ze Speciální teorie relativity

Poznámky ze Speciální teorie relativity Page 1 of 38

Následující text shrnuje a rozšiřuje mé poznámky ze Speciální teorie relativity přednášené v základním kurzu fyziky v zimním semestru 1999/2000 na MFF UK. Nečiním si nároky na úplnost a bezchybnost textu (i když alespoň o tu se snažím), doufám jen, že materiál by mohl být užitečný studentům, kteří se seznamují s čtyřvektorovým formalismem a speciální relativitou. Z mého dnešního pohledu jsem se rozhodl přidat několik odstavců osvětlujících infinitezimální Lorentzovy transformace a jejich vyjádření pomocí rapidity, což je užitečné pro kurz z Kvantové teorie pole. Komentáře a připomínky rád přijmu na adrese qitek@matfyz.cz Jiří Kvita, 2004 Page 2 of 38

1. Speciální teorie relativity (STR), Obecná teorie relativity (OTR), inerciální soustava (IS) 2. Budeme se zabývat transformací souřadnic (t, x, y, z) (t, x, y, z ) mezi soustavani IS a IS ve standardní konfiguraci, čímž budeme rozumět skutečnost, že v čase t = t = 0 osy obou systémů splývají a IS se pohybuje vůči IS podél osy x rychlostí v. Lze ukázat, že transformace musí být lineární (v následujícím odstavci budeme používat čtyřvektorový formalismus, a tak je možné jej při prvím čtení přeskočit): Uvažujme hodiny, které jsou v klidu vzhledem k soustavě S: dxi dt = 0. Budiž τ čas naměřený hodinami. Pak z požadavku homogenity času musí být dt dτ = konst. Celkově můžeme oba požadavky zapsat jako dx µ dτ = konst d2 x µ dτ 2 = 0. V IS ze stejných důvodů Na druhou stranu však máme d 2 x µ dτ 2 = 0. Page 3 of 38 dx µ dτ = x µ dx ν x ν dτ, d 2 x µ dτ 2 = x µ d 2 x ν x ν dτ 2 }{{} 0 + 2 x µ dx ν dx σ x ν x σ dτ dτ.

Aby byl výraz, jak požadujeme, nulový, musí nutně platit 2 x µ x ν x σ = 0 což znamená, že transformace je lineární. Z linearity pak můžeme psát x = y = µ, ν, σ Ax + Bt + Cy + Dz + E F x + Gt + Hy + Iz + J t = Kx + Lt + My + Nz + O. Lorentzovu transformaci odvodíme v následujících krocích: Věnujme se nejprve transformaci souřadnic y, z kolmých na x. Z relativity toho, která soustava se pohybuje musí být transformační vztahy invariantní vůči takzvané xz-inverzi x x, y y, z z, t t. Náš výběr souřadných soustav požaduje y = 0 y = 0 a tedy y = Hy. Ze symetrie vůči xz-inverzi je ovšem y = Hy a tedy H 2 = 1. Pro v 0 musí být y = y a získáváme tak první triviální transformační vztahy y = y, z = z. (1) Pro počátek souřadnic IS x = 0 pozorovaný z IS musí platit x = vt. Odtud C = D = E = 0, x = B A t, x = vt B A = v Máme tedy (s uvážením symetrie a relativity pohybu) x = A(x vt), x = A(x + vt ) Page 4 of 38

Nyní budeme aplikovat princip konstantní rychlosti světla: světelný signál vyslaný v čase t = t = 0 urazí v jednotlivých soustavách vzdálenosti x = ct, x = ct, přičemž x a x budou tytéž světobody pozorované z IS a IS. x = ct x = ct ct = A(x vt) ct = A(x + vt ) ct = ta(c v) ct = t A(c + v) Vynásobením posledních dvou rovnic dostaneme A 2 = 1 1 v 2 /c 2 a pro A volíme kladné znaménko s ohledem na to, že pro v 0 musí být x = x : A γ = Nyní nám stačí z nalezených rovnic 1 1 v2 /c 2. x = γ(x vt), x = γ(x + vt ) (2) eliminovat x. Vyjádříme-li si x = γ 2 (x vt) + γvt, bude a podle identity bude konečně t = 1 vγ [x(1 γ2 ) + γ 2 vt] 1 γ 2 = v γv c 2 γ t = γ (t v ) c 2 x. (3) Page 5 of 38

Zavedením pak zní β v c, γ 1 1 β 2 x = γ(x βct) ct = γ(ct βx) y = y 3. 3.1. Skládání rychlostí (4) z = z. (5) Opět uvažujme dvě inerciální soustavy IS a IS v obvyklé konfiguraci, a těleso, které se vůči soustavě IS pohybuje rychlostí u = d x dt. Zajímá nás, jak vypadá jeho relativní rychlost vůči soustavě IS u = d x dt. S použitím vztahů pro Lorentzovu transformaci (2) nalezneme u 1 = dx dt = γ(dx vdt) γ(dt v c 2 dx) = u 1 v 1 vu1 c 2 (6) Page 6 of 38

