1 Warto±ci wªasne i wektory wªasne

Podobne dokumenty
1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Macierze i Wyznaczniki

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Algebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

Zadania egzaminacyjne

Macierze i Wyznaczniki

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Metody dowodzenia twierdze«

PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Przeksztaªcenia liniowe

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Zbiory i odwzorowania

1 Przestrzenie z iloczynem skalarnym

1 Troch przypomnie«i motywacji 2 Denicje i wyj±cie troch poza nie

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Ukªady równa«liniowych

Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Układy równań i równania wyższych rzędów

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

x y x y x y x + y x y

Liniowe zadania najmniejszych kwadratów

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Informacje pomocnicze

1 Macierze i wyznaczniki

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Numeryczne zadanie wªasne

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

1 Zbiory i działania na zbiorach.

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Zadania. 4 grudnia k=1

1 Elementy logiki i teorii mnogości

Podstawy matematyki dla informatyków

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Wektory i wartości własne

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

Funkcje wielu zmiennych

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Wektory i wartości własne

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

Endomorfizmy liniowe

Algebra liniowa z geometrią

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Algebra liniowa. 1. Macierze.

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

1 Rozwi zywanie ukªadów równa«. Wyznaczniki.

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

a) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;

Lista nr 1 - Liczby zespolone

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

Przekształcenia liniowe

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Matematyka dyskretna

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

Indeksowane rodziny zbiorów

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

r = x x2 2 + x2 3.

Przekroje Dedekinda 1

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

Zaawansowane metody numeryczne

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Transkrypt:

Warto±ci wªasne i wektory wªasne. Algebra endomorzmów. Wielomian od operatora Def. Algebr nad ciaªem K nazywamy zbiór A b d cy przestrzeni wektorow nad K oraz wyposa»ony w dziaªanie mno»enia : A A (a, b) a b A Mno»enie jest ª czne, tzn. a, b, c A zachodzi: oraz biliniowe a, b, c A, λ, µ K: a (b c) = (a b) c a (λb + µc) = λa b + µa c, (λa + µb) c = λa c + µb c Mówimy,»e algebra A ma jedynk, je±li istnieje element I A taki,»e a A: I a = a I = a Mówimy,»e algebra A jest przemienna, je±li a, b A zachodzi Przykªady. a b = b a.. Zbiór wielomianów K jest algebr przemienn z jedynk. (Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem. Jedynka to wielomian staªy równy ). 2. Odwzorowanie liniowe przestrzeni wektorowej V w siebie nazywamy endomorzmem przestrzeni V (lub operatorem dziaªaj cym w V ). Zbiór endomorzmów przestrzeni wektorowej V : End V L(V, V ) L(V ) jest algebr nieprzemienn z jedynk. W szczególno±ci, zbiór End K n czyli zbiór macierzy kwadratowych K n n jest algebr. Algebra ta ma jedynk (macierz jednostkow ) oraz jest nieprzemienna. Niech b dzie zadany wielomian p K : p(x) = a 0 + a x + a 2 x 2 + + a n x n. We¹my teraz T pewien operator: T L(V ). Zwró my uwag,»e poniewa» T jest odwzorowaniem V w V, to sensownie jest okre±lony operator T 2 i w konsekwencji dowolna pot ga operatora T s to wszystko endomorzmy V. Równie» z sensem jest okre±lony operator p(t ) = a 0 I + a T + a 2 T 2 + + a n T n. Takie formalne podstawienie T zamiast x w wielomianie ma sens dla elementów ka»dej algebry (z jedynk ). Operacj przej±cia od T do p(t ) nazywamy wzi ciem wielomianu od operatora T.

