region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK R(z) 1 może być nieograniczony niejawna 1 stopniowa

Podobne dokumenty
u(t) RRZ: u (t)=f(t,u) Jednokrokowy schemat różnicowy

Równania różniczkowe zwyczajne: problem brzegowy [1D]

Równania różniczkowe zwyczajne: problem brzegowy [1D]

y i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta

Równania różniczkowe zwyczajne: problem brzegowy [1D]

t. sztywny problem w pojedynczym równaniu: u(t)=cos(t) dla dużych ż t rozwiązanie i ustalone

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1

pozbyć się ograniczenia na krok czasowy ze strony bezwzględnej stabilności: niejawna metoda Eulera

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018

x y

Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

Δt)] niejawny schemat Eulera [globalny błąd O(Δt)] u(t) f(t,u) f(t,u) u(t) [t+ Δt,u(t+Δt)]

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Metoda różnic skończonych dla

równania funkcyjne opisujące relacje spełniane przez pochodne nieznanej (poszukiwanej) funkcji

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

numeryczne rozwiązywanie równań całkowych r i

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Terminologia. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.

Równania różniczkowe cząstkowe (RRCz) równanie eliptyczne równanie Poissona

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 5. Metody Rungego-Kutty (II) P. F. Góra

Całkowanie numeryczne

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Metody Eulera, metody punktu środkowego i metody trapezowe

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 7a. Metody wielokrokowe

[ równanie liniowe II rzędu, bez pierwszej pochodnej]

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Zaawansowane metody numeryczne

Metoda rozdzielania zmiennych

użyteczne, gdy problem nie wymaga zmiany dt ważne: schematy do rozwiązywania równań cząstkowych mają często wielokrokowy charakter

Elektrostatyka, cz. 1

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Równania różniczkowe cząstkowe. Wojciech Szewczuk

Obliczenia iteracyjne

Metoda elementów brzegowych

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

5. Twierdzenie Weierstrassa

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

adwekcja rzadko występuje w formie czystej przeważnie: łącznie z dyfuzją na razie znamy tylko dyfuzję numeryczną Adwekcja=unoszenie

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Rozwiązywanie układów równań liniowych

II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Programowanie celowe #1

Metoda różnic wstecznych: interpolujemy u wielomianem od chwili n-k aż do n-1

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

1 Równania nieliniowe

Metody rozwiązania równania Schrödingera

Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

Metoda Różnic Skończonych (MRS)

Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki

Elektrodynamika Część 2 Specjalne metody elektrostatyki Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Metoda elementów brzegowych

Metoda różnic skończonych dla

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Systemy. Krzysztof Patan

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Matematyka stosowana i metody numeryczne

wartość oczekiwana choinki

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

Γ D Γ Ν. Metoda elementów skończonych, problemy dwuwymiarowe. problem modelowy: w Ω. warunki brzegowe: Dirichleta. na Γ D. na Γ N.

1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )

Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R

Różniczkowanie numeryczne

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

Układy równań i równania wyższych rzędów

15 Potencjały sferycznie symetryczne

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych

Informatyka i komputerowe wspomaganie prac inżynierskich

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Wstęp do metod numerycznych 9. Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Metoda elementów skończonych

Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Transkrypt:

region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK u =λu u=λu, z=λδt dla metod niejawnych: ij nie można ż obciąć bićrozwinięcia i i Taylora, bo A pełnał współczynnik wzmocnienia nie jest wielomianem, okazuje się, że jest funkcją wymierną R(z) 1 może być nieograniczony niejawna 1 stopniowa

region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK wsp wzmocnienia niejawnego RK metoda rzędu p ma współczynnik wzmocnienia, który do O(z p+1 ) zgadza się z eksponentą Współczynniki wzmocnienia jawnych RK wielomany, niejawnych funkcje wymierne przybliżenie Padé (j,k) funkcji exp(z) [funkcja wymierna będącą przybliżeniem exp(z) maksymalnego rzędu] P k Q j nie mają wspólnych czynników (nie można uprościć ułamka) Warunek normalizacji: q 0 =1 Do wyznaczenia k+j+1 wartości. Rząd dokładności do uzyskania: k+j (bo od wykładnika 0 zaczynamy uzgadniać). R jk (z)=exp(z)+o(z k+j+1 )

