Rachunek prawdopodobieństwa 1. Z urny, w której znajdują się trzy kule: białą, czarna i niebieska, wybieramy na chybił trafił jedną kulę. Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych Ω tego doświadczenia i określ ich prawdopodobieństwa. 2. Losujemy jeden żeton z pudełka zawierającego wymieszanych: 20 żetonów białych, 60 czarnych i 40 niebieskich. Jaki jest zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia i ich prawdopodobieństwa? 3. Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą. Wypisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych i następujących zdarzeń losowych: A nie wypadnie żadna reszka, B wypadnie dokładnie jedna reszka, C wypadną dwie reszki. Oblicz prawdopodobieństwo sumy i iloczynu zdarzeń A i B. 4. Wybieramy na chybił trafił kartę z talli 52 kart (cztery figury: walet, dama, król as w 4 kolorach: pik, kier, karo trefl oraz 9 blotek: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 również w tych 4 kolorach). Znajdź prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, że wyciągniemy: a) asa koloru kier, b) dziesiątę, c) kartę koloru pik lub trefl, d) blotkę, która nie jest pikiem. 5. Rzucamy dwoma symetrycznymi kośćmi do gry: białą i czarną. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne w postaci par (m, n), gdzie m liczba oczek na kości białej, n liczba oczek na kości czarnej. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) A liczba oczek na białej kości jest parzysta, b) B liczba oczek na każdej kości jest parzysta, c) C suma oczek na obu kościach jest równa 6, d) D liczba oczek na białej kości jest większa od liczby oczek na czarnej kości. 6. Załóżmy, że GUS przeprowadził badania statystyczne oparte na dużej liczbie obserwacji, otrzymując, że dla rodzin z czwórką dzieci prawdopodobieństwo posiadania dokładnie 0, 1, 2, 3, 4 synów wynosi odpowiednio: 0,1, 0,2, 0,35, 0,2 i 0,15. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) A w wylosowanej rodzinie jest nie więcej niż dwóch synów, b) B w wylosowanej rodzinie jest co najmniej dwóch synów, c) C w wylosowanje rodzinie jest nie więcej niż lub co najmniej dwóch synów. 7. W skład zarządu pewnej firmy wchodzi 17 osób, w tym 6 kobiet. Wśród kobiet dwie są w wieku 40+, pozostałe w wieku 30 40. Wśród mężczyzn tylko jeden jest w wieku 40+. Wybieramy losowo jedną osobę z zarządu tej firmy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) Będzie to mężczyzna; b) Będzie to kobieta w wieku 40+; c) Będzie to osoba w wieku 30 40 lat; d) Będzie to mężczyzna w wieku 30 40 lat. O d p o w i e d ź. a) 11/17; b) 2/17; c) 14/17; d) 10/17. 1
8. Wśród grupy studentów, liczącej 36 osób, 22 osoby uczą się języka angielskiego, a 19 hiszpańskiego. Zakładamy, że tylko 3 studentów nie uczy się żadnego z tych języków obcych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jednego studenta z tej grupy, trafimy na osobę, która : a) Uczy się języka hiszpańskiego; b) Uczy się obydwu tych języków obcych; c) Nie uczy się żadnego z tych języków; d) Uczy się przynajmniej jednego z nich; e) Uczy się tylko języka hiszpańskiego. O d p o w i e d ź. a) 19/36; b) 8/36; c) 3/36; d) 33/36; e) 11/36. Przypomnijmy następujące własności prawdopodobieństwa: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), P (A \ B) = P (A) P (A B), P (A) = 1 P (A). 