Kongruencje Lczby ongruentne (przytaj ce) modulo w (w moduł przytawana) (N,M ): N M(modw) : N Mw M Nw Kongruencja relacja równowa no c: zwrotna (reflexve): N N(modw), ymetryczna (ymmetrc): N M(modw) M N(modw), przechodna (trantve): N M(modw)&M P(modw) N P(modw). LEMAT: Kongruencja jet zachowawcza (oboj tna, ndfferent) wobec a dego z dzała : dodawana, odejmowana, mno ena ( ) N M(modw) Q P(modw) N Q M P(modw). DOWÓD: Je l NM+aw oraz QP+bw, to N±Q(M±P)+(a±b)w oraz N Q(M P)+(Μ b+p a+a b)w Iloraz całowty Xdvw (w X : X Xmodww Xdvw Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Klay ongruencj Klay ongruencj (równowa no c wzgl dem relacj przytawana) w:r{z :Z r(modw); w/ r< w/ }, w: w: w:r r rezta z dzelena (redue) lczby całowtej (naturalnej) przez moduł w najmnej odległa od zera (najmnejza bezwzgl dne) W zborze lczb naturalnych jet r mamy: w:r w:r w:r w:r w 7:5{5,,9,6, } 7: {, 9,,5,,9,6, } 7:{,8,5,, } 7:{,, 6,,8,5,, } DEFINICJE Podzeln p lczby Q p Q Qmodp, p Odwrotno (multyplatywna) x modw lczby x modulo w ax modw ax modw! (je l x w maj wpólny podzeln p, to z xmodw ne ma rozw zana) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Algorytm Euldea Najw zy wpólny (po)dzeln NWD (greatet common dvor, GCD) NWD(X,Y)a (a X a Y) b : (b>a) (b X b Y) TWIERDZENIE: Dla dowolnych lczb naturalnych n m, je l m<n oraz pnwd(m,n), to:. lczba p jet te najw zym wpólnym dzelnem m oraz nmodm.. tnej tae lczby całowte u oraz v, e pun+vm (najw zy wpólny dzeln mo na przedtaw jao ombnacj lnow lczb m oraz n). DOWÓD:. Je l pnwd(m,n), to m m p oraz n n p, to n m( n m )p, w c m<n pnwd(m,n)nwd(m,nmodm). Je l pnwd(n,m), to m m p, n n p oraz NWD( n, m ). Mamy zatem vmv m p, unu n p v m +u n. Ponewa NWD( n, m ), w c a da lczba u n dla u,,, m nale y do nnej lay ongruencj modulo m. Itneje w c tae u, e u n m +. Równo jet pełnona gdy v. Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Wła cwo c rezt Lczby wzgl dne perwze (relatvely prme): NWD(X,Y). LEMAT: Je el rezty z dzelena lczby przez moduły wzgl dne perwze obe równe, to one równe rezce z dzelena przez loczyn tych modułów ( w, w ) & X mod w X mod w q X mod( ww ) q. DOWÓD: Je l Xmodw q Xmodw q, to (X q)modw (X q)modw. Zatem X q w X q w, w c X q w w oraz Xmodw w q LEMAT: Kongruencje mo na dzel obutronne przez wpólny czynn: (ax)mod(aw)a(xmodw) DOWÓD: (ax)mod(aw)ax aw ax/aw a(x w X/w )a(xmodw) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 4
Sto Eratotenea Je l z c gu olejnych lczb naturalnych uunemy podzelne przez (parzyte), nat pne podzelne przez (co trzec ), nat pne podzelne przez 5 (co p t po ród wzytch) etc., to w c gu pozotan tylo lczby perwze. Je l a N oraz a>n/a, to w c gu N olejnych lczb naturalnych ne ma ju lczb podzelnych przez a (zotały wcze nej wyre lone) Wzyte lczby perwze (oprócz ) neparzyte Algorytm:. Utwórz c g olejnych lczb neparzytych <N. Znajd w c gu perwz lczb A ró n od (jet na pozycj A (A+)/). W mejce a dej lczby c gu umezczonej na pozycj A +A wpz 4. Je el A <N, powró do, w przecwnym raze zao cz Najmnejza wpólna welorotno NWW(leat common multply, LCM) [X, X,, X m ]W : X W Z : (Z<W) : X Z Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 5
