemność elektryczna C przewodnika. Jeżeli pojawi się niewielki potencjał to pojemność przewodnika jest duża. Gdy dla tego samego ładunku otrzymamy duży potencjał to pojemność przewodnika jest mała.
Pojemność elektryczną C przewodnika zdefiniujemy zatem jako stosunek ładunku Q znajdującego się na tym przewodniku do wartości potencjału elektrycznego V jaki pojawia się w rezultacie wprowadzenia tego ładunku na przewodnik. Widzimy więc, że pojemność elektryczną ma każdy przewodnik, nawet kawałek przewodu użytego do połączeń.
Jak zobaczyliśmy, izolowany przewodnik może gromadzić ładunek elektryczny. Jednak w praktyce do magazynowania ładunku stosujemy urządzenia zwane kondensatorami. Kondensator stanowi układ dwóch dowolnych izolowanych od siebie przewodników, przy czym ładowanie kondensatora polega nie na oddzielnym ładowaniu każdego z przewodników, ale na przesunięciu ładunku (jednakowego na obu przewodnikach, ale o przeciwnych znakach) z jednego przewodnika do drugiego. Pojemność elektryczną C kondensatora definiujemy dokładnie tak jak pojemność izolowanego przewodnika.
Kondensatory stosowane w technice są zwykle zbudowane jako układ dwóch izolowanych od siebie powierzchni o najrozmaitszym kształcie z reguły umieszczonych równolegle do siebie. Jak zobaczymy dalej, pojemność takiego kondensatora jest proporcjonalna do wielkości powierzchni płyt i odwrotnie proporcjonalna do odległości między nimi. Zatem kondensator o dużej pojemności ma płyty o dużej powierzchni, położone możliwie blisko siebie. Najprostszy taki kondensator to kondensator płaski przedstawiony schematycznie na rysunku poniżej. Ilustracją stałości ładunku na okładkach kondensatorów nie podłączonych do źródła napięcia może służyć przykład dwóch kondensatorów połączonych ze sobą jak na rysunku poniżej (równolegle). Pierwotnie ładujemy ten układ tak, że okładkach jednego kondensatora jest ładunek Q 1 a na okładkach drugiego ładunek Q 2. Potencjał, na jakim znajdują się górne okładki jest dla obu taki sam (okładki są połączone włóknem żarówki). Kiedy zaczniemy zmieniać odległości między okładkami jednego z kondensatorów wtedy będziemy zmieniali jego pojemność im węższa będzie szczelina między
okładkami tym większa będzie pojemność kondensatora. Ponieważ sumaryczny ładunek obu kondensatorów jest niezmienny to taka zmiana pojemności spowoduje przelewanie się ładunku między kondensatorami. Jeżeli kondensatory są naładowane wystarczająco dużym ładunkiem, to w czasie jego przepływu między okładkami tworzącymi górną parę żarówka może świecić. Energia, jaka jest potrzebna do świecenia żarówki pochodzi z pracy, jaką wykonujemy przy przemieszczaniu okładki (okładki górna i dolna są naładowane ładunkami o przeciwnych znakach, a zatem przyciągają się).
Łączenie szeregowe kondensatorów. W połączeniu szeregowym, jak na schemacie poniżej, wartości ładunków na wszystkich okładkach wszystkich kondensatorów są takie same. Spadek potencjału na układzie szeregowym jest równy sumie różnic potencjałów na poszczególnych kondensatorach Stąd sumaryczna pojemność C układu szeregowego jest określona wzorem
Łączenie równoległe kondensatorów. W połączeniu równoległym sumaryczny ładunek Q zgromadzony w układzie jest równy sumie ładunków na okładkach wszystkich kondensatorów. Spadek potencjału jest jednakowy na każdym z kondensatorów a zatem Stąd sumaryczna pojemność C układu równoległego jest równa sumie pojemności wszystkich kondensatorów
Mając do obliczenia pojemność kondensatora o zadanej geometrii stosujemy następujący schemat postępowania: 1. Wychodzimy z definicji pojemności kondensatora, Różnicę potencjałów Vab wstawiamy do wzoru definiującego tę pojemność. Ładunek Q redukuje się. 2. ale brakuje nam różnicy potencjałów Vab, którą znajdujemy z relacji miedzy polem E i V, 3. jednak musimy najpierw znać E i w tym celu posłużymy się uniwersalnym narzędziem jakim jest prawo Gaussa:
Kondensator płaski
Kondensator cylindryczny
Kondensator sferyczny
Energia naładowanego kondensatora U Energia naładowanego kondensatora U jest równa pracy W jaką wykonamy przy jego ładowaniu. Cała energia U jest zawarta w polu elektrycznym między okładkami kondensatora. W czasie ładowania kondensatora różnica potencjałów między jego okładkami V(q) zależy od ładunku q, jaki aktualnie znajduje się na okładkach. Praca przeniesienia między okładkami dodatkowego ładunku dq wynosi Energia pola w kondensatorze całkowicie naładowanym ładunkiem Q staje się czyli
Gęstość energii pola elektrycznego u obliczymy dzieląc energię U przez objętość zajmowaną przez pole. Posługując się prostą geometrią kondensatora płaskiego o powierzchni okładek A i odległości między okładkami d znajdziemy wartość u słuszną dla pola E o dowolnej geometrii: czyli