.2 Warto±ci wªasne, wektory wªasne, wielomian charakterystyczny macierzy Def. Niech T End V. Niezerowy wektor x taki,»e dla pewnej liczby λ K zachodzi: T x = λx () nazywamy wektorem wªasnym operatora T. Uwaga. Powy»sze równanie () mo»emy przepisa jako: (T λi)x = 0. Def. Liczb λ, wyst puj c w powy»szej denicji, nazywamy warto±ci wªasn operatora T. Uwaga. Wektor wªasny jest wyznaczony z dokªadno±ci do staªej: Je±li wektor wªasny w równ. () pomno»ymy przez dowoln niezerow staª a: x = ax, to wektor x jest równie» wektorem wªasnym odpowiadaj cym tej samej warto±ci wªasnej λ. Def. Zbiór warto±ci wªasnych operatora T nazywamy widmem operatora i oznaczamy Sp T : Sp T = {λ, λ 2,..., λ k }. Ile warto±ci i wektorów wªasnych ma zadany operator T? Jak je wyznacza? B dziemy odt d zakªada,»e przestrze«v ma wymiar sko«czony: dim V = n. Skorzystamy teraz z faktu, i» równanie: (T λi)x = 0 ma niezerowe rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy operator T λi jest nieodwracalny. Jest to równowa»ne warunkowi: det(t λi) = 0 (2) gdzie przez wyznacznik operatora rozumiemy wyznacznik jego macierzy w dowolnej bazie. Aby ta denicja (wyznacznika operatora) miaªa sens, musimy si przekona, i» wyznacznik operatora nie zale»y od bazy. Okazuje si,»e mamy Stw. Wyznacznik operatora nie zale»y od bazy. Dow. Przypomnijmy sobie, jak zmienia si macierz operatora przy zmianie bazy. Miejmy zadane w V dwie bazy e, f: e = {e, e 2,..., e n }. Macierze operatora A w tych bazach s powi zane przez: A f f = Idf e Ae e Ide f (3) gdzie macierze Id f e, Ide f s macierzami zamiany bazy. Pami tamy, i» s one nieosobliwe i zachodzi: Id f e = (Ide f ), z czego wynika: det(id f e ) = / det(ide f ) Licz c teraz wyznacznik obu stron równo±ci (3), mamy det(a f f ) = det(idf e ) det(ae e ) det(ide f ) = det(ae e ), pokazali±my wi c tez Stwierdzenia. Def. Funkcj zmiennej λ K: CBDO w T (λ) = det(t λi) (4) 2

nazywamy wielomianem charakterystycznym operatora T. Uwaga. Z denicji wida,»e w T (λ) jest wielomianem stopnia n w zmiennej λ. Wida te» porównuj c denicje wy»ej»e warto±ci wªasne operatora T s pierwiastkami wielomianu charakterystycznego w T (λ). St d, oraz z przypomnienia sobie zasadniczego tw. algebry, mówi cego, i» wielomian stopnia n ma co najwy»ej n pierwiastków, mamy Wniosek. Operator T ma nie wi cej ni» n = dim V warto±ci wªasnych. Uwaga. Mo»e si zdarzy,»e operator ma dokªadnie n warto±ci wªasnych, a mo»e te» mie ich mniej. Je±li zaªo»ymy,»e λ C, to jest zawsze dokªadnie n warto±ci wªasnych (liczonych z krotno±ciami); je±li λ R, to mo»e ich by mniej lub nie by wcale. Wektorów wªasnych mo»e by dokªadnie n, mo»e te» by ich mniej. Przykª.. Znajd¹my warto±ci wªasne i wektory wªasne macierzy: A = 2 2 Mamy: w A (λ) = (2 λ) 2 = 4 4λ + λ 2 = λ 2 4λ + 3 = (λ )(λ 3), tak wi c widmo to: Sp(A) = {, 3}. 2. A teraz, niech: λ =, v = A = ; λ 2 = 3, v 2 = 2 0 0 0 2 Tu: w A (λ) = ( λ) 2 (2 λ), wi c widmo to: Sp(A) = {, 3}, przy czym λ = warto± wªasna dwukrotna, λ 2 = 2 warto± wªasna jednokrotna. Wektory wªasne: λ =, v = Tu s tylko dwa wektory wªasne. 0 0 λ 2 = 2, v 2 = 3 3. Niech teraz: A = 0 0 Mamy: w A (λ) = ( λ) 2 + = λ 2 +. Równanie charakterystyczne nie ma rzeczywistych pierwiastków i w konsekwencji nie ma te» rzeczywistych wektorów wªasnych. Ale s pierwiastki zespolone: Sp(A) = {i, i}. Wektory wªasne liczymy standardowo, jak w przypadku rzeczywistym, tyle»e skªadowe wektorów s tu zespolone. λ = i, v = i ; λ 2 = i, v 2 = i 3