Podzelno lczb () ale xβ mod w ( x mod w)( β mod w) mod w, w c, ponewa x β, mamy β mod( β ± ) m β mod( β ± ) ( m), x β mod ( β ) x mod ( β ) x β mod ( β + ) ( ) x mod ( β + ) reguły podzelno c przez 9 w yteme dze tnym 785 mod 9 (7+8+5) mod 9, 785 mod (7 8+5) mod 4 Je l βa ±, to β mod a ± oraz β mod a ( ± ) reguły podzelno c przez a w yteme o baze βa ± 785 mod (7+8+5) mod mod Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 6
Podzelno lczb () n x β n / n / x + β )( β ) X ( β, gdze β x + l X warto cam cyfr po onwerj (β β ). Ale jet β mod( β ± ) β β j m mod( ± ) ( m) j, zatem: n xβ mod ( β ) n / X mod ( β ) n xβ mod ( β + ) n / ( ) X mod ( β + ) 45 mod 45 mod ( +) ( 45) mod ( +) 5 6 mod FF 6 5 6 mod ( ) 6 (+5) 6 mod ( ) 6 8 6 mod 77 8 56 8 mod ( ) 8 (+56) 8 mod ( ) 8 8 Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 7
Oreowo rezt a w a mod w ( ) mod ± ± ore ongruencj β mod w & < : β mod w półore ongruencj β mod w & < : β mod w rezty pot g baz β wzgl dem modułów ± β powtarzaj oreowo β mod( β ± ) β β j m mod( ± ) ( m) j j + j β mod( β ± ) ( m ) β mod( β ± ) rezty pot g baz β wzgl dem modułów ( β ± β + β mod( β ± β + ) β ) powtarzaj oreowo: β mod( β ± β + ) m β β mod( β ± β + ) [ β ( m β )]mod( β ± β + ) ± Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 8
Małe twerdzene Fermata TWIERDZENIE Nech p b dze lczb perwz. Je l p ne jet podzelnem lczby a, to wtedy a p (modp) za dla dowolnego a zachodz a p a(modp). DOWÓD. Soro p ne dzel a, to j p : a j amodp, w c a da lczba c gu a, a, a,,(p ) a nale y do nnej lay reztowej p:r, r,,...,p. A zatem [( a)( a)( a) ((p ) a)]modp(p )! modp, czyl a p (p )! (p )!(modp) Ponewa NWD(p,a), w c NWD(p,(a p ) (p )!)p, (bowem (p )! ne dzel przez p). St d wyna, e a p (modp) ponewa p ne dzel a, w c a a p a(modp), a zatem a p a(modp) Je l NWD(p,a)p, to otatna zale no jet trywalna (amodp) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 9
Funcja Eulera ϕ(n) co druga naturalna jet podzelna przez, co trzeca z pozotałych dzel przez, co p ta z nepodzelnych przez lub dzel przez 5, etc. TWIERDZENIE e e m Je l podzelnam lczby N p, p,, p m, czyl N p p... p e m, p, to lczb naturalnych mnejzych od N wzgl dne perwzych z lczb N jet DOWÓD: m ϕ ( N) ( p ) p, p Je l p jet podzelnem N, to w zborze {,,,N} jet N N(p ) lczb nepodzelnych przez p. [N N(p ) ] [N N(p ) ] (p j ) N ( (p ) )( (p j ) ) po ród nch ne jet podzelnych przez p j. (co p j -ta po ród N po ród p ) Je l w c p,,...,m lczbam perwzym, to w zborze {,,,N} jet e e em e e em p p... p ( )( )...( )... ( )( )...( m p p pm p p pm p p pm ) lczb nepodzelnych przez adn z nch. e WNIOSEK: Je l NWD(N,M), to ϕ(mn)ϕ(m)ϕ(n). Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Twerdzene Eulera TWIERDZENIE Je l ϕ(n) jet lczb lczb mnejzych od N wzgl dne perwzych z N, to DOWÓD. ( ) a ϕ N mod N Je l Np twerdzene jet prawdzwe (ϕ(p)p ) (małe tw. Fermata). Załó my, e twerdzene jet prawdzwe dla Np m p p, czyl a m ( ) mod p St d wyna, e p ( p ) a m mod p p p m a m ( ) + p m+ oraz p p m p a m ( ) ( + p ) + Kpp. Twerdzene jet w c prawdzwe dla Np α, czyl m m., zatem a ϕ ( p m ) mod p m Je l w c a a ϕ ( p ϕ ( p a a b h q... t b h ) q... w ) N... mod q a b h a b h ϕ ( p q... t ) a ϕ ( p ) ϕ ( q... t ) a p q t, to a mod p ( a ) mod p b mod ( p ( a a q b ϕ ( q... w b