9. Przy danych prawdopodobieństwach obliczyć pozostałe prawdopodobieństwa zdarzeń: Dane prawdopodobieństwa: Prawdopodobieństwa do wyznaczenia: a) P (A) = 1 2, P (B) = 2 3, P (A B) = 4 5 P (A B), P (A \ B), P (B A) b) P (A) = 2 3, P (B) = 2 5, P (A B) = 1 4 P (A B), P (B \ A), P (A B) c) P (A) = 1 2, P (A B) = 2 3, P (A B) = 1 3 P (B), P (A B), P (A B) d) P (B) = 3 4, P (A B) = 1 5, P (A B) = 1 3 P (A), P (A \ B), P (B \ (A B)) Prawdopodobieństwo warunkowe Przypomnijmy, że warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia A, gdy zaszło zdarzenie B o dodatnim prawdopodobieństwie, jest określone wzorem P (A B) P (A B) =. P (B) 10. Prawdopodobieństwo zachorowania wiosną na grypę dla mieszkańca Polski wynosi 0,3, a prawdopodobieństwo zachorowania na zapalenie płuc w następstwie zachorowania na grypę wynosi 0,6. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mieszkaniec Polski zachoruje na grypę i na zapalenie płuc? O d p o w i e d ź. 0,18. 11. Urzędnik bankowy wie, że 12% kredytobiorców traci pracę i przestaje spłacać kredyt w ciągu 5 lat. Wie też, że 20% kredytobiorców traci pracę w ciągu 5 lat. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kredytobiorca przestanie spłacać kredyt, jeżeli straci pracę? O d p o w i e d ź. 0,6. 12. Student zdający egzamin na MBA musi napisać dwa testy - z matematyki (test A) oraz z nauki o zarządzaniu (test B). Prawdopodobieństwo zdania testu A jest równe 0, 75, zaś prawdopodobieństwo zdobycia minimum punktów z obu testów wynosi 0, 5. Jakie student ma szanse na zdanie testu z zarządzania, jeśli wiadomo, że pomyślnie przeszedł test z matematyki? O d p o w i e d ź. 2/3 = 0, 66(6). 2
13. 21% członków zarządu pewnej firmy otrzymuje najwyższe płace w firmie. 40% wszystkich członków zarządu to kobiety. Kobiety, pobierające najwyższe płace w firmie, stanowią 6, 4% wszystkich członków zarządu. Czy w tej firmie występuje dyskryminacja płci pod względem płacy? O d p o w i e d ź. Odsetek najlepiej zarabiających kobiet wynosi % natomiast odsetek najlepiej zarabiających mężczyzn to 24, 33%. Zachodzi zatem dyskryminacja. 14. Przedsiębiorstwo usług transportowych obiecuje dostarczenie dowolnej przesyłki następnego dnia rano, pod warunkiem, że zostanie ona nadana do godz. 17.00 poprzedniego dnia. Czasami jednak zdarzają się opóźnienia. Wiadomo, że jeżeli opóźni się wieczorny rejs do dużego miasta, z którego przesyłki są rozsyłane dalej, to istnieje prawdopodobieństwo 25%, że przesyłka nie zostanie w porę dostarczona. Wiadomo też, że 10% rejsów do dużego miasta ma opóźnienie. Jaki procent przesyłek dociera do klientów z opóźnieniem? O d p o w i e d ź. 2, 5%. 15. Ankieter, przeprowadzający badanie w domach respondentów, uważa, że respondent odpowie na wszystkie pytania z prawdopodobieństwem 0, 94, jeśli będzie obecny w domu. Z kolei prawdopodobieństwo zastania w domu osoby, z którą chce przeprowadzić wywiad, jest równe 0, 65. Jaki procent zaplanowanych wywiadów dojdzie do skutku? O d p o w i e d ź. 61%.. Wytwórca pewnego gatunku perfum wie, że istnieje prawdopodobieństwo 0, 05, że konsument zaakceptuje nowy produkt i tylko 0, 02, że zaakceptuje nowy produkt i będzie mu wierny przez co najmniej 6 miesięcy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany klient, który właśnie zaczął nabywać nowy produkt, wytrwa przy nim przez najbliższych 6 miesięcy? O d p o w i e d ź. 0, 4. 17. Na trzydniowy wyjazd integracyjny wyjechało 87 pracowników pewnej firmy; w tym 19 kobiet. Spośród nich 10 musiało wrócić po jednym dniu. Wśród panów chętnych do wcześniejszego powrotu było tylko trzech. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba : a) Wróci po jednym dniu; b) Wróci w planowanym terminie; c) Będzie mężczyzną i wróci po jednym dniu; d) Będzie kobietą i wróci wcześniej; e) Wróci z wyjazdu wcześniej, jeżeli wiadomo, że jest kobietą; f) Wróci z wyjazdu w planowanym terminie, jeżeli wiadomo, że jest to mężczyzna. O d p o w i e d ź. a) 13/87; b) 1 13/87; c) 3/87; d) 10/87; e) 10/19; f) 65/68. Niezależność zdarzeń Przypomnijmy, że zdarzenia A i B są niezależne, gdy zachodzi co najmniej jeden (a wówczas wszystkie) z warunków: (i) P (A B) = P (A), (ii) P (B A) = P (B), (iii) P (A B) = P (A) P (B). 18. Po emisji kolejnego sezonu serialu Sherlock przeprowadzono badanie opinii widzów. Rozkład opinii o serialu, sklasyfikowanych według miejsca zamieszkania w Londynie, był następujący: 3