4. Oraz jeszcze: A = Rozwa»ymy tu ogólniejszy przypadek: z A = z 3 + 4i 3 4i = re iφ re iφ gdzie liczb z przedstawili±my w postaci trygonometrycznej z = re iφ. Mamy: w A (λ) = ( λ) 2 r 2 = λ = r, λ + = + r; zwró my uwag,»e oba pierwiastki s rzeczywiste, mimo i» A jest zespolona. Wektory wªasne s : v = Ker v + = Ker r re iφ re iφ r r re iφ re iφ r = Ker = Ker Wracaj c do wyj±ciowego problemu: e iφ e iφ e iφ e iφ = Ker e iφ = = Ker e iφ = w A (λ) = ( λ) 2 (3 + 4i)(3 4i) = ( λ) 2 25, e iφ e iφ sk d: Sp(A) = { 4, 6}. Zwró my uwag,»e mimo i» macierz A jest zespolona, to jej warto±ci wªasne s rzeczywiste! Nie jest to przypadek ( za chwil zapodamy stosowne twierdzenie). Tu jeszcze sko«czmy rachunki: Wektory wªasne s tu zespolone: 3 4i 3 + 4i λ = 4, v = ; λ 5 2 = 6, v 2 = ; 5 zwró my jeszcze uwag na to, i» (v + v ) = 0, czyli oba wektory wªasne s ortogonalne (przy liczeniu iloczynu skalarnego pami tajmy o sprz»eniu zespolonym!) Bardzo wa»n klas operatorów stanowi operatory hermitowskie i symetryczne. (W przykªadzie 4 mieli±my do czynienia wªa±nie z operatorem hermitowskim). Okre±la si je na przestrzeniach z iloczynem skalarnym, do zdeniowania i prostych wªasno±ci tego» niniejszym przejdziemy. Ale zauwa»my jeszcze,»e: Stw. Wyznacznik macierzy jest iloczynem jej warto±ci wªasnych. Dow. Sfaktoryzujmy wielomian charakterystyczny: w A (λ) = (λ λ )(λ λ 2 )... (λ λ n ) (nie wszystkie λ i musz by ró»ne). Rozwi«my nawiasy w powy»szym wyra»eniu: ; ; n n w A (λ) = λ n ( λ i )λ n + + λ i ; i= i= zatem w A (0) = n i= λ i. Z drugiej strony, w A (0) = det(a 0I) = det A. CBDO 4

.3 Przestrzenie z iloczynem skalarnym Niech V przestrze«wektorowa. Musimy tu rozwa»y dwa przypadki: przestrze«nad R i nad C. Nad R jest prosto: Def. Iloczynem skalarnym na V nazywamy form biliniow ( ) o wªasno±ciach: Dla wszystkich wektorów x, y, z i wspóªczynników α, β R zachodz wªasno±ci:. (x x) 0, przy czym (x x) = 0 x = 0. 2. (x y) = (y x). 3. (x αy + βz) = α(x y) + β(xz) Nad C natomiast mamy: Dla wszystkich wektorów x, y, z i wspóªczynników α, β C zachodz wªasno±ci:. (x x) 0, przy czym (x x) = 0 x = 0. 2. (x y) = (y x). 3. (x αy + βz) = α(x y) + β(x z) Uwaga. Punkty 2 i 3 znacz,»e: (nietrywialne jest to w przypadku zespolonym): (αx y) = ᾱ(x y). jest wi c inaczej, ni» w przypadku formy biliniowej nad R (tam byªa liniowo± w pierwszym i drugim argumencie; tu jest liniowo± w drugim argumencie, a w pierwszym, czynnik liczbowy podlega sprz»eniu przy wyrzucaniu poza iloczyn skalarny). Form o tej wªasno±ci nazywa si póªtoraliniow. Przykª.. Standardowy iloczyn skalarny w R N : 2. Standardowy iloczyn skalarny w C N : (x y) = (x y) = N i= N i= x i y i (5) x i y i (6) 3. Iloczyn skalarny dla wielomianów na, : Dla dwóch wielomianów u(x), v(x) rzeczywistych deniujemy ich iloczyn skalarny jako: (u v) = dxu(x)v(x) (7) a dla dwóch wielomianów u(x), v(x) zespolonych deniujemy ich iloczyn skalarny jako: (u v) = dxū(x)v(x) (8) 4. Iloczyn skalarny zapo»yczony z wielomianów Hermite'a: Dla dwóch wielomianów u(x), v(x) rzeczywistych deniujemy ich iloczyn skalarny jako: (u v) = 5 dxu(x)v(x)e x2 (9)