h ) ) ϕ ( p a... t h ) mod q ( ) ), czyl a ϕ N mod N ϕ ( ) WNIOSEK: a N a (mod N) b a b h oraz td.. St d wyna teza twerdzena: Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Ch e twerdzene o reztach ytem RNS Nech W{w,w,...,w m : j: NWP(w,w j )} za W m w Reprezentacja X x,x,,x m : x Xmodw, w W a dej lczby X<W jet unatowa. DOWÓD. Załó my, e X,Y<W, Y X: m:y Xmodw. Zatem m:w (Y X), a ponewa WNWW(w,w,,w m ), to W (Y X). Soro jedna Y X, to Y X W, co przeczy zało enu, w c YX Sytem reztowy RNS(w,w,,w m ) (Redue Number Sytem) Reprezentacja X x modw,x modw,,x m modw m : w W w baze W x {,,...,w } dla ongruencj w zborze, x { w /,,,,,..., w / } dla ongruencj w zborze WNIOSEK: W yteme RNS(w,w,,w m ),, m: x,x,,x m x ± w,x ± w,,x m ± m w m modw Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Ch e twerdzene o reztach onwerja odwrotna CHI SKIE TWIERDZENIE O RESZTACH (CRT) (SUN-TZU, III W., QIN JIUSHAO, 47) Nech W{w,w,...,w n : j: NWP(w,w j )}, W ww... wn. Reprezentacja x,x,,x n : x Xmodw, w W a dej lczby X<W jet unatowa oraz gdze X X n w ˆ Ww, za mod w ( mod w ) x modw odwrotno ŵ wzgl dem modułu DOWÓD (neformalny zc dowodu onwerj odwrotnej). Ze wzgl du na zachowawczo ongruencj wobec dodawana mamy w. x,x,,x n x,,,, +x,,,, + +x n,,,,. W yteme RNS(w,w,,w m ) lczba p o reprezentacj,,,,,, jet podzelna przez a de w oprócz w, jet w c p (lczby p tnej, bo ró nych reprezentacj jet doładne W). Ponewa jej rezta wzgl dem w jet równa, w c mod w jet odwrotno c ŵ oraz p ( mod w ). x,x,,x n jet w c reprezentacj lczby (x p +x p + +x n p n ) modw. Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Wybór ytemu reztowego Dobór modułów argumenty zare reprezentowanych lczb loczyn wzytch modułów łatwo zybo wyonana dzała modulo łatwo onwerj onwerj odwrotnej moduły β, β, β + dobrze pełnaj wymagana (β, β ), (β, β +) oraz (β, β +) (gdy β parzyte) w yteme dwójowym je l (,m), to (, m ) (lczby Merenne a) przy pezene dodawana ~ proporcjonalne do log z lczby modułów m w cej modułów tym trudnejza onwerja odwrotna opcje W{ +,, } W{ +,,, } W{,,,,, <...<<, (,,,)} Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 4
Konwerja z ytemu tałobazowego na ytem RNS(β +, β, β ) A X x { β RNS j : n ( a j j mod w )( β mod w )} mod w reguły podzelno c reguły onwerj z ytemu naturalnego na RNS, dla modułów o potac β, β β +. a + l l n A a β ( a β ) β A β, β l l gdze A warto cam cyfr lczby A w yteme o baze β. Ponewa A β, zatem A mod β A mod β oraz + l l A mod( β ) { A β }mod( β ) { A }mod( β ) A mod( β + ) { A β }mod( β + ) { ( ) A }mod( β + ) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 5
Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy (CRT) p,,,, jedyn reztowe (wag), p mod p mod w w j Warto c lczby X<WΠw o reprezentacj x, x,..., xn jet zatem (CRT) X x p + x p +... x p ) modw, ( + W celu wyznaczena -tej jedyn p wytarczy wyona w oblcze. Mamy,...,,..., w w W, mod w w, Oblczane jedyne reztowych p ( mod w ) : ( w ˆ( mod w ))mod w mod w ))mod w [( mod w )( rozw zane równana, czyl ( ( mod w )] mod w (... je l axmodw, to a xmodwx modw) odwrócony algorytm Euldea zapujemy jao um welorotno c n n x ( x mod n) n x ( x mod n) [ x ndv x + nmod x]... ϕ ( ) twerdzene Eulera: a N a (mod N) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 6
Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy Sytem reztowy RNS(a+,a,a ) (ap mu by parzyte) Mamy W(a+) a (a ). Oblczymy lczby ˆ w ww ( a + ) a, w mod w w ˆ ww ( a + )( a ), w ˆ mod w ( ) w w w a( a ), w mod w ( ) ( ) ˆ ŵ j ˆ ˆ oraz ch odwrotno c multyplatywne ( mod w ) w ˆ mod w mod( a ) mod( a ) a /, w ˆ mod w mod a mod a w ˆ mod w mod( a + ) mod( a + ) a / + St d z ( a + ) a ( / ), z ( a + ) ( a ), z a ( a ) ( a / ), a zatem warto c lczby X o reprezentacj r,r,r jet X (r z + r z + r z ) mod (a+) a (a ). + Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 7
Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy przyłady () Sytem reztowy ( +,, ). Mamy W( +) ( ). Oblczymy lczby ˆ ww ( + ), w ˆ mod w ˆ ww ( + )( ) w ˆ mod w ( ) ˆ ww ( ) w ˆ mod w ( ) ( ) w w, w, oraz ch odwrotno c multyplatywne mod w mod( ) mod( w ˆ mod w mod mod w ˆ mod w mod( + ) mod( St d z ) + ) + ŵ j, a ( + ) a, z ( + ) ( ), z ( ) ( ), zatem warto c lczby X o reprezentacj r,r,r jet X (r z + r z + r z ) mod ( ). + Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 8
Konwerja z ytemu reztowego na ytem tałobazowy przyłady () W yteme reztowym (7,,) mamy X (7,,),,. Wyznaczmy X. Mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w ˆ ŵ j ˆ oraz ch odwrotno c multyplatywne w ˆ mod w mod w mod w, w ˆ mod w mod w mod w w mod w ± mod w mod w ˆ ± St d z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4, zatem X (( ) 6 +( ) 4 + ) mod 4 5 mod 4 7. Rzeczyw ce X (7,,) 7 mod 7, 7 mod, 7 mod,,. Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS 9
Oblczane odwrotno c multyplatywnych () Odwrócony algorytm Euldea x ( x... mod n) n p ( A x x ( x mod n B n) + ( C x Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 mod n D n) mod n) [ x ndv x + nmod x]... p + Jedyn w yteme RNS(7,,) mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w oraz ch odwrotno c multyplatywne ( ˆ ˆ mod w ) t w 6 7t 6 ( 6 + ) t 6 ( t) t, w ˆ t oraz t, czyl t w 4 t ( 5 ) t (5 t) ˆ, w ˆ oraz t t w t ( + ) t ( t) + ˆ w ˆ oraz t zatem w zatem 5 w zatem ŵ j, RNS
Oblczane odwrotno c multyplatywnych () Jedyn w yteme RNS(7,,) twerdzene Eulera ( ) w mod w ( Mamy W 74. Oblczymy lczby ˆ ˆ mod w ) ( ) w W / w 6, w mod w 6mod7 w ˆ W / w 4, w ˆ mod w mod w W / w, w mod w ˆ ŵ j ˆ oraz ch odwrotno c multyplatywne ( 7 w mod w ) ( w ˆ ) mod7 (6 mod7)(6 mod7) 6 mod7, zatem w ˆ 6 mod7 7 mod w ( w ˆ ) mod (4 mod)(4 mod) 4 mod, zatem w ˆ 4 mod ( w ˆ ) mod ( mod )( mod ) mod, zatem w ˆ mod St d z 6 6mod4, z 4 8mod4, z mod4, Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS
Wyznaczane reprezentacj reztowych. Z twerdzena Fermata lub Eulera rezty pot g reducja pot g modϕ(p) Ponadto a X a x modn(a ϕ (p) ) [ x dv ϕ (p) ] a x mod ϕ (p) modna x mod ϕ (p) modn x x x x mod p a mod p [( a mod p) ( a mod p) ( a mod p)...]mod p. Ponewa dla lczby naturalnej a> a moda± (±) a moda±[ (±)] w c dla a dej lczby naturalnej danej w reprezentacj pozycyjnej o podtawe β rezty modβ ± mo na oblczy jao umy lub ró nce lczb -cyfrowych, utworzonych przez cyfry na pozycjach j,j+,,j+ (j,,, ) n xβ mod( β ± ) n / ( x j j+ n / ( x j β )( ± ) j j+ β ) β j mod( β mod( β ± ) ± ) Januz Bernat, 5-6-.doc, 7 pa dzerna 6 RNS