przykład: wyznaczyć przybliżenie Padé (j,k)=(2,0) funkcji exp(z) +O(z 3 ) +O(z 3 ) p 0 =1 q +1=0 =1, = 1, =1/2) 2.0 1 10 (p 0 q 1 q 2 2.8 2.4 exp q 1 +1/2+q 2 /2=0 1.6 1.2 R 20 0.0 0.5 1.0 0.8 R 20 pozostaje skończone dla rzeczywistego z, w przeciwieństwie do obciętego rozw. Taylora

przybliżenia Padé R jk funkcji exp(z): współczynniki wzmocnienia metod RK jawny RK1 (Euler) RK2 (jawna) niejawny Euler RK Radaua s=1 RK Radaua rzędu 2 dla s odsłon metoda rzędu 2s jest tylko jedna, a jej błąd wzmocnienia jest przybliżeniem Padé eksponenty R ss niejawny jednostopniowy RK niejawny dwustopniowy RK RK Legendre a 2stopniowy Metody, które prowadzą dodiagonali diagonali orazdwóch pierwszych poddiagonali tabeli Padé są A stabilne (bezwzględnie stabilne dla Re(z) 0) na diagonali R ss : q s = p s więc R(z) 1 gdy z poniżej diagonali dla (1,0),(1,2)(2,1) : R(z) 0 gdy z

definicja: metoda jest L stabilna jeśli jest A stabilna oraz R(z) 0 gdy z L stabilne A stabilne najwyższego rzędu dokładności (czyli nie L stabilne) przydatne, gdy rozwiązanie szybko oscyluje, czyli Re(λ) 0, ale Im(λ) >>1 metody L stabilne przydatne w problemach sztywnych gdy Re(λ)<<0 wtedy okazuje się być opłacalne zrezygnować z wysokiej dokładności na rzecz stabilności

Punkty kolokacji wybrane wg zer wielomianu Legendre a : maksymalny rząd 2s, metody A stabilne, nie L stabilne : ze współczynnikami wzmocnienia z diagonali tabeli Pade Osobna klasa to metody RK pochodzące od wielomianów i Radaua Rd (2s 1) definiowanych na podstawie wielomianu Legendre a P jedno z zer wielomianu: na prawym końcu przedziału R s =P s ±P s-1 Tabela Butchera dla RK Radaua s=2: RK Radaua: odpowiadają poddiagonali w tabeli Pade : są ą L stabilne (lepsze od RK Legendre a w problemach sztywnych)

NJRK 2, sposób rozwiązywania równań predyktor= układ równań nieliniowych korektor (podstawienie po rozwiązaniu równań predyktora na U1, U2)

Niejawne metody RK = sposób rozwiązywania jawne RK = stosuje się ę kolejne podstawienia = łatwo niejawne RK = metoda Newtona m. Newtona jedno równanie korektor = tylko podstawienie F(x)=0 F(x n +Δx)=F(x n )+Δx F (x n ) F(x n )=Δx F (x n ) predyktor: układ s równań nieliniowych do rozwiązania M. Newtona dla układu 2 równań macierz Jakobiego

Niejawne metody RK rozwiązywanie równań predyktora układ s : równań nieliniowych układ równań rozwiązywany w jednej iteracji na przesunięcia ΔU i było:

Niejawne metody RK rozwiązywanie równań predyktora układ s : równań nieliniowych układ równań rozwiązywany w jednej iteracji na przesunięcia ΔU i w każdej iteracji musimy wyliczyć s pochodnych f po u (w s chwilach czasowych)

niejawne RK dla układu 2 równań (laboratorium) predyktor dla pojedynczego równania:

niejawne RK dla układu 2 równań (laboratorium) predyktor dla pojedynczego równania: numer szukanej funkcji nr chwili predyktor dla dwóch równań ń

niejawne RK dla układu 2 równań (laboratorium) predyktor dla pojedynczego równania: numer szukanej funkcji nr chwili predyktor dla dwóch równań ń w zapisie wektorowym: wracamy do formy dla pojedynczego równania U 1 =[U 11,U 12 ] T na laboratorium - f liniowe więc układ równań liniowych

Układ m równań różniczkowych rozwiązywany niejawną metodą RK u, f, U i wektory o m zmiennych niejawny schemat RK: (wzory jak dla pojedynczego równania, ale z arytmetyką wektorową) s równań predyktora to układ nieliniowy do rozwiązania predyktor zapisany w formie układu s równań nieliniowych: gdy już mamy U korektor ma formę podstawienia [jak w jawnych RK] tyle równań nieliniowych ile etapów w RK (s) każde przybliżenie U i ma m składowych s wektorów o m składowych łącznie ms niewiadomych macierz m na m

Układ równań różniczkowych rozwiązywany niejawną metodą RK z iteracją Newtona macierz m na m z oznaczeniem: macierz Jakobianu policzona w l tej odsłonie (macierz m na m) to jest przepis na jeden krok iteracyjny, a iteracji może być wiele dla układów wielu (setek tysięcy) układów równań wyliczenie (oszacowanie) Jakobianu w s odsłonach nowych w każdej iteracji może być kosztowne, wtedy rezygnujemy z liczenia J w każdej odsłonie

pomysł: zastosować Jakobiany wyliczone w chwili początkowej u n 1 i nie zmieniać ich w czasie iteracji wtedy: ted przybliżony Jkbi Jakobian nie zmienia i rozwiązania i gdy osiągniemy zbieżność może ją spowolnić albo uniemożliwić, ale przy dużych macierzach zazwyczaj się opłaca odpadają indeksy przy J i mamy J policzymy tylko raz, ale wykonamy więcej iteracji często opłaca ł się raczej dłużej ż iterowaćć niż w każdej iteracji wyliczać s macierzy Jakobiego

Metody RK produkuje się na zamówienie ze względu na 1) dokładność 2) A/L-stabilność 3) łatwość iterowania równań predyktora SDIRK

DIRK: macierz A jest dolnoprzekątniowa (diagonally implicit RK) SDIRK: wszystkie wyrazy na diagonali są identyczne (singly diagonally implicit...) metody DIRK: iteracja Newtona (układ równań) rozwiązywany blokowo metody SDIRK: dodatkowo pojedyncza faktoryzacja macierzy m na m (nie sm na sm) [dokładność najwyżej j s+1 [zamiast maksymalnej j( (2s)] ale tania iteracja Newtona] wtedy macierz układu równań pojedynczej iteracji Newtona: wtedy macierz układu równań pojedynczej iteracji Newtona: ma postać ć

DIRK: macierz A jest dolnoprzekątniowa (diagonally implicit RK) SDIRK: wszystkie wyrazy na diagonali są identyczne (singly diagonally implicit...) metody DIRK: iteracja Newtona (układ równań) rozwiązywany blokowo metody SDIRK: dodatkowo pojedyncza faktoryzacja macierzy m na m (nie sm na sm) [dokładność najwyżej j s+1 [zamiast maksymalnej j( (2s)] ale tania iteracja Newtona] wtedy macierz układu równań F = MΔU pojedynczej iteracji Newtona: ma postać zamiast faktoryzacji macierzy sm na sm (złożoność [sm] 3 ) : 1) faktoryzujemy tylko jedną macierze m na m : blok diagonalny [złożoność [m] 3 ] dla s=4: 64 x szybciej 2) rozwiązujemy ą równanie m na m na ΔU 1 z pierwszego wiersza blokowego i przechodzimy do drugiego gdzie ΔU 1 wykorzystana do złożenia prawej strony równania na ΔU 2 itd..