.4 Bazy ortogonalne Def. Mówimy,»e baza E = {E, E 2,..., E N } jest ortogonalna, je»eli (E i E j ) = 0 dla i j oraz (E i E i ) 0 dla i =,..., N. Def. Mówimy,»e baza e = {e, e 2,..., e N } jest ortonormalna, je»eli (e i e j ) = 0 dla i j oraz (e i e i ) 0 dla i =,..., N. Ten ostatni warunek zapisujemy wygodniej jako (e i e j ) = δ ij Tu δ ij jest symbolem zwanym delt Kroneckera: Warto± δ ij jest równa, je±li i = j, oraz 0, je±li i j. Przykª. Baza standardowa w R N jest ortonormalna. W bazie ortonormalnej zazwyczaj rachunki id znacznie ªatwiej, ni» w innej bazie. Dlatego tez opªaca si umie znale¹ baz ortonormaln. Mamy proste ale wa»ne Stw. Ka»d baz mo»na zortogonalizowa (a w konsekwencji te» zortonormalizowa ). Dow. jest konstruktywny (tzn. pokazuje od razu konstrukcj bazy ortogonalnej). Proces ten nazywa si ortogonalizacj Grama-Schmidta. Zakªadamy,»e mamy przestrze«n wymiarow. Mamy w niej zadan baz e = {e, e 2,..., e n } (na ogóª, nieortogonaln ). B dziemy konstruowa baz f = {f, f 2,..., f n } rekurencyjnie.. W pierwszym kroku kªadziemy f = e. 2. Szukamy drugiego wektora bazy f 2 w postaci: f 2 = e 2 + αf, gdzie α jest wspóªczynnikiem, który chcemy wyznaczy z» dania, aby f 2 byª ortogonalny do f. Liczymy: 0 = (f 2 f ) = (e 2 f ) + α(f f ), sk d Mamy wi c, w drugim kroku: α = (e 2 f ) (f f ). f 2 = e 2 (e 2 f ) (f f ) f. 3. Szukamy kolejnego czyli trzeciego wektora bazy f 3 w postaci: f 3 = e 3 +βf +γf 2, gdzie β, γ s wspóªczynnikami, które chcemy wyznaczy z» dania, aby f 3 byª ortogonalny zarówno do f 2, jak i f. Liczymy: sk d Analogicznie: 0 = (f 3 f ) = (e 3 f ) + β(f f ) + γ (f 2 f ), }{{} =0 β = (e 3 f ) (f f ). 0 = (f 3 f 2 ) = (e 3 f 2 ) + β (f f 2 ) +γ(f 2 f 2 ), }{{} =0 6