u 2 = dy dy dt = γ(dt v c dx) = u 2 γ ( ) (7) 1 vu1 2 c 2 u 3 = dz dz dt = γ(dt v c dx) = u 3 γ ( ) (8) 1 vu1 2 c 2 Všimněme si, že skládáním podsvětelných rychlostí stále získáme podsvětelné rychlosti, a že objekt pohybující se rychlostí světla se bude stejnou rychlostí pohybovat v kterékoli inerciální soustavě (při v < c). Často se ještě definuje rozdíl rychlostí (vzájemná rychlost) dvou těles, jak ji vidíme z dané inerciální soustavy: u w c, c. Tato rychlost je relevantní například v případě, kdy nás zajímá čas, za který se dvě tělesa minou, pozorujeme-li je v dané inerciální soustavě (rozdíl rychlostí například vystupuje ve vztahu pro tok bombardujících částic ve formulích pro účinný průřez). 3.1.1. Efekt strhávání světla médiem Začněme následujícím problémem (dle [2], str. 77): nechme šířit světlo průhledným tekoucím médiem (kapalinou, plynem). Otázka zní, zda je světlo strháváno ve směru proudění (drag effect). Fizeau v roce 1851 ukázal, že (podle jeho interpretace) éter vskutku strhávání způsobuje, ale jen částečně, a to tak, že pozorovaná rychlost světla byla u = u + v(1 1/n 2 ). Z dnešního pohledu jde o to, jakou rychlostí se světlo šíří vzhledem k inerciální soustavě IS, která se vůčí médiu pohybuje rychlostí v. Rychlost světla v daném prostředí je u = c/n, v naší soustavě, kde médium teče, bude podle relativistického skládání rychlostí u = u + v 1 + u v c 2 (u + v) ( 1 u v c 2 ) u + v ( 1 1/n 2) Page 7 of 38

a STR nám tak rychle dává elegentní vysvětlení. 3.2. Dilatace času V IS uvažujme v počátku umístěné nehybné hodiny (x 0). Protože ct = γ(ct βx), bude pro časové intervaly mezi dvěma událostmi, které obě nastaly v x 0 (např. dvě po sobě jdoucí tiknutí hodinek), platit t = t 2 t 1 = γ(t 2 t 1 ) = γ t, (9) tedy v IS vidíme, že pohybující se hodiny v IS jdou pomaleji, uběhne na nich kratší interval než v IS (jest vždy γ 1). V praxi bývá problém nalézt hodiny, jejichž chod je jen málo ovlivněn zrychlením. Ideální laboratoří jsou například rozpady částic (minony vznikající v horních vrstvách atmosféry s dobou života kolem 2, 197 10 6 s by bez dilatace svých vnitřních hodin i při rychlosti světla urazily pouhých 600m). Dilatace času je však pozorovatelná i s makroskopickými hodinami, první pokus byl proveden roku 1971 (Hafele, Keating, Science 177, 166, 1972) s přesnými cesiovými hodinami a komerčními aerolinkami! Další zajímavou aplikací jsou svazky částic v urychlovačích, které, majíce stejný náboj, podléhají elektrostatické repulzi na určité typické časové škále, která se (pozorována z laboratoře) prodlužuje s rychlostí oběhu. Notoricky známý paradox dvojčat je typickým příkladem toho, že lidé si na rlativitu a závěry z ní plynoucí ještě stále nezvykli. Dvojče, které je vysláno na okružní cestu Vesmírem, se vrátí na Zemi, kde jeho protějšek zestárl, nebot viděl bratra či sestru pohybovat se a sledoval, jak mu plyne pomaleji čas. Argumenty lze zdánlivě obrátit a tvrdit, že totéž přece vidělo i dvojče kosmonaut: bratr se vzdaloval, letěl, a také mu Page 8 of 38

plynul čas pomaleji. Přesto, když se setkají, je nutné, aby existovala jediná fyzikální realita. Problém je, že situace zdaleka není tak symetrická, aby bylo možno pohledy rovnocenně obrátit: na cestovatele působilo zrychlení, které vytváří onen skrytý rozdíl mezi oběma pozorovateli, paradox je tak vlastně plně vysvětlitelný až v rámci obecné relativity. 3.3. Kontrakce délek V inerciální soustavě IS uvažujme tyč, jejíž konce mají souřadnice x 1 a x 2, délka tyče je tedy L = x 2 x 1. Proved me nyní měření délky tyče v IS, a to tak, že ve stejný čas t 1 = t 2 odečteme souřadnice konců tyče, a získáme tak události (t 1, x 1) a (t 2, x 2). Zajímá nás délka tyče v IS L = x 2 x 1. Protože dostáváme jednoduše x 1 = γ(x 1 + vt 1), x 2 = γ(x 2 + vt 1), L = 1 γ (x 2 x 1 ) = L γ. (10) V IS tedy naměřím pohybující se tyči kratší délku než v její klidové soustavě. Efekt má své kořeny v relativitě současnosti (museli jsme současně udělat rysky pro odečtení vzdálenosti). Podotkněme, že náš výsledek neznamená, že relativisticky se pohybující objekty vypadají kontrahovány, do reálného vzhledu objektů vstupují také efekty toho, že paprsky z různých částí tělesa k nám vyrazily v odlišný čas. Page 9 of 38

4. 4.1. Časoprostorový invariant je jeviště pro fyzikální dění 1 a vyjadřuje oboustrannou provázanost časové a prostorových souřadnic v Lorentzově transformaci. Jde o pseudoeuklidovský prostor E 3 R, jehož prvky jsou události. V klasické fyzice je invariantní veličinou vzdálenost ( l) 2 = ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2. V jakémkoli vztažné soustavě je pak ( l) 2 veličina nezávislá na výběru inerciálního systému. Ve speciální relativitě však musíme započítat i časovou odlehlost událostí: ( s 2 ) = c 2 ( t) 2 + ( l) 2 (11) ( s) 2 = c 2 ( t) 2 + ( x) 2 + ( y) 2 + ( z) 2. (12) Že jde skutečně o invariant vůči Lorentzově transformaci, tj. ( s ) 2 = ( s) 2, lze ověřit přímo dosazením transformačních vztahů. 4.2. Čtyřvektory Zaved me konvenci, kdy klasické 3-vektory budou mít složky značené indexy psanými latinkou, kdežto čtyřvektory, prvky u, budou mít složky indexované řeckými písmeny, tedy např. x µ značí x 0 ct, x 1 x, x 2 y, x 3 z. Řecký, prostoročasový, index tedy bude nabývat hodnot 0, 1, 2, 3 a čtyřvektor má tvar x µ = (ct, x, y, z) (ct, x) (řecký index ponecháváme na zdůraznění, že jde o 4- vektor). 1 V obecné relativitě se pak i toto jeviště mění s hmotou a energií a samo vstupuje do hry. Page 10 of 38

