dr inż. Zbigniew Szklarski

Wykład 11: Elektrostatyka dr inż. Zbigniew Szklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/

Kwantyzacja ładunku Każdy elektron ma masę m e ładunek -e i Każdy proton ma masę m p ładunek e i e1,60 10-19 C Ładunek elementarny Każdy inny ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego Q Ne

Zasada zachowania ładunku Całkowity ładunek układu odosobnionego, tzn. algebraiczna suma dodatnich i ujemnych ładunków występujących w dowolnej chwili, nie może ulegać zmianie. Q całk const Q całk Q e + Q p - e + e 0 3

Przykłady zasady zachowania ładunku Rozpad promieniotwórczy jądra uranu 38 9 U 34 90 Th+ 4 He Liczba atomowa Z9 oznacza 9 protony w jądrze i ładunek 9e Z zasady zachowania ładunku Emisja cząstki α 9e90e+e 4

Proces anihilacji elektronu e - i antycząstki - pozytonu e + e + e + γ + γ Emisja dwóch kwantów promieniowania elektromagnetycznego Proces kreacji pary γ e + e + 5

Empiryczne prawo Coulomba (1736-1806) F k q 1 r q k 1 4πε o gdzie ε o 8.8510 1 C Nm F -F 1,,1 III zasada dynamiki 1785 waga skręceń 6

Zasada superpozycji F cał F i i F R F L q L q 0 q R oś x F 0 FR + FL kq 0 (q L x q R ) xˆ Ładunki q L, q 0 i q R są tego samego znaku 7

Natężenie pola elektrycznego q r q 0 E E F q 0 E ładunek próbny q 0 >0 Natężenie pola ładunku punktowego kq r rˆ Natężenie pola pochodzące od wielu ładunków punktowych (rozkład dyskretny) E i kq E i rˆ i r i i 8

Linie pola elektrostatycznego Pole ładunku punktowegosymetria sferyczna Dwa jednoimienne ładunki punktowe 9

Dipol elektryczny - dwa różnoimienne ładunki w bardzo małej odległości moment dipolowy odległość między ładunkami 10

Ciągły rozkład ładunku Dla ładunków dyskretnych pole wypadkowe E jest sumą wektorów natężenia E i czyli: E i E i Dla ładunku, dq, natężenie pola elektrycznego w punkcie P dane jest zgodnie z prawem Coulomba jak dla ładunku punktowego kdq d E r rˆ Dla ciągłego rozkładu ładunku pole wypadkowe jest całką: E d E Q kdq r rˆ 11

Przykłady 1) Dwa ładunki +Q oraz -Q wytwarzają w punkcie P wypadkowe pole elektryczne. Oblicz i narysuj wektor tego pola. ) Potencjał pola elektrycznego w punkcie A jest równy zero. a) Oblicz wartość i znak ładunku q 3 jeżeli q q 1 4 C; b) Oblicz wartość natężenia pola w punkcie A. A q 1 q q 3 d d d 1

W zależności od rozkładu ładunku rozróżniamy: gęstość liniową ładunku λ, gęstość powierzchniową ładunku σ, + + + + + + + + + + + + + + + + + gęstość objętościową ładunku ρ + Dla ciągłego rozkładu ładunku, w zależności od rodzaju gęstości ładunku, pole wypadkowe może być całką liniową, powierzchniową lub objętościową: + + + + + + E + + + x de λ V ρ r dq dx dq ds dq dv kρdv rˆ 13

Przykład Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w punkcie P na osi liniowego rozkładu ładunku de x dq λdx de x kdq (x x (x x o ) k dx o ) xˆ xˆ Wypadkowe natężenie pola jest sumą pól pochodzących od ładunków elementarnych dq: E de x L 0 (x k λdx o x) x o kλ (x o L L) 14

Strumień pola (elektrycznego) - przypomnienie Dla dowolnej powierzchni E E E A E A E Ed A W prawie Gaussa występuje strumień przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą 15

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Całkowity strumień pola elektrycznego przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do całkowitego ładunku zawartego wewnątrz tej powierzchni. q q 0 0 E ds E S Właściwości powierzchni Gaussa: Powierzchnia Gaussa jest tworem hipotetycznym, matematyczną konstrukcją myślową, Jest dowolną powierzchnią zamkniętą, lecz w praktyce powinna mieć kształt związany w symetrią pola, Powierzchnię Gaussa należy tak poprowadzić aby punkt, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego leżał na tej powierzchni. 16