Miejsce zamieszkania Tak Nie Razem Centrum 0,48 0,22 0,70 Przedmieścia 0,12 0,18 0,30 Razem 0,60 0,40 1,00 Podaj prawdopodobieństwo tego, że wylosowany spośród ogółu badanych jest: a) mieszkańcem przedmieść Londynu, b) osobą, której serial się podobał, c) mieszkańcem centrum Londynu, któremu podobał się serial, d) mieszkańcem centrum Londynu. Czy zdarzenia: A mieszkanie na przedmieściach i B program się podobał są niezależne? 19. Przyjmijmy, że zdarzenia A i B mają niezerowe prawdopodobieństwa. Odpowiedz na następujące pytania: a) Jeżeli A i B są rozłączne (wykluczają się), to czy muszą być zdarzeniami niezależnymi? Dlaczego? b) Jeżeli A i B są niezależne, to czy muszą być zdarzeniami wykluczającymi się? Dlaczego? 20. Zdarzenia elementarne są reprezentowane przez małe kwadraty na Rysunku 1. Różne kolory oznaczają zdarzenia losowe A, B i C. Oblicz prawdopodobieństwa bezwarunkowe i warunkowe wszystkich tych zdarzeń losowych i stwierdź, które z nich są niezależne. Rysunek 1. 21. Zdarzenia A i B są niezależne. Przy podanych prawdopodobieństwach obliczyć pozostałe podane prawdopodobieństwa. Dane prawdopodobieństwa: a) P (A) = 1 2, P (A B) = 1 3 P (B) b) P (B) = 1 4, P (A B) = 2 3 P (A) c) P (A) > 0, 2P (A) = 5P (A B) P (B) Prawdopodobieństwa do wyznaczenia: 22. Zdarzenia A i B sa niezależne i P (A) > 0 oraz 4P (A) = 7P (A B). Obliczyć P (B). 23. Prawdopodobieństwo spowodowania przez kierowcę wypadku w ciągu roku wynosi 0,1. Zakładając, że wystąpienie takich zdarzeń w kolejnych latach jest niezależne, oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu najbliższych 4 lat kierowca: 4
a) nie spowoduje wypadku, b) spowoduje wypadek dokładnie w jednym roku, c) spowoduje wypadek co najmniej w dwóch latach 24. Wykładowca przygotował na egzamin 56 pytań. Student jest przygotowany bardzo dobrze do odpowiedzi na 20 pytań, na kolejnych 17 - w stopniu dostatecznym, by zdać, ale nie bardzo dobrze. Do odpowiedzi na pozostałe pytania student nie jest w ogóle przygotowany. Na egzaminie student losuje jedno pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) Odpowie na to pytanie bardzo dobrze; b) Nie zda egzaminu; c) Zda egzamin, ale nie dostanie oceny bardzo dobrej. O d p o w i e d ź. a) 20/56; b) 19/56; c) 17/56. 25. W sytuacji takiej samej, jak opisana powyżej, student losuje 3 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) Odpowie bardzo dobrze na dwa pytania, a na jedno nie będzie znał odpowiedzi; b) Odpowie w stopniu dostatecznym na dokładnie dwa z zadanych pytań (tzn. na pozostałe nie odpowie); c) Nie odpowie na żadne z wylosowanych pytań; d) Odpowie na każde z pytań bardzo dobrze; e) Odpowie w stopniu dostatecznym na co najmniej dwa pytania, co umożliwi mu zdanie egzaminu, niezależnie od odpowiedzi na trzecie pytanie; f) Uzyska inną ocenę z odpowiedzi na każde z wylosowanych pytań. O d p o w i e d ź. a) 20/5619/5519/54; b) 17/56/5519/54; c) 19/5618/5517/54; d) 20/56 19/55 18/54; e) 17/56 /55; f) 1/20 1/17 1/19. 26. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) Na drugiej monecie wypadnie orzeł; b) Tylko na drugiej monecie wypadnie orzeł; c) Na każdej monecie wypadnie reszka lub na każdej - orzeł; d) Na (dokładnie) dwóch monetach wypadnie orzeł. O d p o w i e d ź. a) 1/2; b) 1/2 1/2 1/2 = 1/8; c) 1/4; d) 3/8. 