skonstruujmy SDIRK dla s=2, max p=s+1 warunki konieczne na wsp RK: l p dla k p niezależne dla k>2 1-a 1-2a ½ ½ ta z minusem : A stabilna ta z plusem nie

Równania różniczkowe zwyczajne: problem brzegowy [1D] 1) Równania różniczkowe zwyczajne jako szczególny przypadek problemów opisywanych przez eliptyczne równania cząstkowe 2) Problem brzegowy a problem początkowy (case study) ) 3) Metoda różnic skończonych (idea, rozwinięcie później) 4) Metoda Numerowa 5) Mtd Metoda strzałów problem początkowy problem brzegowy:

mówiliśmy, o równaniach różniczkowych zwyczajnych opisujących wielkości ilk ś i dane funkcjami wyłącznie czasu, z warunkiem początkowym. Rozwiązaniem ą równań różniczkowych cząstkowych są zazwyczaj funkcje zarówno czasu i położenia (pole elektryczne, rozkładu temperatury, prędkości przepływu itp.) modelowe równania przy jednym wymiarze przestrzennym u(x,t): dyfuzji ciepła (paraboliczne) fl falowe (hiperboliczne) Poissona (eliptyczne)

eliptyczne niezależne od czasu: u =u(x) () wyłącznie ą funkcja położenia stany ustalone, równowagowe itp. równania elektrostatyki, ustalony transport ciepła, przepływy cieczy w stanie ustalonym, etc. +S(x) Problem brzegowy: równanie różniczkowe (na razie zwyczajne) + warunek na rozwiązanie na brzegu. Brzeg w 1D: 2 punkty warunki brzegowe w 1D: napoczątku (x=0) i końcu pudła obliczeniowego (x=l) 1) na wartość funkcji (Dirichleta) u(0)=a, u(l)=b 2) na pochodną funkcji (Neumanna) u (0)=a, u (L)=b 3) mieszane (Robina) u(0)+cu (0)=a (0)=a, u(l)+du (L)=b (L)=b

opis jednowymiarowy problemów wielowymiarowych Przykład nr 1) równanie Poissona (jednostki atomowe), gęstość ładunku zależna tylko od x albo rozkład temperatury w jednorodnej sztabce ze źródłami ciepła w kąpieli cieplnej z x y układ jednorodny i rozległy w (y,z) + warunki brzegowe niezależne od y i z [płaski kondensator] interesuje nas rozkład potencjału w środku układu warunki brzegowe: Dirichleta: wartość potencjału (temperatury) : Neumana: wartość pola elektrycznego (strumienia ciepła)

P2: problem o wysokiej sferycznej symetrii r odległość od początku układu wsp. + atom wodoru: obiekt sferyczny 3D jądro + elektron gęstość ładunku jądra: p(r)=+δ 3 (r) (jednostki atomowe) gęstość ładunku elektronowego zależy tylko od odległości od jądra: n(r)= exp( 2r)/π. równanie jest liniowe zasada superpozycji:

laplasjan we współrzędnych sferycznych punktowy ładunek o nieskończonej gęstości w r=0 φ + =1/r składowa od gęstości elektronowej n(r)= exp( 2r)/π. 1/r φ(r) -n(r) 0 1 2 3 4 5 r

n(r)= exp( 2r)/π. gdy n(r) nieznane w postaci analitycznej pozostaje rachunek numeryczny numeryczny rachunek φ dla rozciągłej gęstości ładunku o symetrii sferycznej n: n(r) () r r=0 zdyskretyzować ć równanie zamiast wartości ś dla ciągłych ł r wartości ś dyskretne Zamiast pochodnych ilorazy różnicowe zamiast równania różniczkowego algebraiczny układ równań ń