sk d Mamy wi c, w trzecim kroku: γ = (e 3 f 2 ) (f 2 f 2 ). f 3 = e 3 (e 3 f ) (f f ) f (e 3 f 2 ) (f 2 f 2 ) f 2....k Šatwo ju» teraz chyba domy±li si,»e w k tym kroku dostaniemy: f 3 = e 3 k j= (e 3 f j ) (f j f j ) f j Uwaga. Metoda dziaªa zarówno nad R jak i nad C; w tym ostatnim przypadku nale»y uwa»a na kolejno± wektorów w iloczynie skalarnym. Przykª. Ortogonalizacja wielomanów na, ze standardowym iloczynem skalarnym prowadz ca do wielomianów Legendre'a.5 Nierówno± Schwarza Zetkn li±my si z ni w przypadku standardowego iloczynu skalarnego w R 3 (tak naprawd te» w R n ). Okazuje si,»e nierówno± jest te» sªuszna w dowolnej przestrzeni z iloczynem skalarnym. Mianowicie zachodzi: Tw. Dla dowolnych wektorów x, y, zarówno w przestrzeni wekt. nad R jak i nad C, zachodzi (x y) 2 (x x)(y y) (0) Nieco si ró»ni dowody w przypadku rzeczywistym i zespolonym. Dow. R. We¹my dwa dowolne wektory x, y V i utwórzmy trójmian kwadratowy f(t): f(t) = (tx y tx y) = t 2 (x x) 2t(x y) + (y y). (w drugiej równo±ci wykorzystali±my symetri iloczynu skalarnego). Z aksjomatu nieujemno±ci iloczynu skalarnego, f(t) 0. Zatem wyró»nik trójmianu jest niedodatni: 0 = 4(x y) 2 4(x x) (y y), a to jest dokªadnie równo± (0). Dow. C We¹my znów dwa dowolne wektory x, y V. Ich iloczyn skalarny mo»e przyjmowa warto±ci zespolone. Zapiszmy go w postaci trygonometrycznej: (x y) = (x y) e iφ, lub (pami tajmy o póªtoraliniowo±ci iloczynu skalarnego) (x y) = (e iφ x y) = (y e iφ x). Utwórzmy teraz nast puj cy trójmian kwadratowy w t: f(t) = (te iφ x y te iφ x y); 7

mamy oczywi±cie f(t) 0. Napiszmy jawn posta f(t), korzystaj c z wªasno±ci iloczynu skalarnego nad C: lub f(t) = (x x)e iφ e iφ t 2 t(e iφ x y) t(y e iφ x) + (y y) f(t) = (x x) 2t (x y) + (x x) Dalszy ci g post powania jest identyczny jak w przypadku rzeczywistym..6 Operatory sprz»one Niech F endomorzm przestrzeni V. Def. Operator sprz»ony do F oznaczamy jako F i deniujemy jako taki operator,»e dla wszystkich wektorów x, y zachodzi: Wªasno±ci sprz»enia, ªatwe do sprawdzenia:. (F + G) = F + G 2. (λf ) = λf 3. (F ) = F 4. (F G) = G F (x F y) = (F x y). () Np. ostatnia wªasno± : z jednej strony; a z drugiej: (x (F G)y) = ((F G) x y) (x (F G)y) = (x F (Gy)) = (F x Gy) = (G (F x) y) = (G F x y) a poniewa» wszystko to musi zachodzi dla dowolnych x, y, wi c otrzymujemy wªasno± 4. Stw. W bazie ortonormalnej, macierz A operatora T oraz macierz B operatora T s powi zane przez: a i j = b j i. (2) Dow. Najpierw przypomnijmy sobie ogólne wyra»enie na macierz operatora: T e i = j a j ie j ; Zatem, w bazie ortonormalnej e: (e k T e i ) = j a j i(e k e j ) = j a j iδ kj = a k i. Dalej, mamy krótki rachunek: a i j = (e i T e j ) = (T e i e j ) = (e j T e i ) = b j i 8