Klasicky můžeme psát invariant pomocí Kroneckerova symbolu jako skalární součin ( l) 2 = δ i j x i x j V našem případě musíme zavést nový Minkowského tensor η abychom mohli psát analogicky kde ( s) 2 = η µν x µ x ν, (13) 1 0 0 0 0 1 0 0 η µν = (14) 0 0 1 0 0 0 0 1 je speciální případ metrického tensoru. V obecné relativitě je obecně ( s) 2 = g µν x µ x ν (15) a metrický tensor nám říká, jak utvořit inavriantní vzdálenost ze souřadnicových odlehlostí. Vzdálenost závisí na křivosti plochy, podél které měřím, dle plochy se tvoří různě i invariant, tj. tensor poskytuje informaci o geometrii, ve které měřím vzdálenost. Pro ilustraci ještě přejděme ke sférickým souřadnicím (a místo pišme d). Lze ukázat (diferencováním převodních vztahů mezi sférickými a kartézskými souřadnicemi), že v tomto případě je (ds) 2 = c 2 dt 2 + dr 2 + r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ) g µν dx µ dx ν 1 0 0 0 0 1 0 0 g µν = 0 0 r 2. 0 0 0 0 r 2 sin 2 ϑ Page 11 of 38

Zde již maticové elementy nejsou konstanty a podléhaly by derivování! V obecné relativitě bereme diferenciál ds, nebot jde o lokální infinitezimální veličinu charakterizující zakřivení prostoru v daném bodě. Uvědomme si, že prostoročasový interval ds může být i veličina záporná. V literatuře se lze setkat s definicí skalárního součinu čtyřvektorů, kde záporné znaménko přísluší všem prostorovým souřadnicím a kladné je u časové souřadnice (viz. přednášky z teorie pole na MFF nebo učebnice R. P. Feynmana). Jedná se však o pouhou konvenci výběru skalárního součinu se signaturou (1,3) nebo (3,1), fyzika zůstává stejná (pokud různé konvence nepomícháte:) Nadefinujeme dále veličinu vlastní čas. Předpokládejme, že objekt je v klidu v dané IS, tedy dx i 0 i, Jediná souřadnice, která se může měnit, je čas, který označíme pro odlišení jako τ 4.3. Snižování a zvyšování indexů c 2 dτ 2 = η µν dx µ dx ν. (16) Nadále budeme uvažovat konvenci, kde vektory mají indexy nahoře a formy dole. Pomocí Minkowského tensoru lze však indexy zvyšovat a snižovat. Index snížíme zapůsobením bilineární formy, výsledným produktem pak bude (lineární) forma: E µ η µν = E ν (17) Podotkněme, že Minkovského tensor je symetrický a lze tedy prohazovat indexy. Zaved me dále inversní Minkowského tensor definičním vztahem η µν je tedy inversní matice a ukazuje se, že jest opět η µα η αν = δ µ ν (18) Page 12 of 38

Pak lze s indexy pracovat třeba následovně: 1 0 0 0 η µν 0 1 0 0 = (19) 0 0 1 0 0 0 0 1 E α = η αν E ν = η αν η νµ E µ = δ α µe µ = E α (20) Skalární součin dvou vektorů lze pak psát jako A B = η µν A µ B ν = A ν B ν = A µ B µ. (21) Uvědomme si, že skalární součin je bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí podle jistých pravidel reálné či komplexní číslo a je výhodné jej representovat jako působení formy (prvek duálního prostoru) na vektor. Obdobně lze i úžit tensory, jako příklad si uved me úžení tensoru ve dvou indexech: T αβσ γβσ = T α γ. Má-li tensor právě dva indexy, pak jde v tomto případě o stopu 2 : Tr T = T σ σ = η σα T σα T. 4.4. Matice Lorentzovy transformace Protožev transformace je kvůli zachování prostoročasového intervalu lineární, můžeme přechod od jednoho systému k druhému vyjádřit pomocí matice 2 Tr z anglického Trace, případně též Sp z německého Spur:) x µ = Λ µ ν x ν. (22) Page 13 of 38

Takže například ct = x 0 = Λ 0 0 x 0 + Λ 0 1 x 1 + Λ 0 2 x 2 + Λ 0 3 x 3. Srovnáním se vztahy pro Lorentzovu transfomaci x x 1 = γ(x 1 vt) γx 1 γ v (ct) (23) c a zavedením β = v c ct x 0 = cγ(t v c 2 x1 ) γct γ v c x (24) γ βγ 0 0 Λ µ βγ γ 0 0 ν =, (25) 0 0 1 0 0 0 0 1 což je matice speciální Lorentzovy transformace (tj. v má směr osy x +, v čase t = 0 počátky obou systémů splývají, stejně tak osy x x ). 4.5. Inverzní Invariance prostoročasového intervalu (x y) 2 (x µ y µ )(x µ y µ ) = (x µ y µ)(x µ y µ ) (x y ) 2 Page 14 of 38 implikuje tedy maticově η µν Λ µ ρ Λ ν σ = η ρσ, Λ T η Λ = η