Od prawa Gaussa do prawa Coulomba Ładunek punktowy otaczamy powierzchnią Gaussa sferą o promieniu r ponieważ E const na powierzchni sfery oraz n ˆ E II cos 0 1 da ˆ n da Obliczamy całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa E E d A Ecosθ da EdA ΦE EdA E(4 πr ) 17

Korzystamy z prawa Gaussa E q ε o Porównujemy z obliczonym strumieniem E(4 πr ) q ε o E(r) q 4 πε o r Skoro E F q 0 więc F( r) 1 4 0 qq r 0 18

E Liniowy rozkład ładunku r > Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię Gaussa E πrhe symetria cylindryczna Całkowity ładunek zawarty wewnątrz powierzchni Gaussa zatem Q λh Wartość wektora natężenia pola elektrycznego E E Q ε o λ πε λh ε o o 1 r 19

Powierzchniowy rozkład ładunków Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa Z prawa Gaussa Wartość wektora natężenia pola E ES E Q ε E o σs ε σ o ε o 0

Pole elektryczne sferycznego rozkładu ładunków Całkowity strumień przez powierzchnię Gaussa będącą sferę o promieniu r wynosi: E 4 π r E Q Z prawa Gaussa: E ε Ładunek całkowity Q jest rozłożony tylko na powierzchni sfery o promieniu R Ze względu na rozkład ładunku rozważmy dwa przypadki: E r>r Q 4πε r o o Pole na zewnątrz pustej powłoki sferycznej jest takie jakby cały ładunek był skupiony w środku kuli 1

r<r wewnątrz powierzchni Gaussa tj. sfery o promieniu r nie ma ładunku czyli Q0, Φ E 0 a zatem E0 Pole wewnątrz naładowanej powłoki sferycznej wynosi zero

Zastosowania prawa Gaussa Prawo Gaussa stosujemy do obliczania natężenia pola elektrycznego gdy znamy rozkład ładunku lub do znajdowania rozkładu ładunku gdy znamy pole. Prawo Gaussa możemy stosować zawsze ale sens ma to tylko w tym przypadku gdy pole elektryczne wykazuje symetrię (sferyczną, cylindryczną). Aby skutecznie skorzystać z prawa Gaussa trzeba coś wiedzieć o polu elektrycznym na wybranej powierzchni Gaussa. 3

W praktyce zastosowanie prawa Gaussa jest ograniczone do konkretnych przypadków - symetrii: a) pole (jednorodne) od naładowanej nieskończonej płaszczyzny (powierzchniowy rozkład ładunku) b) pole (o symetrii cylindrycznej) od nieskończenie długiego pręta (liniowy rozkład ładunku) lub walca (powierzchniowy rozkład ładunku walec przewodzący, objętościowy rozkład ładunku - walec nie przewodzący) c) pole (o symetrii sferycznej) od naładowanej kuli lub powierzchni sferycznej 4

Przykłady zadań z zastosowania prawa Gaussa. Kula z dielektryka o promieniu R naładowana jest z gęstością ładunku zmieniającą się wraz z odległością od środka, opisaną zależnością r 1. Wyznaczyć rozkład natężenia pola E. max R Nieskończony metalowy walec o promieniu R, jednorodnie naładowano z gęstością + i otoczono innym współosiowym, cienkim metalowym walcem o promieniu R i takiej gęstości powierzchniowej ładunku -, że pole elektryczne na zewnątrz tych walców wynosi zero. Obliczyć rozkład pola w funkcji odległości od osi walców; Narysować wykres E(r); Określić gęstość - Odp. - ½ + 5

Pole elektryczne przewodnika Na powierzchni metalicznej (przewodzącej) cały ładunek gromadzi się na zewnątrz (wewnątrz pole E0). Istnieje tylko składowa prostopadła do powierzchni a składowa styczna równa się zeru (gdyby istniała składowa styczna to: po powierzchni płynąłby prąd wywołany ruchem elektronów). q E S 0 0 6

Dygresja matematyczna - operatory Operator przyporządkowuje np. polu skalarnemu odpowiednie pole wektorowe F g grade p E p gdzie iˆ x + ˆj y + kˆ z Gradient funkcji skalarnej to pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. 7