potrzebne warunki brzegowe na potencjał φ (dla r=0 oraz dla dużego r) cała sztuka w rozwiązywaniu problemów brzegowych to dobór odpowiednich w.b. i skuteczne ich wprowadzenie do równania tw. Gaussa r. Poissona 1/r φ(r) (*) jakobian -n(r) duże R całka potrójna dąży jedynki (z normalizacji n) duże R: E(R)=1/R 2, φ= 1/R gdy powierzchnia pudła obliczeniowego obejmuje 0 1 2 r 3 4 5 cały ładunek potencjał jak dla punktowego ładunku gdy rozkład gęstości rozciągły: 2) potencjał skończony dla r=0 (zamiast osobliwości 1/r) 3) jego pochodna znika w r=0 [E=zero dla małego r patrz drugie równanie (*)] WB: dla dużego r: φ(r)=1/r (Dirichlet) g φ( ) / ( ) dla małego r: dφ(r)/dr=0 (Neumann)

WB Neumanna trudniejszy w zastosowaniu, chcemy go przekształcić w warunek Dirichleta warunki brzegowe na f f(0)=0 bo φ(0) skończone, f (r=duże)= 1 bo φ (r=duże) 1/r.

spróbujmy ten problem rozwiązać numerycznie + f(0)=0, f(r)= 1, gdzie R promień pudła obliczeniowego obejmujący całe n Iloraz różnicowy drugiej pochodnej (1) (2) (1) plus (2) trójpunktowy iloraz drugiej pochodnej do rozwiązania problem algebraiczny: f 0 =0, f N = 1 Δr r f 0 f 1 f 2

f 0 =0, f N = 1 Układ równań liniowych rozwiązać i po sprawie. ale: dokładność rachunku ograniczona dokładnością ilorazu różnicowego drugiej pochodnej poznaliśmy świetne metody do rozwiązania problemu początkowego może je spróbować zastosować?

alternatywa: ustawmy ten wzór jak dla problemu początkowego (jak liniową metodę wielokrokową): nasz problem początkowy drugiego rzędu dla warunku początkowego: potrzebna funkcja+pochodna tzn. f 0 i f 1 Powiedzmy, że znamy 1) f 0 [bo znamy] 2) f 1 [to powiedzmy] możemy wyliczyć f 2 i następne. następnie: sprawdzimy, czy f N spełni WB na prawym końcu. as ęp e sp a d y, cyf N spe a pa y o cu Jeśli tak problem rozwiązany

znamy f 0 i f 1 wstawiamy analityczne, liczymy f 2 i następne. 1.0 -f 0.5 Δr = 0.1 analityczne 1 (r+1)exp( 2r) numeryczne Katastrofa! f(analitycz zne)-f(numerycz zne) 0.06 0.04 0.02 Krzyżyki = 0.0027 r 0.0 0 4 8 r 12 16 20 0.00 0 4 8 12 16 20 r (WB na prawym końcu ń nie spełniony: ł Błąd ł okazuje się liniowy i rachunek numeryczny łamie prawo Gaussa z r! potencjał daleko od źródła nie będzie 1/r )

0.06 numeryczne) f(analityczne)-f(n 0.04 0.02 0.00 0 4 8 12 16 20 Błąd f jest tli linowy z r! Jak to zrozumieć? Pod nieobecność ładunku: d k (równanie Laplace a) g(r)=ar+b. W naszym problemie n istotnie znika dla dużych r, gdzie rozwiązanie powinno być postaci g(r)= 1 (czyli a=0,b= 1) Z drugiej strony: rozwiązanie równania Laplace a a g (jednorodnego) możemy zawsze dodać do rozwiązania równania Poissona f g+f spełni równanie Poissona, ale warunki brzegowe niekoniecznie W naszym wyniku: błąd polega na niezerowej wartości a. Skąd ą się ę ona bierze? f+g Trójpunktowy schemat różnicowy drugiej pochodnej dokładnie różniczkuje nawet parabolę, 0.5 więc dla funkcji typu ar+b się nie myli! wniosek: Z obszaru w którym n<>0 iteracja wychodzi z błędem. n(r) błąd pochodzi z całkowania n(r) 0.0 0 4 8 r 12 16 20 1.0 f f