Λ 1 = η Λ T η. x µ = Λ µ νx ν x µ = Λ µ ν x ν 4.6. Infinitezimální transformace Nejprve si ze vztahů Lorentzovy transformace spočtěme S uvážením, že a zadefinováním rapidity 3 φ nalezneme x ct = γ(x βct ct + βx) = γ(1 + β)(x ct), x + ct = γ(x βct + ct βx) = γ(1 β)(x + ct). γ(1 ± β) = 1 ± β 1 β 1 + β φ ln 1 β x ct = e φ (x ct) x + ct = e φ (x + ct). Přímočaře tak můžeme ověřit zachování prostoročasového intervalu x 2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2. 3 Často se rapidita definuje ještě s faktorem 1/2 před logaritmem. Page 15 of 38

Po jednoduchém dosazení dále nalezneme maticově pak a nalezneme ( ct x ) = x = x cosh φ ct sinh φ ct = x sinh φ + ct cosh φ, ( cosh φ sinh φ sinh φ cosh φ γ = cosh φ, βγ = sinh φ. ) ( ) ct x Uvažujme nyní infinitezimální transformaci φ = ε (tedy malé rychlosti) ( ) cosh ε sinh ε Λ(ε) = 1 ( ) e ε + e ε e ε + e ε sinh ε cosh ε 2 e ε + e ε e ε + e ε = = 1 [( ) ] [ ( ) ] 2 2ε 0 ε + O(ε) 1 + 2 2ε 2 ε 0 }{{} iεn x A tedy Λ(ε) = 1 + iεn x. Libovolnou Lorentzovu transformaci podél osy x pak můžeme zapsat jako kde generátor boostu podél osy x Λ(φ) = exp(iφn x ), N x = ( ) 0 i. i 0 Page 16 of 38

Ve třech rozměrech nalezneme ( x = exp iφn v ) x v 0 i 0 0 0 0 i 0 0 0 0 i i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N x = N 0 0 0 0 y = N i 0 0 0 z =. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 Tyto vztahy jsou hojně užívány v relativistické kvantové mechanice a teorii pole, kde se zkoumá Lorentzova a Poincaréova grupa. 5. 5.1. Zákony zachování a relativistická hmotnost 5.2. Relativistická dynamika bez 4-vektorů Relativisticky je tedy možné hybnost zadefinovat obdobně jako klasicky p = m v, pouze m zde representuje relativistickou hmotnost m = γm 0. Relativistickou 3-sílu pak můžeme definovat obdobně, totiž jako časovou změnu impulsu Page 17 of 38 Zrychlení lze vyjádřit jako F = d p dt = v dm dt + m d v dt. (26) a = d v dt = 1 ( F v dm ). (27) m dt

Zkusme si nyní odvodit konečný výraz pro zrychlení. S použitím de = c 2 dm, dt = F d s = F d s dt dt = F v dt (28) a za předpokladu, že síla nemění klidovou hmotnost částice (viz diskuse u čtyřsíly) si nejprve spočítáme Zrychlení pak bude dm dt = 1 d c 2 dt (E) = 1 d ( m0 c 2 c 2 + T ) = 1 dt dt c 2 dt = 1 c 2 F v. (29) a = 1 m ( F 1 ) c 2 v F v (30) Zrychlení tedy není obecně kolineární s působící silou. Uvažujme dva důležité speciální případy: F je kolineární s v, pro jednoduchost uvažme i stejný smysl obou vektorů, tj. F = k v, kde k > 0. Pak a = 1 ( ) F v2 m c 2 F (31) a tedy m a = F 1 γ 2 (32) F = m 0 γ 3 a (33) Můžeme tak přirozeně zavést rovnoběžnou hmotnost m = m 0 γ 3. Všimněme si, že pro udělování kostantního zrychlení potřebujeme, aby síla rostla s γ 3! Page 18 of 38

Síla je kolmá na směr pohybu, F v = 0, a tak a odpovídající kolmá hmotnost je m = m 0 γ. 5.3. 4-rychlost, 4-zrychlení, 4-síla F = m 0 γ a (34) V klasické mechanice je rychlost definována jako tečna k trajektorii: v i = dxi dt. V relativitě však nemůžeme použít diferenciál dt, nebot nejde o invariant, ale nabízí se vzít vlastní čas dτ. Je tedy rozumné nadefinovat čtyřrychlost jako Spočtěme si výraz u µ dxµ dτ = dt dx µ dτ dt (35) dt dτ = 1 c dt ηµν dx µ dx = ν c dx η µ dx ν µν dt dt (36) dx µ dt je rovno z definice x µ výrazu dxµ dt odmocninou je pak c 2 v 2 a tedy = (c, v), nebot dx 0 = cdt. Skalární součin pod Page 19 of 38 dt dτ = c c2 v γ (37) 2 (pro lepší zapamatování se uvědomme, že vztah připomíná zdiferencovaný vztah pro dilataci času) a konečně u µ = γ(c, v) (38)

Čtyřrychlost je normalizovaná: η µν u µ u ν = η µν dx µ dτ dx ν dτ = ds2 dτ 2 = γ2 ( c 2 + v 2 ) = c 2. (39) Reálné čtyřrychlosti jsou časupodobné, skalární součin dvou čtyřrychlostí je záporný. Každý objekt se tedy v čtyřrozměrném prostoročase pohybuje právě rychlostí světla. Obdobně nadefinujeme čtyřzrychlení a µ dvµ dτ. (40) Všimněme si, že z u u = c 2 = konst plyne ortogonalita 4-rychlosti a 4-zrychlení: Protože 0 = d (u u) = 2u a dτ ( a µ = γ a µ = γ = c dγ dγ, v dt dt + γ d v dt ( 1 dγ dt = dγ dv i dv i dt ( 4 v a γ c Vidíme, že a µ = γ(0, a) pouze v případech a v = 0 ) 1 2 v v c 2 = γ3 v a c 2 ). ), v a vγ4 + γ 2 a. (41) c 2 Page 20 of 38