Dywergencja (źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. div E lim V 0 div E E E d V A jest w granicy nieskończenie małej objętości V, strumieniem wychodzącym ze źródła i określa jego wydajność V 8

Rotacja lub wirowość operator różniczkowy działający na pole wektorowe, tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Krążenie (cyrkulacja) pola wektorowego F po konturze zamkniętym jest zdefiniowane jako całka krzywoliniowa: dl dl C F dl Krzywa C ogranicza pewną powierzchnię zamkniętą rozpiętą na tej krzywej. to element drogi całkowania - ma kierunek styczny do krzywej C w danym punkcie. Jeżeli F jest siłą, to krążenie Γ ma sens fizyczny pracy. Jeżeli F jest siłą zachowawczą to Γ0. 9

Rotacja pola dl C l F d Prowadząc krzywą B tworzymy dwa zamknięte kontury C 1 i C takie, że: F d l F d l + C ( rot C 1 F) nˆ a i lim 0 C i C F d l definicja operatora rotacji F dl a i 30

rotacja wektora F: rotf F iˆ x F x ˆj y F y kˆ z F z Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym). 31

Przykład: Zbadać wirowość pola elektrostatycznego oraz pola magnetycznego przewodnika. C ds E Przewodnik z prądem i E l d 0 C rot E 0 C B dl 0 rot B 0 Pole magnetyczne jest polem wirowym. To określa prawo Ampère a. 3

a) b) Zadanie c) d) Trzy z przedstawionych pól wektorowych mają znikającą dywergencję w przedstawionym obszarze. e) a), b), d) Dwa z nich mają znikającą rotację. c), d) Proszę ocenić, które z pól mają omawiane własności? 33

Przykłady z rachunku operatorowego Mając zdefiniowane: - pole skalarne - pole wektorowe - wektory: r xiˆ + yj ˆ + zk oraz oblicz: a) grad r b) ( A r ) c) ( x, y, z) div V ( x, y, z) iv ˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ 1 x y z + jv x y z + kv3 ( x, y, z) ˆ grad d) A div A x rota iˆ + A ˆj + y e) A z kˆ ( ) 34

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót S E d A V div E dv Z prawa Gaussa w postaci całkowej: E d A S Q wew ε o gdzie Q wew V ρdv E d A S V ε ρ o dv Porównując wyrażenia podcałkowe: div E E ρ ε o 35

Potencjał pola Wektor natężenia pola istnieje zawsze Ε F q o Potencjał (skalar) istnieje tylko dla pól zachowawczych (potencjalnych) V E q p o 36

Wielkości charakteryzujące: siła F energia potencjalna E p natężenie potencjał V Ε oddziaływanie pomiędzy ładunkami punktowymi F E p 1 4 πε o 1 4 πε o q r q 1 q 1 q r rˆ pole elektrostatyczne Ε V F q o E q p o 37

Związek potencjału z natężeniem pola Dla dowolnej siły zachowawczej, zmiana energii potencjalnej de p dana jest wzorem: de p F d l q o Ed l Z definicji potencjału: dv de q o p E grad V praca dw E dv d l V 1 V න E dԧl 1 więc 38

V 1 V න E dԧl V V 1 V W q 0 1 Różnica potencjałów ΔV między dwoma punktami jest równa wziętej z przeciwnym znakiem pracy W wykonanej przez siłę elektrostatyczną, przy przesunięciu jednostkowego ładunku z jednego punktu do drugiego. Różnicę potencjałów nazywamy napięciem UΔV Jednostki: V Ep U 1V q o E V m J C 39

Potencjał pola jednorodnego V a >V b Potencjał wyższy V a a b Potencjał niższy V b d b b W Fc න F c dr න qe dr a a qv b qv a න qe dr a b V a V b න Edr a b 40

Potencjał pola ładunku punktowego Przesuwamy ładunek próbny q o do nieskończoności Ed s E ds z punktu P cosθ V VP E d s R R Edr Przyjmujemy V 0 i E 1 q 4 πε r o zatem V(r) 1 4 πε o q r 41