27. Na pewnym odcinku drogi samochód przejeżdża przez trzy skrzyżowania z niezsynchronizowaną sygnalizacją świetlną. Prawdopodobieństwa, że nie zatrzyma się na poszczególnych skrzyżowaniach są równe odpowiednio 0, 6; 0, 5; 0, 65. Oblicz prawdopodobieństwo: a) Przejechania bez zatrzymania przez wszystkie trzy skrzyżowania; b) Przejechania bez zatrzymania tylko przez dwa pierwsze skrzyżowania; c) Zatrzymania się na pierwszym i drugim skrzyżowaniu, i przejechania bez zatrzymywania przez ostatnie. O d p o w i e d ź. a) 0, 6 0, 5 0, 65 = 0, 195; b) 0, 6 0, 5 (1 0, 65) = 0, 105; c) (1 0, 6) (1 0, 5) 0, 65 = 0, 13. 28. Okrągła tarcza składa się z trzech stref. Prawdopodobieństwo trafienia do pierwszej strefy jest równe 0, 2; do drugiej - 0, 3; do trzeciej - 0, 4. Oblicz prawdopodobieństwo: a) Trafienia w tarczę; b) Trafienia, ale nie do I strefy; 5
c) Nietrafienia do tarczy. O d p o w i e d ź. a) 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 9; b) 0, 3 + 0, 4 = 0, 7; c) 1 0, 9 = 0, 1. Schemat Bernoulliego 29. Prawdopodobieństwo przekazania sygnału przez przekaźnik jest równe 0, 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że z kolejnych 10 sygnałów, 8 zostanie przekazanych przez ten przekaźnik. O d p o w i e d ź. a) 10 8 (0, 9)8 (0, 1) 2 = 0, 1937. 30. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy przez pewnego strzelca jest równe 0, 85 w każdym ze strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że tarcza zostanie przez tego strzelca trafiona tylko 3 razy w ciągu 8 strzałów. O d p o w i e d ź. 8 3 (0, 85)3 (1 0, 85) 5 = 0, 0026. 31. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez wykładowcę podczas jednego wykładu jest równe 1/7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wykładowca ten: a) Popełni trzy błędy w ciągu semestru? Uwaga - jeden semestr to 15 wykładów. b) Nie popełni ani jednego błędu w czasie semestru; c) Popełni co najmniej dwa błędy w czasie semestru. O d p o w i e d ź. a) 15 3 12 3 1 7 6 7 = 0, 2086; b) 15 0 15 0 1 7 6 7 = 0, 099; 14 = 0, 6534. c) 1 15 0 1 7 0 6 7 15 + 15 1 1 7 1 6 7 32. Siła kiełkowania pewnej rośliny (czyli prawdopodobieństwo wykiełkowania rośliny z jednego nasionka) wynosi 0, 74. Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród zasianych nasion a) Trzy wykiełkują; b) Wszystkie wykiełkują; c) Wykiełkuje co najmniej 13. O d p o w i e d ź. a) (0, 3 74)3(1 0, 74) 13 = 0, 0000056; b) (0, 74) (1 0, 74) 0 = 0, 0081; c) 13 (0, 74) 13 (0, 26) 3 + 14 (0, 74) 14 (0, 26) 2 + 15 (0, 74) 15 (0, 26) 1 + (0, 74) (0, 26) 0 = 0, 3697. 33. Prawdopodobieństwo, że student będzie umiał odpowiedzieć na wylosowane na egzaminie pytanie, jest równe 5/8. Wiadomo, że student losuje trzy pytania i zdaje egzamin, jeśli odpowie na co najmniej dwa z nich. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez tego studenta? O d p o w i e d ź. 3 2 5 8 2 3 8 1 + 3 3 5 8 3 3 8 0 = 350 504. 34. Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonujące automatycznie i niezależnie od siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny warsztat będzie wymagał interwencji robotnika jest równe 0, 8. Jakie jest Prawdopodobieństwo tego, że: a) Żaden z warsztatów nie będzie wymagał interwencji robotnika; b) Jeden (dokładnie) warsztat będzie wymagał interwencji; c) Więcej, niż dwa warsztaty będą wymagały interwencji. O d p o w i e d ź. a) 4 (0, 8) 0 (0, 2) 4 = 0, 00; b) 4 (0, 8) 1 (0, 2) 3 = 0, 0256; c) 4 3 0 (0, 8) 3 (0, 2) 1 + 4 (0, 8) 4 (0, 2) 0 = 0, 8192. 4 6 1