v = 0, což nastane v klidovém systému studované částice. a µ 0 a = 0 v klidovém systému částice. S využitím identity nalezneme a můžeme si tak spočíst ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl (u a) 2 = u 2 a 2 ( u a) 2 α 2 a 2 = a µ a µ = γ 6 ( a 2 a ve shodě s našimi předchozími výsledky nalezneme, že pro v a je α = γ 3 a pro v a je α = γ 2 a Nadefinujme čtyřsílu ) ( v a)2 c 2 F µ dpµ dτ = dm 0 dτ uµ + m 0 a µ (42) F µ = γ d ( 1 dt (γm de 0c, m 0 γ v) = γ c dt, d p ) ( ) 1 de = γ dt c dt, F, kde F je již dříve zavedená Lorentzova 3-síla. Spočtěmě si skalární součin F µ u µ = dm 0 dτ uµ u µ + m 0 a µ u µ = c 2 dm 0 }{{} dτ 0 Page 21 of 38

F µ u µ = γ 2 de ( dt + γ2 F v = γ F v de ). dt Síla zachovávající klidovou hmotnost je tedy charakterizována tím, že ( ) F µ u µ = 0 F v = de F v dt F µ = γ, F c a platí tak pro ni vztah známý z Newtonovy mechaniky F d r = de, (43) změna energie je pak čistě kinematická. 6. Relativistická elektrodynamika Už klasická elektrodynamika (KED) je invariantní vůči Lorentzově transformaci, přepisem Maxwellových rovnic do čtyřvektorového hávu tak tedy v principu nemůžeme získat nic nového, vztahy však nabudou nového symetričtějšího tvaru a nově rozpoznáme např. příčný Dopplerův efekt. Samotná invariance rovnic elektrodynamiky se dokonce stala stimulem pro speciální relativitu, jejíž kořeny tak musíme hledat od Einsteina a Lorentze až k Maxwellovi. Připomeňme si několik výsledků KED: rot H = j + D t div D = ϱ div B = 0 (44) rot E = B t. (45) Page 22 of 38

Je výhodné zavést elektromagnetické potenciály a nejednoznačnost v jejich volbě určit Lorenzovou kalibrační podmínkou: 1 ϕ c 2 t + div A = 0 (46) B = rot A E A = grad ϕ t. (47) Budeme-li uvažovat lineární homogenní isotropní prostředí, lze použít lineární materiálové vztahy D = εe B = µ H (48) Celkovou proudovou hustotu j si můžeme rozložit (Kvasnica, X.I) na vodivý proud σe a prudovou hustotu J vnějších zdrojů: j = J+σ E. Totální proud získáme připočtením Maxwellova proudu D t. Za těchto podmínek pak přejdou vlnové rovnice pro potenciály do výhodného tvaru ϕ 1 c 2 2 ϕ t 2 = ϱ ε (49) A 1 c 2 2 A t 2 = µ j. (50) Zdroje vystupující v těchto rovnicích určují výsledné pole, nejsou jimi však dány pohybové rovnice těchto zdrojů. Z rovnic plyne na zdroje jediné omezení, a to rovnice kontinuity vyplývající přímo z Maxwellových rovnic: ϱ t div j = 0. (51) Potenciály A a ϕ mají dohromady čtyři nezávislé složky, jsou však vázány Lorenzovou kalibrační podmínkou. Celkem máme tedy tři nezávislé veličiny namísto původně Page 23 of 38

šesti složek vektorů B a E. Za to jsme ovšem zaplatili zvýšením řádu rovnic z prvního (Maxwell) na druhý. Čtyři složky potenciálů (byt provázané) nás vedou k myšlence zavést potenciál jediný, čtyřpotenciál. Pokusme se jej nadefinovat následovně (později výhody této definice oceníme): ( ϕ A µ = c, A ) (52) Ještě si nadefinujme čtyřgradient µ = ( 1 ) c t,, (53) s jehož pomocí bude čtyřdivergence čtyřvektoru zapsatelná jako A µ x µ = η µν µ A ν = ν A ν = A (54) Z definice snadno ověříme, že Lorenzova podmínka se pak dá zapsat elegantně jako A µ x µ Aµ,µ = 0, (55) kde jsme použili značení derivace jako,, což značí, že veličina je derivována podle všech indexů (horních i dolních!), ktreré následují za čárkou. Dále si zadefinujme čtyřrozměrnou analogii Laplaceova operátoru, a uvidíme, že se vlastně jedná o operátor d Alembertův (skalární součin dvou čtyřgradientů): = η µν µ ν = 1 c 2 2 t 2 + (56) Jde přesně o operátor vystupující ve vlnové rovnici. S výhodou můžeme dále zadefinovat hustotu čtyřproudu (čtyřproud): J µ = (cϱ, j ) (57) Page 24 of 38