Potencjał ciągłego rozkładu ładunków Dla naładowanej ładunkiem powierzchniowym Q powłoki sferycznej, gdy r < R jest: E 0, czyli potencjał V jest wielkością stałą, niezależną od r. Dla r>r, V zanika z odległością r jak 1/r Zadanie: Pokazać, że potencjał dla powłoki sferycznej wykazuje taką zależność V(r) jak na powyższym wykresie 4

PRZYKŁAD: Uproszczony model atomu zakłada, punktowe jądro o ładunku +Q, które jest otoczone w odległości R powłoką elektronową będąca sferą naładowaną ładunkiem Q. A) Narysuj zależność E(r) i uzasadnij obliczeniami; B) Oblicz rozkład potencjału w funkcji odległości od jądra atomu.

Potencjał dipola Potencjał wytwarzany przez dipol w dowolnym punkcie P: V V 1 + V k Q r + k Q r 4πε 0 r r + r V Q l cosθ 4πε 0 r Q r + r Zakładamy: Q 1 4πε 0 r 1 r + r r r r r l cosθ w mianowniku do zaniedbania Moment dipolowy: Q l p stąd V 1 4πε 0 p r r l 44

Przykład Określic składowe pola elektrycznego E x oraz E y wytwarzanego przez dipol w dowolnym punkcie P(x,y), w płaszczyźnie dipola. Założyć, że r x + y 1Τ l Rozwiązanie: V 1 4πε 0 p cosθ r 1 4πε 0 cosθ x Τr x/ x + y p x x + y 1 3 E x V x p y x 4πε 0 x + y 5 E y V y p 4πε 0 3xy x + y 5 45

Pojemność C Q ΔV Jednostką pojemności jest 1F (farad). W praktyce używamy μf, pf, nf C V F Analogia między kondensatorem mającym ładunek q i sztywnym zbiornikiem o objętości V, zawierającym n moli gazu doskonałego: n V RT p q CV Przy ustalonej temperaturze T, pojemność kondensatora C pełni podobną funkcję jak objętość zbiornika. 46

Kondensator 47

Powierzchnia Gaussa Zadanie Okładki kondensatora płaskiego o powierzchni S znajdują się w położeniach x 0 i x d i naładowane są odpowiednio z gęstościami powierzchniowymi ładunku + i -. Efekty brzegowe są do zaniedbania. Korzystając z prawa Gaussa oblicz wypadkowe natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kondensatora (rysunek!) oraz narysuj wykres E(x). Korzystając ze związku między natężeniem pola E a potencjałem V oblicz różnicę potencjałów między okładkami oraz wyprowadź wzór na pojemność tego kondensatora. Oblicz energię tego kondensatora przy zadanej gęstości powierzchniowej ładunku. 48

Natężenie pola między okładkami obliczamy z prawa Gaussa: q E o ε o S z definicji Dla pola jednorodnego pokazaliśmy, że σ q E o q E o ε o S ε ε S V C E 0 q ΔV Energia kondensatora, gęstość energii o o d C E0 εo S εo S C E d d 0 Energia naładowania energii rozładowania kondensatora W q q U dq dq W C C n Objętość kondensatora V obj S d Gęstość energii qu qed Wn 0 W SdE n W V n obj 0E J m 3 49

Przykłady Jaka musiałaby być powierzchnia okładki kondensatora płaskiego, aby, przy odległości okładek d1 mm, uzyskać pojemność C1 F? S113 mln m Udowodnić, że pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża się wzorem πεol C ln( R R1) Kondensator kulisty, którego okładki są współśrodkowymi sferami naładowano ładunkiem Q. Jeżeli nastąpi przesunięcie wewnętrznej sfery (przy chwiejnej równowadze mogą zadziałać siły elektryczne) zaburzenie współśrodkowości, to czy pojemność kondensatora wzrośnie czy zmaleje? 50

Powłoka sferycznego balonika została naładowana z jednorodną gęstością powierzchniową ładunku. Do wnętrza tego balonika wprowadzono punktowy pyłek o ładunku q tego samego znaku co powłoka. Czy spowoduje to zmianę średnicy balonu? Oto rozumowania dwóch studentów: Jednoimienne ładunki się odpychają, a zatem dowolny element powłoki będzie odpychany od ładunku q co doprowadzi do wzrostu średnicy balonu. Równomiernie naładowana powłoka sferyczna nie wytwarza w swoim wnętrzu pola, co oznacza brak oddziaływania pomiędzy powłoką i ładunkiem q. A zatem średnica balonu się nie zmieni się. Który student ma rację? 51

dielektryki Dielektryki piezoelektryki ferroelektryki Dielektryki ładunki nie mogą się swobodnie przemieszczać ale możliwe są przesunięcia ładunków w skali mikroskopowej. HRW t.3 5