.7 Operatory symetryczne i samosprz»one, oraz ich macierze Def. (C, R) Operator T nazywamy hermitowskim (lub: samosprz»onym), gdy T = T. Gdy operator hermitowski T jest w pewnej bazie ortonormalnej e zadany macierz T e e A, to elementy a i j tej macierzy speªniaj : Bo: a i j = a j i. a i j = (e i T e j ) = (T e i e j ) = (T e i e j ) = (e j T e i ) = a j i Def. Macierz (zespolon ) A nazywamy hermitowsk, gdy jej elementy macierzowe A ij speªniaj zwi zek: A ij = A ji. Uwaga. Gdy macierz A jest rzeczywista, to powy»szy warunek oznacza, i» jest ona symetryczna, tzn. A = A T. Dla takich macierzy bardzo wa»nych w zyce i matematyce zachodzi niemniej wa»ne Tw.. Macierz hermitowska/symetryczna jest diagonalizowalna, tzn. ma komplet wektorów wªasnych. Tego nie udowodnimy tu. 2. Warto±ci wªasne macierzy hermitowskich/symetrycznych s rzeczywiste. Bo: Niech λ i, v i odpowiednio i ta warto± wªasna i (unormowany) wektor wªasny operatora hermitowskiego H; mamy: H = H. Mamy: (v i Hv i ) = (v i λ i v i ) = λ i = (H v i v i ) = (Hv i v i ) = (λ i v i v i ) = λ i ; Podsumowuj c: otrzymali±my: λ i = λ i, czyli λ i R. CBDO 3. Wektory wªasne, odpowiadaj ce ró»nym warto±ciom wªasnym, s ortogonalne. Bo: We¹my: (v i Hv j ) = λ j (v i v j ) = (H v i v j ) = (Hv i v j ) = λ i (v i v j ); mamy wi c równo± : λ j (v i v j ) = λ i (v i v j ); odejmuj c stronami, dostaniemy: (λ j λ i )(v i v j ) = 0, co znaczy,»e je±li λ i λ j»e (v i v j ) = 0, czyli v i oraz v j s ortogonalne. CBDO Z powy»szego twierdzenia wynika kilka faktów dotycz cych macierzy diagonalizuj - cych H operator hermitowski. 9

Niech S macierz zªo»ona z (unormowanych) wektorów wªasnych H: S = v, v 2,..., v n ; (3) Odwrotna do niej: Šatwo zgadn,»e S = v T v T 2. v T n Wida,»e ta macierz speªnia: S = S Def. Macierz speªniaj ca powy»szy warunek nazywa si unitarna nad C i ortogonalna nad R. Bezpo±rednim rachunkiem przekonujemy si,»e dla macierzy (3) mamy λ 0 0... 0 0 λ 2 0... 0 S HS = 0......... 0 0......... 0 0... 0 0 λ n.8 Twierdzenie Cayleya Hamiltona Mamy wa»ne twierdzenie, b d ce kluczem do liczenia funkcji od macierzy. Tw. (Cayleya Hamiltona). Niech T End(V ) i niech w T (λ) b dzie wielomianem charakterystycznym operatora T. Wówczas w T (T ) = 0. (4) Dow. Oznaczmy: A = T e e. Przypomnijmy sobie nast puj c wªasno± dopeªnienia algebraicznego: Je±li M macierz nieosobliwa, a M D jej dopeªnienie algebraiczne, to M M D = (det M)I. We¹my teraz M = A λi. Mamy naówczas: (A λi) (A λi) D = det(a λi)i = w A (λ)i. (5) Pami taj c, jak jest okre±lone dopeªnienie algebraiczne, ªatwo skojarzymy,»e elementy macierzy (A λi) D s wielomianami zmiennej λ stopnia co najwy»ej n. Mo»emy wi c napisa : (A λi) D = B 0 + λb + λ 2 B 2 + + λ n B n dla pewnych macierzy B 0, B,..., B n. 0

Zapiszmy teraz lew stron równo±ci (5) jako wielomian w zmiennej λ: (A λi) (A λi) D = A B 0 +λ(a B B 0 )+λ 2 (A B 2 B )+ +λ n (A B n B n 2 ) λ n B n = ( ); w powy»szym wyra»eniu zast pmy teraz zmienn (rzeczywist lub zespolon ) λ przez macierz A, co jak wiemy jest dopuszczalne. Mamy w ten sposób: ( ) = A B 0 +A(A B B 0 )+A 2 (A B 2 B )+ +A n (A B n B n 2 ) A n B n, co po rozwini ciu nawiasów okazuje si by równe zeru! A z drugiej strony, patrz c na równo± (5), jest to dokªadnie w A (A). Tak wi c otrzymujemy tez tw. CH. CBDO.9 Funkcje od operatora