Vlnové rovnice pak přejdou v jedinou A ρ = µj ρ (58) (uvědomme si, že µ označuje permeabilitu vakua). Ověřme si pro zajímavost ekvivalenci rovnic pro index µ = 0: A 0 = ϕ c = 1 c ϕ + 1 c 3 2 ϕ t 2 = µj 0 = µϱc = ϱ cε. (59) Použitím c 2 = 1 εµ skutečně získáme první z (nehomogenních) vlnových rovnic pro potenciály. Do elegantního tvaru nám také přejde rovnice kontinuity, rozepsáním si snadno ověříme, že ji lze zapsat jako čtyřdivergenci čtyřproudové hustoty: J µ,µ = 0. (60) Čeká nás však ještě úkol ověřit, zda nově zavedené veličiny jsou skutečně čtyřvektory. Uvědomíme-li si, že klasická hustota proudu je j = ϱ v, pak můžeme psát J µ = (cϱ, ϱ v) = dq (c, v). (61) dv Ovšem objem V není relativistický invariant, tím je zase pouze vlastní objem V 0 : dv 0 = γdv ϱ = dq dv = dq dv 0 dv 0 dv = γ dq dv 0 = γϱ 0, (62) J µ = ϱ 0 γ(c, v) = ϱ 0 u µ. (63) Vidíme, že čtyřprudová hustota J µ je pouze násobkem čtyřrychlosti u µ, nebot ϱ 0 je skalár, invariant. Čtyřproud je tedy čtyřvektor. Z vlnové rovnice plyne, že čtyřvektorem Page 25 of 38

je i A µ, nebot d Alembertián se dá vpodstatě chápat jako skalár, byt jde o operátor, a máme tedy rovnici, v níž na jedné straně je násobek čtyřvektoru, čímž i na levé straně musí vystupovat čtyřvektor-čtyřpotenciál. Připomeňme však, že z definice je čtyřvektor veličina transformující se následujícím způsobem: 6.1. Tensor elektromagnetického pole A µ = Λ µ ν A ν. (64) Nejprve několik poznámek ke klasickým vektorům elektromagnetického pole: B je takzvaný axiální vektor, při inverzi souřadnic nemění svůj směr v kontrastu s polárními, které mění znaménko. Axiální vektory vznikají vektorovým součinem dvou polárních vektorů, původně jde totiž o tensory. Tak jest například B ij = i A j j A i. (65) Jde o antisymetrický tensor, jenž má tři nezávislé složky (na diagonále jsou nuly a dále B ij = B ji ), které můžeme ztotožnit se složkami nějakého vektoru následujícím vztahem: B k = 1 2 ɛkij B ij. (66) Inverzní vztah pak zní: B ij = ɛ ijk B k. (67) V Minkowského prostoru zavedeme antisymetrický tensor, jenž bude mít šest nezávislých složek a nebude již tedy rozumné jej ztotožnit s jedním vektorem, ale se dvěma: E a B. Pokusme se tedy o čtyřrozměrné rozšíření tensoru B ij následujícím způsobem: F µν = A ν,µ A µ,ν. (68) Page 26 of 38

Pokusme se zjistit, jak tensor vypadá. Vidíme, že jeho prostorová část je shodná s původním klasickým tensorem: F ij = B ij = ɛ ijk B k. (69) Jde opět o tensor antisymetrický, tj i jeho stopa bude F i i = 0. Jak je tomu s časovými složkami? F 0j = A j,0 A 0,j = A j,0 + A 0,j = 1 c A j t + 1 c ϕ = Ej x j c (pokud zvedáme nahoru latinský index, nic se neděje, zvednutím nuly však musíme změnit znaménko, nebot v naší konvenciη 00 = 1) Vidíme, že časové složky jsou složkami vektoru elektrické intenzity. Konečně se můžeme podívat na výsledný tvar tensoru elektromagnetického pole: 0 E1 c E 1 F µν = F µν = E2 c E3 c c 0 B 3 B 2 E 2 c B 3 0 B 1 E 3 c B 2 B 1 0 0 E 1 c E 2 c E 3 c (70), (71) E1 c 0 B 3 B 2 E2 c B 3 0 B 1. (72) E3 c B 2 B 1 0 Nejdůležitější vektory elmag. pole E a B (určují Lorenzovu sílu a tím tedy i působení pole) jsou svázány do jednoho tensoru (a to opět velice výhodně, jak uvidíme za chvíli). Obě pole jsou provázaná a nemá tak smysl hovořit o samostatném elektrickém či magnetickém poli. E a B jsou totiž složky tensoru a nejsou invarianty, závisí na pozorovateli. Page 27 of 38

Mám-li však alespoň jednu složku tensoru F µν nenulovou, nemohu již najít takový inerciální systém, kde by byly nulové všechny složky. Lze však najít systémy, kde např. jeden pozorovatel pozoruje pouze pole magnetické, zatímco druhý třeba pouze elektrické a třetí obě. Tensor elektromagnetického pole se obecně transformuje jako dvakrát kontravariantní vektor (každý index se transformuje pomocí matice Lorentzovy transformace) F µν = Λ µ αλ ν βf αβ (73) 6.2. Maxwellovy rovnice Nyní si odvodíme základní soustavu rovnic elektrodynamiky za pomoci námi zavedených nových veličin z předchozího odstavce. Nejprve si ale trošku zaderivujeme, spočtěme si čtyřdivergenci tensoru elmag. pole (jde o úžení tensoru): F µν, ν = A ν, µ ν A µ, ν ν (74) Pokud u prvního členu v rozdílu prohodíme pořadí derivací, získáme (derivovanou) Lorenzovu kalibrační podmínku, a tedy první člen je identická nula. Ve druhém členu máme stopu přes d Alembertián a získáme tak vlnový operátor. S použitím vlnové rovnice pro čtyřpotenciál dostaneme výsledek F µν, ν = A µ = µj µ (75) Dále si ukážeme, že v této soustavě jsou zahrnuty všechny Maxwellovy rovnice ve vakuu. Spočtěme si nejprve prostorové složky rovnice: pro µ = i F i0, 0 +F ij, j = µj i Page 28 of 38