Cóż można poradzić żeby rozwiązanie numeryczne nie odklejało się od dokładnego dla dużych r? 1.0 f f 0.5 Δr = 0.1 f+g rozwiązać ć jednak jd problem (URL) z narzuconymi warunkami brzegowymi z obydwu stron zagęścić siatkę n(r) 0.0 0 4 8 r 12 16 20 scałkować równanie wstecz spróbować wykorzystać lepszą (dokładniejszą) metodę f 1 zamiast analitycznego przyjąć taki, aby prawy warunek był spełniony (metoda strzałów)

Zagęścić siatkę (metoda brutalnej siły) 1.0 f f+g 1.0 f f+g f 0.5 Δr = 01 0.1 f 0.5 Δr = 0.01 n(r) 0.00 0 4 8 12 16 20 r n(r) 0.0 0 4 8 12 16 20 r w f 1 wstawiona wartość analityczna w f 1 wstawiona wartość analityczna przy drobnym kroku przestrzennym nie generuje widocznego błędu

widzieliśmy, że schemat wychodził poza zakres n(r)<>0 z błędem, pomysł: scałkować równanie wstecz Zamiast do przodu: scałkujemy wstecz: 1.0 f 0 = 1, f 1 =analityczne f N = 1, f N 1 =1 znamy potrzebne 2 wartości! 0.8 Δr = 0.1 0.6 f 0.4 Całkowanie wstecz (od r=20) zoom do 2 0.2 kółka analityczne krzyżyki numeryczne 0.0 0.0 0.4 0.8 r 1.2 1.6 2.0 dla r=0 : f (numeryczne) =6 10 6 zamiast zera Δr = 0.1 r Tam gdzie pojawia się ładunek, tam pojawiają się również błędy, ale nie narastają.

tajemnica naszego sukcesu: Startowaliśmy w obszarze, gdzie n(r) znika czyli tam obowiązuje r. Laplace a: g(r)=ar+b. Ustawiliśmy jego rozwiązanie na: a=0, b= 1. Dzięki temu: nie pozwoliliśmy domieszać się rozwiązaniu Laplace a z innymi a i b błąd pojawia się tam gdzie ładunek, ale zbytnio nie rośnie

metoda różnic skończonych dla ustalonych WB f 0 =0, f N = 1 układ równań rozwiązany iteracyjnie, (relaksacja) Δr = 01 0.1 r r rozwiązanie wstecz (gdzie właściwy WB w r=0 został odnaleziony) nie gorsze od relaksacji, gdzie spełnienie obydwu WB jest wymuszone. dlaczego błąd w rozwiązaniu do przodu jest tak wielki?

znowu całkowanie do przodu, ale tym razem: f 0 = 0, f 1 = wyliczone z relaksacji zamiast wzoru analitycznego dla Δr=0.1 dokładne rozwiązanie numeryczne jest nieco inne niż analityczne. a (dokładne numeryczne: 0.0996 dokładne analityczne: 0.09930993 ) r wniosek: błąd pierwszego podejścia polegał na zastosowaniu analitycznego wyniku na f 1! Uwaga: to samo rozwiązanie uzyskujemy każdą z 3 metod. cały ł błąd leży ż teraz w ograniczonej jdokładności d ś ilorazu różnicowego.

dla całkowania do przodu: Jeśli f 1 = analitycznie nie jest to najlepsze = odgadniemy: metoda strzałów 1.2 f 0 =0, f 1 = dobieramy tak aby prawy wb był odtworzony f(r=daleko)=1, lub f (r=daleko = 0) 0.8 metoda strzałów: Służy do rozwiązania problemu brzegowego przy pomocy podejścia dedykowanego dla problemu początkowego: wstrzelić należy się w (nieznany) parametr 0.4 f1=0.0993 (analityczny) f1=0.1 f1=0.099675 0.0 0 4 8 12 16 20 określający przebieg = u nas f 1.