+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - E d E 0 E + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - C diel C 0 d q q q ładunek swobodny q indukowany ładunek polaryzacyjny E 0 V 0 d E V d V 0 ε 0 ε d - bez dielektryka (V 0 ) - z dielektrykiem (V) E E 0 ε 0 ε E 0 E d zatem ε ε 0 E d E 0 ε gdzie E 0 σ ε 0 natomiast gdzie E d σ d ε 0 σ d q S stąd σ d σ ε ε 0 ε 0 ε 0 ε i ostatecznie q q ε ε 0 ε 53

Płytka dielektryka ma moment dipolowy o wartości q d Dla każdego dielektryka można zdefiniować tzw. wektor polaryzacji: P Ԧp S d P q d S d q S σ d p + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - D P 0 E + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - +q - q +q -q zwrot wektora: od ładunku ujemnego do dodatniego ładunku indukowanego - jak w każdym dipolu. Prawo Gaussa dla obszaru: P ds P S q ර E ds q q q 1 ර P ds lub inaczej ර ε 0 E + P ds q ε 0 ε 0 ε 0 Aby powiązać wektory Eoraz P wprowadzamy wektor indukcji D D ε 0 E + P 54

0 A więc P - łączy ładunki polaryzacyjne E - dotyczy wszystkich ładunków D - łączy ładunki swobodne (jest taki sam dla próżni i dielektryka) Zdolność polaryzacji dielektryka pod wpływem pola elektrycznego określa podatność dielektryczna : P P 0 E ε d 1 A D ferro- -para elektryk T T C T T C gdzie A stała Curie-Weissa. histereza ferroelektryka E 55

Przykłady: Po naładowaniu płaskiego kondensatora zawierającego dielektryk, odłączono go od źródła, a następnie wysunięto dielektryk. Określ i uzasadnij jak zmieni się: Pojemność kondensatora jego ładunek Natężenie pola oraz napięcie między okładkami Energia kondensatora Do próżniowego, płaskiego kondensatora dołączonego do źródła napięcia wsunięto dielektryk. Jak wówczas zmienią się powyższe parametry kondensatora? 56

Połączenia kondensatorów Równoległe Va Vb U1 U U Q C 1 1 Q C Q C U Q Q + Q C U + C U C C ) U 1 1 ( 1 + Pojemność kondensatora zastępczego C C 1 + C 57

Szeregowe Q U U1 + U + C 1 Q C Pojemność kondensatora zastępczego 1 C 1 C 1 + 1 C 58

Zadanie: Dwa kondensatory o pojemności C każdy jeden próżniowy, a drugi zawierający dielektryk o stałej r połączono równolegle i naładowano do napięcia U. Następnie, po odłączeniu od źródła napięcia, z jednego kondensatora wyjęto dielektryk i wprowadzono do kondensatora próżniowego. Obliczyć wykonaną przy tym pracę. 59

Podsumowanie Elektrostatyka opisuje pola statyczne utworzone przez ładunki elektryczne w spoczynku. Pole elektrostatyczne jest zachowawcze (potencjalne). Pole to jest charakteryzowane przez wektor natężenia pola i potencjał. Wartość natężenia pola pochodzącego od konkretnych rozkładów ładunku obliczamy bądź z zasady superpozycji i prawa Coulomba bądź z prawa Gaussa. Kondensator jest urządzeniem, w którym magazynowana jest potencjalna energia elektrostatyczna. Gęstość energii zmagazynowanej jest proporcjonalna do kwadratu pola E. Prawo Gaussa w postaci całkowej lub różniczkowej stanowi jedno z równań Maxwella. 60

Wzory różniczkowe podsumowanie Funkcja skalarna: Funkcja wektorowa: ( x, y, z) W ( x, y, z) iˆ x + ˆj y + kˆ z grad divw W rotw W Dla pola elektrostatycznego: E grad V ρ div E rot 0 ε o E 61