Rozepsáním jednotlivý složek 1 c 2 E i t + ɛ ijk j B k = µj i, kde ve druhém členu poznáváme vektorový součin nabla-operátoru s vektorem magnetické indukce, tj. εµ E1 t + (rot B) i = µj i Uvážíme-li, že D = ε E, B = µ H a J i = j i, dostaneme rot H = j + D t. Podíváme-li se na časovou složku rovnice, získáme F 0ν, ν = F 0j, j = µj 0 = µcϱ Jde o divergenci prostorové části prvního řádku tensoru elmag. pole, tedy: 1 c div E = µcϱ div E = ϱ ε, čímž máme uzavřenu první sérii Maxwellových rovnic. Nyní si následovně zadefinujme takzvaný cyklický index: F [µνϱ] F µν, ϱ +F ϱµ, ν +F νϱ, µ Page 29 of 38

= A ν, µϱ A µ, νϱ +A µ, ϱν A ϱ, µν +A ϱ, νµ A ν, ϱµ = 0 Výraz je tedy plně antisymetrický vzhledem ke všem indexům. Protože vztah platí pro všechny trojice indexů, můžeme si nejprve vybrat třeba µνϱ = 123: a tedy µνϱ = 0jk: F 12, 3 +F 32, 1 +F 21, 3 = B 3, 3 +B 2, 2 +B 1, 1 div B = 0 F 0j, k +F k0, j +F jk, 0 = 1 c E j, k + 1 c E k, j + 1 c ɛ B l jkl t Vynásobme rovnici výrazem ɛ ijk : t ɛ jkl ɛ ijk B l = ɛ ijk j E k ɛ ijk k E j Pokud u druhého členu pravé strany prohodíme indexy jk v Levi-Civitově tensoru (čímž se nám změní znaménko), získáme stejný vektorový součin jako ve členu prvním, celkem tedy (po přeznačení indexů) 2 rot E. Dále je třeba si uvědomit, že ɛ jkl ɛ ijk = ɛ ljk ɛ ijk = 2δ i l. Tedy 2δ i l t B l = 2ɛ ijk j E k Bi t = (rot E) i rot E = B t, čímž máme Maxwellovy rovnice uzavřeny. = 0 Page 30 of 38

6.3. Poznámka ke kalibraci potenciálů Telegrafní rovnice pro potenciály (odvozené z Maxwellových rovnic a z materiálových vztahů ( j = J + σ E, D = ε E, B = µ H) a za pomoci identity rot rot = grad div ) v lineárním obecně vodivém prostředí mají tvar A µσ A ( t grad div A + µε ϕ ) t + µσϕ = µ J (76) ϕ + t div A = ϱ ε. (77) Druhou rovnici lze upravit přičtením dvou nulových výrazů na ϕ µσ ϕ t + t (div A + µε ϕ t + µσϕ) = ϱ ε Zde vidíme výhodnost zavedení Lorenzovy podmínky, jejíž obecný tvar zní: (78) div A + µε ϕ t + σµϕ = 0 (79) Jejím aplikováním vymizí třetí členy na pravých stranách. Ukážeme, že Lorenzovu podmínku lze na vždy splnit, jinými slovy lze najít takové potenciály, které ji budou splňovat. Je jednoduché si ověřit, že potenciály A a ϕ se dají změnit následujícím způsobem, aniž by to mělo vliv na fyzikální pole 4 E, B: A + = A + grad χ (80) 4 Hovoříme o kalibrační invarianci Maxwellových rovnic (moderní teorie pole jako třeba teorie elektroslabých iterakcí či kvantová chromodynamika jsou postaveny na principu kalibrační invariance vůči určité grupě transformací, v našem případě jde o grupu U(1)). Page 31 of 38

ϕ + = ϕ χ t Dosad me do Lorenzovy podmínky v nevodivém prostředí: div A + + εµ ϕ+ + div grad χ εµ 2 χ t t 2 = 0 (82) Vidíme, že nově zavedené potenciály budou Lorenzovu podmínku splňovat, pokud pro kalibrační funkci χ bude platit vlnová rovnice: (81) χ = 0. (83) Pak budou telegrafní rovnice vlnovými nehomogenními rovnicemi, a naštěstí již nebudou tak silně provázány. A µσ A t = µ J ϕ µσ ϕ t = ϱ (84) ε Podotkněme, že například pomocí Greenovy funkce se dá ukázat, že rovnice pro χ je vždy řešitelná a potenciály lze pokaždé takto nakalibrovat. Zapišme nyní tyto podmínky ve tvaru čtyřvektorů: Zaved me nový čtyřpotenciál (pozměněný o čtyřgradient skalární funkce) vztahem: ( ) ( ϕ A +µ + = c, A ϕ + = c 1 ) χ c t, A + χ = A µ + µ χ (85) při podmínce χ = 0. Pak tensor elmag. pole bude (ze záměny derivací) nezměněn: F +µν = A +ν, µ A +µ, ν = A ν, µ A µ, ν + µ ν χ ν µ χ = F µν Page 32 of 38

Podívejme se, jak je tomu s vlnovou rovnicí: A +µ = α α A +µ = α α (A µ + µ χ = A µ + µ α α χ = A µ + µ χ = A µ = µj µ. Vlnová rovnice je tedy vskutku nezměněna. Pro orientaci a pro ujasnění pojmů si to můžete ověřit i ve složkách: Položme µ = j: A +j = α α ( A j + χ x j Položme µ = 0: A +0 = α α A +0 = 1 c 2 2 ) = 1c 2 2 t 2 = A j + χ = µjj xj t 2 ( A j + χ ) ( x j + A j + χ ) x j ( ϕ χ ) ( + ϕ χ ) = ϕ t t t χ Page 33 of 38 = ϕ = ϱ ε 6.4. Vlnová rovnice Zkusme si vyřešit vlnovou rovnici A µ = 0 (86)

ve vakuu. Hledejme řešení ve tvaru harmonických vln (A µ 0 je amplituda a k σ je vlnový vektor) spolu s podmínkou Dosazením naší násady získáme dvě podmínky Z vlnové rovnice plyne A µ = ɛ µ e ikσxσ, (87) A µ,µ = 0 (88) A µ = α α A µ = α (ik α A µ ) = k α k α A µ = 0 (89) Aby byl výraz nulový, musí být k α k α = 0, ale to znamená, že signál se šíří rychlostí světla, jde o tečnu ke světelnému kuželi. Z Lorenzovy podmínky pak A µ, µ = ik µ A µ = 0 ɛ µ k µ = 0, (90) tj. 4-potenciál je ortogonální k vlnovému vektoru a specálně i polarizační vektory ɛ µ. Ve čtyřrozměrném prostoru můžeme najít ortogonální systém polarizačních vektorů ε µ (k, λ) λ = 1, 2: ε µ (k, λ) = (0, ε(k, λ)), kde k ε = 0 (transverzální polarizace) λ = 0: ε µ (k, λ) = (1, 0, 0, 0) ( skalární polarizace) λ = 3: ε µ (k, λ) = (0, k/ k ) (longitudinální) Z nich jsou fyzikální polarizace splňující Lorenzovu podmínku pouze případy λ = 1, 2. Page 34 of 38

Obecné řešení vlnové rovnice spolu s Lorenzovou podmínkou můžeme pro reálný 4- potenciál (A µ = A µ ) zapsat jako 2 A µ (x) = d 3 [ k a(k, λ)ɛ µ (k, λ)e ik x + a + (k, λ)ɛ µ (k, λ)e ik x]. (91) λ=1 Ověřme nyní, že vlnový vektor je skutečně 4-vektor: k σ x σ musí být skalár, ale protože x σ je čtyřvektor polohy, musí být i k σ čtyřvektor. Jak souvisí k σ s klasickým vektorem k? Ve třírozměrném prostoru máme fázi vyjádřenu jako Pak srovnáním s získáme e i( k r ωt). e ikσxσ k 0 ct = ωt, tedy k 0 = ω c. A prostorové složky obou vektorů jsou shodné: ( k σ = ω ) c, k kde n je jednotkový vektor ve směru šíření vlny. 6.5. Dopplerův jev 6.6. Lorenzova 4-síla Lorenzova 3-síla je dána známým vzorcem (92) k σ = ω (1, n), (93) c F L = q( E + v B) (94) Page 35 of 38

Ukázali jsme, že pro obecnou čtyřsílu platí ( F µ = c dm ) dτ ; γ F Vydáme se ale jinou cestou, již známe složky tensoru F µν i čtyřrychlost, sestavíme tedy následující výraz a pak jej podrobně prozkoumáme: kde q je skalár, náboj zkoumané částice. Jest F 00 = 0 (95) F µ L = qf µν u ν, (96) FL 0 = qf 0j u j = q Ej c γv j = γ c E v, nebot u µ = γ(c, v) a u 0 = γc (snížením indexu se změní znaménko). ( ) FL i = q(f i0 u 0 + F ij E u j ) = q i c γc + ɛijk B k γv j = γq[e i + ( v B) i ]. Fyzikální význam 0-té složky: qe je elektrická síla, qe d r je přírůstek práce, časovou derivací získáme výkon, ale γ = dt dτ, tedy F L 0 má význam výkonu elektrické síly na jednotku vlastního času. Pro obecnou čtyřsílu platí η µν F µ u ν = dm0 dτ ( c2 ), pokud je tedy čtyřsíla kolmá k čtyřrychlosti, pak jest m 0 = konst! Pro Lorenzovu čtyřsílu platí: η µν F µ L uµ = qf µν u ν u µ = 0, nebot F µν je antisymetrický. Pro obecný symetrický tensor S µν a antisymetrický A µν totiž platí S µν A µν = S νµ A νµ = S µν A µν, kde jsme jednou přeznačili indexy (prohodili) a využili symetričnosti respektive antisymetričnosti tensorů. Jediná možnost, jak rovnost může být splněna je, že se jedná o identickou nulu. Page 36 of 38

Nakonec uved me explicitní tvar Lorenzovy čtyřsíly: ( ) ( E F µ v L = qγ, E + v B = qγ ) E v, γf c c L 6.7. Hustota Lorenzovy čtyřsíly Již víme, že Lorenzova síla nemění klidovou hmotnost částice m 0 (což platí pro většinu sil). Pro odvození hustoty síly nebudeme provádět derivaci podle objemu dv, nebot nejde o invariant, ale podle vlastního objemu dv 0, které spojuje vztah V 0 = γdv nebot dv 0 = dx 0 dy 0 dz 0 = γdx dy dz = γdv Tedy objemová hustota čtyřsíly bude: Φ µ df µ L dv 0 = ( df 0 dv 0, d(γ f) γdv (97) ) ( ) df 0 =, Φ dv, (98) 0 kde Φ je objemová hustota klasické Lorenzovy síly. S použitím vztahů j = ϱ v, a ϱ = γϱ 0 si tedy spočtěme dq dv 0 = ϱ 0 df 0 dv 0 = 1 d(qγe v) c dv 0 = 1 E c j (99) Jediné, co lze rozumně derivovat podle objemu, jest náboj, a tak získáme nábojovou hustotu: Φ µ L = dq dv 0 F µν u ν = F µν J ν = ( 1 c E J, Φ ) (100) Page 37 of 38 6.8. Zákony zachování v elektrodynamice Zadefinujme tensor energie a hybnosti T µν = 1 (F µν F µσ 14 ) µ ηµν F ϱσ F ϱσ (101)

[1] Přednáška ze speciální relativity, základní kurz fyziky na MFF UK. [2] Relativity, Special, General and Cosmological, W. Rindler, Oxford University Press 2001 Page 38 of 38